2022年中考数学一轮复习：解直角三角形综合压轴题专项练习题（含答案）

2022年中考数学一轮复习：解直角三角形综合压轴题专项练习题

1、黔东南州某校吴老师组织九（1）班同学开展数学活动，带领同学们测量学校

附近一电线杆的高.已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆

的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰

角为30°,在C处测得电线杆顶端A得仰角为45°,斜坡与地面成60°角，CD=4m,

请你根据这些数据求电线杆的高（AB）.

（结果精确到1m,参考数据：72^1.4,73^1.7）

2、“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车

到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”

A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1790m.如图，DE〃BC,BD=1700m,

ZDBC=80°,求斜坡AE的长度.（结果精确到0.Im）

3、如图，四边形ABCD是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据:

ZA=90°,ZABD=60°,ZCBD=54°,AB=200m,BC=300m.

请你计算出这片水田的面积.

（参考数据：sin54°^0.809,cos540心0.588,tan54°心1.376,1.732）

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D.

4、如图，•是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10

米处有一建筑物HQ,为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，

使新坡面DC的倾斜角NBDC=30°,若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3

米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）.（参

考数据：V2=1.414,V3=1.732）

5、如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2b米处的

点C出发，沿斜面坡度i=l：遂的斜坡CD前进4米到达点D,在点D处安置测

角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°,量得仪器的高DE为1.5米.已知A、B、

C、D、E在同一平面内，AB±BC,AB/7DE.求旗杆AB的高度.（参考数据：sin37°

cos370心言，tan37°计算结果保留根号）

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6、金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB

的高.他们在旗杆正前方台阶上的点。处，测得旗杆顶端A的仰角为45°,朝着

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旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°.已知升旗台的

高度席为1米，点。距地面的高度CD为3米，台阶的坡角为30°,且点

瓦在同一条直线上.求旗杆的高.（计算结果精确到0.1米，参考数据:

V2®1.41,73=1.73）

7、如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°,沿山坡向

上走到P处再测得C的仰角为45°,已知OA=200米，山坡坡度为段（即tanN

PAB=费），且0,A,B在同一条直线上，求电视塔0C的高度以及此人所在的位

置点P的垂直高度.（侧倾器的高度忽略不计，结果保留根号）

8、如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m,在A点测得D

点的仰角ZEAD为45°,在B点测得D点的仰角ZCBD为60°,求这两座建筑物

的高度（结果保留根号）

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9、如图，海中有一小岛A,它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航

行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得

小岛A在北偏东30°方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁

10、如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角a为

60°,根据有关部门的规定，NaW39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除

安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要

把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）

（参考数据：sin39°*=0.63,cos39°«=0.78,tan39°心0.81,加弋1.41,M

-1.73,泥心2.24）

B

□

□D

11、如图所示，我国两艘海监船A,8在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收

到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船。.此时，8船在A船的正南方向5海里

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处，A船测得渔船C在其南偏东45。方向，8船测得渔船。在其南偏东53。方向.

已知A船的航速为30海里/小时，3船的航速为25海里/小时，问。船至少要等

待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53。。？4，cos53°«3-,tan53°«4-,

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0*1.41)

12、如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCO）靠墙摆放，高

AD=80c，n,宽=48cm.小强身高166c加，下半身产G=100cm,洗漱时下半

身与地面成80°（ZFGK=80°）,身体前倾成125°（NEFG=125°）,脚与洗漱

台距离GC=15cvw（点D,C,G,K在同一直线上）.

（1）此时小强头部E点与地面。K相距多少？

（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆A3中点。的正上方，他应向前或后退

多少？

（sin80°«0.98,cos80°«0.17,VI«1.41,结果精确到0.1）

13、乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组

成（如图所示），建造前工程师用以下方式做了测量；无人机在A处正上方97m

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处的P点，测得B处的俯角为30°（当时C处被小山体阻挡无法观测），无人机

飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处俯角为80°36'.

（1）求主桥AB的长度；

（2）若两观察点P、D的连线与水平方向的夹角为30°,求引桥BC的长.

