第08讲有理数相关计算专题训练七年级数学上册重难点及章节分类讲义(浙教版)

第8讲有理数相关计算专题训练一．加法运算【知识点睛】易错技巧点拨：①有理数的加法计算步骤：“一判”：判断两个加数的符号（即确定用哪一条法则和确定和的符号）“二求”：求各加数的绝对值“三加减”：同号绝对值相加，异号绝对值相减②简便运算的几种常见情形：互为相反数的两个数可以先相加几个数相加得整数时，可以先相加同分母的分数可以先相加正负符号相同的数可以先相加题目中既有分数又有小数时，可以先把小数和分数统一，再观察是否可用简便方法计算【典例精析】例1．某地区2021年元旦的最高气温为9℃，最低气温为﹣2℃，那么该地区这天的最低气温比最高气温低（）A．7℃ B．﹣7℃ C．11℃ D．﹣11℃【分析】根据题意，列出减法算式计算即可．【解答】解：9﹣（﹣2）＝9+2＝11（℃），故选：C．例2．已知|x|＝5，|y|＝2，则x+y的值（）A．±3 B．±7 C．3或7 D．±3或±7【分析】绝对值的逆向运算，先求出x，y的值，再代入求解．【解答】解：∵|x|＝5，|y|＝2，∴x＝±5，y＝±2，∴x+y＝±3或±7．故选：D．例3．下面两个结论：甲：两数之和为负，至少有一个加数为负；乙：两数之和至少大于其中一个加数．其中说法正确的是（）A．甲、乙均正确B．甲正确，乙错误C．甲错误，乙正确D．甲、乙均错误【分析】可以通过举例说明题干是否正确．【解答】解：两数之和为负，至少有一个加数为负，所以甲正确；两数之和至少大于其中一个加数，如，﹣2+（﹣3）＝﹣5，﹣5＜﹣2，﹣5＜﹣3，所以乙不正确．故选：B．例4.计算：（1）（﹣11）+8+（﹣14）．（2）（﹣3）+12+（﹣17）+（+8）．【分析】（1）先计算负数的和，再求解比较简便．（2）先根据数的特点进行分组，再进行运算即可．【解答】解：（1）原式＝（﹣11）+（﹣14）+8＝（﹣25）+8＝﹣17．（2）（﹣3）+12+（﹣17）+（+8）＝[（﹣3）+（﹣17）]+（12+8）＝（﹣20）+20＝0．例5．阅读材料：我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离；同理|x﹣4|也可理解为x与4两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：（1）若|x﹣2|＝5，则x的值是．（2）同理|x﹣5|+|x+3|＝8表示数轴上有理数x所对应的点到5和﹣3所对应的两点距离之和为8，则所有符合条件的整数x的和为．【分析】（1）由算式的几何意义可得，x是数轴上到表示2的点为5的点表示的数，即可求得符合题意的两个x的值；（2）由算式的几何意义可得，符合条件的整数x，就是数轴上以表示5和﹣3的点为端点的线段上的所有整数，然后计算求和即可．【解答】解：（1）∵|x﹣2|＝5，∴x﹣2＝﹣5或x﹣2＝5，解得x＝﹣3，x＝7，故答案为：﹣3或7；（2）由题意得，符合条件的整数x，就是数轴上以表示5和﹣3的点为端点的线段上的所有整数，即x的值为﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5，∴﹣3﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝9，故答案为：9．【练习】1．约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．例如，在图1中，即4+3＝7．则在图2中，当y＝﹣2时，n的值为．【分析】根据图形，可以用含x的式子表示出m、n；再用x的代数式表示出y，从而可以求得x的值，进而得到n的值．【解答】解：由图可得，m＝x+2x＝3x，n＝2x+3∴y＝m+n＝（x+2x）+（2x+3）＝3x+2x+3＝5x+3，∵y＝﹣2，∴5x+3＝﹣2，解得，x＝﹣1，∴n＝2x+3＝2×（﹣1）+3＝﹣2+3＝1，故答案为：1．2．计算3+（﹣2）+5+（﹣8）时，运算律用得最为恰当的是（）A．[3+（﹣2）]+[5+（﹣8）] B．（3+5）+[﹣2+（﹣8）] C．[3+（﹣8）]+（﹣2+5） D．（﹣2+5）+[3+（﹣8）]【分析】先算同分母分数，再算加法即可求解．【解答】解：计算3+（﹣2）+5+（﹣8）时，运算律用得最为恰当的是（3+5）+[﹣2+（﹣8）]．故选：B．3．方格中，除9和7外其余字母各表示一个数，已知方格中任何三个连续方格中的数之和为19，求A+H+M+O的值．【分析】由于任何相邻三个数字的和都是19，可由O+X+7＝19倒推，即可求解．