2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-43 用向量方法研究立体几何中的度量关系

2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册

4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系

第1课时空间中的角

基础过关练

题组一两条直线所成的角

1.（2022安徽合肥瑶海月考）已知两条异面直线的方向向量分别是u=（3,l,-

2）,（3,2,1）,则这两条异面直线所成的角。满足（）

..9

A.sin0n=——B.sin0=i

144

C.cos0—D.cos6—

144

2.（2021山西吕梁贺昌中学期中）如图，在正三棱柱ABC-ABG中,AB=AA二2,M,N

分别是BBi和B£的中点,则直线AM与CN所成角的余弦值等于（）

A.—B.V5

2

C.-

5

3.（2021天津塘沽一中期中）如图所示,长方体ABCD-ABCD中,AB=BC=2,CC尸4,

点E是线段CC.的中点，点F是正方形ABCD的中心,则直线AE与直线B.F所成角

的余弦值为

2G

44

-yc

4.（2021北京中关村中学期中）如图,在直三棱柱ABC-A.B.C.

中，AC±BC,AC=BC=AA,=2.

(1)求证:AC_LBC;

⑵求直线AG和AB所成角的大小.

题组二直线与平面所成的角

5.设直线1与平面a相交,且1的一个方向向量为a,a的一个法向量为n,若

<a,n>号，则1与a所成的角为（）

A.—B.-C.-D.—

3366

6.（2021山东枣庄第八中学月考）在正方体ABCD-ABCD中,棱AB,AD的中点分

别为E,F,则直线EF与平面AADD所成角的正弦值为（）

A.回B里

65

C.渔D.在

65

7.（2021福建南平高级中学期中）在三棱锥P-ABC中,PA,平面

ABC,ZBAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=2,PA=4,则直线PA与

平面DEF所成角的正弦值为（）

A.iB.—C.—D.-

5555

8.（2021北京首都师范大学附属中学月考）已知平面a的一个法向量n=（0,-?-

⑹,A6Q,P庄a,且同闾，则直线「人与平面0所成的角

为.

题组三两个平面所成的角

9.（2020广东深圳实验学校期中）设平面a与平面P所成二面角的平面角为0,

若平面a,P的法向量分别为国,则Icos。|二（）

A,n2B1nl.n21

*|nil|n2|*|ni||n2|

C131忸210匕1。21

♦ni・n2*In1・n2\

10.（2020上海华东师范大学第二附属中学期末）如图，点A,B,C分别在空间直角

坐标系0-xyz的三条坐标轴上,0C=（0,0,2）,平面ABC的一个法向量为

n二（2,1,2）,设二面角C-AB-0的平面角为。，则cos。=（）

A..-3B•苧c

4-l

11.在正方体ABCD-ABCD中，点E为BB1的中点,则平面A.ED与平面ABCD所成二

面角的平面角的余弦值为()

C-TD-T

12.如图，四边形ABCD为正方形,QA，平面ABCD,PD/7QA,QA=AB^PD.

⑴证明：平面PQCJ_平面DCQ;

(2)求二面角Q-BP-C的平面角的余弦值.

13.(2020天津河西期末)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD±

底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.

⑴证明：PA〃平面BDE;

(2)求二面角B-DE-C的平面角的余弦值.

p

能力提升练

题组一两条直线所成的角

1.（2021天津静海瀛海学校月考）如图,在长方体ABCD-ABCD

中,AB=2,BC=BB尸1,P是A.C的中点,则直线BP与AD所成角的余弦值为（）

B耳

2.（2022重庆外国语学校月考）将边长为1的正方形AAOO（及其内部）绕00i所在

直线旋转一周形成圆柱,如图,能的长为李腿1的长为今其中B与C在平面

AAOO的同侧,则异面直线BiC与AA1所成的角的大小为（）

3.（2021浙江杭州高级中学期中）已知四棱锥P-ABCD,底面是边长为2的正方

形，APAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,AB_L平面PAD,E是线段PD上的动点

（不含端点）.若线段AB上存在点F（不含端点），使得异面直线PA与EF所成的角

的大小为30°,则线段PE的长的取值范围是（）

A,（吟）B.（0,乎）

C.（Y，V2）D.（y,V2）

题组二直线与平面所成的角

4.在正方体ABCD-ABCD中，点P在线段CD上,若直线B.P与平面BCD所成的

角为0,则tan0的取值范围是（）

A.性身B.E1,V3]

