必修一至五高中数学知识点总结

高一数学必修1知识网络

集合

函数

附：

一、函数的定义域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于

零；3、对数的真数大于零；4、指数函数和对数函数的底数大于

零且不等于1;5、三角函数正切函数…anx中心所+夕丘Z);

余切函数y=cotx中；6、如果函数是由实际意义确定的解析式，

应依据自变量的实际意义确定其取值范围。

二、函数的解析式的常用求法：

1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；

5、参数法；6、配方法

三、函数的值域的常用求法：

1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不

等式法；6、单调性法；7、直接法

四、函数的最值的常用求法：

1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、

单调性法

五、函数单调性的常用结论:

1、若/(x),g(x)均为某区间上的增(减)函数，则f(x)+g(x)在

这个区间上也为增(减)函数

2、若/(/)为增(减)函数，则-/(幻为减(增)函数

3、若f(x)及g(x)的单调性相同，则y=/[g(x)]是增函数；若/(X)

及g(x)的单调性不同,则y=/[g(x)]是减函数。

4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间

上的单调性相反。

5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、

解不等式、证不等式、作函数图象。

六、函数奇偶性的常用结论：

1、如果一个奇函数在1=0处有定义，则"0)=0,如果一个函

数y=/(x)既是奇函数又是偶函数，贝酎3=0(反之不成立)

2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数；之积(商)

为偶函数。

3、一个奇函数及一个偶函数的积(商)为奇函数。

4、两个函数y=和〃=g(x)复合而成的函数，只要其中有

一个是偶函数，则该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函

数时，该复合函数是奇函数。

5、若函数7(%)的定义域关于原点对称，则f(x)可以表示为

fM=1r/(x)+/(-A-)]+1f/(x)-f(-x)],该式的特点是：右端为一个奇

表2幕函数y=%。(a£R)

a=Pa<00<a<1a>1a-1

q

A/

./

\a,i)1

P为奇数一Jy/(】工

常函和

q为奇数1•口J倒AX

一

p为奇数u

、(LI)

为偶数1」—1------—1------1------►—

4

1

A

I

〃为偶数//ajT

\aj)偶函数

4为奇数f-H------1-------------------1------b

(T,1)7

第一象

过定点

减函数增函数

限性质(0,1)

高中数学必修2知识点

一、直线及方程

(1)直线的倾斜角

定义：x轴正向及直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜

角。特别地，当直线及x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角

为0度。因此，倾斜角的取值范围是0。＜180°

(2)直线的斜率

①定义：倾斜角不是90。的直线，它的倾斜角的正切叫做这

条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即人tana。斜率反映直

线及轴的倾斜程度。

当“[o。,90。)时，k>0;当aE(90J80")时，A<0;当a=9(F

时，攵不存在。

②过两点的直线的斜率公式：a=为二""尸川

注意下面四点：(1)当七=勺时，公式右边无意义，直线的斜

率不存在，倾斜角为90。；

(2)4及片、E的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角

而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

(3)直线方程

①点斜式：y-凶=&。-2)直线斜率k,且过点&，M)

注意：当直线的斜率为0。时，k=0,直线的方程是万刀。

当直线的斜率为90。时，直线的斜率不存在，它的方程不能

用点斜式表示.但因/上每一点的横坐标都等于济，所以它的方

程是A=Xi。

②斜截式：y=kx+b,直线斜率为上直线在y轴上的截距为

b

③两点式：）'=""（彳产和丁尸为）直线两点（再,y）,（孙力）

④截矩式：土+9=1

ah

其中直线/及x轴交于点（"）），及），轴交于点（。⑼，即/及x轴、y

轴的截距分别为4人

⑤一般式：Ax+3y+C=0（4〃不全为0）

注意：①各式的适用范围②特殊的方程如：

平行于x轴的直线：y=b（6为常数）；平行于y轴的直线:

