专题6.2一次函数

《讲亮点》20222023学年八年级数学上册教材同步配套讲练《苏科版》专题6.2一次函数【教学目标】掌握一次函数的概念，学会用解析式的方式表示一次函数；掌握正比例函数与一次函数的概念与区别；【教学重难点】1、掌握一次函数的概念，学会用解析式的方式表示一次函数；2、掌握正比例函数与一次函数的概念与区别；【知识亮解】知识点：一次函数的概念一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.一次函数有三种表示方法，如下：1、解析式法用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法。2、列表法把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。3、图像法用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。亮题一：一次函数的概念【方法点拨】一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，是正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。【例1】★若y＝（m﹣1）x2﹣|m|+3是关于x的一次函数，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．±2【分析】由一次函数的定义得关于m的方程，解出方程即可．【答案】解：∵函数y＝（m﹣1）x2﹣|m|+3是关于x的一次函数，∴2﹣|m|＝1，m﹣1≠0．解得：m＝﹣1．故选：B．【点睛】本题主要考查的是一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键．【例2】★（2020八下·邢台月考）若函数是一次函数，则m，n应满足的条件是（

）A.

m≠2且n=0

B.

m=2且n=2

C.

m≠2且n=2

D.

m=2且n=0【答案】C【考点】一次函数的定义，一次函数的性质【解析】【解答】∵函数是一次函数，∴，解得.故答案为：C.

【分析】根据一次函数的定义列出方程和不等式，即可求出m，n应满足的条件.【例3】★（2020八下·邢台月考）下列函数关系式：①y＝－2x；②y＝；③y＝－2；④y＝2；⑤y＝2x－1.其中是一次函数的是（

）A.

①⑤

B.

①④⑤

C.

②⑤

D.

②④⑤【答案】A【考点】一次函数的定义【解析】【解答】解：①y=2x是一次函数；②y＝自变量次数不为1，故不是一次函数；③y=2x2自变量次数不为1，故不是一次函数；④y=2是常函数；⑤y=2x1是一次函数．所以一次函数是①⑤．故答案为：A.【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．【例4】★下列式子:(1);(2);(3)(4);(5).其中是的一次函数的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】根据一次函数的概念可判断处（1）（2）（5）是一次函数【例5】★下列说法不成立的是()A.在中，与成正比例B.在中，与成正比例C.在中，与成正比例D.在中，与成正比例【答案】D【解析】D选项中y与x是一次函数【例6】★若与成正比例，与也成正比例，则:(1)是的一次函数吗?请说明理由.(2)在什么条件下，是的正比例函数.【答案】(1))当且时，该函数为一次函数，∴∴当，为任意实数时，它是一次函数.(2)当且且时，该函数为正比例函数∴，∴当，时，它是正比例函数【例7】★.（2020八下·金山月考）下列函数是一次函数的是（

）A.

B.

C.

D.

【答案】B【考点】一次函数的定义【解析】【解答】A．，不是一次函数，故A不符合题意B．，是一次函数，故B符合题意C．，是二次函数，不是一次函数，故C不符合题意D．，若k=0，不是一次函数，故D不符合题意故答案为：B【分析】根据一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k≠0，k、b是常数)的函数，叫做一次函数，进行判断即可．【亮点训练】1．已知一次函数的图象如图所示，则方程的解可能是（）A．x=1 B．x= C．x= D．x=1【答案】B【分析】先根据当时，得到，再根据当时，得到的取值范围．【详解】解：由一次函数图象可得，时，，∵，∴时，，∴，∵，∴，∵∴，故选：B．【点睛】本题考查一次函数的性质，解题的关键是根据图形确定时的取值范围．2．根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的的值为4时，输出的的值为5，则输入的值为3时，输出的的值为（）A．6 B．6 C．3 D．3【答案】A【分析】当x＝4时，4＞3，代入y＝2x＋b求出b的值；当x＝3时，代入y＝bx+3即可得出答案．【详解】解：当x＝4，时，代入y＝2x＋b得，解得，∴当x＝3时，．故选：A．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和函数值的求解，读懂程序图是解题的关键．3．若点在函数的图象上，则代数式的值等于（