【解答】解：由题意可得：因为O+X+7＝19且M+O+X＝19，所以M＝7；因为A+9+H＝19且9+H+M＝19，所以A＝7；因为H+M+O＝19．所以求A+H+M+O的值为19+7＝26．故答案为26．4．阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：，；…（1）猜想：1+2+3+4+…+n＝；（2）利用上述规律计算：1+2+3+4+…+100；（3）计算：．【分析】（1）根据表中的规律发现：第n个式子的和是n（n+1）；（2）根据（1）中发现的规律计算即可；（3）结合上述规律，只需变形为＝（1+2+…+49）即可计算．【解答】解：（1）1+2+3+4+…+n＝n（n+1）；（2）1+2+3+4+…+100＝×100×（100+1）＝5050；（3）＝（1+2+…+49）＝××49×（49+1）＝612.5．故答案为：n（n+1）．二.减法运算【知识点睛】有理数减法的计算步骤：①将减号变成加号，把减数变成它的相反数②按照加法运算的步骤去做。易错技巧点拨：①减法法则不能与加法法则中的异号两数相加相混淆②减法没有交换律③有理数大小的比较方法——作差法（或叫差量法）要比较两个有理数a与b的大小，可先求a与b的差ab，然后进行判断。【典例精析】例1．把（﹣3）﹣（﹣7）+4﹣（+5）写成省略加号的和的形式是（）A．﹣3﹣7+4﹣5 B．﹣3+7+4﹣5 C．3+7﹣4+5 D．﹣3﹣7﹣4﹣5【分析】利用减法法则把减法化为加法写成省略加号的和的形式．【解答】解：（﹣3）﹣（﹣7）+4﹣（+5）＝﹣3+7+4﹣5，故选：B．例2．某地区2022年元旦的最高气温为10℃，最低气温为﹣3℃，则该地区这天的最高气温比最低气温高（）A．﹣7℃ B．7℃ C．﹣13℃ D．13℃【分析】用最高温度减去最低温度，再利用减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．【解答】解：10﹣（﹣3）＝10+3＝13（℃），故选：D．例3．某病人每天下午需要测量血压，该病人上周日收缩压为120单位，下表是该病人这周每天与前一天相比较收缩压的变化情况，则本周星期五的收缩压是．星期一二三四五增减+20﹣30﹣25+15+30【分析】理解上升记作“+”，下降记作“﹣”，根据题意列式计算即可．【解答】解：120+20﹣30﹣25+15+30＝130（单位），故本周星期五的收缩压是130（单位），故答案为：130单位．例4．计算：||+||+||+…+||＝．【分析】根据绝对值的性质先化简，再相加减可求解．【解答】解：原式＝+++…+＝＝．故答案为：．例5．为了增强同学们在足球比赛中快速转身的能力，张老师设计了折返跑训练．张老师在东西方向的足球场上画了一条直线，并插上不同的折返旗帜，如果约定向西为正，向东为负，练习一组折返跑的移动记录如下（单位：米）：+40，﹣30，+50，﹣25，+25，﹣30，+15．（1）学生最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？（2）学生在一组练习过程中，跑了多少米？（3）学生训练过程中，最远处离出发点多远？【分析】（1）根据加法法则，将正数与正数相加，负数与负数相加，进而得出计算得结果；（2）利用绝对值的性质以及有理数加法法则求出即可；（3）求出每一段到出发点的距离，即可判断出结果．【解答】解：（1）（+40）+（﹣30）+（+50）+（﹣25）+（+25）+（﹣30）+（+15）＝45（米）；答：学生最后到达的地方在出发点的正西方向，距出发点45m；（2）∵|+40|+|﹣30|+|+50|+|﹣25|+|+25|+|﹣30|+|+15|＝215（米），答：学生在一组练习过程中，跑了215米；（3）第一段，40m，第二段，40﹣30＝10m，第三段，10+50＝60m，第四段，60﹣25＝35m，第五段，35+25＝60m，第六段，60﹣30＝30m，第七段，30+15＝45m，∴最远处离出发点60m．【练习】1．对于有理数a，b，c，d，给出如下定义：如果|a﹣c|+|b﹣c|＝d．那么称a和b关于c的相对距离为d，如果m和3关于1的相对距离为5，那么m的值为．【分析】根据新定义可列等式，结合绝对值的性质计算可求解m值．【解答】解：由题意得|m﹣1|+|3﹣1|＝5，即|m﹣1|＝3，∴m﹣1＝3或m﹣1＝﹣3，解得m＝4或﹣2，故答案为4或﹣2．2．＝．【分析】按运算顺序，把前两项相加，再将所得结果与第三项相加，再按从左到右依次相加即可．【解答】解：原式＝﹣3++3+﹣5++5+﹣7++7+﹣9++9+＝2﹣++++++++＝2﹣＝2﹣＝．3．若M＝101×2020×2029，N＝2028×2021×101，则M﹣N＝．