x=a（a为常数）；

（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线

（-）平行直线系

平行于已知直线4/+为“孰=0（%,综是不全为0的常数）的

直线系：4工+综），+。=0（。为常数）

（二）过定点的直线系

（i）斜率为4的直线系：y-%=4-/）,直线过定点房,%）；

（ii）过两条直线4：Ax+M），+G=0,QAzX+与y+G：。的

交点的直线系方程为

（冬+g+6）+4（41+町+。2）=0（%为参数），其中直线4不在直

线系中。

（6）两直线平行及垂直

当/[：y=k]X+A,4：y=左2工+。2时，

注意：利用斜率判断直线的平行及垂直时，要注意斜率的存

在及否。

(7)两条直线的交点

/1:AjX+B1y+C1=0/2:A2X+B2y+C2=0相交

交点坐标即方程组!G+外,+G=°的一组解。

A2X+B2y+C2=0

方程组无解o/.///2;方程组有无数解O4及4重

合

(8)两点间距离公式：设4%,y),BJ,”是平面直角坐标系

中的两个点，

则I"1=J(X2—X)2+(M-y)2

(9)点到直线距离公式：一点P(x°,y。)到直线小Ax+为+C=0

的距离=iA%+及%+a

次+京

(10)两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求

解。

二、圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合

叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程

⑴标准方程(…＞+”)2=产,圆心(四,半径为r；

(2)一般方程V+y2+以+或+尸=o

当炉一4尸＞0时，方程表示圆，此时圆心为卜2T,半

径为r=-JD2+E2-4F

2

当。2+炉_4/=0时，表示一个点；当。2+炉一4尸＜0时，

方程不表示任何图形。

(3)求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独

立条件，若利用圆的标准方程，

需求出a,b,r；若利用一般方程，需要求出D,E,F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原

点，以此来确定圆心的位置。

3、直线及圆的位置关系：

直线及圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上

由下列两种方法判断：

(1)设直线I:Ax+By+C=0,圆C:(x—a)2+(y-b)?=/，圆心C(a,b)

至U1的距离为八色空丝g,贝lj有与C相离；d=ro/与。相切;

d<〃。/与。相交

也茫案喔幺瑞礴输

线及

（3）过圆上一点的切线方程:

；一点为（x。，y。），则过此点的切线方程为

/o\raT_\2，L)2我的切

/•

（济乏繇里摊量t定通过两圆半径的和（差），及圆心距

2222

设圆G：（工-。1）2+。-4）2=r9C2:（x-a2）+（y-b2）=R

魂通过两圆半径的和（差），及圆心距（d）

当d>R+〃时两圆外离，此时有公切线四条；

内公前铲菸时两圆外切’连心线过切点’有外公切线两条’

条外盘隔vd〈R+一时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两

如当d=|R_|时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切

线；

当dv|R-M寸，两圆内含；当d=0时，为同心圆。

三、立体几何初步

1、柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边

形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成

的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四

棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱ABSE-AB'CDE'或用对角

线的端点字母，如五棱柱AQ

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角

面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是及底

面全等的多边形。

(2)棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的

三角形，由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四

棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥尸-AB'C'DE

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面及

底面相似，其相似比等于顶点到截面距离及高的比的平方。

(3)棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,

截面和底面之间的部分

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四

棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台尸力E'

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形

③侧棱交于原棱锥的顶点

(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余

三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是全等的圆；②母线及轴平行；③轴及底

面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

转一宣隘思输赢由帝熹弹却形的一条直角边为旋转轴,旋

面展4招赞征:穆攀面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧

截面噩蹈精就用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥'

顶点P簿扁管展她誓•照就圆；②侧面母线交于原圆锥的

面旋肄懒僦球1半圆的直径所在直线为旋转轴’半圆

离珞隼装征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距

2、空间几何体的三视图

侧视鼾谶总％与视图（光线从几何体的前面向后面正投影）;

俯视图（从上向下）

体的熏度辘:翳映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物

体的长度%端慢反映了物体左右、前后的位置关系’即反映了物

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的

高度和宽度。

3、空间几何体的直观图一一斜二测画法

斜二测画法特点：①原来及x轴平行的线段仍然及x平行且

长度不变；

②原来及y轴平行的线段仍然及y平行,长度为原来的一半。

4、柱体、锥体、台体的表面积及体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，〃为

斜高，1为母线）

（3）柱体、锥体、台体的体积公式

（4）球体的表面积和体积公式：S球面二4介

4、空间点、直线、平面的位置关系

（1）平面

①平面的概念：A.描述性说明；B.平面是无限伸展的;

