易错点06图形基础与三角形四边形

易错点06图形基础、三角形、四边形图形基础平行线的性质及判定三角形相关性质、全等判定直角三角形中点四边形01图形基础1．如图，是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，与“春”这个汉字相对的面上的汉字是A．正 B．斗 C．奋 D．青【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，与“春”这个汉字相对的面上的汉字是“斗”．故选：．1．（2022•亭湖区校级一模）某正方体的每个面上都有一个汉文，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是A．中 B．国 C．事 D．好【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，即可解答．【解答】解：在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是事，故选：．2．（2022•南充模拟）如图，用一个平面去截一个长、宽、高分别为5，4，3的长方体，当截面是矩形时，截面周长最大为A．18 B．20 C．24 D．25【分析】观察长方体可知，当截面（截出的面）的形状是矩形时，它的周长的最大值是长5，宽为直角边分别为4、3的三角形斜边长的长方形，根据长方形周长公式计算即可求解．【解答】解：由勾股定理得：，则当截面（截出的面）的形状是矩形时，它的周长的最大值是．故选：．02平行线的性质与判定：注意平行线性质的运用1．（2022•合肥一模）如图，，若，，则的度数为A． B． C． D．【分析】由，利用平行线的性质先求出的度数，再求出的度数，最后利用平行线的性质求出的度数．【解答】解：，，，，，，，，故选：．1．（2022•肥东县校级模拟）直角三角板和直尺如图放置，若，则的度数为A． B． C． D．【分析】利用平行线的性质可得，然后利用三角形的外角，进行计算即可解答．【解答】解：如图：，，，，．故选：．2．（2022•新乐市校级模拟）如图所示，六边中，平行且等于，平行且等于，平行且等于，对角线．已知，．则六边形的面积是A．423 B．432 C．405 D．234【分析】连接交于，交于．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形和．易得，．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形的面积三角形的面积三角形的面积．【解答】解：连接交于，交于，如图：平行且等于，平行且等于，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，，，，，，四边形是矩形，，且，，．六边形的面积平行四边形的面积三角形的面积三角形的面积．故选：．3．（2022•汇川区模拟）如图，将含有的三角板的直角顶点放一块直尺的一边上，如果，那么等于A． B． C． D．【分析】先根据两直线平行的性质得到，再根据对顶角的性质得到，最后根据三角形外角的性质可以得出的度数．【解答】解：如图：，，，，，，．故选：．03三角形相关性质、全等判定1.（2022•巴中模拟）如图，在中，，于点，为中点，、交于点，则下列结论中不一定正确的是A． B． C． D．的面积四边形的面积【分析】依据在中，，于点，即可得出为的中点，再根据为中点，即可得到点为的重心，依据重心性质即可得出结论．【解答】解：在中，，于点，为的中点，，又为中点，点为的重心，，，，，如图，连接，则，即选项错误，故选：．1．（2022•苏州模拟）如图，在四边形中，，，，点、分别是，边上的中点，则A． B． C． D．【分析】如图，连接，交于点，过点作于点，先证明是等边三角形，得，再证明，得，，设，则，，分别计算和的长，并根据三角函数定义可得结论．【解答】解：如图，连接，交于点，过点作于点，，点、分别是，边上的中点，，，是等边三角形，，，，，，设，则，，，，，由勾股定理得：，，，，，．故选：．2.如图，在中，，、，若点为直线上一点，且为等腰三角形，则符合条件的点有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】依据点为直线上一点，且为等腰三角形，需要分三种情况进行讨论，即①，②，③，据此通过画图即可得出点的位置．【解答】解：如图所示，分别以，为圆心，的长为半径画弧，与直线的交点，，即为所求；作的垂直平分线，与直线的交点即为所求．符合条件的点有4个．故选：．3.（2022•曾都区一模）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别叫做“平行四边形数”和“正三角形数”．