【分析】根据乘法分配律进行计算．【解答】解：M﹣N＝101×2020×2029﹣2028×2021×101＝101×（2020×2029﹣2028×2021）＝101×[2020（2028+1）﹣2028×2021]＝101×（2020×2028+2020﹣2028×2021）＝101×[2028（2020﹣2021）+2020]＝101×（﹣2028+2020）＝101×（﹣8）＝﹣808．故答案为：﹣808．2．对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：|7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；＝；＝．观察上述式子的特征，解答下列问题：（1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）：①|23﹣47|＝；②＝﹣；（2）当a＞b时，|a﹣b|＝；当a＜b时，|a﹣b|＝；（3）计算：．【分析】（1）结合有理数加法减法运算法则以及绝对值的意义进行化简；（2）根据绝对值的意义进行化简；（3）根据有理数减法运算法则结合绝对值的意义先化简绝对值，然后根据数字的变化规律进行分析计算．【解答】解：（1）①|23﹣47|＝47﹣23；②＝﹣；故答案为：47﹣23，﹣；（2）当a＞b时，|a﹣b|＝a﹣b；当a＜b时，|a﹣b|＝b﹣a；故答案为：a﹣b，b﹣a；（3）原式＝1﹣+﹣+﹣+•••+﹣＝1﹣＝．5．定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，＝﹣1，＝﹣，所以1，﹣2，3的“分差”为﹣．（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为；（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是；（3）调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值．【分析】（1）按“新定义”代入三个代数式求值再比较大小．（2）三个数顺便不同可以有6种组合，除第（1）题的顺序，计算其余五种情况的“分差”，再比较大小．（3）由“分差”为2（是正数）和﹣1﹣6＝﹣7＜2可知，﹣1﹣6不能对应a﹣b，a﹣c，b﹣c，所以剩三种情况：6，﹣1，x或6，x，﹣1或x，6，﹣1．每种情况下计算得三个代数式后，分别令两个含x的式子等于2，求出x，再代入检查此时“分差”是否为2．【解答】解：（1）∵a＝﹣2，b＝﹣4，c＝1∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣4）＝2，＝，＝，∴﹣2，﹣4，1的“分差”为故答案为：（2）①若a＝﹣2，b＝1，c＝﹣4则a﹣b＝﹣2﹣1＝﹣3，＝＝1，＝，∴﹣2，1，﹣4的“分差”为﹣3②若a＝﹣4，b＝﹣2，c＝1则a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2，＝，＝∴﹣4，﹣2，1的“分差”为③若a＝﹣4，b＝1，c＝﹣2则a﹣b＝﹣4﹣1＝﹣5，＝，＝∴﹣4，1，﹣2的“分差”为﹣5④若a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2则a﹣b＝1﹣（﹣4）＝5，＝，＝∴1，﹣4，﹣2的“分差”为⑤若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4则a﹣b＝1﹣（﹣2）＝3，＝，＝∴1，﹣2，﹣4的“分差”为综上所述，这些不同“分差”中的最大值为故答案为：（3）∵“分差”为2，﹣1﹣6＝﹣7∴三个数的顺序不能是﹣1，6，x和﹣1，x，6和x，﹣1，6①a＝6，b＝x，c＝﹣1，∴a﹣b＝6﹣x，＝，＝若6﹣x＝2，得x＝4，＜2，不符合若，得x＝5，6﹣x＝1＜2，不符合②a＝6，b＝﹣1，c＝x，∴a﹣b＝6﹣（﹣1）＝7，＝，＝若，得x＝2，＜2，不符合若，得x＝﹣7，＞2，符合③a＝x，b＝6，c＝﹣1∴a﹣b＝x﹣6，＝，＝若x﹣6＝2，得x＝8，＞2，符合若，得x＝3，x﹣6＝﹣3＜2，不符合综上所述，x的值为﹣7或8．三.乘法运算【知识点睛】两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0易错技巧点拨：有理数乘法计算法则实质为——先确定积的符号，再将绝对值相乘！！！