高中数学导数学习的重难点专题02 必要性探路(端点效应)(原卷版)

专题02必要性探路(端点效应)含有参数的不等式恒成立求参数的取值范围问题，是热点和重点题型，方法灵活多样，常见的方法有:①分离参数＋函数最值;②直接化为最值＋分类讨论.但当问题具有区间端点（定义域内一点）的函数值恰好是不等式恒成立时的临界值是这一显著特征时，应运用“零点、端点效应”.其具体方法是：先在定义域内取这个特殊值，然后由不等式成立求出参数的取值范围，显然这个取值范围是不等式恒成立的一个必要条件，这样相当于对参数增加了一个条件，对问题解决有很好的导向性.接下来在这个条件下继续求解，然而有趣的是在后面的解答中我们发现求出的这个范围恰好是不等式恒成立的充分条件，也就是说赋值法求出的参数取值范围有时恰好是题目所求的取值范围.必要探路法，就是利用端点效应的原理；其基本步骤如下：1.探究必要条件，缩小参数范围：首先利用端点效应初步获得参数的取值范围，这个范围是必要的；常见的几种缩小参数范围的思路：(1)若在上恒成立，则在区间端点处也成立，即此法应用于区间端点值包含参数的情况.(2)若在上恒成立，且则此法应用于区间端点的函数值为零的情况.(3)若在上恒成立，且，则此法应用于区间端点的函数值为零且导数值也为零的情况.(4)若在上恒成立，则，此法应用于区间端点值包含参数的情况.(5)若在上恒成立，则，此法应用于区间端点值包含参数的情况.2.证明充分性，求结果：利用第一步中的参数的范围去判定函数是否单调；（1）如果函数单调，则由端点得到的范围就是最终答案；（2）如果函数不单调，则利用端点确定的范围进一步确定函数的最值.若使用必要探路法，则尤其要注意第一步，即寻找必要条件，因为其具有较强的技巧性.常见的选取技巧包括选择端点值、极值点、不等式公共取等条件、常见特殊数（如等）.1．是否存在正整数，使得对一切恒成立?试求出的最大值.2．求k的最大整数值.3．已知函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若，求的取值范围．4．已知函数．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，若，且在时恒成立，求实数的取值范围．5．已知函数（1）若函数与有公共点，求的取值范围；（2）若不等式恒成立，求整数的最小值.6．已知，，．（1）若，证明：；（2）对任意都有，求整数的最大值．7．设函数．（1）当时，判断函数的零点的个数，并且说明理由；（2）若对所有，都有，求正数的取值范围．8．已知函数f(x)=aex-1-x,对于，证明：当时，不等式恒成立．9．已知函数，．（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅱ）若在区间，上恒成立，求实数的取值范围．10．已知函数，其中是自然对数的底数．（1）求函数在处的切线方程；（2）当时，恒成立，求的最大值．11．已知函数，其中．（Ⅰ）函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数，若不能，请说明理由；（Ⅱ）求最大的整数，使得对任意，，不等式恒成立．12．已知函数．（1）证明：存在唯一零点；（2）若时，，求的取值范围．13．设函数，其中．（Ⅰ）当时，求函数的零点；（Ⅱ）若对任意，，恒有，求实数的取值范围．14.已知函数，为的导函数．（1）讨论在区间内极值点的个数；（2）若，时，恒成立，求整数的最小值．15．（Ⅰ）证明：，，；（Ⅱ）若在，上恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）已知函数，若正实数，满足，证明：当时，恒有．16．已知，