D.朋

5.如图1,在等腰三角形ABC中，ZA=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB上的

点,CD二BE二或,。为BC的中点.将4ADE沿DE折起,得到如图2所示的四棱锥A，-

BCDE.若A'0,平面BCDE,则直线A'D与平面A'BC所成角的正弦值等于（）

A*

3324

6.（2021山东师范大学附属中学月考）如图,三棱柱ABC-ABG的侧棱与底面垂

直,AALAB=AOI,AB±AC,N是BC的中点，点P在AB上,且满足工了二X工瓦,当直

线PN与平面ABC所成的角取得最大值时，入的值为（）

*22*2,5

7.（2020山东新泰期中）在正三棱柱ABC-A3C中,AB=2,E,F分别为AC,AB的中

点，当AE和BF所成角的余弦值为5时,AE与平面BCC.B.所成角的正弦值为（）

10

爪叵B.叵C.渔口店

510105

题组三两个平面所成的角

8.如图，四棱柱ABCD-ABCD为长方体,AAFAB=2AD,E为CD的中点，则二面角B-

AB-E的平面角的余弦值为（

A.--B.--C.—D.—

3232

9.（2020湖北荆州滩桥高级中学期末）如图所示，四边形AEFB为矩形,AE，平面

ABCD,BC/7AD,BA±AD,AE=AD=2AB=2BC=4.

⑴求证:CF〃平面ADE;

（2）求平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的平面角的余弦值.

10.（2020天津南开一模）在三棱柱ABC-ABG中,AA」底面

ABC,AB=AOAAi,AB±AC,P为线段BG上一点.

⑴若BP二PG,求PC与AAi所成角的余弦值；

⑵若BP=V2PCb求PC与平面ABBA所成角的大小；

⑶若平面AACG与平面ACP的夹角为45。，求”的值.

R

第2课时空间中的距离问题

基础过关练

题组一点到平面的距离

L（2021北京丰台期中）若平面a的一个法向量为n=（l,2,l）,A（l,0,-l）,B（0,一

1,1）,AEQ,BEa,则点A到平面a的距离为（）

A.1B.—C.—D.i

633

2.（2021山东师范大学附中月考）四棱锥P-ABCD中，荏=（2,-1,3）,前二（一

2,1,0）,AP=（3,-1,4）,则这个四棱锥的高为（）

3.（2021山西怀仁期中）如图,在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中,0是底面

ABCD的中心,则点0到平面ABCD的距离是（）

AV2

12

4.（2022重庆外国语学校月考）在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E,F分别为

棱AA.,BBi的中点,G为棱AB上的一点,且A.G=入（0VBV2）,则点G到平面DEF

的距离为.

题组二点到直线的距离

5.（2021天津武清杨村第三中学月考）在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中,E为

A.D.的中点,则点G到直线CE的距离为（）

A.iB.—C.—D.—

3333

6.（2021天津和平汇文中学质检）已知直线1的一个方向向量为m=（l,V2,-l）,若

点P（-l,l,-l）为直线1外一点,A（4,1,-2）为直线1上一点,则点P到直线1的距

离为.

7.（2021山东济宁鱼台第一中学月考）如图，在四棱锥P-ABCD中,ACABD=0,底面

ABCD为菱形,边长为2,PC±BD,PA=PC,且NABC=60°,异面直线PB与CD所成的

角为60°.

(1)求证:P0_L平面ABCD;

⑵若E是线段0C的中点,求点E到直线BP的距离.

B

答案与分层梯度式解析

第1课时空间中的角

基础过关练

1.C由题意得u•V=3X3+1X2+(-2)X1=9,

Iu|=yj32+l2+(-2)2=V14,

Iv|=V32+22+12=V14,

所以coso=|cos<u,V故选C.

14

2.D取AC的中点0,过点0作001〃AA/交A£于点0b连接OB.以OB,0C,0(h所

在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示:

则A(0,-1,0),M(V3,0,l),C(0,l,0),NC，2)

所以宿二(V5,1,1),而二(今$2).