①1乘一个数，仍得这个数；②1乘一个数，得这个数的相反数；③若两个数的乘积为1，则称这两个有理数互为倒数；特别地：0没有倒数，互为倒数的两个数同号，倒数是其本身的数有1和1④当因数是带分数时，应先化成假分数，然后相乘；⑤分数与小数相乘时，统一化成分数相乘会比较简单；⑥几个非0有理数相乘，当负数有奇数个时，积为负；当负数有偶数个时，积为正！⑦几个数相乘，有一个因数为0，则积为0；如果积为0，则至少有一个因数为0；⑧乘法简便运算律包含：乘法交换律、乘法结合律、分配律；有时候不能用前面三个规律时，可利用添项拆项等方法凑以上运算律【典例精析】例1．下列说法正确的个数是（）①如果两个数的和为0，则这两个数互为倒数；②绝对值是它本身的有理数是正数；③几个有理数相乘，积为负数时，负因数个数为奇数；④若a+b＜0，则a＜0，b＜0；⑤若|a|＝|b|，则a2＝b2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：如果两个数的和为0，则这两个数互为相反数，故①错误，绝对值是它本身的有理数是非负数，故②错误，几个有理数相乘，积为负数时，负因数个数为奇数，故③正确，若a+b＜0，则a＜0，b＜0或a＝0，b＜0或a＞0，b＜0且|a|＜|b|，故④错误，若|a|＝|b|，则a2＝b2，故⑤正确，故选：B．例2．与3的乘积等于﹣1的数是（）A．﹣3 B．3 C． D．﹣【分析】根据题意列出算式计算，即可得出答案．【解答】解：×3＝﹣1，故选：D．例3．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制0123456789ABCDEF十进制0123456789101112131415例如，十进制中16+10＝26，用十六进制表示为10+A＝1A；十进制中25﹣15＝10，用十六进制表示为19﹣F＝A．由上可知，在十六进制中B×D＝（运算结果用十六进制表示）．【分析】首先计算出B×D的值，再根据十六进制的含义表示出结果．【解答】解：∵B×D＝11×13＝143，143÷16＝8余15，∴用十六进制表示143为8F．故答案为：8F．例4．学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算：49×（﹣5），看谁算的又快又对．小明的解法：原式＝﹣；小军的解法：原式＝．（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？（2）小强认为还有更好的方法：把49看作，请把小强的解法写出来．（3）请你用最合适的方法计算：9×（﹣3）．【分析】（1）小军的方法计算简便；（2）原式＝（50﹣）×（﹣5），再由乘法分配律进行运算即可；（3）原式＝（10﹣）×（﹣3），再运算即可．【解答】解：（1）小军的解法较好；（2）49×（﹣5）＝（50﹣）×（﹣5）＝50×（﹣5）﹣×（﹣5）＝﹣250+＝﹣249；（3）9×（﹣3）＝（10﹣）×（﹣3）＝10×（﹣3）﹣×（﹣3）＝﹣30+＝﹣29．例5．已知|a|＝5，|b|＝3，若|a+b|＝a+b，求ab的值．【分析】由|a+b|＝a+b可得，a＝5，b＝3或a＝5，b＝﹣3，代入计算即可．【解答】解：已知|a|＝5，|b|＝3，|a+b|＝a+b，可得，a＝5，b＝3或a＝5，b＝﹣3．当a＝5，b＝3时，ab＝15，当a＝5，b＝﹣3时，ab＝﹣15．综上所述：ab的值为15或﹣15．例6．计算：（1）（﹣0.25）×3.14×40；（2）﹣25×8．（3）（）×（﹣60）【分析】（1）根据乘法分配律和结合律计算可求解；将﹣25转化为﹣25﹣，再利用乘法分配律计算可求解．（3）利用乘法分配律进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣＝＝﹣10×3.14＝﹣31.4；（2）原式＝＝﹣200﹣＝−200.25．（3）原式＝﹣15﹣25+50＝10．【练习】1．下列说法中不正确的个数有（）①有理数m2+1的倒数是②绝对值相等的两个数互为相反数③绝对值既是它本身也是它的相反数的数只有0④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则乘积为负数⑤若a＞b，则a（c2+1）＞b（c2+1）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据各个小题中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：有理数m2+1的倒数是，故①正确；绝对值相等的两个数互为相反数或者相等，故②不正确；绝对值既是它本身也是它的相反数的数只有0，故③正确；几个不为零有理数相乘，若有奇数个负因数，则乘积为负数，若其中一个因数为0，则结果为0，故④不正确；若a＞b，则a（c2+1）＞b（c2+1），故⑤正确；故选：B．