专题13一次函数中的规律问题

专题13一次函数中的规律问题考点一一次函数中与坐标有关的规律【方法点拨】从简单图形入手，抓住随着“序号”或“编号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加情况的变化，找出点的变化规律1．如图，直线OD与x轴所夹的锐角为30°，OA1的长为1，△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3、…、△AnAn+1Bn均为等边三角形，点A1、A2、A3、…、An+1在x轴的正半轴上依次排列，点B1、B2、B3、…、Bn在直线OD上依次排列，那么B2019的坐标为（3×22017，3×22017）【分析】根据等边三角形的性质和∠B1OA2＝30°，得∠B1OA2＝∠A1B1O＝30°，得到OA2＝2OA1＝2，同理求得OAn＝2n﹣1，根据含30°角的直角三角形的性质可求得△AnBnAn+1的边长，得到点B2019的坐标．【解析】解：∵△A1B1A2为等边三角形，∴∠B1A1A2＝60°，∵∠B1OA2＝30°，∴∠B1OA2＝∠A1B1O＝30°，∴OA2＝2OA1＝2，同理可得，OAn＝2n﹣1，∵∠BnOAn+1＝30°，∠BnAnAn+1＝60°，∴∠BnOAn+1＝∠OBnAn＝30°，∴BnAn＝OAn＝2n﹣1，即△AnBnAn+1的边长为2n﹣1，则可求得其高为32×2n﹣1=3×2∴点Bn的横坐标为12×2n﹣1+2n﹣1=32×2n﹣1＝3×∴点Bn的坐标为（3×2n﹣2，3×2n﹣2∴点B2019的坐标为（3×22017，3×22017故答案为（3×22017，3×22017【点拨】本题主要考查等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，根据条件找到等边三角形的边长和OA1的关系是解题的关键．2．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y=33x上，则B2016的坐标是（20163，2016【分析】过B1作B1C⊥x轴，垂足为C，由条件可求得∠B1OC＝30°，利用直角三角形的性质可求得B1C＝1，OC=3，可求得B1的坐标，同理可求得B2、B3的坐标，则可得出规律，可求得B2016【解析】解：如图，过B1作B1C⊥x轴，垂足为C，∵△OAB1是等边三角形，且边长为2，∴∠AOB1＝60°，OB1＝2，∴∠B1OC＝30°，在RtB1OC中，可得B1C＝1，OC=3∴B1的坐标为（3，1），同理B2（23，2）、B3（33，3），∴Bn的坐标为（n3，n），∴B2016的坐标为（20163，2016），故答案为：（20163，2016）．【点拨】本题为规律型题目，利用等边三角形和直角三角形的性质求得B1的坐标，从而总结出点的坐标的规律是解题的关键．3．如图，已知直线AB的解析式为y=33x﹣1，且与x轴交于点A于y轴交于点B，过点A作作直线AB的垂线交y轴于点B1，过点B1作x轴的平行线交AB于点A1，再过点A1作直线AB的垂线交y轴于点B2…，按此作法继续下去，则点B1的坐标为（0，3），A1009的坐标（220183，22018﹣1【分析】根据所给直线解析式可得l与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点A1，A2的坐标，通过相应规律得到A1009坐标即可．【解析】解：∵直线AB的解析式为y=33x﹣∴直线AB与x轴的夹角为30°，∴∠ABO＝60°，OA=3，OB＝1∵过点A作作直线AB的垂线交y轴于点B1，∴∠OAB1＝60°，∴B1O＝OA•tan60°=3×∴B1（0，3），∵过点B1作x轴的平行线交AB于点A1，∴把y＝3代入y=33x﹣1得，3=33解得x＝43，∴A1（43，3），∵∠B1A1B2＝60°，∴B1B2＝A1B1•tan60°＝43×∴OB2＝15，把y＝5×3代入y=33x﹣1得，5×3=33解得x＝163，∴A2（243，15），…∴A1009坐标为（220183，22018﹣1）．故答案为（0，3），（220183，22018﹣1）．【点拨】本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到A、A1、A2、A3…的点的坐标是解决本题的关键．