高中数学导数学习的重难点专题07 导数中的同构问题(解析版)

专题07导数中的同构问题在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：(1)当a＞0且a≠1时，有，(2)当a＞0且a≠1时，有再结合指数与对数运算法则，可以得到下述结论(其中x＞0)(“ex”三兄弟与“lnx”三姐妹)(3)，(4)，(6)，再结合常用的切线不等式：，，，等，可以得到更多的结论(7)，．，．(8)，，(9)，，1．已知不等式最小值为（）B.C.D.【解析】，只需考虑其为负数的情况，，，令故2．已知对任意给定的的取值范围为：．【解析】显然成立，显然.3．若对任意，恒有，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．【解析】由题意可知，不等式变形为.设，则.当时，即在上单调递减.当时，即在上单调递增.则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最小值点.所以，即在上单调递增.若使得对任意，恒有成立.则需对任意，恒有成立.即对任意，恒有成立，则在恒成立.设则.当时，，函数在上单调递增当时，，函数在上单调递减则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最大值点.所以，即，则实数的最小值为.故选：D4．若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是______．【解析】整理为：，其中，故，令，则，，注意到：，其中，当时，令，解得：，令，解得：，则，满足题意；当时，令得：，令得：，则在上单调递增，在上单调递减，且，，所以当时，，不合题意，舍去；故不满足题意，舍去；当时，令得：，令得：，所以在上单调递减，在上单调递增，且，，所以当时，，不合题意，舍去；当时，，故不合题意，舍去.综上：a的取值范围是.5．已知，对任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________.【解析】∵对于任意，，不等式恒成立∴对于任意，，即恒成立当时，；当，，设，则，所以在上单调递增，由，知，即，即设，，求导，令，得当时，，单调递减；当时，，单调递增；∴在处取得极大值，且为最大值，所以时，不等式恒成立，故答案为：6．若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为__________．【解析】若，时，，，∴，此时不恒成立，∴，，令，，时，，，，在单调递减，单调递增，∴，，时，，，原不等式恒成立；时，，令，，，时，，时，，在单调递减，在单调递增，∴，∴，∴，即，∴，∴．故答案为：.7．已知函数，若，求的取值范围.【解析】将按照左右结构相同、变量移至一边的原则进行变形：由移项得：即，两边同时加（）得即，设，则，所以单增所以，即设，则，所以在单减，在单增，所以，所以.8．对于任意实数，不等式恒成立，求的取值范围.【解析】解法一：将变形为，（说明：将参数移至一边）两边同时乘x得（说明：目的是凑右边的结构）即（说明：目的是凑左右两边的结构相同）（#）设，则，单增故由（#）得，再令，则，易知当所以，即.解法二：将变形为，即，设，易知单增故（以下同解法一，从略）.9．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)设函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围．【解析】(1)函数的定义域为，．函数的单调递增区间为；单减区间为．(2)要使函数有两个零点，即有两个实根，即有两个实根．即．整理为，设函数，则上式为，因为恒成立，所以单调递增，所以．所以只需使有两个根，设．由（1）可知，函数）的单调递增区间为；单减区间为，故函数在处取得极大值，．当时，；当时，，要想有两个根，只需，解得：．所以a的取值范围是．10．已知，，．(1)当时，求函数的极值；(2)当时，求证：．【解析】(1)，当时，，即在上单调递减，故函数不存在极值；当时，令，得，x+0-增函数极大值减函数故，无极小值.综上，当时，函数不存在极值；当时，函数有极大值，，不存在极小值．(2)显然，要证：，即证：，即证：，即证：．令，故只须证：．设，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，即，所以，从而有．故，即．11．已知(1)当时，求的单调性；(2)讨论的零点个数．【解析】(1)因为，，所以，令，，所以在单增，且，当时，当时，所以当时，当时，所以在单调递减，在单调递增(2)解：因为令，易知在上单调递增，且，故的零点转化为即，，设，则，当时，无零点；当时，，故为上的增函数，而，，故在上有且只有一个零点；当时，若，则；，则；故，若，则，故在上有且只有一个零点；若，则，故在上无零点；若，则，此时，而，，设，，则，故在上为增函数，故即，故此时在上有且只有两个不同的零点；综上：当时，0个零点；当或时，1个零点；时，2个零点；12．已知函数(1)请讨论函数的单调性(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围【解析】(1)当时，在上递增当时，在，单调递减在上，单调递增(2)原式等价于，设，由（1）当时，为增函数，，∴等式等价于恒成立，时，成立，时，，设，，，设，所以在上为增函数，又因为，所以在上，，，为减函数，在上，，，为增函数，，．13．已知函数.(1)若，求的单调区间；(2)是否存在实数a，使对恒成立，若存在，求出a的值或取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】(1)因为，所以，即.当时，，令，则，所以在单调递增，因为，所以，当时，，；当时，，，所以的单调递减区间是，单调递增区间是.(2)设，，易知在单调递增.又当时，，所以的值域为；当时，的值域为.所以的值域为.故对于上任意一个值，都有唯一的一个正数，使得.因为，即.设，，所以要使，只需.当时，因为，即，所以不符合题意.当时，当时，，在单调递减；当时，，在单调递增.所以.设，，则，当时，，在单调递增；当时，，在单调递减.所以，所以，，当且仅当时，等号成立.又因为，所以，所以.综上，存在a符合题意，.14．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，求证：函数有两个零点，且.【解析】(1)定义域为，，当时，，在上单调递增；当时，由得，当时，单调递减，当时，单调递增；综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；(2)当时，因为，所以，无零点.当时，由，得，即，设，则有，因为在上成立，所以在上单调递减，当时，，所以等价于，即，所以的零点与在上的零点相同.若，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，又，，，所以在和上各有一个零点，即在上有两个零点，综上有两个零点.不妨设，则，相减得，设，则，代入上式，解得，所以，因为，所以，因此要证，只需证，即证，设，则，所以在递增，，即，因为，所以可化成，又因为，所以.15．已知函数.(1)当时，求函数的单调区间：(2)若在恒成立，求实数的取值范围.【解析】(1)当时设，则即在递减，在递增，当，当而当所以当递减；递增.故函数增区间为，减区间为(2)，令在递增，而，，使，即当时，在递减，当时，在递增因为可变形为又在递增，由（**）可得故取值范围为16．已知函数，．(1)若，求函数的极值；(2)设，当时，（是函数的导数），求a的取值范围．【解析】(1)，令，得或，当或时，，当时，，所以函数在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，在上单调递增，所以函数的极大值为，函数的极小值为．(2)，，即，即，设，设，，当时，，当时，，所以函数在（0，1）上单调递减，在上单调递增，，即，则函数在上单调递增，则由，得在上恒成立，即在上恒成立．设，，当时，，当时，，所以函数在（0，e）上单调递增，在上单调递减，所以，故．17．已知，若对任意，不等式恒成立，求正实数a的取值范围．【解析】由题意，恒成立，即恒成立，所以恒成立，构造函数，易知在R上单增，所以恒成立，即，令，，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以，所以，解得，所以正实数a的取值范围.18．已知函数.(1)求的单调区间；(2)证明：当时，.【解析】(1)∵，∴，设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，又，，∴当或时，，即单调递增，当时，，即单调递减，综上，的单调增区间为，单调减区间为；(2)∵，，要证，即证，也就是证，设，则，∴当时，单调递增，∴，由（1）可知当时，，即，∴当时，，所以，当时，.19．已知函数．(1)讨论f(x)的单调性．(2)若a＝0，证明：对任意的x>1，都有．【解析】(1)由题意可得．当时，恒成立，则在上单调递增；当时，由