新高考物理一轮复习重难点练习难点18 带电粒子在有界匀强磁场中的运动（原卷版）

难点18带电粒子在有界匀强磁场中的运动一、带电粒子在有界匀强磁场中的运动（一）粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法1．圆心的确定方法(1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲．(2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙．(3)若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝eq\f(mv,qB)计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙．2．半径的计算方法方法一由R＝eq\f(mv,qB)求得方法二连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得例如：如图甲，R＝eq\f(L,sinθ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得常用到的几何关系①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α②弦切角等于弦所对应圆心角一半，θ＝eq\f(1,2)α.3．时间的计算方法方法一利用圆心角、周期求得t＝eq\f(θ,2π)T方法二利用弧长、线速度求得t＝eq\f(l,v)（二）带电粒子在有界磁场中的运动1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)2．平行边界(往往存在临界条件，如图所示)3．圆形边界(进出磁场具有对称性)(1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示．(2)不沿径向射入时，如图乙所示．射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ.【例1】（带电粒子在直线边界磁场中运动）如图所示，O点有一粒子发射源，能沿纸面所在的平面发射质量均为m、电荷量均为+q、速度大小均为v的粒子。MN为过O点的水平放置的足够大的感光照相底片，照相底片上方有匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场方向垂直于纸面向里，不计粒子所受的重力及粒子间的相互作用，则感光照相底片上的感光长度为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【例2】（带电粒子在圆形边界磁场中运动）如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，直径ab垂直cd，∠MOd=30°，从M点沿Ma方向射入的带正电粒子恰能从b点离开磁场，粒子的质量为m，电量为q，不计粒子的重力，则粒子的速度大小及在磁场中运动的时间为（）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【例3】（带电粒子在多边形边界磁场中运动）如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角SKIPIF1<0。粒子经过磁场偏转后在N点（图中未画出）垂直穿过x正半轴。已知SKIPIF1<0，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计。则（）A．粒子带正电荷B．粒子速度大小为SKIPIF1<0C．粒子在磁场中运动的时间为SKIPIF1<0D．N与O点相距3d二、带电粒子在匀强磁场中的临界问题解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解．1．临界条件带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直．2．几种常见的求极值情况(速度一定时)(1)最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切．圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即：当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长．(2)最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直．如图，P为入射点，M为出射点．此时在磁场中运动时最短．【例4】（带电粒子在磁场中运动的临界问题）如图所示，正方形abcd内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，一束电子以大小不同的速度从a点沿ab方向射入磁场。不计电子的重力和电子间的相互作用。对于从c点和d点射出的电子，下列说法正确的是（）A．轨道半径之比为SKIPIF1<0 B．线速度大小之比为SKIPIF1<0C．向心力大小之比为SKIPIF1<0 D．在磁场中运动时间之比为SKIPIF1<0【例5】（带电粒子在磁场中运动的极值问题）如图所示，半径为R的圆形区域内存在着磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v正对圆心射入磁场，通过磁场区域后速度方向偏转了60°.(1)求粒子的比荷eq\f(q,m)及粒子在磁场中的运动时间t；(2)如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度的基础上，需将粒子的入射点沿圆弧向上平移的距离d为多少？三、带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．(1)找出多解的原因．(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．【例6】（磁场方向不确定形成多解）(多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计．为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场．