设直线AM与CN所成角为0,

则cos0=|cos</lM,CN)|

3.答案詈

解析如图所示，以D为坐标原点,DA,DC,DDi所在直线分别为x轴、y轴、z轴

建立空间直角坐标系D-xyz,

则Ai⑵0,4),Bi(2,2,4),E(0,2,2),F(l,1,0),

.,•碇二(-2,2,-2),亭二(-1,-1,-4),

・/An41E•BF82y[6

・・cos〈』iE,B、F>-___——r=二——,

11|A1E||席I2V3X3V29

因此,直线A,E与直线B.F所成角的余弦值为手.

4.解析(1)证明：因为三棱柱ABC-ABC是直三棱柱,所以CG，平面ABC,所以

CCilAC,CCi±BC,

又AC±BC,ACACCFC,所以BC_L平面ACCA,

所以ACJ_BC.

⑵以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则

A⑵0,0),A1⑵0,2),G(0,0,2),B1(0,2,2),

则带(-2,0,2),灰瓦二(-2,2,0),

设直线AG和AB所成的角为a,

•而町二」

贝ljcosa=Jg4

|福||石瓦|l2V2X2V22'

所以直线AG与A周所成角的大小为半

3

5.C结合题意，作出图形如图:

因为<a,n>W^,所以NOAB=T，

oo

所以1与a所成的角为N0BA=］故选C.

6

6.C以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD.所在直线为z轴,

建立空间直角坐标系，如图.

设正方体ABCD-ABCD的棱长为2,

则E(2,1,0),F(l,0,2),EF=(-1,-1,2),

易知y轴与平面AADD垂直，

则平面AADD的一个法向量为n=(0,1,0),

设直线EF与平面AA.D.D所成角为。，

则sin0=Icos〈铳n>|二需

|EF||n|V66

・・.直线EF与平面AADD所成角的正弦值为萼.

6

故选C.

7.C以A为原点,AC,AB,AP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系，如

图，则A(0,0,0),P(0,0,4),D(0,l,0),F(l,0,2),E(1,1,0),

所以据(0,0,4),反二(1,0,0),DF=(l,-l,2),

设n=(x,y,z)为平面DEF的一个法向量,

则卜,巴=6即x=0,

n•DF=0,x-y+2z=0,

令z=l,可得n=(0,2,1).

设直线PA与平面DEF所成角为0,

则sin°=bos〈而,n小缁子点亭.

故选C.

8.答案TT

3

解析设直线PA与平面a所成的角为0,

则sin0=|cos<n,PA>\一!八三1

17111PAi

|0-r21-V3

・,・直线PA与平面a所成的角为去

9.B由题意可知平面a与平面B所成二面角的平面角9与<口,m>相等或互

补，

所以IcosoI=|cos<nbn2>|

|nd|n2|

10.C由题意可知,平面ABO的一个法向量为反二(0,0,2),

由二面角C-AB-0的平面角为锐角得

cos0=|cos<OC,n>|->^5*n|-_j_=£

|OC||n|2X33

11.B以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的

空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A,(0,O,D,E(IA|),

D(0,1,0),・••硕二(0,1,-1),碓二(1,0,-0,

/I.•二."•"-►

必二厂

设平面AiED的一个法向量为n尸(x,y,z),

则有［竺,"1=0,即『彳=°o

WE•几i=o,gz=o,

令x=l,则y=z=2,Ani=(l,2,2).

易得平面ABCD的一个法向量为止二(0,0,1),

・/、一九1,n_2_2

••cosxHi,r)2/""""2",

|ni||n2|3X13

又平面AtED与平面ABCD所成二面角的平面角为锐角，，其余弦值为|.故选B.

12.解析如图，以D为坐标原点,线段DA的长为单位长度,DA所在直线为x轴建

立空间直角坐标系D-xyz.

(1)证明:依题意有D(0,0,O),Q(1,1,O),C(O,0,1),P(0,2,0),则

丽二(1,1,0),DC=(0,0,1),PQ=(1,-1,O),

所以所•DQ=0tPQ•DC=0,

即PQ±DQ,PQ±DC.

又DQADOD,故PQ,平面DCQ.

又PQc平面PQC,所以平面PQCL平面DCQ.