4．如图，已知直线l：y＝﹣x+4，在直线l上取点B1，过B1分别向x轴，y轴作垂线，交x轴于A1，交y轴于C1，使四边形OA1B1C1为正方形；在直线l上取点B2，过B2分别向x轴，A1B1作垂线，交x轴于A2，交A1B1于C2，使四边形A1A2B2C2为正方形；按此方法在直线l上顺次取点B3，B4，…，Bn，依次作正方形A2A3B3C3，A3A4B4C4，…，An﹣1AnBn∁n，则A3的坐标为（72，0），B5的坐标为（318，1【分析】先根据直线y＝﹣x+4计算与两坐标轴的交点可得：OE＝OF＝4，因为△EOF是等腰直角三角形，所以得△B1C1E是等腰直角三角形，再由正方形的边长相等得：C1是OE的中点，同理得：C2是A1B1的中点，C3是A2B2的中点，…，所以可得所求各点的坐标．【解析】解：当x＝0，y＝4，当y＝0时，﹣x+4＝0，x＝4，∴OE＝OF＝4，∴△EOF是等腰直角三角形，∴∠C1EF＝45°∴△B1C1E是等腰直角三角形，∴B1C1＝EC1，∵四边形OA1B1C1为正方形，∴OC1＝C1B1＝EC1＝2，∴B1（2，2），A1（2，0），同理可得：C2是A1B1的中点，∴B2（2+1＝3，1），A2（3，0），B3（2+1+12=72，12），AB4（72+14=154，14B5（154+1故答案为：（72，0），（318，【点拨】本题是一次函数和正方形性质的应用，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，做题时要注意数形结合思想的运用，依次找出点的坐标计算规律，利用规律解决问题．考点二一次函数中与面积有关的规律【方法点拨】从简单图形入手，抓住随着“序号”或“编号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加情况的变化，找出面积的变化规律1．如图，点A1（2，2）在直线y＝x上，过点A1作A1B1∥y轴交直线y=12x于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A2B2∥y轴，分别交直线y＝x和y=12x于A2，B2两点，以点A2为直角顶点，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2…，按此规律进行下去，则等腰直角△AnBn∁n的面积为3【分析】先根据点A1的坐标以及A1B1∥y轴，求得B1的坐标，进而得到A1B1的长以及△A1B1C1面积，再根据A2的坐标以及A2B2∥y轴，求得B2的坐标，进而得到A2B2的长以及△A2B2C2面积，最后根据根据变换规律，求得AnBn的长，进而得出△AnBn∁n的面积即可．【解析】解：∵点A1（2，2），A1B1∥y轴交直线y=12x于点B∴B1（2，1）∴A1B1＝2﹣1＝1，即△A1B1C1面积=12×1∵A1C1＝A1B1＝1，∴A2（3，3），又∵A2B2∥y轴，交直线y=12x于点B∴B2（3，32∴A2B2＝3-32=32，即△A2B2C2面积=1以此类推，A3B3=94，即△A3B3C3面积=12×（A4B4=278，即△A4B4C4面积=12×（…∴AnBn＝（32）n﹣1，即△AnBn∁n的面积=12×[（32）n﹣故答案为：3【点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是通过计算找出变换规律，根据AnBn的长，求得△AnBn∁n的面积．解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．2．如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=12x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（12，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则第4个正方形的边长是6，S3的值为81【分析】根据直线解析式判断出直线与正方形的边围成的三角形是底是高的2倍，再根据点A的坐标求出正方形的边长并得到变化规律表示出第4个正方形的边长，然后根据阴影部分的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上梯形的面积再减去一个直角三角形的面积列式求解并根据结果的规律解答即可．