空间两条直线的位置关系课件1

1．2点、线、面之间的位置关系1．2.2空间两条直线的位置关系

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栏目链接课标点击1．理解异面直线的概念，画法．2．理解并掌握公理4、等角原理．3．理解异面直线所成角的概念，会求异面直线所成角．

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栏目链接异面直线的判断与证明如右图，在空间四边形ABCP中，连接AC、PB，D、E是PC上不重合的两点，F、H分别是PA、PB上的点，且与点P不重合．求证：EF和DH是异面直线．

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栏目链接分析：根据两直线异面的定义，要直接证明两直线异面是比较困难的，因而往往从问题的反面入手，即采用反证法，当然，还可以直接使用异面直线的判定定理：“过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线”，而进行直接的证明．证明：方法一假设EF、DH不是异面直线，则由两直线的位置关系知，它们必在同一个平面α内．∴E∈α，D∈α.∴ED⊂α，即PC⊂α.∴P∈α，C∈α.又∵H∈α，∴PH⊂α.

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栏目链接∵B∈PH，∴B∈α.同理，由F∈α可得：A∈α.由此可知，P、A、B、C四点都在平面α内，这与四点是空间四边形的四个顶点相矛盾．故假设不成立，于是EF与DH是异面直线．方法二∵PA∩PC＝P，∴PA、PC确定一个平面，不妨记平面为α.∵E∈PC，F∈PA，∴E∈α，F∈α.

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栏目链接∴EF⊂α.∵D∈PC，∴D∈α，且D∉EF.∵PB∩α＝P，H∈PB，∴H∉α.∴EF与DH是异面直线．(2)证明两直线异面，一般要从定义出发，由于定义是一个否定形式的命题，因而常用反证法．反证法也是常用的一种重要的思维方式和数学方法，它在立体几何中有着广泛的应用．反证法的一般步骤为：规律总结：(1)异面直线的判定方法一般有两种：①利用异面直线的判定定理；②反证法．

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栏目链接①反设：即作出与命题结论相反的假设；②归缪：以所作的假设为依据，通过严格的逻辑推理，导出矛盾；③结论：判断产生矛盾的原因在于所作的假设是错误的，因而原命题正确．导出逻辑矛盾时常出现以下几种情形：①与定义、公理、定理、推论及性质等的矛盾；②与已知条件的矛盾；③与假设的矛盾；④自相矛盾．

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栏目链接►变式训练1．如右图所示，已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c.求证：AD与BC是异面直线．证明(反证法)：假设AD与BC共面，所确定的平面为α，那么点P、A、B、C、D都在平面α内．∴直线a、b、c都在平面α内，此与已知条件a、b、c不共面相矛盾．∴AD和BC是异面直线．

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栏目链接求异面直线所成的角如右图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求：(1)异面直线AB与A1D1所成的夹角；(2)AD1与DC1所成的夹角．分析：依据异面直线所成的角(或夹角)的定义来求．

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栏目链接解析：(1)∵A1B1∥AB，而A1D1⊥A1B1，∴A1D1⊥AB.∴AB与A1D1所成的夹角为90°.(2)连接AB1，B1D1，∵AB1∥DC1，∴AB1与AD1所成夹角即为DC1与AD1所成的夹角．又AD1＝AB1＝B1D1，∴△AB1D1为正三角形．∴AD1与AB1所成夹角为60°.∴AD1与DC1所成夹角为60°.

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栏目链接规律总结：(1)求异面直线所成的角就是要通过平移转化的方法将异面直线所成角转化成同一平面内的直线所成的角，放到同一三角形中求解．(2)要多角度地平移，不能局限于一个平面．

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栏目链接►变式训练2．如右下图，空间四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD、AC的中点，若BC＝AD＝2EF，求直线EF与直线AD所成的角及直线EF与直线BC所成的角．

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栏目链接解析：因为E是BD中点，F是AC中点，故联想三角形中位线定理，取CD中点G，将AD平移至FG，故EF与FG所成的角(∠EFG)就是平面直线EF与AD所成的角．由BC＝AD＝2EF，得EF＝EG＝FG，所以△EFG为正三角形，所以∠EFG＝60°，即EF与AD所成的角为60°，同理EF与BC所成角也为60°.

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栏目链接平行公理的应用如右图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，且AC与BD所成的角为90°.求证：四边形EFGH是矩形．

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栏目链接分析：充分利用平行线的传递性和推论3以及确定矩形的条件．证明：∵E、H分别为AB、DA的中点，∴EH是△ABD的中位线．

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栏目链接∴四边形EFGH为平行四边形．又∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC.又FG∥BD，∴∠EFG为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°.又∵四边形EFGH为平行四边形，故四边形EFGH为矩形．规律总结：平行公理的本质是线线平行的传递性．

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栏目链接►变式训练3．如右下图所示，三棱锥ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)若AC＝BD，求证：四边形EFGH为菱形；(3)当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？

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栏目链接又AC＝BD，∴EF＝EH.由(1)知，