）A． B．3 C． D．【答案】B【分析】先根据一次函数的定义得到，则，再把整体代入所求式子求解即可．【详解】解：点在函数的图象上，，∴，．故选：B．【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，代数式求值，熟知一次函数图象上的点满足一次函数解析式是解题的关键．4．若函数是一次函数，则m的值为（

）A．±1 B．﹣1 C．1 D．2【答案】B【分析】根据一次函数的定义进行计算即可．【详解】解：根据题意得，|m|＝1且m﹣1≠0，解得m＝±1且m≠1，所以，m＝﹣1．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．5．已知一次函数（k为常数，且），无论k取何值，该函数的图像总经过一个定点，则这个定点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先将一次函数解析式变形为，即可确定定点坐标．【详解】解：∵，当时，，∴无论k取何值，该函数的图像总经过一个定点；故选：B．【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，将一次函数变形为是解题的关键．二、填空题6．已知点P在直线上，且点P到y轴的距离为1，则点P的坐标为______．【答案】或【分析】根据点P到y轴的距离是1可得出点P的横坐标是，再求出其纵坐标的值即可．【详解】解：∵点P在直线上，且点P到y轴的距离是1，∴点P的横坐标是，∴当时，；当时，，∴点P的坐标为：或．故答案为：或．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．7．若函数是一次函数，那么m＝_____．【答案】【分析】根据一次函数定义，列式求解即可得答案．【详解】解：函数是一次函数，，，，故答案为：．【点睛】此题考查一次函数的概念，熟练掌握一次函数的概念并列出式子是解答此题的关键．8．在下列函数中，是自变量，是因变量，则一次函数有___，正比例函数有___．（将代号填上即可）①；②；③；④；⑤．【答案】

①③④

③【分析】根据一次函数及正比例函数的定义，即可一一判定．【详解】解：①是一次函数，不是正比例函数；②不是一次函数；③是正比例函数，因为正比例函数一定是一次函数，所以还是一次函数；④是一次函数；⑤既不是正比例函数也不是一次函数．故答案为：①③④，③．【点睛】本题考查了一次函数及正比例函数的定义，熟知正比例函数是一次函数的特例是解决本题的关键．9．我们把称为一次函数的“特征数”．如果“特征数”是的一次函数为正比例函数，则n的值为______．【答案】1【分析】根据正比例函数是截距为0的一次函数可得，进而求出n值即可．【详解】∵“特征数”是的一次函数为正比例函数，∴，解得：n＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查正比例函数的定义，理解新定义并掌握正比例函数的一般形式y=kx（k≠0），是解题关键．10．为了加强公民的节水和用水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的．某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过时，水费按每立方米元收费；超过时，不超过的部分每立方米仍按元收费，超过的部分每立方米按元收费．该市某户今年3、4月份的用水量和水费如下表所示：月份用水量（）水费（元）357.54927根据题意可知：____________；设某户该月用水量为，应交水费为（元），写出与之间的关系式____________．【答案】