设第个“平行四边形数”和“正三角形数”分别为和．若，则的值为A．190 B．210 C．231 D．253【分析】由图规律可知：，，求出的值即可．【解答】解：由图可知：，，，，，，故选：．04直角三角形易错题1．（2022•南京模拟）如图，沿直线折叠，使点与边上的点重合，若，，则等于A． B． C． D．【分析】根据直角三角形的性质求出，再根据折叠的性质、三角形的外角性质计算即可．【解答】解：，，，由折叠的性质可知，，，故选：．1．（2022秋•白云区校级期末）若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是A．或 B． C． D．和【分析】分两种情况：当等腰三角形为锐角三角形时；当等腰三角形为钝角三角形时；然后分别进行计算即可解答．【解答】解：分两种情况：当等腰三角形为锐角三角形时，如图：在中，，，，，，，，这个等腰三角形的底角是；当等腰三角形为钝角三角形时，如图：在中，，，，，，，，，这个等腰三角形的底角是；综上所述：这个等腰三角形的底角是或，故选：．2．（2022秋•番禺区校级）如图所示，在中，，，为中点且，交于点，，则等于A． B． C． D．【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用三角形的外角性质可得，再在中，利用含30度角的直角三角形可求出的长，即可解答．【解答】解：，，，为中点且，是的垂直平分线，，，，，，，故选：．05中点四边形：注意不同类型的四边形连接得到的中点四边形是不同的。1．（2022•达川区模拟）如图，是一组由菱形和矩形组成的图案，第1个图中菱形的面积为为常数），第2个图中阴影部分是由连接菱形各边中点得到的矩形和再连接矩形各边中点得到的菱形产生的，依此类推，则第2020个图中阴影部分的面积可以用含的代数式表示为且是正整数）A． B． C． D．【分析】观察图形发现第2个图形中的阴影部分的面积为，第3个阴影部分的面积为，依此类推，得到第个图形的阴影部分的面积即可．【解答】解：观察图形发现：第2个图形中的阴影部分的面积为，第3个图形中的阴影部分的面积为，第个图形中的阴影部分的面积为．故第2020个图中阴影部分的面积可以用含的代数式表示为，故选：．1．（2022•镇海区校级二模）如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，连接、、、．延长、相交于点，连接、、，．若四边形的面积为8，则的值为A．2 B．1.6 C．1.5 D．【分析】连接、、、，由，，可得，，则有，再由是的中点，得到，，则，由是的中点，得到，，则，所以．【解答】解：连接、、、，如图：、分别是、的中点，，，、分别是、的中点，，，，，，，，是的中点，，，，是的中点，，，，，，．故选：．2．（2022春•姑苏区校级月考）在①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰梯形中，对角线的交点到各边中点的距离都相等的是A．①②⑤ B．③④⑤ C．③④ D．②④【分析】根据菱形、正方形的性质、三角形中位线定理判断即可．【解答】解：根据三角形中位线定理可知：正方形、菱形的对角线的交点到各边中点的距离都等于边长的一半，正方形、菱形的边长相等，正方形、菱形的对角线的交点到各边中点的距离都相等，而平行四边形、矩形、等腰梯形对角线的交点到各边中点的距离不一定相等，故选：．3．（2022•荣昌区自主招生）如图，在正方形中，，，，分别为各边的中点，顺次连接，，，，、、分别表示三个阴影区域的面积，下列关系式不正确的是A． B． C． D．【分析】由题意可得正方形的面积，解得，设正方形的边长为，设，则，求出，进而作出判断即可．【解答】解：由题意可得正方形的面积，，，，故选项，正确；，解得，设正方形的边长为，为的中点，为的中点，，，设，则，由勾股定理得，，，，，．正确的是，，．不正确的是．故选：．一．选择题（共5小题）1．（2022•佛山校级三模）如图为正方体的展开图，将标在①②③④的任意一面上，使得还原后的正方体中与是相邻面，则不能标在A．① B．② C．③ D．④【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解答】解：因为正方体中与是相邻面，与③的对面，所以不能标在③．故选：．2．（2022•梅州模拟）如图，直线，，，则的度数是A． B． C． D．【分析】依据平行线的性质，即可得出，依据，，即可得到的度数．【解答】解：如图：，，，，，．故选：．3．（2022•濠江区一模）把图中三棱柱沿表面展开，所得到的平面图形可以是A． B． C． D．