（长度均精确到1m,参考数据：＞/3^1.73,sin80°36z）0.987,cos80°36'

^0.163,tan80°36'^6.06)

D

14、风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源.风电机组主要由塔杆和叶

片组成（如图1）,图2是从图1引出的平面图.假设你站在A处测得塔杆顶端C

的仰角是55。，沿H4方向水平前进43米到达山底G处，在山顶8处发现正好一

叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端。（。、C、”在同一直线上）的仰

角是45。.已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高

BG为10米，BG1HG,。”_147,求塔杆。〃的高.（参考数据：tan55°®1.4,

tan35°a0.7,sin55°»0.8,sin35°«0.6）

15、小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底，物处出

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发，向前走3米到达4处，测得树顶端6的仰角为30°,他又继续走下台阶到

达。处，测得树的顶端£的仰角是60°,再继续向前走到大树底〃处，测得食

堂楼顶平的仰角为45°.已知/点离地面的高度AB=2米，/8。=30°,且反C、

〃三点在同一直线上.

（1）求树龙的高度;

（2）求食堂/肿的高度.

16、图1是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热

能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根

据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角（9）确定玻璃吸热管的倾

斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），请完成以下计算：

如图2,AB_LBC,垂足为点B,EA1AB,垂足为点A,CD〃AB,CD=10cm,DE=120cm,

FG1DE,垂足为点垂

（1）若N®=37°50',则AB的长约为cm；

(参考数据：sin37°50'^0.61,cos37°50'^0.79,tan37°50z心0.78)

(2)若FG=30cm,N0=60°,求CF的长.

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参考答案

1、黔东南州某校吴老师组织九（1）班同学开展数学活动，带领同学们测量学校

附近一电线杆的高.已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆

的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰

角为30°,在C处测得电线杆顶端A得仰角为45°,斜坡与地面成60°角，CD=4m,

请你根据这些数据求电线杆的高（AB）.

（结果精确到1m,参考数据：72^1.4,73^1.7）

【解答】解：延长AD交BC的延长线于G,作DH_LBG于H,如图所示：

在RtZ^DHC中，ZDCH=60°,CD=4,

则CH=CD・cosNDCH=4Xcos60°=2,DH=CD•sinZDCH=4Xsin60°=2«,

VDH1BG,ZG=30°,

.jDH_诟.

・・HG-......../--------------------b，

tan/Gtan30

ACG=CH+HG=2+6=8,

设AB=xm,

VAB1BG,ZG=30°,ZBCA=45°,

VBG-BC=CG,

/.V3X-x=8,

解得：x«»ll(m)；

答:电线杆的高为Um.

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2、“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车

到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”

A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1790m.如图，DE〃BC,BD=1700m,

ZDBC=80°,求斜坡AE的长度.（结果精确到0.Im）

【解答】解：过点D作DFJ_BC于点F,延长DE交AC于点M,

由题意可得：EM±AC,DF=MC,ZAEM=29°,

在RSDFB中，sin80°=黑，则DF=BD・sin80°，

DU

AM=AC-CM=1790-1700*sin80°,

在RtZSAME中，sin29°=受,

AM1790-1700'sin80

故AE=5!=:238.9(m),

sin290sin290

答：斜坡AE的长度约为238.9m.

3、如图，四边形ABCD是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据:

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ZA=90°,ZABD=60°,ZCBD=54°,AB=200m,BC=300m.

请你计算出这片水田的面积.

(参考数据：sin54°^0.809,cos54°心0.588,tan54°心1.376,1.732)

n

【解答】解：作CM_LBD于M,如图所示：

VZA=90°,ZABD=60°,

：.ZADB=30°,

.•.BD=2AB=400m,

AD=Z\Z^AB=200A/3ID,

.'.△ABD的面积=*X200X200«=20000«(m2),

,/ZCMB=90°,ZCBD=54°,

.*.CM=BC*sin54°=300X0.809=242.7m,

...△BCD的面积=*X400X242.7=48540(m2),

，这片水田的面积=20000«+48540p83180(m2).

4、如图，•是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10

米处有一建筑物HQ,为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，

使新坡面DC的倾斜角NBDC=30°,若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3

米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）.（参

考数据：圾=1.414,V3=L732）

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【解答】解：由题意得，AH=10米，BC=10米，

在Rt^ABC中，ZCAB=45°,

/.AB=BC=10,

在RtaDBC中，ZCDB=30°,

•叫还捺而=10仃

/.DH=AH-AD=AH-(DB-AB)=10-10«+10=20-10/弋2.7(米),

V2.7米V3米，

，该建筑物需要拆除.