已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为eq\f(q,m)，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是()A．B>eq\f(mv,3qs)，垂直纸面向里B．B>eq\f(mv,qs)，垂直纸面向里C．B>eq\f(mv,qs)，垂直纸面向外D．B>eq\f(3mv,qs)，垂直纸面向外【例7】（临界状态不确定形成多解）(多选)如图所示，边长为L的等边三角形区域ACD内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外．三角形顶点A处有一质子源，能沿∠A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的质子(质子重力不计、质子间的相互作用可忽略)，所有质子恰能通过D点，已知质子的比荷eq\f(q,m)＝k，则质子的速度可能为()A.eq\f(BkL,2) B．BkLC.eq\f(3BkL,2) D.eq\f(BkL,8)一、单选题1．（2021·全国·高三专题练习）如图所示，在第Ⅰ象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子分别以相同速率沿与x轴正方向成30°角的方向从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运动的时间之比为（）A．1∶ B．1∶1 C．1∶2 D．2∶12．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的虚线框为一长方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一束电子以不同的速率从O点垂直于磁场方向、沿图中方向射入磁场后，分别从a、b、c三点射出磁场，比较它们在磁场中的运动时间ta、tb、tc，其大小关系是（）A．ta<tb<tc B．ta＝tb＝tc C．ta＝tb>tc D．ta<tb=tc3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，左右边界a、b内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，O点到边界a的距离与a到b的距离相等，质量为m、电荷量为q的带电粒子从O点射出，速度大小为SKIPIF1<0、方向与磁场边界a夹角为SKIPIF1<0，从a边界射入后，垂直于b边界射出，粒子重力不计，以下判断正确的是（）A．带电粒子带正电 B．带电粒子出磁场时速度大小为SKIPIF1<0C．a、b边界的距离等于SKIPIF1<0 D．粒子从O运动到b边界的时间为SKIPIF1<04．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测）如图所示，两方向相反，磁感应强度大小均为SKIPIF1<0的匀强磁场被边长为SKIPIF1<0的等边三角形SKIPIF1<0边界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点SKIPIF1<0处由一质子源，能沿SKIPIF1<0的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过SKIPIF1<0点，质子比荷SKIPIF1<0，则质子的速度不可能为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，两匀强磁场的方向相同，以虚线MN为理想边界，磁感应强度大小分别为B1、B2，今有一质量为m、电荷量为e的电子从MN上的P点沿垂直于磁场方向射入匀强磁场B1中，其运动轨迹为如图虚线所示的“心”形图线。则以下说法正确的是（）A．电子的运动轨迹为PENCMDPB．B1＝2B2C．电子从射入磁场到回到P点用时为SKIPIF1<0D．B1＝4B26．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角（0＜θ＜π）以速率v发射一个带正电的粒子（重力不计）。则下列说法正确的是（

）A．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短B．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大C．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短D．若v一定，θ越大，则粒子在离开磁场的位置距O点越远7．（2021·全国·高三专题练习）如图所示，两平行线EF和MN将磁场分割为上、下两部分，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子（不计重力）从EF线上的A点以速度v斜向下射入EF下方磁场，速度与EF成30°角，经过一段时间后粒子正好经过C点，经过C点时速度方向斜向右上方，与EF也成30°角。已知A、C两点间距为L，两平行线间距为d，下列说法不正确的是（）A．粒子不可能带负电B．磁感应强度大小可能为B＝SKIPIF1<0C．粒子到达C点的时间可能为SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0D．粒子的速度大小可能为v＝SKIPIF1<08．（2022·辽宁·模拟预测）磁场可以对带电粒子的运动施加影响，只要设计适当的磁场，就可以控制带电粒子进行诸如磁聚焦、磁扩散、磁偏转、磁约束与磁滞留等运动。利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有广泛的应用，如图所示，以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，圆形区域外有垂直纸面向里的匀强磁场，两个磁场的磁感应强度大小都是B。有一质量为m、所带正电荷电荷量为q的带电粒子从P点沿半径垂直磁场射入圆形区域，粒子两次穿越磁场边界后又回到P点，不计粒子重力，则（）A．粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为RB．粒子从P点射入磁场的速度大小为SKIPIF1<0C．粒子从P点射出到第一次回到P点所需的时间为SKIPIF1<0D．