【分析】根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个矩形，可得答案．【解答】解：三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个矩形，故选：．4．（2021•深圳四模）将一副三角板按如图所示方式摆放，使得，则等于A． B． C． D．【分析】依据，即可得，再根据，可得，利用三角形外角性质，即可得到．【解答】解：，，又，，，故选：．5．（2022•越秀区校级二模）如图，在等边三角形的，边上分别任取一点，，且，、相交于点．下列四个结论：①若，则；②若，，则；③；④若，则的最小值为，其中正确的是A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【分析】根据等边三角形的性质得到，根据线段的和差得到，过作交于，根据相似三角形的性质得到①正确；过作于，解直角三角形得到②错误；在根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到③正确；以为边作等边三角形，连接，证明点，，，四点共圆，且圆心即为等边三角形的中心，设于圆交点，即为的最小值，根据30度角的直角三角形即可求出结果．【解答】解：是等边三角形，，，，，，如图，过作交于，，，，，，，；故①正确；过作于，则，，，，，或，故②错误；在等边中，，，在与中，，，，，，，，，．故③正确；以为边作等边三角形，连接，，，，，点，，，四点共圆，且圆心即为等边三角形的中心，设于圆交点，即为的最小值，于交于点，，，垂直平分，，，在中，，，，，即的最小值为，故④正确．综上：正确的有①③④．故选：．二．填空题（共4小题）6．（2022•佛山二模）若一个正边形的一个内角与和它相邻的外角的度数之比是，那么8．【分析】一个内角是一个外角的3倍，内角与相邻的外角互补，因而外角是45度，内角是135度．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出多边形的外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：每一个外角的度数是，，则这个多边形是八边形，即．故答案为：8．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第个矩形的面积为．【分析】易得第二个矩形的面积为，第三个矩形的面积为，依此类推，第个矩形的面积为．【解答】解：已知第一个矩形的面积为1；第二个矩形的面积为原来的；第三个矩形的面积是；故第个矩形的面积为：．故答案是：．8．（2022•武江区校级二模）如图，在矩形中，，，点是所在直线的一个动点，点是对角线上的动点，且，则的最小值为．【分析】延长到点，使，连接，根据矩形的性质和等条件，即可证明，进而得到；再由两点之间，线段最短可得，当，，在同一条直线时，的值最小，此时的值也最小；最后在中根据勾股定理求出的长即可．【解答】解：如图所示，延长到点，使，连接，矩形中，，，又，，．如图，当，，三点共线时，的长最小，此时的值也最小，最小值等于的长．矩形中，，，，，，中，，的最小值等于，故答案为：．9．（2021•深圳模拟）如图，在四边形中，平分交于点，且，，过点作，垂足为．延长和交于点，若，，三角形的面积为7，则．【分析】解法一：由点向延长线作垂线，交于点，由点向作垂线交于点，证明全等于得出，然后导出面积为面积一半，最终求出长；解法二：作辅助线，构建相似三角形，证明，根据，可知相似比为，得，根据三角形的面积为7，则，证明，列比例式整体代入可得的长．【解答】解：解法一：如图，过作于，作于，过作于，，平分交于点，，，，，，，，，，，且，，，，平分，，，，，；解法二：过作于，过作，交的延长线于，平分交于点，，，，，，，，，，，，，，，，，．故答案为：．三．解答题（共3小题）10．（2022•梅州模拟）如图，在四边形中，，，，点，，依次在同一直线上．（1）求证：；（2）当，时，求的长．【分析】（1）由“”可证；（2）由全等三角形的性质可得，由勾股定理可求解．【解答】（1）证明：，，在和中，，；（2）解：，，，，．11．（2022•东莞市校级二模）如图，矩形的对角线、相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，交于点，若，，求的值．【分析】（1）只要证明四边相等即可证明；（2）如图，连接并延长交于，交于，先证明，得，根据三角形中位线定理计算，可得，最后由三角函数定义可得结论．【解答】（1）证明：四边形是矩形，，和关于对称，，，，四边形是菱形；（2）解