a鬼珊烤南赢F希腊字母。、B、丫表示，如平面

也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。

③及岩面的关系：点力在平面a内，记作Asa;点A不在

平面a内，而作Aea

线/泉及箫耳药系：点力的直线,上，记作：拒点力在直

/不脚咨?那的翻》兽/在平面a内，记作/ua；直线

线是3/翟斯?君赢线的两点在一个平面内，则这条直

（即直线在平面内，或者平面经过直线）

应用：检验桌面是否平；判断直线是否在平面内

用符号语言表示公理1:AGl、BGl、AGa,BGanlua

（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个

平面。

平葬曾平灌»瑞垦级奉献确定一平面；两相交直线确定一

它脂粉毓懿雒1：①它是空间内确定平面的依据②

有且&甯砥技普雷麟•馥合的平面有一个公共点'则它们

符号：平面a和8相交，交线是a,记作anB=a。

符号语言：PeAriB=AnB=/,P£/

公理3的作用：

①它是判定两个平面相交的方法。

线必■类瞿两个平面的交线及两个平面公共点之间的关系：交

③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。

（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行

（6）空间直线及直线之间的位置关系

①异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线

②异面直线性质：既不平行，又不相交。

③异面直线判定：过平面外一点及平面内一点的直线及平

面内不过该店的直线是异面直线

④异面直线所成角：直线a、8是异面直线，经过空间任意

一点。，分别引直线a'//a,b'"b,则把直线a，和分所成

的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线

所成角的范围是（0。，90。］,若两条异面直线所成的角是直角,

我们就说这两条异面直线互相垂直。

说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线

的定义；②异面直线的判定定理

（2）在异面直线所成角定义中，空间一点0是任取的，而

和点0的位置无关。

②求异面直线所成角步骤：

A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同

时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。B、证明

作出的角即为所求角C、利用三角形来求角

（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别

平行，则这两角相等或互补。

（8）空间直线及平面之间的位置关系

直线在平面内一一有无数个公共点.

三种位置关系的符号表示：acaaCla=Aa//a

（9）平面及平面之间的位置关系：平行一一没有公共点；

Q〃B

相交一一有一条公共直线。an8=6

5、空间中的平行问题

（1）直线及平面平行的判定及其性质

线面平行的判定定理：平面外一条直线及此平面内一条直线

平行,则该直线及此平面平行。

线线平行n线面平行

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过

这条直线的平面和这个平面相交，

则这条直线和交线平行。线面平行n线线平行

（2）平面及平面平行的判定及其性质

两个平面平行的判定定理

（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,

则这两个平面平行

（线面平行一面面平行），

（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，则

这两个平面平行。

（线线平行一面面平行），

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，

两个平面平行的性质定理

（1）如果两个平面平行，则某一个平面内的直线及另一个

平面平行。（面面平行一线面平行）

（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，则它们的交

线平行。（面面平行一线线平行）

7、空间中的垂直问题

（1）线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直

角，就说这两条异面直线互相垂直。

直，徽嘎疆疆1twr个平面内的任何一条直线垂

显耀硼1鼎耀僦艘耀嬲辜翻

（2）垂直关系的判定和性质定理

①线面垂直判定定理和性质定理

直，髓疆凝螃窗口一个平面内的两条相交直线都垂

十一性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线

平行。

②面面垂直的判定定理和性质定理

两个翠霜蠲:垂室一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这

他们党夏麟:盗羹鹫隼颦•料翻，则在一个平面内垂直于

9、空间角问题

（1）直线及直线所成的角

①两平行直线所成的角：规定为0。。

角，两条直线相交其中不大于直角的

穗11鬻矍嚼&蹄瞬输1黯

（2）直线和平面所成的角

线及卑需既就年线备志嬲成的角：规定为0、②平面的垂

内的喻期僦蕤备即麟续命感题我翻鬻曲鳖平面

线上在亶鼐7盘劈义关键作射影，由射影定义知关键在于斜

I」需II限霸E辨墉越翻库敏其瑞垂蕾'

