第4讲整式方程和分式方程（讲义）原卷版

第4讲整式方程和分式方程模块一：整式方程知识精讲如果一元次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程，关于x的一元n次二项方程的一般形式为:．为奇数时，方程有且只有一个实数根；为偶数时，若，方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；若，那么方程没有实数根．2．一般地，只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程．关于的双二次方程的一般形式为（，，）．3．了解关于的双二次方程（，，），可以用新未知数代替方程中的，同时用代替，将这个方程转化为关于的一元二次方程．这种解方程的方法是换元法．4．整式方程和分式方程统称为有理方程．例题解析例1.下列关于的方程中，为一元整式方程的是（ ）A． B． C． D．例2.判断下列关于x的方程，哪些是一元整式方程，并指出这些整式方程分别是一元几次方程?①； ②； ③；④； ⑤； ⑥．例3（松江2018期中6）二项方程的实数根是.例4（崇明2018期中12）关于x的方程的解是.例5（杨浦2019期中11）关于x的方程：是二项方程，k=.例6（静安2018期末10）如果关于x的方程bx2＝2有实数解，那么b的取值范围是．例7.（1）若关于的方程的解为2，则__________；（2）若方程的一个根是，则__________．例8.若关于的二项方程没有实数根，则的取值范围是（ ）A．； B．； C．； D．；例9.关于的方程实数根的情况是（ ）A．1个 B．2个 C．1个或2个 D．不确定例10.如果．为常数，关于的方程，无论为何值，方程的解总是，则m=___________，n=____________．例11.解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）．例12.解下列方程：（1）；（2）．例13.解下列方程：（1）； （2）；（3）．例14.关于的方程，分别求m、n为何值时，原方程：（1）有唯一解；（2）有无数多解；（3）无解．例15.解下列方程：（1）（）；（2）（）．例16.已知是正整数，且使得关于的一元二次方程至少有一个整数根，求的值．模块二：分式方程知识精讲分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根．例题解析例1.（静安2019期末1）下列方程中，是分式方程的为（）A.；B.；C.；D..例2.（浦东一署2018期中4）用换元法解方程组时，如设，则将原方程组可化为关于u和v的整式方程组（）A. B. C. D.例3.（金山2018期中13）分式和的值相等，那么x=.例4.（静安2019期末10）方程的根是.例5.（黄浦2018期中10）方程的增根是______.例6.（嘉定2019期末12）如果是关于x的方程的增根，那么实数k的值为.例7.（金山2018期中10）用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是.例8．（浦东四署2018期中12）用换元法解方程，并设，那么原方程可化为关于的整式方程是．例9.（松江2019期中15）用换元法解方程时，如果设时，则原方程可以化成关于y的整式方程是_______________.例10．（青浦2018期末12）已知方程，如果设，那么原方程可以变形为关于y的整式方程为．例11．（闵行2018期末10）已知方程，如果设，那么原方程可以变形为关于y的整式方程是．例12.（静安2019期末11）已知方程，如果设，那么原方程可以变形成关于y的方程为.例13.（松江2018期中19）解方程：例14．（静安2018期末21）解方程：.例15.（崇明2018期中21）.例16.（浦东2018期末19）解方程：．例17.（松江2018期中22）解方程：.例18.解下列分式方程： （1）； （2）．例19.解下列分式方程： （1）； （2）．例20.若方程有增根，求的值．例21.解方程：例22.解方程： （1）； （2）．例23.解下列方程：（1）；（2）；（3）．例24.已知关于的方程有增根，求的值．例25.当取什么整数时，关于的方程只有一个实数根，并求此实数根．例26.解已知关于的方程（1）求的取值范围，使得方程有实数根；（2）求的取值范围，使得方程恰有一个实数根；（3）若原方程的两个相异的实数根为，且，求的值．随堂检测1.在方程：①，②，③，④中，是分式方程的有（ ）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④2.下列方程中，有实数根的是（ ）A． B． C． D．3.下列方程中，不是二项方程的为（ ） A．； B． C． D．4.（1）若分式的值为0，则的值等于__________；（2）若分式无意义，当时，则__________5.（1）用换元法解方程时，如设，则将原方程化为关于的整式方程是___________；（2）若关于的方程无解，则__________．6.解下列方程：（1）； （2）．7.解下列方程：（1）； （2）；（3）．8.解下列方程：（1）； （2）．9.解下列分式方程：（1