第07讲有理数（教师版）七年级数学上册讲义（北师大版）

第二章有理数及其运算第07讲有理数课程标准1.掌握正数和负数的数学含义；2.掌握“0”的含义；3.掌握有理数的概念；4.掌握有理数的分类；5.能够正确理解“0”的含义；6.能够正确的判断有理数的分类.知识点01正数和负数正数：比大的数；负数：在正数前面加上的数，既不是正数，也不是负数.【答案】0；负号；0.知识点02相反意义的量（1）在同一个问题中，用“+”和表示具有相反意义的量；（2）若没有规定哪个量为正或负，习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等记为，把“后退、下降、支出、零下温度”等记为；相反意义的量一是意义，二是要有数量.【答案】；+；；相反.知识点03有理数的分类（1）按照性质分类：（2）按照符号分类：（3）小数分类：和统称为非负数；和统称为非正数.【答案】正数；0；负数；0.例1在1、﹣2、﹣5.6、﹣0、、、π中负数有（）例1 A．3个B．4个C．5个D．6个A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】根据负数的定义，直接判断即可．【解答】解：在1、﹣2、﹣5.6、﹣0、43、-17、π中负数有﹣2、﹣5.6、-故选：A．例2下列结论中正确的是例2A．0既是正数，又是负数B．0是最小的正数C．0是最大的负数D．0既不是正数，也不是负数【答案】选D.变1给出下列各数：3，0，+5，，+3.1，，2004，+2008．其中是负数的有（）变1 A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】选B.变2变2A．一个数不是正数就是负数B．0是最小的数C．正数都比0大 D．﹣a是负数【分析】根据正数和负数的定义判断即可．【解答】解：A、0既不是正数也不是负数，故本选项不合题意；B、负数比0小，故本选项不合题意；C、正数都比0大，说法正确，故本选项符合题意；D、当a≤0时，﹣a是非负数，故本选项不合题意；故选：C．变3以下各数：，0.6，100，，0，，368中，正数有_________________；负数有_________________，既不是正数也不是负数的是______．变3【答案】0.6，，368；，100，；0.例1例1①胜二局与负三局；②气温为与气温升高；③盈利5万元与亏损5万元；④增加10%与减少20%．其中具有相反意义的量有（） A．1对B．2对C．3对D．4对【解答】（1）C；[①=3\*GB3③④具有相反意义]；例2把向北移动记作“+”，向南移动记作“﹣”例2A．﹣5米表示向北移动了5米B．+5米表示向南移动了5米C．向北移动﹣5米表示向南移动5米 D．向南移动5米，也可记作向南移动﹣5米【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案．【解答】解：A、﹣5米表示向南移动了5米，故本选项不合题意；B、+5米表示向北移动了5米，故本选项不合题意；C、向北移动﹣5米表示向南移动5米，故本选项符合题意；D、向南移动5米，也可记作向北移动﹣5米，故本选项不合题意；故选：C．变1我国是最早使用负数的国家，在我国著名的数学书《九章算术》中，明确提出了“正负术”．如果盈利20元记作“+20元”，那么亏损30元记作变1A．30元B．30元C．50元D．50元【答案】A【分析】利用相反意义量的定义判定即可．【解答】解：如果盈利20元记作“+20元”，那么亏损30元记作”30元“，故选：A．变22020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆地球．月球表面白天温度约为零上180℃，可记作+180℃，则夜间温度约为零下150℃，可记作______℃变2【答案】150．【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：月球表面白天温度约为零上180℃，可记作+180℃，则夜间温度约为零下150℃，可记作150℃．故答案为：150．变3如图所示的是某用户微信支付情况，表示的意思是（）变3A．发出100元红包B．收入100元C．余额100元 D．抢到100元红包【答案】A【解析】【分析】根据用正负数表示两种具有相反意义的量解答即可．【详解】解：如图某用户微信支付情况，−100表示的意思是发出100元红包故选：A．例1某品牌的大米包装袋上的质量标识为：“50±0.5kg”．质检人员随机抽测了四袋该品牌大米的质量，依次记录为：50.4kg，50.1kg，49.7kg，49.4kg，则所抽测的四袋大米中，符合该品牌大米包装袋上的质量标识要求的有例1A．4袋 B．3袋 C．2袋 D．1袋 【答案】B【分析】先求出大米的合格重量的范围即可判断．【解答】解：质量标识为“50±0.5kg”表示50上下0.5即49.5到50.5之间为合格；分析选项可得49.4