（3）二面角和二面角的平面角

④求二面角的方法

直于繇膏线霜懒肄关点’过这个点分别在两个面内作垂

平面鹦褊勰蠲翻破stawr，过两垂线作

7、空间直角坐标系

（1）定义：如图，088-DABC是单位正方体.以A为原点,

分别以0D,0A,0B的方向为正方向，建立三条数轴

x轴.y轴.z轴o

这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

过每翩糜精鞫叫褪磷C轴’z轴叫做坐标轴・3）

22-

(4)空间两点距离坐标公式：d=yl(x2-Xj)+(y2-jj)+(z2Zi)

额外补充:

第一章空间几何体

L1柱、锥、台、球的结构特征

1.2空间几何体的三视图和直观图

1三视图：

正视图：从前往后

侧视图：从左往右

俯视图：从上往下

2画三视图的原则：

长对齐、高对齐、宽相等

3直观图：斜二测画法

4斜二测画法的步骤：

（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；

（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x,z轴的线长度

不变；

（3）.画法要写好c

5用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面

（3）画侧棱（4）成图

1.3空间几何体的表面积及体积

（一）空间几何体的表面积

1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和

2圆柱的蓑曲虾

3圆锥的表面积S=M+"2

4圆台的表面积s="/+++求/+成2

5球的表面积S=4成2

（二）空间几何体的体积

1柱体的体积V=s氐X〃

2锥体的体积v=

3台体的体积V=g（S上+JS上S下+S下）x/z

4球体的体积v=3成3

3

第二章直线及平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1

1平面含义：平面是无限延展的

2平面的画法及表示

(1)平面的画法：水平放置的平面通C

常画成一个平行四边形，锐角画成45°,且/y/7

横边画成邻边的2倍长(如图)AB

(2)平面通常用希腊字母a、8、丫等表示，如平面。、

平面B等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对

的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。

3三个公理：

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，则这条

直线在此平面内

符号表示为

Aea

Bea

公理1作用：判断直线是否在平面内

(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有炉(力布。

符号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面a,

使AWQ、B£a、C£Q。

公理2作用：确定一个平面的依据。

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公藜，则它们

有且只有一条过该点的公共直线。/\x\//

符号表示为：peanp=>anB=L,且P£L

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据

2.1.2空间中直线及直线之间的位置关系

1空间的两条直线有如下三种关系：

共面直{相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a、b、c是三条直线

}=>a〃c

c〃b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这

个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这

两个角相等或互补

4注意点：

①a'及b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，及

7T

O的选择无关，为了简威点O一般取在两直线中的一条上；

②两条异面直线所成的角。£（0,）；

③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异

面直线互相垂直，记作aJ_b；

④两条直线互相垂直，有共面垂直及异面垂直两种情形；

⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交

直线所成的角。

2.1.3—2.1.4空间中直线及平面、平面及平面之间的位置

关系

1、直线及平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内一一有无数个公共点

（2）直线及平面相交一一有且只有一个公共点

（3）直线在平面平行一一没有公共点

指出：直线及平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，

可用aa来表示

a%aAa=Aa〃a

2.2.直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1直线及平面平行的判定

1、直线及平面平行的判定定理：平面外一条直线及此平面

内的一条直线平行，则该直线及此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：

aa«}

bBc=>a//a

a〃b

2.2.2平面及平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线及

另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：

a6o]

bB0

J

anb=PB〃a

a〃a

b〃a

2、判断两平面平行的方法有三种：

（1）用定义；

（2）判定定理；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3—2.2.4直线及平面、平面及平面平行的性质

1、定理：一条直线及一个平面平行，则过这条直线的任一

平面及此平面的交线及该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：

a〃a}

aPCa〃b

aA0=b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：如果两个平面同时及第三个平面相

交线平行。

符号表示：

a〃B1

anY=aa〃b

3Ay=b

作用：可以由平面及平面平行得出直线及直线平行

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1直线及平面垂直的判定

1、定义

L

_________D

直，力凌路面内的两条相交直线都垂

注意点：a）定理中的“两夕相交直线”这一条件不可忽视;

相转藩1辘鼠’直线及平面垂直”及“直线及直线垂直”互

2.3.2平面及平面垂直的判定

组成,弁角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所

B

2、二面角的记法：二面角或a-AB-B

的矗”僦髀侬!判定定理：一个平面过另一个平面

2.3・3—2.3,4直线及平面、平面及平面垂直的性质

1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直

线及另一个平面垂直。

本章知识结构框图

平面（公理1、公理2、公

。^间厂—.....R一

直线及直线的位产弓直线及平面的位置「平面及平面的位

3.1直线的倾斜角和斜率

3.1倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念：当直线1及x轴相交时，取x轴

作为基准，X轴正向及直线1向上方向之间所成的角a叫做直线

1的倾斜角.特别地,当直线1及x轴平行或重合时，规定a二

0°.