2．已知4个不相等的整数a、b、c、d，它们的积abcd＝25，则a+b+c+d＝．【分析】由4个不相等的整数a、b、c、d，将25进行因数分解可知25＝1×5×（﹣1）×（﹣5），即可求解．【解答】解：∵a、b、c、d是4个不相等的整数，∴25＝1×5×（﹣1）×（﹣5），∴a+b+c+d＝1+5+（﹣1）+（﹣5）＝0；故答案为0．3．4．观察下列两个等式：2﹣＝2×+1，5﹣＝5×+1，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，），（5，）都是“共生有理数对”．（1）通过计算判断数对（1，2）是不是“共生有理数对”；（2）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值；（3）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m）“共生有理数对”（填“是”或“不是”）；（4）如果（m，n）是“共生有理数对”（其中n≠1），直接用含n的式子表示m．【分析】（1）根据共生有理数对的定义判断即可；（2）根据共生有理数对的定义列方程求解；（3）根据共生有理数对的定义对（﹣n，﹣m）变形即可判断；（4）根据共生有理数对的定义得到m，n的方程，变形即可．【解答】解：（1）∵1﹣2＝﹣1，1×2+1＝3，∴1﹣2≠1×2+1，∴（1，2）不是共生有理数对；（2）由题意，得a﹣3＝3a+1，解得a＝﹣2；（3）∵（m，n）是共生有理数对，∴m﹣n＝mn+1，∴﹣n﹣（﹣m）＝m﹣n＝mn+1，∴（﹣n，﹣m）是共生有理数对；故答案为：是．（4））∵（m，n）是共生有理数对，∴m﹣n＝mn+1，∴m（1﹣n）＝1+n，∴．四.除法运算【知识点睛】①两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个非0的数都得0②除以一个非零数，等于乘上这个数的倒数用字母表示为：易错技巧点拨：有理数除法计算法则实质为——先确定商的符号，再将绝对值相除！！！①0不能作为除数；②多个有理数相除时，如果能整除，则直接相除，如果不能整除，通常把除法转化为乘法，统一为乘法再运算；③除法运算中遇到小数或者带分数时，要把小数化为分数，把带分数化为假分数，然后再进行相除；④除法没有交换律、结合律、分配律【典例精析】例1．下列各式中计算正确的有（）①（﹣24）÷（﹣8）＝﹣3；②（﹣8）×（﹣2.5）＝﹣20；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据有理数的乘法和除法法则分别计算即可得出答案．【解答】解：①原式＝3，故①计算不正确；②原式＝20，故②计算不正确；③原式＝1，故③计算正确；④原式＝×＝3，故④计算不正确；故选：A．例2．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的m的值为多少即可．【解答】解：根据分析，可得则所有符合条件的m的值为：128、21、20、3．故选：B．例3．计算：＝．【分析】将有理数的除法转化为乘法，然后再计算．【解答】解：原式＝，故答案为：﹣．例4．计算：﹣12×（﹣）+8÷（﹣2）．【分析】先算乘方、再算乘除法、最后算加法即可．【解答】解：﹣12×（﹣）+8÷（﹣2）＝﹣1×（﹣）+（﹣4）＝+（﹣4）＝﹣．例5．请你认真阅读下列材料：计算：．解法一：因为原式的倒数为＝＝﹣20+3﹣5+12＝﹣10，所以原式＝﹣．解法二：原式＝＝﹣．（1）上述得出的结果不同，肯定有错误解法，你认为哪种解法是错误的？为什么？（2）根据你对所提供材料的理解，计算下面的题目：．【分析】（1）先判断，然后根据判断说明理由即可；（2）根据题目中的例子，可以先计算出原式的倒数，然后取原式倒数的结果的倒数，即可得到原式的结果．【解答】解：（1）解法二错误，因为除法没有分配律；（2）因为原式的倒数为：（+﹣﹣）÷（﹣）＝（+﹣﹣）×（﹣42）＝×（﹣42）+×（﹣42）﹣×（﹣42）﹣×（﹣42）＝﹣7﹣9+28+12＝24，所以原式＝．五.乘方【知识点睛】①符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂为正数②特例：0的任何正整数次幂=0；00无意义；1的任何次幂=1，1的奇次幂=1，1的偶次幂=1③运算：乘方是特殊的乘法运算，其他运算规律同乘法运算一样；易错技巧点拨：①注意（a）n与an的不同意义②注意的不同意义③若a与b互为相反数，则有a2=b2，a3+b3=0【典例精析】例1．