如果圆形区域外的磁场在一个以O为圆心的圆环内，则该圆环的面积至少为SKIPIF1<0二、多选题9．（2022·内蒙古·二模）如图所示的等边三角形区域SKIPIF1<0内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，SKIPIF1<0的中点O处有一粒子发射源，能向磁场区域沿垂直SKIPIF1<0的方向发射一系列速率不同的同种正粒子，已知粒子的比荷为k，磁场区域的边长为L。则下列说法正确的是（）A．粒子速度越大在磁场中运动的时间越短B．从SKIPIF1<0边离开的粒子在磁场中运动的时间相同C．从SKIPIF1<0边离开的粒子，速率的最大值为SKIPIF1<0D．从SKIPIF1<0边的中点离开的粒子，速率为SKIPIF1<010．（2022·云南·模拟预测）如图所示，SKIPIF1<0圆弧区域内有磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，AOB为磁场区域边界。圆弧半径为R，O点为圆心，D点为边界OB中点，C点为边界上一点，且CD//AO。现有一个质量为m、带电荷量大小为q的粒子以某速度从C点沿着CD方向射入磁场，一段时间后粒子从O点离开磁场，粒子重力不计，则（）A．该粒子带正电B．该粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为RC．该粒子从C点射入磁场的速度大小为SKIPIF1<0D．该粒子在磁场中运动的时间为SKIPIF1<011．（2022·湖北·模拟预测）如图所示，半径分别为R和2R的同心圆处于同一平面内，O为圆心，两圆形成的圆环内有垂直圆面向里的匀强磁场（圆形边界处也有磁场），磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为SKIPIF1<0的粒子由大圆上的A点以速率SKIPIF1<0沿大圆切线方向进入磁场，不计粒子的重力，下列说法正确的是（）A．带电粒子从A点出发第一次到达小圆边界上时，粒子运动的路程为SKIPIF1<0B．经过时间SKIPIF1<0，粒子第1次回到A点C．运动路程SKIPIF1<0时，粒子第5次回到A点D．粒子不可能回到A点12．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，边长为a的正方形线框内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。两个相同的带电粒子同时从AB边上的A点和E点（E点在AB之间，未画出），以相同的速度，沿平行于BC边的方向射入磁场，两带电粒子先后从BC边上的F点射出磁场，已知从A点入射的粒子射出磁场时速度方向与BF边的夹角θ=60°，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，则（）A．带电粒子的比荷为SKIPIF1<0B．两个带电粒子在磁场中运动的时间之比为tA∶tE=2∶1C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<013．（2022·全国·高三专题练习）边长为a的等边三角形SKIPIF1<0区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一束质量为m电荷量为SKIPIF1<0的带电粒子（不计重力）从SKIPIF1<0边的中点沿平行SKIPIF1<0边的方向以不同的速率射入磁场区域，则（）A．从SKIPIF1<0边射出的粒子的最大速率为SKIPIF1<0B．从SKIPIF1<0边射出的粒子的最大速率为SKIPIF1<0C．能从SKIPIF1<0边射出的粒子最小速率为SKIPIF1<0D．能从SKIPIF1<0边射出的粒子最小速率为SKIPIF1<014．（2022·全国·高三课时练习）如图在x轴上方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，x轴下方存在垂直纸面向外的磁感应强度为SKIPIF1<0的匀强磁场。一带负电的粒子从原点O以与x轴成30°角斜向上射入磁场，且在上方运动半径为R，则（）A．粒子经偏转一定能回到原点OB．粒子完在成一次周期性运动的时间为SKIPIF1<0C．粒子在x轴上方和下方两磁场中运动半径之比为1∶2D．粒子第二次射入x轴上方磁场时，沿x轴前进了3R三、解答题15．（2020·全国·高三专题练习）如图所示，某平面内有折线PAQ为磁场的分界线，已知∠A＝90°，AP＝AQ＝L．在折线的两侧分布着方向相反，与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小均为B．现有一质量为m、电荷量为＋q的粒子从P点沿PQ方向射出，途经A点到达Q点，不计粒子重力．求粒子初速度v应满足的条件及粒子从P经A到达Q所需时间的最小值．16．（2022·山东·蒙阴县实验中学高三阶段练习）如图所示，在xOy平面内，有一个圆形区域的直径AB与x轴重合，圆心O'的坐标为（2a，0），其半径为a，该区域内无磁场．在ｙ轴和直线x＝3a之间的其他区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴上某点射入磁场．不计粒子重力。（1）若粒子的初速度方向与ｙ轴正向夹角为60°，且粒子不经过圆形区域就能到达B点，求粒子的初速度大小v１；（2）若粒子的初速度方向与ｙ轴正向夹角为60°，在磁场中运动的时间为Δt＝SKIPIF1<0，且粒子也能到达B点，求粒子的初速度大小v２；17．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，边长为SKIPIF1<0的正方形匀强磁场区域SKIPIF1<0内的SKIPIF1<0点处有一粒子源，可以发射不同速率的质量为SKIPIF1<0、电荷量为SKIPIF1<0的带正电的粒子，粒子沿纸面以与SKIPIF1<0成30°角的方向射入该匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为SKIPIF1<0，方向垂直于纸面向里，SKIPIF1<0点是SKIPIF1<0边的中点。不计粒子的重力以及粒子间的相互作用。（1）求带电粒子在磁场中运动的周期SKIPIF1<0；（2）若粒子由边界SKIPIF1<0离开磁场，求该粒子在磁场中的运动时间SKIPI