2022年人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数专题攻克试卷（无超纲带解析）

人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数专题攻克

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的

答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，在边长为2的正方形中，E,尸分别为8C,切的中点，连接/反M交于点G,'将丛BCF

沿所对折，得到延长严交物延长线于点0.下列结论错误的是（）

A.AEVBFB.QB=QF

4I

C.cosZ.BQP=—D.二■S四边形笈方；=5k及正

54

2、在心△43C中，Z6^90°,N4、/B、NC的对边分别为。、b、c,则下列式子一定成立的是

()

A.a=csinBB.a=ccosBC.c=D.c=asinA

tanB

3、在放△48C中，ZC=90°,sin/f=1,则cos6等于()

A.yB.也C.—D.也

223

4、在/△/优中，ZC=90°,AC=5,BC=3,则sin/的值是()

A.返B.之C.3D.叵

34543

5、如图，在正方形ABC。中、£是BC的中点，歹是8上的一点，AE±EF,则下列结论：(1)

sinN8AE=g；(2)BE2=ABCFi(3)CD=3CF；(4)AABE-/XAEF.其中结论正确的个数有

()

A.1个B.2个C.3个D.4个

6、计算后tan60。的值等于()

A.-3B.1C.3D.5/r3-

7、如图，为测量小明家所住楼房A8的楼高，小明从楼底4出发先沿水平方向向左行走到达点C,再沿

坡度i=1:2.4的斜坡行走104米到达点D,在〃处小明测得楼底点A处的俯角为14。，楼顶最高处6的仰

角为22。，A8所在的直线垂直于地面，点4B、C,〃在同一平面内，则AB的高度约为()

米.(参考数据：sin14°»0.24,cos14°«0.97,tan14°«0.25,sin22°«0.37,cos220®0.93,

tan22°«0.40)

A.104B.106C.108D.110

2

8、在中，Z0900,若止4,sinA=-,则43的长为（）

A.6B.2亚C.3亚D.2m

9、如图，一辆小车沿斜坡向上行驶13米，小车上升的高度5米，则斜坡的坡度是（）

A.1：2.4B.1：2.6C.12：13D.5：13

10、如图所示，某村准备在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为〃？（m）,那么

这两棵树在坡面上的距离为（）

A.底osa(m)B.—(m)C.ms\x\a(m)D.々(m)

cosasina

第n卷（非选择题70分)

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、计算2sin60?tar3M肝痴cos60?的结果为

3

2、如图，矩形中，DELAC于点E,/ADE=a,COSQ=(AB=4f49长为.

3、若点尸（12,a）在反比例函数y=竺的图象上，则cosNPO"的值为

4、如图，在△A8O中，ZADB=60°,AD=6,BD=IO,以AB为边向外作等边,则CQ的长为

5、如图①为折叠椅，图②是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿4?和切的长度相等，。是它们的

中点.为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32c/〃，NDOB=100。，那么椅腿

48的长应设计为—（结果精确到0.1谶，参考数据：sin50°=cos40°心0.77,s"40°=

cos50°g0.64,tan4Q°%0.84,tan5Q°^l.19）

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，平面直角坐标系中，点。为原点，抛物线y=-gx2+bx+c交x轴于A（-2,O）、3（5,0）两点，交

y轴于点C.

(1)求抛物线解析式；

(2)点尸在第一象限内的抛物线上，过点尸作x轴的垂线，垂足为点"连交y轴于点6,设尸点

横坐标为3线段比长为&求d与t的函数解析式；

(3)在(2)条件下，点〃在位上，点。在第三象限内抛物线上，连接户aPQ、冏/，掰与y轴交于

用,若CM+BH=MO,NCPM=NBAP,CM=EW,求点0的坐标.

2、如图，等腰RtZ\/L%中，AB=AC,〃为线段比'上的一个动点，后为线段49上的一个动点，使得必

=42BE.连接DE,以〃点为中心，将线段以顺时针旋转90°得到线段用连接线段跖过点〃作射

线"?_L66'交射线倒于点吊连接ZW,RF.

(1)依题意补全图形；

(2)求证：XBDE乌XRDF-,

(3)若/Q/C=2,P为射线为上一点，连接用请写出一个配的值，使得对于任意的点〃总有

N8/少为定值，并证明.

3、计算：际-（2021-兀）°-2cos30°+9

4、如图，上午9时，一条船从力处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达6

处，从月、6两处分别测得小岛C在北偏东60。和北偏东45。方向上，已知小岛C周围方圆30海里的海

域内有暗礁.该船若继续向东方向航行，有触礁的危险吗？并说明理由.