5、如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2b米处的

点C出发，沿斜面坡度i=l：晶的斜坡CD前进4米到达点D,在点D处安置测

角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°,量得仪器的高DE为1.5米.已知A、B、

C、D、E在同一平面内，AB1BC,AB/7DE.求旗杆AB的高度.（参考数据：sin37°

^4,cos37°7,tan37°壬.计算结果保留根号）

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【解答】解：如图，延长ED交BC延长线于点F,则NCFD=90°,

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.,.ZDCF=30°,

VCD=4,

DF=yCD=2,CF=CDcosZDCF=4X零=2«,

...BF=BC+CF=2«+2b=4«,

过点E作EG±AB于点G,

则GE=BF=4/，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5,

又•.•/AED=37°,

.•.AG=GEtanNAEG=4«・tan37°,

则AB=AG+BG=4V3*tan37°+3.5=3«+3.5,

故旗杆AB的高度为(373+3.5)米.

6、金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB

的高.他们在旗杆正前方台阶上的点。处，测得旗杆顶端A的仰角为45°,朝着

旗杆的方向走到台阶下的点尸处，测得旗杆顶端A的仰角为60°.已知升旗台的

高度5E为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶b的坡角为30°,且点

瓦£力在同一条直线上.求旗杆AB的高.(计算结果精确到0.1米，参考数据:

V2®1.41,73=1.73)

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【答案】

试题解析：过点C作CM_LAB于M.则四边形YEDC是矩形，

/.ME=DC=3.CM=ED,

在RiAAEF中，ZAFE=60°,设EFr,则AF=2x,AE=&x,

在Rt2kFCD中，CD=3,ZCFD=30°,.,.DF=3^3,

在Rt^AMC中，ZACM=45°,

/.ZMAC=ZACM=45°,/.MA=MC,

VED=CM,；.AM=ED,

VAM=AE-ME,ED=EF+DF,，&x-3=x+36,.•.x=6+36,

.,.AE=A/3(6+3G)=6G+9,.•.AB=AE-BE=9+6G-1-18.4米.

答：旗杆AB的高度约为18.4米.

7、如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°,沿山坡向

上走到P处再测得C的仰角为45°,已知OA=200米，山坡坡度为段（即tanN

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PAB=蓝），且0,A,B在同一条直线上，求电视塔0C的高度以及此人所在的位

置点P的垂直高度.（侧倾器的高度忽略不计，结果保留根号）

在Rtz^AOC中，A0=200米，ZCA0=60°,

.，.C0=A0«tan60°=20073(米)

(2)设PE=x米，

tanNPAB=^^=!，

AE3

AE=3x.

在RtZkPCF中，

ZCPF=45°,CF=200«-x,PF=OA+AE=200+3x,

VPF=CF,

/.200+3x=200V3-x,

解得x=50(5/3-1)米.

答：电视塔0C的高度是200y米，所在位置点P的铅直高度是50(虫-1)米.

8、如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m,在A点测得D

点的仰角NEAD为45°,在B点测得D点的仰角NCBD为60°,求这两座建筑物

的高度（结果保留根号）

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【解答】解:

如图，过A作AFLCD于点F,

在RtZSBCD中，ZDBC=60°,BC=30m,

VCD=tanZDBC,

BC

.•.CD=BC«tan60°=30/m,

，乙建筑物的高度为30&m；

在Rt^AFD中，ZDAF=45°，

.•.DF=AF=BC=30m>

.\AB=CF=CD-DF=(30A/3-30)m,

甲建筑物的高度为(3073-30)m.

9、如图，海中有一小岛A,它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航

行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得

小岛A在北偏东30°方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁

的危险？

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【解答】解：只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以8海里的圆内

或圆上即可，

如图，过A作AC1.BD于点C,则AC的长是A到BD的最短距离，

VZCAD=30°,ZCAB=60°,

/.ZBAD=60°-30°=30°,ZABD=90°-60°=30°,

/.ZABD=ZBAD,

，BD=AD=12海里,

VZCAD=30°,NACD=90°,

22

由勾股定理得：AC=^12-6=6V3%10.392>8,

即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险.