kg不在此范围内，不合格；其余3袋在此范围内，合格．故选：B．例2如图，是图纸上一个零件的标注，表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际产品的直径最大可以是30.03mm，最小可以是（）例2A．30mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm 【答案】D【分析】根据标注可知，零件直径标准30mm，最大多0.03mm，最小少0.02mm，则最小为300.02=29.98mm．【解答】解：由零件标注可知，零件的直径范围最大30+0.03mm，最小300.02mm，∴300.02=29.98（mm）；故选：D．变1足球是全球最具影响力的单项体育运动，它能增强人们的体质，培养团队意识和拼搏精神．足球的质量有严格标准，如果将超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度看，以下四个足球质量最接近标准的是变1A． B． C． D． 【答案】C.【分析】由已知和要求，只要求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的球．【解答】解：通过求4个数的绝对值得：|1.2|=1.2，|+0.8|=0.8，|0.5|=0.5，|+1.4|=1.4，0.5＜0.8＜1.2＜1.40.5的绝对值最小．所以这个球是最接近标准的球．故选：C．变2某圆形零件的直径要求是50±0.2mm，下表是6个已生产出来的零件圆孔直径检测结果（以50变2为标准则）则在这6个产品中合格的有（）序号123456误差（mm）﹣0.3﹣0.50+0.1﹣0.05+0.12A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据直径要求是50±0.2mm，产品若要合格，则|误差|≤0.2，据表格可知|0|＜0.2；|+0.1|＜0.2；|﹣0.05|＜0.2；|+0.12|＜0.2，所以3号、4号、5号、6号产品合格．【解答】解：根据直径要求是50±0.2mm，即49.8mm～50.2mm都合格，误差±0.2mm内也都合格，∴有4个，故选：C．例3纽约与北京的时差为﹣13例3京时间晚的时数），当北京9月12日8时，纽约的时间是（）A．9月11日5时 B．9月11日19时 C．9月12日19时 D．9月12日21时 【分析】根据题意，得纽约比北京时间要晚13个小时，也就是9月11日19时．【解答】解：纽约时间是：9月12日8时﹣13小时＝9月11日19时．故选：B．例4例4北京的时差，则这五个时钟对应的城市从左到右依次是（）城市时差/h纽约﹣13悉尼+2伦敦﹣8罗马﹣7A．纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京B．罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约C．伦敦、纽约、北京、罗马、悉尼 D．北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约变3下表是国外几个城市与北京的时差：（“+”表示早于北京时间，“﹣”变3城市悉尼莫斯科伦敦温哥华时差（时）+2﹣5﹣8﹣16如果现在是北京时间2021年1月10日下午5：00．（1）现在悉尼时间是多少？伦敦时间是多少？（2）此时在北京的小明想给在温哥华出差的妈妈打，你认为合适吗？请说明理由．【分析】（1）根据有理数加减法的计算法则，直接计算可求解；（2）合不合适主要是看时间是不是正好在休息时间，由此判断即可．【解答】解：（1）∵北京时间2021年1月10日下午5：00，∴5+2＝7，即悉尼时间为2021年1月10日下午7：00；17﹣8＝9，即伦敦时间为2021年1月10日上午9：00；（2）17﹣16＝1，此时温哥华时间为凌晨1：00，不适合打．考点四考点四有理数的分类例1下列说法正确的是例1A．正有理数和负有理数组成全体有理数B．零既不是正数，也不是负数C．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数D．在有理数中，零的意义表示没有【答案】B【解析】【分析】根据有理数的意义和分类逐项进行判断即可．【详解】解：A．有理数分为正有理数、0、负有理数，故此选项不符合题意；B．0既不是正数，也不是负数，是最小的非负整数，故此选项符合题意；C．0.5就是十分之五，是分数，是有理数，故此选项不符合题意；D．0不仅可以表示没有，也可以表示实际的意义，如，在标准条件下，冰与水的混合物的冰与水的混合物的温度为，故此项不符合题意．故选：B．例2下列说法正确的是例2A．正数和负数统称有理数B．0是整数但不是正数C．0是最小的数D．0是最小的正数【答案】B【分析】应该正整数和负整数数统称为有理数，正数和分数包括部分无理数，因此，A选项不正确；0既不是正数也不是负数，但它是整数，因此，B选项正确、D选项不正确；有理数中没有最大的数，也没有最小的数，因此，C选项不正确．【解答】解：0是整数但不是正数正确．故选：B．变1下列说法不正确的是变1A．有理数可分为正整数、正分数、0、负整数、负分数B．一个有理数不是分数就是整数C．一个有理数不是正数就是负数D．若一个数是整数，则这个数一定是有理数【答案】C【分析】根据有理数的定义逐一判断即可．【解答】解：A、有理数可分为正整数、正分数、0、负整数、负分数，正确；B、一个有理数不是分数就是整数，正确；C、一个有理数不是正数就是负数，还有可能是0，错误；D、若一个数是整数，则这个数一定是有理数，正确；故选：C．变2下列说法正确的是变2A．整数、分数和负数统称为有理数B．有理数包括正数和负数C．正整数都是整数，整数都是正整数D．0是整数，也是自然数【答案】D【分析】根据有理数的定义逐一判断即可．【解答】解：A、整数和分数统称有理数，错误；B、一个有理数不是分数就是整数有理数包括正数、负数、0，错误；C、整数还有负整数和0，错误；D若一个数是整数，数一定是有理数则这个，正确；故选：D．变3下面说法中，不正确的是变3A．有最小的正整数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数【答案】C【分析】自然数是大于等于0的整数，0是最小的自然数A正确；没有最小的正有理数，故B正确；1是最大的负整数，故C不正确；无最大非负数，D正确．【解答】解：A、0是最小的正整数，故本选项正确；B、没有最小的正有理数，故本选项正确；C、1是最大的负整数，故本选项错误；D、写出自然数列，0，1，2，3，n，易知无最大非负数，故本选项正确．故选：C．例3在数，0.4，，3.14，0.1010010001…（每两个之间多一个0），120%，，100，这9个数中，有理数有______个．例3【答案】7【解答】解：根据有理数的定义，0.4，，3.14，120%，，100，，这7个是有理数.例4把下列各数填入相应的大括号内上：.例4有理数集合：{…}；整数集合：{…}；非正数集合：{…}.【答案】有理数集合：{}；整数集合：{}；非正数集合：{}.变4把下列各数填在相应的集合里：3，﹣1，﹣2，0.5，，﹣0.75，0，30%，π．变4负数集合：{…}；整数集合：{…}；正有理数集合：{…}．【答案】见解析【解析】【分析】根据有理数的定义分类即可．【详解】解：负数集合：{﹣1，﹣2，，﹣0.75…}；整数集合：{3，﹣1，﹣2，0…}；正有理数集合：{3，0.5，，30%…}．故答案为：﹣1，﹣2，，﹣0.75；3，﹣1，﹣2，0；3，0.5，，30%．变5把下列各数填入相应的集合内：，3.5，+7，0，，0.3，15%，16.变5分数集合：{