下列各组数中，数值相等的是（）A．﹣22和（﹣2）2 B．﹣和（﹣）2 C．（﹣2）2和22 D．﹣（﹣）2和﹣【分析】根据有理数的乘方的运算方法，求出每组中的两个算式的值各是多少，判断出各组数中，数值相等的是哪个即可．【解答】解：∵﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，﹣22≠（﹣2）2，∴选项A不符合题意；∵﹣＝﹣，（﹣）2＝，﹣≠（﹣）2，∴选项B不符合题意；∵（﹣2）2＝4，22＝4，（﹣2）2＝22，∴选项C符合题意；∵﹣（﹣）2＝﹣，﹣＝﹣，﹣（﹣）2≠﹣，∴选项D不符合题意．故选：C．例2．在有理数：﹣|﹣|，（﹣3）2，（﹣2）3，﹣（﹣5），﹣12中，负数的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】此题只需根据负数的定义，即负数为小于0的有理数，再判定负数的个数．【解答】解：在有理数：﹣|﹣|，（﹣3）2，（﹣2）3，﹣（﹣5），﹣12中，负数有：﹣|﹣|，（﹣2）3，﹣12这3个，故选：B．例3．比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（）A．它们底数相同，指数也相同 B．它们底数相同，但指数不相同 C．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同 D．虽然它们底数不同，但运算结果相同【分析】（﹣4）3表示三个﹣4的乘积，﹣43表示3个4乘积的相反数，计算得到结果，即可做出判断．【解答】解：比较（﹣4）3＝（﹣4）×（﹣4）×（﹣4）＝﹣64，﹣43＝﹣4×4×4＝﹣64，底数不相同，表示的意义不同，但是结果相同，故选：D．例4．若a、b、c、d是互不相等的整数（a＜b＜c＜d），且abcd＝9，则：ac+bd＝．【分析】由乘积为9且互不相等的整数，先确定a、b、c、d的值，再代入求出代数式的结果【解答】解：∵a、b、c、d是互不相等的整数，且abcd＝9又∵（±1）×（±3）＝9，a＜b＜c＜d，∴a＝﹣3，b＝﹣1，c＝1，d＝3∴ac+bd＝﹣3+（﹣1）3＝﹣4．故答案为：﹣4例5．若x4＝625，则x＝．【分析】找到4次方为625的数即可．【解答】解：∵（±5）4＝625，∴x＝±5，故答案为：±5．例6．（1）计算：①（3×5）2与32×52；②[（﹣2）×3]2与（﹣2）2×32；③[（﹣3）×（﹣4）]2与（﹣3）2×（﹣4）2；（2）根据以上计算结果猜想：（ab）2，（ab）3分别等于什么？（直接写出结果）（3）猜想与验证：当n为正整数时，（ab）n等于什么？请你利用乘方的意义说明理由．（4）利用上述结论，求（﹣8）2021×0.1252022的值．【分析】（1）根据积的乘方的计算法则进行计算即可；（2）根据（1）的计算结果，类推得出答案；（3）利用乘方的意义进行计算即可；（4）应用上述结论，将原式化为（﹣8×0.125）2021×0.125即可．【解答】解：（1）①（3×5）2＝152＝225，32×52＝9×25＝225；②[（﹣2）×3]2＝（﹣6）2＝36，（﹣2）2×32＝4×9＝36；③∵[（﹣3）×（﹣4）]2＝122＝144，（﹣3）2×（﹣4）2＝9×16＝144，∴[（﹣3）×（﹣4）]2＝（﹣3）2×（﹣4）2；（2）（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3；（3）（ab）n＝anbn，理由如下：（ab）n＝＝×＝anbn；（4）原式＝（﹣8）2021×0.1252021×0.125＝（﹣8×0.125）2021×0.125＝（﹣1）2021×0.125＝﹣0.125．六.科学计数法易错技巧点拨：①一般地：10的n次幂，在1的后面就有n个0②n的值的两种确定方法：1.将这个数的整数部分的位数1就是n2.将这个数的小数点向左移动的位数就是n【典例精析】例1．电影《流浪地球》中的行星发动机利用重核聚变技术，可以直接利用石头作为燃料，每座发动机产生150亿吨推力，请用科学记数法表示150亿为（）A．150×109 B．1.5×1010 C．1.5×1011 D．1.5×1012【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：150亿＝＝1.5×1010．故选：B．例2．据统计，某城市去年接待旅游人数约为89000000人，89000000这个数据用科学记数法表示为（）A．8.9×106 B．8.9×105 C．8.9×107 D．