2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4.16.4.2平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例素养检测含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时素养检测十平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20N,当它们的夹角为120°时,合力大小为 ()A.40N B.10QUOTENC.20QUOTEN D.40QUOTEN【解析】选B.如图,以F1,F2为邻边作平行四边形,F为这两个力的合力.由题意,易知|F|=QUOTE|F1|,|F|=20N,所以|F1|=|F2|=10QUOTEN.当它们的夹角为120°时,以F1,F2为邻边作平行四边形,此平行四边形为菱形,此时|F合|=|F1|=10QUOTEN.2.若点O是△ABC所在平面内一点,且满意|-|=|+-2|,则△ABC的形态是 ()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形【解析】选B.因为|-|=||=|-|,|+-2|=|+|,所以|-|=|+|,所以四边形ABDC是矩形,且∠BAC=90°.所以△ABC是直角三角形.【补偿训练】若四边形ABCD满意+=0,(-)·=0,则该四边形肯定是 ()A.正方形 B.矩形C.菱形 D.直角梯形【解析】选C.因为+=0,所以=,四边形ABCD是平行四边形,由(-)·=0,得·=0,所以⊥,即此四边形对角线相互垂直,故为菱形.3.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且++=0,则△ABC的内角A等于 ()A.30° B.60° C.90° D.120°【解析】选A.由++=0,得=-,两边平方得=+-2·,由于||=||=||,则||2=2||||cos∠BOC,所以cos∠BOC=QUOTE,则∠BOC=60°,所以∠A=QUOTE∠BOC=30°.【补偿训练】已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3+4+5=0,则·的值为 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为3+4+5=0,所以3+4=-5,所以9+24·+16=25.因为A,B,C在圆上,所以||=||=||=1.代入原式得·=0,所以·=-QUOTE(3+4)·(-)=-QUOTE(3·+4-3-4·)=-QUOTE.4.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3的作用而处于平衡状态.已知F1与F2的夹角为60°,且F1,F2的大小分别为2N和4N,则F3的大小为 ()A.6N B.2N C.2QUOTEN D.2QUOTEN【解析】选D.由向量的平行四边形法则及力的平衡,得|F3|2=|-F1-F2|2=|F1|2+|F2|2+2|F1|·|F2|·cos60°=22+42+2×2×4×QUOTE=28,所以|F3|=2QUOTEN.5.在四边形ABCD中,∠B=120°,∠C=150°,且AB=3,BC=1,CD=2,则AD的长所在区间为 ()A.(2,3) B.(3,4) C.(4,5) D.(5,6)【解析】选C.=++,其中与的夹角为60°,与的夹角为30°,与的夹角为90°,则||2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=9+1+4+2×3×1×QUOTE+2×1×2×QUOTE+0=17+2QUOTE∈(16,25),所以||∈(4,5).6.(多选题)小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时,设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列说法中正确的是 ()A.绳子的拉力不断增大 B.绳子的拉力不断变小C.船的浮力不断变小 D.船的浮力保持不变【解析】选AC.设水的阻力为f,绳的拉力为F,F与水平方向的夹角为θ,0<θ<QUOTE.则|F|cosθ=|f|,所以|F|=QUOTE.因为θ增大,cosθ减小,所以|F|增大.因为|F|sinθ增大,且船的重力为|F|sinθ与浮力之和,所以船的浮力减小.二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知O为坐标原点,点A(3,0),B(4,4),C(2,1),则AC和OB的交点P的坐标为______.

【解析】设=t=t(4,4)=(4t,4t),则=-=(4t-3,4t),=(2,1)-(3,0)=(-1,1).由,共线,得(4t-3)×1-4t×(-1)=0,解得t=QUOTE.所以=(4t,4t)=QUOTE,所以点P的坐标为QUOTE.答案:QUOTE8.在倾斜角为37°(sin37°=0.6),高为2m的斜面上,质量为5kg的物体m沿斜面下滑至底部,则斜面对物体m的支持力所做的功为______J,重力所做的功为__