5^计算:2sin600+tan45°—cos30°tan60°

参考答案-----------

一、单选题

1、C

【分析】

△呼沿跖对折，得到46所，利用角的关系求出即可判断B；首先证明再利

用角的关系求得/%■层90°,即可得到在即可判断A；利用俨Q6,解出幽QB,根据正弦的定

义即可求解即可判断C；可证必与△吩相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可

求解即可判断D.

【详解】

解：•.•四边形力6（力是正方形，

：.Z^90°,AB//CD,

由折叠的性质得：FP=FC,4PFB=/BFC,N/7%=NC=90°,

CD〃AB,

:./CFB=/ABF,

：.ZABF=APFB,

：.QF=QB,故B选项不符合题意；

②•：E,尸分别是正方形4?(力边比；切的中点，

:.C2BC,CF=\-CD,BEjBC,N4吐/孤90°,

22

：.CF=BE,

在△/鳍和△比户中，

.AB=BC

<NABE=NBCF,

BE=CF

:.△ABE^XBCF(%S),

:./BAE=/CBF,

又,；NBAmNBEA=90°,

:./CBF+/BEA=9Q°,

:./BGE=9G°,

J.AEVBF,故A选项不符合题意;

令PF=k(A>0),则PB=2k,

在.Rt丛BPQ中,设QB=x,

'：QB2=QP2+PB2,

*.x—(x-k)?+4后

・5k

・・X=y，

：.cos/BQP=%=1,故C选项符合题意；

⑤.：/BGE=/BCF,/GBE=/CBF,

:./\BGESXBCF,

'：BE=\BC,BF=BC,

22

:.BE：BF=l：5

，△戚的面积：△比尸的面积=1：5,

S四边形即&=4丛WE,故D选项不符合题意.

故选C.

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解

直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

2、B

【分析】

根据题意，画出直角三角形，再根据锐角三角函数的定义对选项逐个判断即可.

【详解】

解：由题意可得，如下图:

sin>4=-,则aysinA,A选项错误，不符合题意；

c

cosB=-,则。=。.8§5,B选项正确，符合题意；

c

tanB=-,则ex',C选项错误，不符合题意；

atanB

sin4=q,则c='=,D选项错误，不符合题意；

csinA

故选B,

【点睛】

此题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是画出图形，根据锐角三角函数的定义进行求解.

3、A

【分析】

由sinA=；知道/4=30°,即可得到的度数即可求得答案.

【详解】

解：•.•在/?/△/!阿中，NC=90°,sin4=g,

.•.4=30°,

户60°,

/.cosB=cos60°=—.

故选A.

【点睛】

本题主要考查了特殊角的锐角三角函数值，直角三角形两锐角互余，解题的关键是正确识记30°角的

正弦值和60度角的余弦值.

4、A

【分析】

先根据银河股定理求出力8,根据正弦函数是对边比斜边，可得答案.

【详解】

解：如图，

,4C=5,BC=3,

AB=y]AC2+BC2=扃

BC33南

sinA=

布一南一34

故选：A.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数，利用正弦函数是对边比斜边是解题关键.

5、B

【分析】

首先根据正方形的性质与同角的余角相等证得：XBAEs4CEF,则可证得②正确，①③错误，利用有

两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得△/配s△力所，即可求得答案•

【详解】

解：•.•四边形4阅9是正方形，

.*.Z5=Z6^=90°,AB=BC=CD,

,：AEA.EF,

:./AEF=NB=90°,

:./BAE+NAEB=9G,NAEB+FEC=9Q°,

：.ZBAE=ZCEF,

:.△BAEsXCEF,

.ABCE

'：BE=CE,

：.BS=AB'CF.

,:AB=2CE,

：.CF=\CE=\CD,

24

・•・CD-4CF,

故②正确，③错误，

tan/BAE—BE：AB=g,

.•./为《#30°,

sinNBAE*g故①错误；

设CF=a,贝ij加=32a,AB=CD=AD^\a,DF=3a,

:.AE=2后a,EF=亚a,AF=5a,

.AE2>/5a245BE_2a_2君

AF5a5EF后a5

.AEBE

VZABE=ZAEF=90°,

:.XABESXAEF,故④正确.

故选：B.

【点睛】

此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及正方形的性质.熟练掌握相似三角形的

判定与性质是解题的关键.

6、C

【分析】

直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案.

【详解】

解：>/3tan60o=>^x>/3=3.

故选C.

【点睛】

本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键.

7、A

【分析】

根据题意作加3交于反延长力。，作。尸，CF交于E由坡度的定义求出加的长，得力后的长，再

解直角三角形求出DE、砥的长，即可解决问题.