【分析】根据3月份用水量与水费的关系可得的值，根据4月分用水量和水费的关系即可求得的值，根据题意写出与之间的关系式即可【详解】解：3月份的用水量为，水费为7.5元，未超过6，则解得4月份的用水量为，水费为27元，超过6∴解得设某户该月用水量为，应交水费为即故答案为：，【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列一次函数关系式是解题的关键．三、解答题11．已知与成正比例，且时，．求与之间的函数表达式．【答案】【分析】根据题意设，再利用待定系数法求解函数解析式即可．【详解】解：设（），把，代入得，解得，，与之间的函数表达式为．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，正比例函数的定义，根据题意设出是解本题的关键．12．已知与成正比例，且当时，．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)求当时，y的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由与成正比例，设再利用待定系数法求解函数解析式即可；（2）把代入求解函数值即可．【详解】（1）解：∵与成正比例，∴设当时，．∴解得：∴函数关系式为：即．（2）当时，∴【点睛】本题考查的是正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，求解函数值，掌握“待定系数法求解函数解析式”是解本题的关键．13．已知点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S．(1)求出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围；(2)当S=12时，求P的坐标．【答案】(1)S=4x+40，0<x<10(2)P（7，3）【分析】（1）首先把x+y=10，变形为y=10x，再利用三角形的面积求法：S=底×高÷2，可以得到S关于x的函数表达式，P在第一象限，故x＞0，再利用三角形的面积S＞0，可得到x的取值范围；（2）把S=12代入函数解析式即可．【详解】（1）根据题意，得A（8，0），P（x，y），且x+y=10，∴y=10x，∴OA=8，P（x，10x）∴S=×8(10x)=4x+40．又∵x>0，且10x>0，∴0<x<10．（2）当S=12时，即12=404x，解得x=7，∴y=107=3，∴S=12时，P点坐标（7，3）．【点睛】此题考查一次函数的性质，解题的关键是数形结合运用三角形的面积公式进行计算．14．已知函数y＝（m﹣1）x＋1﹣(1)当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数？(2)当m为何值时，这个函数是关于x的正比例函数？【答案】(1)m≠1(2)m＝﹣1【分析】（1）根据一次函数的形式，y=kx+b（k≠0），即可进行解答；（2）根据正比例函数的形式，y=kx（k≠0），即可进行解答．（1）解：∵函数y＝（m﹣1）x+1﹣是关于x的一次函数，∴m﹣1≠0，解得m≠1，即当m为不等于1的值时，这个函数是关于x的一次函数；（2）∵函数y＝（m﹣1）x+1﹣是关于x的正比例函数，∴m﹣1≠0且1﹣＝0，解得m＝﹣1，即当m为﹣1时，这个函数是关于x的正比例函数．【点睛】本题主要考查了正比例函数和一次函数的一般形式，熟练掌握相关内容是解题的关键．15．如图，在中，，，，点为边上一动点，当动点沿从点向点运动时，的面积发生了变化．设长为，的面积为．(1)求与的关系式；(2)当点运动到的中点时，的面积是多少？(3)若的面积为，则的长为多少？【答案】(1)(2)点运动到的中点时，的面积为(3)当的面积为时，的长为【分析】对于（1），根据三角形的面积公式用含有x的代数式表示y即可；对于（2），将代入关系式计算即可；对于（3），将代入关系式求出x即可．（1），所以与的关系式为；（2）当时，，所以点运动到的中点时，的面积为；（3）当时，，解得，所以当的面积为时，的长为．【点睛】本题主要考查了求函数关系式，求自变量，求函数值等，准确的计算是解题的关键．【培优检测】1．已知函数，（m，n是常数）是正比例函数，的值为（

）A．或0 B． C．0 D．【答案】D【分析】按正比例函数的定义解答，正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数，叫做正比例函数．【详解】∵函数，（m，n是常数）是正比例函数，∴，解得，，∴，∴．故选：D．【点睛】本题主要考查了正比例函数等，解决问题的关键是熟练掌握正比例函数的定义，解方程或不等式．2．一次函数y＝（m+3）x+m2﹣9的图象经过原点，则m的值为（）A．m＝﹣3 B．m＝3 C．m＝±3 D．m＝4【答案】B【分析】把（0，0）代入y＝（m+3）x+m2﹣9求解，注意m的取值范围．【详解】解：把（0，0）代入y＝（m+3）x+m2﹣9得m2﹣9＝0，解得m＝3或m＝﹣3，∵m+3≠0，∴m＝3．故选：B．【点睛】本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，注意一次函数一次项系数不为0．3．平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足．点Q为线段的中点，则点Q运动路径的长为(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】设点M的坐标为（0，m），点N的坐标为（n，0），则点Q的坐标为，根据，得出，然后分两种情况，或，得出与的函数关系式，即可得出Q横纵坐标的关系式，找出点Q的运动轨迹，根据勾股定理求出运动轨迹的长即可．【详解】设点M的坐标为（0，m），点N的坐标为（n，0），则点Q的坐标为，∵，∴，（，），∵当时，，∴，即，∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的负半轴上，坐标为（4，0），另一端在y轴的非负半轴上，坐标为（0，4），∴此时点Q的运动路径长为；∵当时，，∴，即，∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的正半轴上，坐标为（4，0），另一端在y轴的非负半轴上，坐标为（0，4），∴此时点Q的运动路径长为；综上分析可知，点Q运动路径的长为，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中的动点问题，根据题意找出点Q的运动轨迹是两条线段，是解题的关键．4．新定义：为一次函数（a，b为常数，且）关联数．若关联数所对应的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先依据题意得到函数关系式，然后依据正比例函数的定义求得m的值，最后解一元一次方程即可．【详解】解：∵[a，b]为一次函数y=ax+b（a，b为实数，且a≠0）的关联数，∴关联数[1，m+2]所对应的一次函数是y=x+m+2．又∵该函数为正比例函数，∴m+2=0，解得m=2．∴方程可变形为：，解得：x=1，∴方程的解为x=1．故选：C．【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，解一元一次方程，求得m的值是解题的关键．5．如图，在平面直角坐标系内，其中，．点，的坐标分别为，．将沿轴向右平移，当点落在直线时，线段扫过的面积为（