J(g=9.8m/s2).【解析】物体m的位移大小为|s|=QUOTE=QUOTE(m),则支持力对物体m所做的功为W1=F·s=|F||s|·cos90°=0(J);重力对物体m所做的功为W2=G·s=|G||s|cos53°=5×9.8×QUOTE×0.6=98(J).答案:098三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),(1)若∥,求x与y间的关系式;(2)若又有⊥,求x,y的值及四边形ABCD的面积.【解析】(1)因为=++=(6,1)+(x,y)+(-2,-3)=(4+x,y-2),所以=(-4-x,2-y).由∥,得x(2-y)-y(-4-x)=0.整理得2x-xy+4y+xy=0,即x+2y=0.(2)因为=+=(6,1)+(x,y)=(6+x,y+1),=+=(x,y)+(-2,-3)=(x-2,y-3),由⊥,所以(6+x)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.整理得x2+4x-12+y2-2y-3=0.由(1)可知y=-QUOTEx,代入上式得x2+4x-12=0.解得x1=-6,x2=2.相应求得y1=3,y2=-1,即QUOTE或QUOTE如图,S四边形ABCD=S△BCD+S△ABD=QUOTE||||+QUOTE||||=QUOTE||||,又=(x1-2,y1-3)=(-8,0)或=(x2-2,y2-3)=(0,-4),=(6+x1,y1+1)=(0,4)或=(6+x2,y2+1)=(8,0),所以||=8或4,||=4或8,所以QUOTE=16.10.某人在一条河中游泳,河水的流速为3km/h,此人在静水中游泳的速度为4km/h.(1)假如他径直游向河对岸,他实际是沿什么方向前进?速度大小为多少?(2)他必需朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?【解析】(1)设水流速度为,此人游泳的速度为,以,为邻边作矩形OACB,则此人实际的速度为=+.由||=3,||=4,及勾股定理,得||=5,且在Rt△OAC中,∠AOC≈53°8′.故此人实际是沿与水流方向的夹角为53°8′的方向前进的,速度大小为5km/h.(2)设水流速度为,实际游泳的速度为,实际前进的速度为,则+=,所以四边形OABC为平行四边形.据题意,⊥,||=3,||=4,则在Rt△AOB中,||=QUOTE=QUOTE.cos∠BAO=QUOTE,所以∠BAO≈41°25′.故此人应沿与河岸的夹角为41°25′且逆着水流的方向前进,实际前进的速度大小为QUOTEkm/h.【补偿训练】一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000km到达B地,然后向C地飞行.设C地恰好在A地的南偏西60°,并且A、C两地相距2000km,求飞机从B地到C地的位移.【解析】如图所示,设A在东西基线和南北基线的交点处.依题意,的方向是北偏西60°,||=1000km;的方向是南偏西60°,||=2000km,所以∠BAC=60°.过点B作东西基线的垂线,交AC于点D,则△ABD为正三角形.所以BD=CD=1000km,∠CBD=∠BCD=QUOTE∠BDA=30°.所以∠ABC=90°.BC=AC·sin60°=2000×QUOTE=1000QUOTE(km),||=1000QUOTE(km).所以,飞机从B地到C地的位移大小是1000QUOTEkm,方向是南偏西30°.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.在△ABC中,设=a,=b,=c,若a·b=b·c=c·a,则△ABC的形态为 ()A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【解析】选B.因为a·b=b·c,所以(a-c)·b=0,而由向量加法的三角形法则可知,a+b+c=0,所以b=-a-c,所以(a-c)·(-a-c)=0,即(a-c)·(a+c)=0,得到a2-c2=0,a2=c2,即|a|2=|c|2,也就是|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,所以|a|=|b|=|c|.故△ABC是等边三角形.2.在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则QUOTE= ()A.2 B.4 C.5 D.10【解析】选D.将△ABC各边及PA,PB,PC均用向量表示,则QUOTE====-6=42-6=10.3.点O是△ABC所在平面内的一点,满意·=·=·,则点O是△ABC的 ()A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高线的交点【解析】选D.由·=·,得·-·=0,所以·(-)=0,即·=0.所以⊥.同理可证⊥,⊥.所以OB⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB,即点O是△ABC的三条高线的交点.4.(多选题)在直角△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列等式成立的是 ()A.||2=·B.||2=·C.||2=·D.||2=【解析】选ABD.·=·(+)=+·==||2,A正确;同理||2=·成立,B正确;又===||2,D正确.二、填空题(每小题5分,共20分)5.已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上),大小为50N,一个质量为8kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20m.则力F所做的功是________,摩擦力f所做的功是________.(g=10m/s2)

【解析】设木块的位移为s,则F·s=|F||s|cos30°=50×20×QUOTE=500QUOTE(J).将力F分解,它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|=|F|sin30°=50×QUOTE=25(N),所以摩擦力f的大小为|f|=|μ(G-F1)|=(80-25)×0.02=1.1(N).因此f·s=|f||s|cos180°=1.1×20×(-1)=-22(J).即F和f所做的功分别是500QUOTEJ和-22J.答案:500QUOTEJ-22J6.如图,已知在Rt△OAB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2,点M在OB上,且OM=1,点N在OA上,且ON=1,P为AM与BN的交点,则∠MPN=________.

【解析】设=a,=b,与的夹角为θ,则=QUOTEb,=QUOTEa,又因为=-=QUOTEb-a,=-=QUOTEa-b.所以·=QUOTE·QUOTE=-5,又||=QUOTE,||=QUOTE,所以cosθ=QUOTE=-QUOTE.又因为θ∈[0,π],所以θ=QUOTE,又因为∠MPN为向量,的夹角,所以∠MPN=QUOTE.答案:QUOTE7.已知O为△ABC所在平面内的一点,满意||2+=||2+||2=||2+||2,则O是△ABC的________.

【解析】设=a,=b,=c,则=c-b,=a-c,=b-a.由题意可知|a|2+|c-b|2=|b|2+|a-c|2,化简可得c·b=a·c,即(b-a)·c=0,即·=0,故⊥,即OC⊥AB.同理可得OB⊥AC,OA⊥BC,故O是△ABC的垂心.答案:垂心8.如图所示,在△ABC中,D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点,G是它的重心,已知D点的坐标是(1,2),E点坐标是(3,5),F点坐标是(2,7),则A点坐标为________,G点坐标为________.

【解析】设A(x1,y1),由已知得EF平行且等于AD.所以=.所以(x1-1,y1-2)=(2-3,7-5)=(-1,2).所以QUOTE即QUOTE所以A(0,4).因为AE过点G.设G(x2,y2),由=2得(x2,y2-4)=2(3-x2,5-y2),所以QUOTE即QUOTE所以G(2,QUOTE).答案:(0,4)(2,QUOTE)三、解答题(每小题10分,共30分)9.一条宽为QUOTEkm的河,水流速度的大小为2km/h,在河两岸有两个码头A,B,已知AB=QUOTEkm,船在水中最大航速的大小为4km/h,问该船从A码头到B码头怎样支配航行速度可使它最快到达彼岸B码头?用时多少?【解析】如图所示,设为水流速度,为航行速度,以AC和AD为邻边作▱ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸,依据题意AC⊥AE,在Rt△ADE和▱ACED中,||=||=2,||=4,∠AED=90°,