【解析】解：易知：直线y=12x与正方形的边围成的三角形直角边底是高的∴后一个正方形的边长是前一个正方形边长的32∵A（12，4），∴第三个正方形的边长为4，∴第四个正方形的边长为6；易知，一系列的阴影三角形均为相似三角形，相似比为94S2＝42+62-12×4×4-12×2×6-∴S3＝8×（94）2=故答案为：6、812【点拨】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，依次求出各正方形的边长是解题的关键，难点在于求出阴影Sn所在的正方形和正方形的边长．考点二一次函数中与长度有关的规律【方法点拨】从简单图形入手，抓住随着“序号”或“编号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加情况的变化，找出线段的变化规律1．如图，在平面直角坐标系中，△A1B1C1、△A2B2C2、△A3B3C3、…、△AnBn∁n均为等腰直角三角形，且∠C1＝∠C2＝∠C3＝…＝∠∁n＝90°，点A1、A2、A3、…、An和点B1、B2、B3、…、Bn分别在正比例函数y=12x和y＝﹣x的图象上，且点A1、A2、A3、…、An的横坐标分别为1，2，3…n，线段A1B1、A2B2、A3B3、…、AnBn均与y轴平行．按照图中所反映的规律，则△AnBn∁n的顶点∁n的坐标是（7n4，-n4）；线段C2018C2019的长是【分析】先求出A1（1，12），B1（1，﹣1），得出A1B1=12-（﹣1）=32，根据等腰直角三角形的性质求出C1的坐标，再分别求出C2、C3、C4的坐标，得出规律，进而求出∁n的坐标；分别计算线段C1C2、C2C3、C3C4【解析】解：∵x＝1时，y=12x=12，y＝﹣∴A1（1，12），B1（1，﹣1∴A1B1=12-（﹣1∵△A1B1C1为等腰直角三角形，∴C1的横坐标是1+12A1B1=74，C1的纵坐标是﹣1+12∴C1的坐标是（74，-∵x＝2时，y=12x＝1，y＝﹣x＝﹣∴A2（2，1），B2（2，﹣2），∴A2B2＝1﹣（﹣2）＝3，∵△A1B1C1为等腰直角三角形，∴C2的横坐标是2+12A2B2=72，C2的纵坐标是﹣2+12∴C2的坐标是（72，-同理，可得C3的坐标是（214，-34）；C4的坐标是（7…∴△AnBn∁n的顶点∁n的坐标是（7n4，∵C1C2=(C2C3=(C3C4=(7-…∴C2018C2019=5故答案为（7n4，-n【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，规律型﹣图形的变化类，两点间的距离．正确求出C1、C2、C3、C4的坐标是解题的关键．2．已知一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P在该函数的图象上，P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2．（1）当P为线段AB的中点时，求d1+d2的值；（2）直接写出d1+d2的范围，并求当d1+d2＝3时点P的坐标；（3）若在线段AB上存在无数个P点，使d1+ad2＝4（a为常数），求a的值．【分析】（1）对于一次函数解析式，求出A与B的坐标，即可求出P为线段AB的中点时d1+d2的值；（2）根据题意确定出d1+d2的范围，设P（m，2m﹣4），表示出d1+d2，分类讨论m的范围，根据d1+d2＝3求出m的值，即可确定出P的坐标；（3）设P（m，2m﹣4），表示出d1与d2，由P在线段上求出m的范围，利用绝对值的代数意义表示出d1与d2，代入d1+ad2＝4，根据存在无数个点P求出a的值即可．【解析】解：（1）对于一次函数y＝2x﹣4，令x＝0，得到y＝﹣4；令y＝0，得到x＝2，∴A（2，0），B（0，﹣4），∵P为AB的中点，∴P（1，﹣2），则d1+d2＝3；（2）①d1+d2≥2；②设P（m，2m﹣4），∴d1+d2＝|m|+|2m﹣4|，当0≤m≤2时，d1+d2＝m+4﹣2m＝4﹣m＝3，解得：m＝1，此时P1（1，﹣2）