⑵依题意有B(l,0,l),C5=(l,0,0),fiP=(-1,2,-1).

设n=(x,y,z)是平面PBC的一个法向量,

则卜二°即X=0,

、几•BP=0,-x+2y-z=0.

因此可取n=(0,-1,-2).

同理可得平面PBQ的一个法向量为m=(l,1,1),

易知二面角Q-BP-C的平面角为钝角，所以二面角Q-BP-C的平面角的余弦值为一

715

13.解析⑴证明：以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴

建立空间直角坐标系，如图所示.

设PD=DC=2,则D(0,0,0),A(2,0,0),P(0,0,2),B设2,0),E(0,1,1),

则对二(2,0,-2),反二(0,1,1),而二(2,2,0),

设n尸(x,y,z)是平面BDE的一个法向量，

取y=-l,得ni=(l,-1,1).

9

：PA•ni=2-2=0,：.PALnh

又PAQ平面BDE,・・・PA〃平面BDE.

(2)由(1)知n尸(1,-1,1)是平面BDE的一个法向量,

易知我二万?二(2,0,0)是平面DEC的一个法向量.

cos<nbn2>=——,

|ni||n2|3

易知二面角B-DE-C的平面角为锐角，

故二面角B-DE-C的平面角的余弦值为日.

能力提升练

1.D如图，以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD.所在直线为

z轴，建立空间直角坐标系，

则B(l,2,0),P(|x|),A(l,0,0),Di(0,0,1),

设直线BP与AD所成角为0,

则cos0=|cos<BP,AD^>|―聆,竺LQI_8,

118Pll曲I但x涯3

2.B以。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则

A(0,1,0),A.(0,1,1),8.(^^,1),C(今4,0),

所以近二(0,0,1),煦二

AA1・81C

所以cos<44；BXC>-

I府ill乖I

_0XQ-t-QX(-l)-HX(-l)__/2

222：

1XA/0+(-1)+(-1)2

所以〈丽\煦》二手,

4

所以异面直线BC与A'所成的角为也故选B.

3.B取AD的中点G,连接PG,日题意可建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(1,O,O),D(-1,0,0),P(0,0,1),所以研(1,0,1),PA={lt0,-1),设

F(l,y,0),0<y<2,DE=xDP=x(1,0,l)=(x,0,x),0<x<l,故E(x-1,0,x),所以

EF=(2-x,y,-x).又异面直线PA与EF所成角的大小为30°,所以

\PA^EF\=\PA\|FF|cos30°,即2=&XJ(2・%)2+*+%2义今则广―2(x-

D2+1,0<x<l,故丫2中，|).又0<y<2,故y£(0,里.

4.D以D为原点,DA,DC,DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的

空间直角坐标系,

设正方体的棱长为1,可得0),B.(l,1,1),G(0,1,1),Di(0,0,1),

设P(O,t,l),t£[O,1],

则瓦?=(-l,t-l,O).

设n=(x,y,z)是平面BC1D1的一个法向量，

/i•%=01％+z=0,

•丽=0,U"-y+z=o，

取x=l,可得n=(l,0,1).

则sin9=|cos<SP,n>|」呢」一/[工W]

11x'।|B]P||n|0(t-l)2+2[2f2i

Atan()二J，叱二〒惇,1].

Vl-sin20IT,L3J

\/sin20

5.D取DE的中点H,连接OH,0D,则OH_LOB,以0为坐标原点,OH,OB,而的方

向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.

由题意，知0H=l,DH=2,D0=V5,A'D=2a,

・・・0A=VJ庐丽=V5,AA，(0,0,V3),

又D(「2,0),

Z.jD=(l,-2,-V3)，设直线A'D与平面A'BC所成的角为0,易得平面A'BC的一

个法向量为n=(l,0,0),・,.sin0=|cos<斤瓦n>|二黑:：二高二中

6.A如图，以AB,AC,AAi所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系

A-xyz,

贝此,“)广(人,0,1),

.••丽=(2'),

易得平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1).

设直线PN与平面ABC所成的角为0,

|PN«n\

则sin0=|cos<P/V,n>|二.,.当人时，(sin0)a专,此时角

丽•何

。最大.故选A.

