江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

第第页丰城九中2024-2025上学期初三入学考试试卷数学一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1.数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（）A.三叶玫瑰线 B.四叶玫瑰线C.心形线 D.笛卡尔叶形线2.小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（）A. B. C. D.3.如图，绕点A按顺时针方向旋转后与重合，连接，则（）A. B. C. D.4.如图，AB为的直径，点C，D在上．若，则的度数是（）A B. C. D.5.关于x的方程ax2﹣2x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A.a≥﹣1 B.a＞﹣1 C.a≥﹣1且a≠0 D.a＞﹣1且a≠06.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＜0；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c=0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤当x＞0时，y随x增大而减小．其中结论正确个数是（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为_________．8.将抛物线向右移1单位，上移2单位所得到的新抛物线解析式为________．9.某小区规划在一个长为40米，宽为米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AB垂直，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为2米，则甬路的宽度为________米．10.如图，四边形内接于是直径，过C点的切线与的延长线交于P点，若，则的度数为___________．11.如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，P是以CD为直径的半圆上的一个动点，连接BP，则BP的最大值是_____．12.已知，正六边形的边长为2，点P在它的边上，当为等腰三角形时，的长为______．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）解方程；（2）已知：如图，、为的半径，、分别为、的中点，求证：．14.先化简，再求值：，其中是一元二次方程的根．15.如图，在网格中（每个小正方形的边长都是1），线段的两个端点都在格点上，，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段．（1）旋转过程中点A运动的路径长为______；（2）在网格中用无刻度直尺作图：（不写作法，保留作图痕迹）①画出线段，则点C的坐标为______；②作出的外心O．16.一个不透明的口袋中装有3个红球和9个白球，它们除颜色外完全相同．（1）判断事件“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是什么事件，并写出其发生的概率；（2）现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，充分摇匀后，若从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，则取走了多少个白球？17.如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接．（1）若，求的度数；（2）若，，求的长．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.已知

关于x的一元二次方程．求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；当的斜边长，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求的周长．19.由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元．（1）求出这两次价格上调的平均增长率；（2）在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包．当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？20.如图，点E是正方形的边延长线上一点，且，连接交于点O，以点O为圆心，为半径作，交线段于点F．（1）求证：是的切线；（2）若，求阴影部分的面积．五、（本大题共2小题，每小题9分）21.九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”，求函数的“旋转函数”．小组同学是这样思考的，由函数可知，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参照小组同学的方法解决下面问题：（1）函数“旋转函数”是；（2）若函数与互为“旋转函数”，求的值；（3）已知函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是，试求证：经过点的二次函数与互为“旋转函数”．22.九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动．（1）操作探究：如图1，为等腰三角形，，将绕点O旋转，得到，连接，F是AE的中点，连接，则°，与的数量关系是；（2）迁移探究：如图2，（1）中其他条件不变，当绕点O逆时针旋转，点D正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系；（3）拓展应用：如图3，在等腰三角形中，，．将绕点O旋转，得到，连接，F是的中点，连接．当时，请直接写出的长．六、（本大题共12分）23.已知抛物线顶点在第三象限，顶点纵坐标为．（1）求抛物