）A．16 B．20 C．32 D．38【答案】B【分析】根据勾股定理求得的长，进而求得平移的值，根据平行四边形的性质求解即可．【详解】解：∵点，的坐标分别为，∴，．当点落在直线时，解得∴平移后点B（7，0）平移了个单位线段扫过的面积为故选B【点睛】本题考查了平移的性质，求一次函数自变量的值，掌握平移的性质是解题的关键．二、填空题6．若y＝（k﹣1）+k+1是关于x的正比例函数，则k＝_____．【答案】1【分析】直接利用正比例函数的定义分析得出答案．【详解】解：∵y＝（k﹣1）x2﹣|k|+k+1，y是x的正比例函数，∴2﹣|k|＝1，且k﹣1≠0，k+1＝0，解得：k＝﹣1．故答案为：﹣1．【点晴】本题主要考查了正比例函数的定义，注意一次项系数不为零，正确理解正比例函数的概念是解题关键．7．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）有下面关系：那么弹簧总长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间关系式是____．x012345678y1212.51313.51414.51515.516【答案】y＝0.5x+12．【分析】通过弹簧伸长量和所挂物体质量关系，即可得出弹簧总长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间关系式．【详解】由表可知弹簧原厂12cm，每挂上1kg的重物弹簧伸长0.5cm∴弹簧总长y（cm）与所挂重物x（kg）之间的函数关系式为y＝0.5x+12故答案为：y＝0.5x+12．【点睛】本题考察了一次函数的知识；求解的关键是熟练掌握一次函数的性质，准确运用到实际问题中，即可完成求解．8．正方形按如图放置，其中点在轴的正半轴上，点在直线上，则点的坐标为__________．【答案】【分析】根据题意，分别表示出，，，，，进而代入中进行求解即可得解．【详解】设正方形的边长为t，则代入得，则；设正方形的边长为a，则代入得，则；设正方形的边长为b，则代入得，则；设正方形的边长为c，则代入得，则；设正方形的边长为d，则代入得，则，故答案为：．【点睛】本题属于平面直角坐标系中的规律题，通过准确设点代入求值是解决本题的关键．9．在平面直角坐标系中，点P是直线上的动点，过点P作直线l垂直于x轴，直线l与直线相交于点Q，设点P的横坐标为m，当PQ>6时，m的取值范围是____________．【答案】【分析】根据题意分别设，，令进行计算即可得解．【详解】设，∵PQ>6∴∴∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一次函数的动点问题，掌握通过设点的方式用绝对值表示两点之间距离的方法是解决本题的关键．10．我们把[a，b]称为一次函数y＝ax+b的“特征数”．如果“特征数”是[2，n+1]的一次函数为正比例函数，则n的值为_____．【答案】﹣1【分析】根据正比例函数是截距为0的一次函数可得n+1=0，进而求出n值即可．【详解】∵“特征数”是[2，n+1]的一次函数为正比例函数，∴n+1＝0，解得：n＝﹣1，故答案为：﹣1．【点睛】本题考查正比例函数的定义，理解新定义并掌握正比例函数的一般形式y=kx（k≠0），是解题关键．三、解答题11．已知y是x的正比例函数，当x＝﹣2时，y＝14．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当﹣3≤x≤5时，y的最大值是_________．【答案】(1)y＝﹣7x(2)21【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据一次函数的性质，在﹣3≤x≤5内，当x＝﹣3时，函数值最大，把x＝﹣3代入求得即可．