专项精练课件：与正方形有关的常考模型

第一章特殊平行四边形专项精练与正方形有关的常考模型1.[2021河南洛阳模拟]在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.(1)如图1,当点E自D向C,点F自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请写出AE与DF的关系,并说明理由;(2)如图2,当点E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?(请直接回答“成立”或“不成立”,无需证明)(3)如图3,当E,F分别在CD,BC的延长线上移动时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.

图1

图2

图3类型1“十字模型”【解析】

(1)AE=DF,AE⊥DF.理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADC=∠C=90°.∵DE=CF,∴△ADE≌△DCF,∴AE=DF,∠DAE=∠CDF.∵∠CDF+∠ADF=90°,∴∠DAE+∠ADF=90°.∴∠APD=90°,∴AE⊥DF.(2)成立.(3)成立.理由如下:同(1)可证AE=DF,∠DAE=∠CDF.如图,延长FD交AE于点G,则∠CDF+∠ADG=90°,∴∠ADG+∠DAE=90°,∴∠AGD=90°,∴AE⊥DF.

求解运动问题时,往往前面问题的解答思路可用于后面问题的求解.名师点睛2.[2018吉林长春中考]在正方形ABCD中,E是边CD上一点(点E不与点C,D重合),连接BE.【感知】如图1,过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)【探究】如图2,取BE的中点M,过点M作FG⊥BE交BC于点F,交AD于点G.(1)求证:BE=FG.(2)连接CM.若CM=1,则FG的长为

.

【应用】如图3,取BE的中点M,连接CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G,连接EG,MG.若CM=3,则四边形GMCE的面积为

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图1

图2

图3

归纳总结正方形中的“十字模型”如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别是CD,AD上的两点,则有AE⊥BF⇔AE=BF(互逆).如图2,在正方形ABCD中,点E在CD边上,F,H分别在AD,BC边上,则有AE⊥FH⇒AE=FH(不互逆).如图3,在正方形ABCD中,点E,F,G,H分别在AB,CD,AD,BC边上,则有EF⊥GH⇒EF=GH(不互逆).3.如图,正方形ABCD的面积为16cm2,△AEF为等腰直角三角形,∠E=90°,AE和BC交于点G,AF和CD交于点H,连接GH,则△CGH的周长为(

)A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm类型2“旋转半角模型”C

4.[2021安徽淮南联考]已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,将∠MAN绕点A接顺时针方向旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N.(1)当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),求证:BM+DN=MN.(2)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2),线段BM,DN和MN之间的数量关系是

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(3)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,猜想线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系,并对你的猜想加以说明.

图1

图2

图3【解析】

(1)如图1,延长CB至点E,使得BE=DN,连接AE.易证△ABE≌△ADN,∴∠BAE=∠DAN,AE=AN,∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°,∵∠MAN=45°,∴∠EAM=∠MAN,又∵AM=AM,∴△AEM≌△ANM,∴ME=MN,即BM+BE=MN,∴BM+DN=MN.(2)BM+DN=MN(3)DN-BM=MN.理由如下:如图2,在DC上截取DE=BM,连接AE.易证△ADE≌△ABM,∴∠DAE=∠BAM,AE=AM,∴∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°,∵∠MAN=45°,∴∠EAN=∠MAN,又∵AN=AN,∴△MAN≌△EAN,∴EN=MN,即DN-DE=MN,∴DN-BM=MN.归纳总结正方形中的“旋转半角模型”当一个角包含着这个角的半角,常将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形,此时构造的三角形与半角所在的三角形全等.如图,∠EAF=45°,绕点A顺时针旋转△ADF到△ABG,使AD与AB重合,则有以下结论:①△AEF≌△AEG;②EF=BE