【详解】

解：如图，作班，都交于后延长47,作。尸，CF交于凡

••,斜坡切的坡度为产1：2.4,5=104米，

."六心40（米），语96（米），

,/ZEDA=14°,

Ap40

tanNEDA=——=——=tan14、0.25,

DEDE

：.DE=160（米），

*/NE£>B=22°,

BFHF

：.tanNEDB=——=——=tan22°«0.4,

DE160

:.BE=64（米），

AAB=AE+BD=40+64=\04（米）.

故选：A.

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，正确作出辅助线，构造直角三角形是解

答此题的关键.

8、A

【分析】

由题意直接根据三角函数定义进行分析计算即可得出答案.

【详解】

2

解：年90°,B04,sinA=-

』萼,二

ABAB3

，AB=6.

故选：A.

【点睛】

本题考查解直角三角形中三角函数的应用，熟练掌握直角三角形边角之间的关系是解题的关键.

9、A

【分析】

直接用勾股定理求出水平距离为12,再根据坡度等于竖直距离：水平距离求解即可.

【详解】

解：由勾股定理得，水平距离=而=*=12,

二斜坡的坡度=5：12=1：2.4,

故选A.

【点睛】

本题主要考查了坡度和勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握坡度的定义.

10、B

【分析】

直接利用锐角三角函数关系得出3=会进而得出答案.

【详解】

由题意可得：cosa;三,

AB

则"=上一.

cosa

故选:B.

【点睛】

此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键.

二、填空题

【解析】

【分析】

根据特殊角三角函数值的混合计算法则进行求解即可.

【详解】

解：2sin60°tan600-y/2sin45°cos60°

=2x旦痒正x，

222

=3--

2

5

=5，

故答案为：I".

【点睛】

本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键.

【解析】

【分析】

将已知角度的三角函数转换到所需要的三角形中，得到N4吠N比右。，求出AC的值,再由勾股定理

计算即可.

【详解】

•:/ADO/AED=9Q°,NDAE+NAD界NADE+NCDE=90°

：.4DAE=4CDE

又,：4DCE+4CD打9G

/AD*4DCE=a

.3CD

・・COSo=一二-------

5AC

又•.,矩形4及力中AB=CX

在^ADC中满足勾股定理有

16

AD=^AC'-CD-=

T

故答案为：y.

【点睛】

本题考查了已知余弦长求边长，将已知余弦长转换到所需要的三角形中是解题的关键.

3Z

'13

【解析】

【分析】

由点夕在反比例函数曲线上可知，。=*5,故户点坐标为(12,5),故掰=12,P+5,有勾股定理可

求得好13,贝IJCOSNPO〃=F.

【详解】

•.•点尸在反比例函数y=效的图象上

X

・60.

・・a=-=5

12

故。点坐标为(12,5)

故法12,PH=5

在•△OLP中满足勾股定理OP=4OH'PM

OP=V122+52=13

/.cosZPOH=—=—.

OP13

故答案为：募12.

【点

本题考查了反比例函数及其性质以及求角的余弦值，由反比例函数性质求得P点坐标，进而求得明

/W的长度是解题的关键.

4、14

【解析】

【分析】

将线段D4绕点A顺时针旋转60。得到线段AE,连接DE,8E.作EMJ.80交8D的延长线于点V,证

明AZ)AC=A£A8(SAS),可得DC=BE,再分别求解0M=(OE=3,EM=£DM=3^),从而利用勾股

定理可得答案.

【详解】

解：将线段D4绕点A顺时针旋转60。得到线段AE,连接OE,踮.作七MJ_3。交8。的延长线于点

M.

•••A/3C是等边三角形，

/.Zfi4C=ZZM£=60°,AB=AC9

:.ZDAC=ZEAB,

・.・AD=AE,AC=AB,

.\ADAC=AEAB(SAS)f

DC=BE,

\AD=AEfND4E=60。，

「.AZME是等边三角形，

:.ZADB=ZADE=6O°fDE=AD=6,

:.ZBDE=i20°,

.・.ZEDM=60°,

・・•EM上BM,

二.N加=90。，?DEM30?,

:.DM=；DE=3,EM=DM-tan60°=6DM=373,

在MABEW中，BE=.BM2+EM2=依+(3后二区,

:.CD=BE=\49

故答案为14.

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的应用,

锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建全等三角形与直角三角形是解本题的关键.

5、41.6

【解析】

【分析】

连接加，过点。作放于点〃，从而得到。伊勿，进而得到N6法50°,在RMBOH中,可求出

OB,即可求解.