2、倾斜角。的取值范围：0°<180°.

当直线1及x轴垂直时，a=90°.

3、直线的斜率：

一条直线的倾斜角a（a#90。）的正切值叫做这条直线的

斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是

k=tana

⑴当直线1及x轴平行或重合时，a=0°,k=tan0°=0;

⑵当直线1及x轴垂直时，a=90°,k不存在.

一定靠柴可知，一条直线1的倾斜角a一定存在，但是斜率k不

4、直线的斜率公式：

给定两点Pl(xl,yl),P2(x2,y2),xlWx2,用两点的坐标来表

示直线P1P2的斜率：

斜率公式：

3.L2两条直线的平行及垂直

1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，则它们

的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即

//<=>kj=k2

注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提

下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k『k2,则

一定有L1〃L2

2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率

互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂

1

直gpli<=>kj«--0kjk,«-1

3.2.1直线的点斜式方程

1、直线的点斜式方程：直线/经过点《(/黑)，且斜率为攵

_直线的斜截式方程：已知直线/的斜率为心且及y轴的

父点为(0力)

3.2.2直线的两点式方程

1、直线的两点式方程：已知两点小七,羽）,以%,％）其中

“在人直线的武距式方程入已知直线/及x轴的交点为A3。），

及y轴的交百为为（0,。），其中。工0乃工0

3.2.3直线的一般式方程

AG+暨归ft辅熟）关于"的二元一次方程

2、各种直线方程之间的互化。

3.3直线的交点坐标及距离公式

3.3.1两直线的交点坐标

1、给出例题：两直线交点坐标

LI：3x+4y-2=0

LI：2x+y+2=0

解：解方程组,3x+4y-2=0

2x+2y+2=0

得x=-2,y=2

所以L1及L2的交点坐标为M（-2,2）

3.3.2两点间距离

两点间的距离公式

333点到直线的距离公式

L点到直线距离公式：

|气+B%+C|

点尸（与，先）到直线/：Ax+8y+C=0的距离为：d

VA2+B2

2、两平行线间的距离公式：

已知两条平行线直线4和的一般式方程为4：Ar+5)，+G=0,

:Ax+8)，+C,=0,则4及。的距离为d=3-Gl

dA?+B?

第四章圆及方程

4.1.1圆的标准方程

1、圆的标准方程：(X-0)2+小-心=产

圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程

2、点M“。,%)及圆(.4+(尸。)2=产的关系的判断方法：

(1)5-0)2+(=-牙＞八点在圆外

(2)(%_〃)2+(%_历2=产，点在圆上

(3)6-4)2+(为_田2＜，，点在圆内

4.1.2圆的一般方程

1、圆的一般方程：x2-^-y2+Dx+Ey+F=0

2、圆的一般方程的特点：

(1)①x2和y2的系数相同，不等于0.

②没有xy这样的二次项.

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要

求出这三个系数，圆的方程就确定了.

(3)、及圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方

程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标及半径大小,

几何特征较明显。

4.2.1圆及圆的位置关系

1、用点到直线的距离来判断直线及圆的位置关系.

设直线/:ax+by+c=O,圆C:N+丫2+以+或+F=O,圆的半径

为一圆心(_±一马到直线的距离为d,则判别直线及圆的位置

22

关系的依据有以下几点：

(1)当d＞「时，直线/及圆。相离；

(2)当d=r时，直线，及圆三相切;

(3)当时，直线/及圆。相交；

4.2.2圆及圆的位置关系

两圆的位置关系.