8.9×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：89000000这个数据用科学记数法表示为8.9×107．故选：C．例3．用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是（）A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.05（精确到千分位） D．0.050（精确到0.001）【分析】根据近似数的概念对四个选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、0.05049精确到0.1，故是0.1，故本选项正确；B、0.05049精确到百分位，故是0.05，故本选项正确；C、0.05049精确到千分位应是0.050，故本选项错误；D、0.05049精确到0.001应是0.050，故本选项正确．故选：C．例4．近似数0.7070的精确度是（）A．精确到百分位B．精确到十万分位 C．精确到万分位D．精确到千分位【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．【解答】解：近似数0.7070是精确到万分位；故选：C．例5．把a精确到百分位的近似数是3.27，则a的取值范围是（）A．3.265＜a＜3.275B．3.265≤a＜3.275 C．3.265＜a≤3.275D．3.265≤a≤3.275【分析】利用四舍五入可对各选项进行判断．【解答】解：把a精确到百分位的近似数是3.27，则a的取值范围是3.265≤a＜3.275．故选：B．【练习】1．已知43×47＝2021，则（﹣43）的值为（）A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣【分析】根据有理数运算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数求解．【解答】解：∵43×47＝2021，∴（﹣43）＝﹣43×47＝﹣2021，故选：B．2．观察下列各式的计算结果：1﹣＝1﹣＝＝×；1﹣＝1﹣＝＝×；1﹣＝1﹣＝＝×；1﹣＝1﹣＝＝×…（1）用你发现的规律填写下列式子的结果：1﹣＝×；1﹣＝×．（2）用你发现的规律计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）×．【分析】（1）根据题中所给的式子即可求解；（2）原式＝×××××…××××××，再分组计算即可求解．【解答】解：（1）1﹣＝1﹣＝＝×，1﹣＝1﹣＝＝×，故答案为：，，，；（2）（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）×＝×××××…××××××＝×＝．3．观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…根据上述算式中的规律，你认为220的末位数字是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】本题需先根据已知条件，找出题中的规律，即可求出220的末位数字．【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…∴220的末位数字是6．故选：C．4．下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（）A．23和32 B．﹣33和（﹣3）3 C．﹣22和（﹣2）2 D．﹣|﹣2|和|﹣2|【分析】根据有理数的乘方，绝对值的意义分别计算，然后作出判断．【解答】解：A．23＝8，32＝9，∴23≠32，故此选项不符合题意；B．﹣33＝﹣27，（﹣3）3＝﹣27，∴﹣33＝（﹣3）3，故此选项符合题意；C．﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，∴﹣22≠（﹣2）2，故此选项不符合题意；D．﹣|﹣2|＝﹣2，|﹣2|＝2，∴﹣|﹣2|≠|﹣2|，故此选项不符合题意；故选：B．5．已知|a﹣2|+（b+3）2＝0，则ba的值是（）A．﹣6 B．6 C．﹣9 D．9【分析】先依据非负数的性质求得a、b的值，然后再代入求解即可．【解答】解：∵|a﹣2|+（b+3）2＝0，∴a＝2，b＝﹣3．∴原式＝（﹣3）2＝9．故选：D．6．若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，则的值为（）A． B．99! C．9900 D