7.B设AA尸t,以B为原点,过B所作的BC的垂线为x轴,直线BC,BB1分别为y

轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(V3,1,0),B(0,0,0),F停/)，，荏=(喙涧,前二停/).

VAE和BF所成角的余弦值为京

7

・・•平面BCCB的一个法向量为n=(l,0,0),

・・・AE与平面BCCB所成角a的正弦值为sin°二磊二?黑，故选B.

8.C建立如图所示的空间直角坐标系.

设AD=1,贝ijA」(1,O,2),B(l,2,0),

因为E为CD的中点,所以E(0,1,2),

所以碓二(-1,1,0),碰二(0,2,-2),

设m=(x,y,z)是平面AiBE的一个法向量，

则但5=。，即偿］

•m=0,12y-2z—0,

取x=l,贝ljy=z=l,所以m=(l,1,1).

又因为DA_L平面A,B.B,所以五心(1,0,0)是平面ABB的一个法向量,

所以cos<m,万彳>一y,上二3二勺,

'|m||DA|V33'

易知二面角B-A.B-E的平面角为锐角，

所以二面角B-A^-E的平面角的余弦值为当

故选C.

9.解析(1)证明：・・•四边形AEFB为矩形,

ABF/7AE.

又BFQ平面ADE,AEc平面ADE,

・・・BF〃平面ADE.

同理可得,BC〃平面ADE.

又BFGBOB,BF,BCc平面BCF,

J平面BCF〃平面ADE.

又CFu平面BCF,，CF〃平面ADE.

(2)如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz,

则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),F(2,0,4),

：.AD=(0,4,0),CD=(-2,2,0),CF=(0,-2,4).

设n=(x,y,z)是平面CDF的一个法向量，

贝卜•色=0,即仁］二弁

(n•CF=0,(A2Z=0,

令y=2,贝ijx=2,z=l,/.n=(2,2,1).

又前是平面AEFB的一个法向量，

2

-

—瑞3

・・・平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的平面角的余弦值为(

10.解析三棱柱ABC-A出C中，,・，AA」底面ABC,，AA」AB,AA」AC,又

ABJ_AC,・••以A为原点，直线AB,AC,AAi分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐

标系,如图所示.

设AB=1,则A(0,0,0),B(l,0,0),C(0,l,0),A.(0,0,1),C.(0,1,1),0,1).

(l)VBP=PCb

设PC与AAl所成角为0,则PC与AAl所成角的余弦值为cos0二悬离二”.

\CP\\AAX\3

⑵设P(a,b,c),由BP=V2PCbBPBP=V2PQW(a-1,b,c)=好(一氏Lb,『c),

可得P(V2-l,2-V2,2,

/.CT=(V2-1,1-V2,2-V2).

设PC与平面ABBA所成角为a,易知平面ABBA的一个法向量为n=(0,1,0),

|n•CP||1-V2|1

贝IJsina=-~J=L7彳二一,

|n||CP|2V2-22

.・・PC与平面ABBA所成角的大小为30°.

(3)设前二入酩二(一入，入，入)，0W入W1,则而二通+而二(1,一1,0)+(-

入，入)=(1-入，入T,入).易得4c二(0,1,0),

设平面ACP的法向量为m=(x,y,z),

mil机•AC-o,pu(y=0,

Vn.CP=O；+U-l)y+=0,

取z二人-1,得m=(入，0,X-1),易知平面AiACCi的一个法向量为p=(l,0,0),

•・•平面AiACG与平面ACP的夹角为45。，

•cos45°•Pl-阳一巫

MIIPI02+(；1T)22、

解得入三，则前耳竭，

・・・p为BG的中点，，瞿二1,

PC]

.,•当平面AlACG与平面ACP的夹角为45。时，

%.

PC1

第2误时空间中的距离问题

基础过关练

1.B易知南二(-1,-1,2),根据点到平面的距离公式可得点A到平面Q的距离

为

|丽・川」・1X1+(-1)X2+2X1|—历

.故选B.

|n|Vl2+22+l26

2.A设平面ABCD的一个法向量为n=(x,y,z),则卜*野二.即2x-y+3z=0,

、n•AD=0,-2x+y=0,

令x=l,可得y=2,z=0,即n=(l,2,0),

・••点P到平面ABCD的距离为绊予”,即四棱锥P-ABCD的高为咚