设两圆的连心线长为/,则判别圆及圆的位置关系的依据有

以下几点：

(1)当/＞八+/2时，圆G及圆C2相离;

(2)当/r+r2时，圆G及圆外切；

(3)当旧-「21</<勺--2时，圆G及圆相交；

(4)当/=!(-々I时，圆G及圆。2内切；

(5)当/〈.-吐时,圆G及圆内含；

4.2.3直线及圆的方程的应用

1、利用平面直角坐标系解决直线及圆的位置关系；

2、过程及方法

用坐标法解决几何问题的步骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问

题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.

4.3.1空间直角坐标系

1、点M对应着唯一确定的有序实数组(x»z),X、八z分别

是P、Q、R在小y、z轴上的坐标

2、有序实数组(x,y,z),对应着空间直角坐标系中的一点

3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组Q,y,z)来表

示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M(x,y,z),

X叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，Z叫做点M的竖坐标。

4.3.2空间两点间的距离公式

1、空间中任意一点《（X，M，Z1）到点尸2（々，8*2）之间的距离公式

高一数学必修3公式总结以及例题

§1算法初步

秦九韶算法：通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式

的值，对于一个n次多项式，只要作n次乘法和n次加法即可。

表达式如下：

例题：秦九韶算法计算多项式

3X6-F4X5+5X4+6X3+7X2+8X+1,当x=0.4时，

需要做几次加法和乘：於算？答案：6,6

理解算法的含义：一般而言，对于一类问题的机械的、统

一的求解方法称为算法，其意义具有广泛的含义，如：广播操图

解是广播操的算法，歌谱是一首歌的算法，空调说明书是空调使

用的算法…（algorithm）

1.描述算法有三种方式：自然语言，流程图，程序设

计语言（本书指伪代码）.

2.算法的特征：

①有限性：算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的进行

下去

②确定性：算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切，而

且必须有输出，输出可以是一个或多个。没有输出的算法是无意

义的。

③可行性：算法的每一步都必须是可执行的，即每一步都可

以通过手工或者机器在一定时间内可以完成，在时间上有一个合

理的限度

3.算法含有两大要素：①操作：算术运算，逻辑运算，函

数运算，关系运算等②控制结构:顺序结构，选择结构，循环结

构

流程图：(flowchart):是用一些规定的图形、连线及

简单的文字说明表示算法及程序结构的一种图形程序，它直观、

清晰、易懂，便于检查及修改。

注意：1.画流程图的时候一定要清晰，用铅笔和直尺画，

要养成有开始和结束的好习惯

2.拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程，反

过来再检查，比如：遇到判断框时，往往临界的范围或者条件不

好确定，就先给出一个临界条件，画好大致流程，然后检查这个

条件是否正确，再考虑是否取等号的问题，这时侯也就可以有几

种书写方法了。

3.在输出结果时，如果有多个输出,…二定要用流程线把所

有的输出总结到一起，一起终结到结束'―|

II[1

.I■

算法结构：顺序结构，选择结构

tructure)：是一种最简单最基

本苗菇鬲它未患工灰rr;”wr-、…国制转移和重复执行的操作，一个

顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的。

H.选择结构(selectionstructure)：或者称为分支结构。

其中的判断框，书写时主要是注意临界条件的确定。它有一个入

口，两个出口，执行时只能执行一个语句，不能同时执行，其中

的A,B两语句可以有一个为空，既不执行任何操作，只是表明在

某条件成立时，执行某语句，至于不成立时，不执行该语句，也

不执行其它语句。

III.循环结构(cyclestructure)：它用来解决现实生活中

的重复操作问题，分直到型(until)和当型(while)两种结构(见

上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时(即不知道循

环次数时)用当型循环。

基本算法语句：本书中指的是伪代码(pseudocode),

且是使用BASIC语言编写的,是介于自然语言和机器语言之间的

文字和符号，是表达算法的简单而实用的好方法。伪代码没有统

一的格式，只要书写清楚，易于理解即可，但也要注意符号要相

对统一，避免引起混淆。如：赋值语句中可以用x=y，也可以

用；表示两变量相乘时可以用“*”，也可以用“X”

I.赋值语句(assignmentstatement)：用<-表示，如：

x<-y，表示将y的值赋给x,其中x是一个变量，y是一个及x

同类型的变量或者表达式.