【详解】

解：如图，连接BD,过点。作斑6〃于点〃，

•:AB=CD,点。是AB、切的中点,

/.OB=OD,

'：ZDOB=100°,

:./BOH=5Q°,

BH^-BD=-x32=16cm,

22

在Rt^BOH中,

BH

OB=-----p20.8cm

sinZBOH0.77

AAB=205=41.6cm.

故答案为：41.6

【点睛】

本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

三、解答题

1、(1)y=-1x2+|x+5；(2)d=t；(3)Q(-3,Y)

【解析】

【分析】

(1)由抛物线的二次项系数-；，再根据交点式可得抛物线为y=-；"+2)(x-5),从而可得答案；

(2)先画好图形，证明VAOEsVAPH,利用相似三角形的性质求解0E=T+5,从而可得答案；

(3)如图，过户作PK_Ly轴于K,过M作MN_LAP于N,证明CM=ME=EW,tan?CPKtan?MPN,即

CKMNCK13MN2r-32工切»工口-r3.才分必…，

丽=丽’再求解方=5"5'前=八％+24,则nil可=r-9/+24'再解方程可得,=4,再求解PW

的解析式，再联立解析式解方程可得答案.

【详解】

解：(1)v抛物线y=-gf+bx+c交x轴于4(—2,0)、3(5,0)两点，

I1]a

所以可得抛物线为：y=-^(x+2)(x-5)=-^(x2-3x-10)=-1x2+|x+5

(2)如图，过尸作P〃_LO8于"，连AP交0C于E,

则。国|尸”,尸r,-^(/+2)(/-5),W(/,0),

\AOOE

\——=——,

AHPH

・••A(-2,0),

.2OE

、+2-_/+2)(/-5)'

\0E=-t+5,

cQy=--1x~。+-3x+5u,

22

令x=o,则y=5,

.•.C(0,5),

d=CE=5—^—t+5^=t,

(3)如图，过P作PK_Ly轴于K,过M作MN_LAP于M

由(2)得：CE=OH=t,OC=OB=5,

\OE=BH,

•••CM+BH=MO,CM=EW9

\CM+OE=ME+OE,

\CM=ME=EW,

QPK八y轴，则PK〃x轴，

\?BAP?KPE,

•・•/CPM=ZBAP,

\?CPM?KPN,

\?CPK?MPN,

\tan?CPKtan?MPN,W—=—^

PKPN

结合(1)可得：四边形P”OK为矩形,

A(—2,0),2(/,—5广+^7+5)”(/,0),

i3

\0A=2,0H=PK=t,PH=OK=--t2+-t+5,CM=ME=EW=-t,

222

CA：=5-（--r2+-r+5|=

\----=--------=—t—,

PKt22

Qsin?MENsin?AEO,设“=AE=J4+（5T）;

2MN

CF'

2

:.MN=L,

a

Qcos?AEOcos?MEN,

（5-t）_EN

2

:.EN=△——L,

2a

由CM二ME,

\gcMgPK=gpE豳N,

PE=at,

1r（5-r）

;.PN=PE-EN=-at--——L,

22a

MNt（I5t-t2}22

............——.I—-......................I—----------------------.................................

PN~a[22a）a2-5+t~t2-9t+24

、t-3_2

~T~t2-9t+24'

整理得：（—4乂产-8r+19）=0,

\t-4=0或r-18f+19=0,

解得：，=4,（方程/-18+19=0无解），经检验符合题意，

.■.P（4,3）,OE=l,ElV=-x4=2,

；.OW=1,W（0,-1）,

设尸卬为：y=nix+n,

\4m+/?=3

=—1

解得：

[〃=一1

PW为：y=x-\,

y=x-\

丁•”1,3

y=——x"+—x+5

r22

解得」寸;或七:

5=31为=-4

，Q（-3T）.

【点

本题考查的是利用待定系数法求解二次函数解析式，列函数关系式，相似三角形的判定与性质，锐角

三角函数的应用，熟练的利用方程解决问题是解本题的关键.

2、（1）见解析；（2）见解析；（3）当BP=4,使得对于任意的点〃，总有N叱为定值，证明见解析

【解析】

【分析】

(1)根据题意作出图形连接。R，RF；

(2)根据N8DR=NE£)F可得=证明△欧D是等腰直角三角，可得BD=DR,根据旋转的

性质可得ED=DR,进而根据边角边即可证睨XBD恒XRDF；

(3)当PB=2A3=4时，设DE=a,贝3。=缶，分别求得%依，根据tan4PF=4C===:即可求

RP2a2

解

【详解】

(1)如图，

(2),；DR1BC

ZRDB=90°

•・•将线段①顺时针旋转90。得到线段“E

・•.ZE