…}；整数集合：{

…}；非正数集合：{

…}．【答案】；；【解析】【分析】根据有理数的分类“有理数包括整数（正整数，0和负整数）和分数（正分数个负分数）”进行判断即可得．【详解】解：由题意得，分数的集合：；整数的集合：；非正数集合：．课后强化课后强化1.在﹣1，0，+2020，，﹣0.27中，负数有（） A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据负数小于0判断即可．【解答】解：在﹣1，0，+2020，-54，﹣0.27中，负数有﹣1，-54，﹣故选：C．【点评】本题主要考查了正数和负数，熟记定义是解答本题的关键．2.在﹣2，﹣1.5，1，0，这些数中，是正数的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据正数和负数的定义解答即可．正数大于0，负数小于0．【解答】解：在﹣2，﹣1.5，1，0，13这些数中，是正数的有1，13共故选：B．3.下列说法正确的个数是（）①加正号的数是正数，加负号的数是负数；②任意一个正数，前面加上“－”，就是一个负数；③0是最小的正数；

④大于零的数是正数；⑤字母a既是正数，又是负数． A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】【分析】根据正数、负数的概念逐个判断即可．【详解】解：对于①：加正号的数不一定是正数，如+(5)=5是负数，加负号的数不一定是负数，如(5)=5是正数，故①错误；对于②：任意一个正数，前面加上“”，就是一个负数，故②正确；对于③：0既不是正数，也不是负数，故③错误；对于④：大于0的数是正数，故④正确；对于⑤：如果a是正数，就必定不是负数，故⑤错误；所以正确的有：②、④，故选：C．4.通常，我们规定海平面的海拔高度为0m，高于海平面的为正．珠穆朗玛峰的海拔高度为_______m，吐鲁番盆地的海拔高度为_______m．【答案】

+8844.43

－155【解析】【分析】根据负数的意义，可得海平面以上记作“+”，则海平面以下记作“”，据此解答即可．【详解】解：根据分析，可得珠穆朗玛峰的海拔高度为+8844.43m，吐鲁番盆地的海拔高度为155m．故答案为：+8844.43、155．5.《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣8℃表示气温为（） A．零上8℃B．零下8℃C．零上2℃D．零下2℃【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可．【解答】解：若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣8℃表示气温为零下8℃．故选：B．6.一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个，结果如下：第一个为0.13mm，第二个为﹣0.12mm，第三个为﹣0.15mm，第四个为0.11mm，则质量最差的零件为（） A．第一个B．第二个C．第三个D．第四个【分析】此题是理解误差的大小，无论正负，绝对值最小的零件质量最好，反之，绝对值最大的零件质量最差．【解答】解：∵|0.11|＜|﹣0.12|＜|0.13|＜|﹣0.15|，∴质量最差的零件是第三个．故选：C．【点评】此题考查的知识点是正数负数和绝对值，明确绝对值最大的零件与规定长度偏差最大是解题的关键．7.綦江区永辉超市出售的三种品牌大米袋上，分别标有质量为（10±0.2）kg，（10±0.3）kg，（10±0.25）kg的字样，从超市中任意拿出两袋大米，它们的质量最多相差（） A．0.4kgB．0.5kgC．0.55kgD．0.6kg【分析】根据正负数的意义，分别求出每种品牌的大米袋质量最多相差多少，再比较即可．【解答】解：根据