一般格式：”变量一表达式”，有时在伪代码的书写时也可

以用“x=y”，但此时的“=”不是数学运算中的等号，而应

理解为一个赋值号。

注：1.赋值号左边只能是变量，不能是常数或者表达式，

右边可以是常数或者表法式「二”具有计算功能。如：3=a,b

+6=a,都是错误的，而a=3*5-1,a=2a+3

都是正确的。2.一个赋值语句一次只能给一个变量赋值。

如：a=b=c=2,a,b,

c=2都是错误的，而a=3是正确的.

例题：将x和y的值交换

p—x

PX

,同样的如果交换三个变量x,y,z的值广

y-z

II.输入语句(inputstatement):Reada,b表示输入

的数一次送给a,b

输出语句(outstatement)：Printx,y表示一次输出运

算结果x,y

注：1.支持多个输入和输出，但是中间要用逗号隔开！2.Read

语句输入的只能是变量而不是表达式3.Print语句不能起赋

值语句，意旨不能在Print语句中用“="4.Print语句可

以输出常量和表达式的值.5.有多个语句在一行书写时用

“：”隔开.

例题：当x等于5时，Print“x二”；x在屏幕上输出的

结果是x=5

III.条件语句(conditionalstatement)：

1.行If语句：IfAThenB注：没有

EndIf

2.块If语句：注：①不要忘记结束语句EndIf,

当有If语句嵌套使用时，有几个If,就必须要有几个EndIf

②.Elself是对上一个条件的否定，即已经不属于上面的条件，

另外Elself后面也要有EndIf③注意每个条件的临界性，

即某个值是属于上一个条件里，还是属于下一个条件。④为了

使得书写清晰易懂，应缩进书写。格式如下：

例题：用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法.

Reada,b,c

Reada,b,c

Ifa2bThen

Ifa2band

IfThen

:出求三，Then

Printa

［个数中，Pinta

Else

ElseIfb，cThen

Printcatement）：当事先知道循坏次

数IEndIfN次也是已知次数的循环当循

环口黑〜"一味’不Do循环有两种表达形式，及

循环结构的两种循环相对应.

__T_iLl__土_____古—L__While_A___

DoWhilepDo

循环，其实质是当型循环，一般在解决有关问题时，可以写成

While循环，较为简单，因为它的条件相对好判断.2.凡是能

用While循环书写的循环都能用For循环书写3.While循环和

Do循环可以相互转化4.Do循环的两种形式也可以相互转化，转

化时条件要相应变化5.注意临界条件的判定.

例题：设计计算Ix3x5x...x99的一个算法（见课本多）

颜老师友情提醒：1.一定要看清题意，看题目让你干什么,

有的只要写出算法，有的只要求写出伪代码，而有的题目则是既

写出算法画出流程还要写出伪代码0

2.在具体做题时，可能好多的同学感觉先画流程图较为简

单，但也有的算法伪代码比较好写，你也可以在草稿纸上按照你

自己的思路先做出来，然后根据题目要求作答。一般是先写算法,

后画流程图，最后写伪代码。

3.书写程序时一定要规范化，使用统一的符号，最好及教材

一致，由于是新教材的原因，再加上各种版本，可能同学会看到

各种参考书上的书写格式不一样，而且有时还会碰到我们没有见

过的语言，希望大家能以课本为依据，不要被铺天盖地的资料所

淹没！

高中数学必修4知识点

2、角a的顶点及原点重合，角的始边及X轴的非负半轴重合,

终边落在第几象限，则称a为第几象限角.

第一象限角的集合为{a|h360<a<h360+90,AwZ}

第二象限角的集合为同攵.360+90<-3604-180,

第三象限角的集合为{建360+180<a<h360+270/eZ}

第四象限角的集合为{咻360+270<a<k-36O+360,ZEZ}

终边在x轴上的角的集合为{a|a=hl80,%£Z}

终边在y轴上的角的集合为{a|a=hl80+9()MEZ}

终边在坐标轴上的角的集合为{a|a=h90入Z

3、及角。终边相同的角的集合为物忸=h360+a,&wZ}

4、已知a是第几象限角，确定?(〃£N*)所在象限的方法：先

把各象限均分〃等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区

域标上一、二、三、四，则a原来是第几象限对应的标号即为巴

n

终边所落在的区域.