（1）解：∵y是x的正比例函数，设y＝kx，∴当x＝﹣2时，y＝14，∴14＝﹣2k，解得，k＝﹣7，∴y＝﹣7x；（2）∵k＝﹣7＜0，∴y随x的增大而减小，∴在﹣3≤x≤5内，当x＝﹣3时，函数值最大，此时，y＝﹣7×（﹣3）＝21，∴函数最大值是21．故答案为：21．【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，一次函数的性质，一次函数图像上点的坐标特征，求得正比例函数的解析式是解题的关键．12．已知：y与成正比例，当时，．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当自变量x满足_______时相应的函数值满足．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可设y与x之间的函数关系式为，再将时，代入，求出k的值，即可得出y与x之间的函数关系式；（2）由y的取值范围，可确定2x+1的取值范围，再解出x的解集即可．（1）∵y与成正比例，∴设y与x之间的函数关系式为．∵当时，，∴，解得：，∴y与x之间的函数关系式为；（2）∵，∴解得：故答案为：．【点睛】本题考查正比例函数的定义，利用待定系数法求函数解析式，解一元一次不等式组．利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式是解题关键．13．已知函数，(1)当m、n为何值时，此函数是一次函数？(2)当m、n为何值时，此函数是正比例函数？【答案】(1)(2)n=1，m=1【分析】（1）根据一次函数的定义知，且，据此可以求得、的值；（2）根据正比例函数的定义知，，据此可以求得、的值．（1）解：当函数是一次函数时，，且，解得，，；（2）解：当函数是正比例函数时，，解得，，．【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数是一次函数的一种特殊形式．14．如图，直线y＝﹣x＋6与x轴交于C，与y轴交于A，过C、A分别作x轴，y轴的垂线交于点B，P是线段BC上的一个动点．(1)求A，C坐标；(2)若点Q（a，2a﹣6）位于第一象限内，问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由．【答案】(1)A（0，6），C(8，0）(2)能，4或【分析】（1）分别将x＝0和y＝0代入即可求出A，C坐标；（2）分两种情况：作辅助线，构建两个全等三角形，通过AE＝FQ列关于a的方程，解出即可．（1）解：当x＝0时，y＝6，∴A（0，6），当y＝0时，﹣x＋6＝0，解得x＝8，∴C（8，0）；（2）解：由题可知：点Q是直线y＝2x﹣6上一点，如图1，过Q作EF⊥y轴，交y轴于E，交直线CB于F，∵Q（a，2a﹣6），∴AE＝2a﹣6﹣6＝2a﹣12，FQ＝8﹣a，∵△APQ是等腰直角三角形，∴AQ＝PQ，∠AQP＝90°，∴∠EQA＋∠PQF＝90°，∵∠AEQ＝90°，∴∠EAQ＋∠EQA＝90°，∴∠PQF＝∠EAQ，在△AQE和△QPF中，∵，∴△AQE≌△QFP（AAS），∴AE＝FQ，∴2a﹣12＝8﹣a，解得a＝；如图2，过Q作EF⊥y轴，交y轴于E，交直线CB于F，∵Q（a，2a﹣6），∴AE＝6﹣（2a﹣6）＝12﹣2a，FQ＝8﹣a，同理得：△AQE≌△QFP，∴AE＝FQ，∴12﹣2a＝8﹣a，解得a＝4；综上所述，点A、P、Q能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，a的值是4或．【点睛】本题考查了等腰直角三角形、矩形、全等三角形的性质和判定、一次函数图象上点的坐标特征等知识点，通过作辅助线构建两个全等三角形，并利用点Q的坐标表示线段AE和FQ的长，是解题的关键．15．临近