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.

6、半径为「的圆的圆心角。所对弧的长为/,则角。的弧度数

的绝对值是闷=%

JT

7、弧度制及角度制的换算公式:2^=360,1=—

180

180

1=«57.3.

8、若扇形的圆心角为a(a为弧度制)，半径为一弧长为/,周

长为C,面积为S,则/=四,C=2r+/,S=-lr=-\a\r2.

22

9、设a是一个任意大小的角，a的终边上任意一点P的坐标

x

是(x,y),它及原点的距禺是4=+>0］则sina=上，cosa=一，

r

tana=2（彳00）・

10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限

正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正.

11、二角函数线：sina=MP,cosa=OM,tana=AT.

12、同角三角函数的基本关系：⑴sin2a+cos2a=l

13、三角函数的诱导公式：

口诀：函数名称不变，符号看象限.

口诀：正弦及余弦互换，符号看象限.

14、函数产sinx的图象上所有点向左（右）平移刨个单位长

度，得到函数y=sin（x+0）的图象；再将函数y=sin（x+e）的图象上

所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的,倍（纵坐标不变），得

co

至！J函数y=sin（5+°）的图象；再将函数y=sin（5+°）的图象上所有

点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函

数y=Asin（的+e）的图象.

函数产sinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

上倍（纵坐标不变），得到函数

co

y=sin8的图象；再将函数y=sinox的图象上所有点向左（右）

平移4个单位长度，得到函数产sin（5+0）的图象；再将函数

产sin（5+Q）的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍

（横坐标不变），得到函数尸Asin（3+。）的图象.

函数y=Asin（6zr+^）（A>0,6y>0）的性质：

①振幅：A;②周期：T=—;③频率：f=—；④相位:

coT27r

cox+（p\⑤初相：9・

函数y=Asin（5+w）+B,当x=%时，取得最小值为人加；当'=%

时，取得最大值为为…则人=却侬-%所），8=3（八+为而），

［二*2一玉（司＜々）・

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象及性质:

定

<XX^K7fr+—冗,、KEZr>

义RR2

域

值

[-M][-U]R

域

当x=2k兀+-^(A:GZ)当工=2攵%(&£Z)时,

当兀+/

最时，ymax=1；当）"=1；x=2k既无最大值也无

值X=2k7i~(ZEZ)时，jmin=-1.最小值

(林Z)时，ymin=-l.

m2"2"冗

期

性

奇奇函数偶函数奇函数

偶

性

・力•c1万c,兀

2k兀——,2,k/c+—

（林Z）上是增函在［2左/一乃,2左乃］（kwZ）

7fc(1兀、兀

单TLIkTC-----,K7TH

\22)

数；在上是增函数；在

调

(kwZ)上是增函

［2攵乃,2攵万+同

2te+-,2te+—

性22

数.

（攵wZ）上是减函数.

（kcZ）上是减函

数.

对称中心对称中心对称中

心

对

（族,0）（丘Z）

左乃+5,0）（女GZ）容)

称0(G)

对称轴

性

对称轴x二改乃（ZeZ）无对称轴

x=k兀+/(keZ)

16、向量：既有大小，又有方向的量.

数量：只有大小，没有方向的量.

有向线段的三要素：起点、方向、长度.

零向量：长度为o的向量.

单位向量：长度等于1个单位的向量.

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量.零向

量及任一向量平行.

相等向量:长度相等且

方向相同的向量.

17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点:

首尾相连.

⑵平行四边形法则的特点：共起点.

（3）三角形不等式：同一忖卜,+.«同+忖.

⑷运算性质：①交换律：a+b=b+a;②结合律：

（4+b）+c?=d+（b+6）;③〃+0=0+〃=4.

⑸坐标运算：设a=（xI,y1）,6=（孙必），则

a+z?=（%+w，y+y2）・

18、向量减法运算:a-b=AC-AB=BC

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量.

⑵坐标运算：设@=（方方），心=（七,%），贝-力=（%-林凶,

设A、B两点的坐标分别为（和凹）,（w，%），则

AB=（内一%,凹一%）・

19、向量数乘运算：

⑴实数4及向量〃的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，

记作A