10、如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角a为

60°,根据有关部门的规定，NaW39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除

安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要

把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数)

(参考数据：sin39°*=0.63,cos39°«=0.78,tan39°心0.81,M

^1.73,V5^2.24)

【解答】解：假设点D移到D，的位置时，恰好Na=39°,过点D作DELAC于

点E,作D'E'_LAC于点E',

・1D=12米,ZDCE=60°,

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...DE=CD-sin60°=12X率=6«米，CE=CD・cos60°=12X^=6米.

乙乙

VDE±AC,D'E'±AC,DD'〃CE'，

，四边形DEE'D'是矩形,

.\DE=D/E'=6«米.

VZD/CE'=39°,

ACE,=—~~-——^^128,

tan390.81'

.'.EE'=CE'-CE=12.8-6=6.8（米）.

答：学校至少要把坡顶D向后水平移动6.8米才能保证教学楼的安全.

11、如图所示，我国两艘海监船A,8在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收

到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C.此时，3船在A船的正南方向5海里

处，A船测得渔船。在其南偏东45。方向，8船测得渔船。在其南偏东53。方向.

已知A船的航速为30海里/小时，8船的航速为25海里/小时，问C船至少要等

434

待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53。cos53°«-,tan53°«-,

553

V2®1.41）

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试题解析：过点C作C。_$8交AB的延长线于点D,则NCDA=90。

已知NCDA=45。，设CD=x,则AD=CD=x

..BI^AD-AB^x-S

在RtABDC中,CD=BD-tan53°)即x=(x-5)-tan530

5353。

tan530-137

3

，B船到达C船处约需时间：254-25=1（小时）

在Rt^ADC中，AC=V2x®1.41X20=28.2

...A船到达C船处约需时间：28.24-30=0.94（小时）

而0.94<］，所以C船至少要等待0.94小时才能得到救援.

12、如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCO）靠墙摆放，高

AD=SOcm,宽AB=48c7〃.小强身高166cm,下半身FG=1005，洗漱时下半

身与地面成80°（ZFGK=80°）,身体前倾成125°（NE/G=125°）,脚与洗漱

台距离GC=15cm（点£>,C,G,K在同一直线上）.

（1）此时小强头部E点与地面DK相距多少？

（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB中点。的正上方，他应向前或后退

多少？

(sin80°»0.98,cos8()°«0.17,V2«1.41,结果精确到0.1)

【答案】：过点F作FN_LDK于点N,过点E作EM_LFN于点M,

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•.•EF+FG=166,FG=100,，EF=66,

VZFGK=80°,.*.FN=100sin80°心98,

XVZEFG=125°,ZEFM=180°-125°-10°=45°,

/.FM=66cos45°=33^^46.53,

，MN=FN+FM=144.5.

他头部E点与地面DK相距约144.5cm。

（2）解：过点E作EP_LAB于点P,延长OB交MN于点H。

VAB=48,0为AB的中点,

/.AO=BO=24,

VEM=66sin45°勺46.53,即PH=46.53

GN=100cos800心1,8,CG=15,

.•.0H=24+15+18==57

0P=0H-PH=57-46.53=10.47心10.5,

.•.他应向前10.5cm。

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13、乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组

成（如图所示），建造前工程师用以下方式做了测量；无人机在A处正上方97m

处的P点，测得B处的俯角为30°（当时C处被小山体阻挡无法观测），无人机

飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处俯角为80°36'.

（1）求主桥AB的长度；

（2）若两观察点P、D的连线与水平方向的夹角为30°,求引桥BC的长.

（长度均精确到1m,参考数据:73^1.73,sin80°36'«=0,987,cos80°36'

^^0.163,tan80°36'-6.06）

【解析】

试题分析：（D在RtZkABP中，由AB=——=可得答案；（2）由/ABP=30°、APR7知PB=2PA=194,再

tanA7ATBP

r）p

证4PBD是等边三角形得DB=PB=194m,根据BC=——-可得答案.

tanZC

试题解析：

(1)由题意知NABP=30°、AP=97,

AP9797-

--------=-------=—^=-=9Q，Fj=68

.'.AB=tanZ^£5Ptan30°J3cm.

3

答：主桥AB的长度约为168m;

(2)VZABP=30°、AP=97,；.PB=2PA=194,

XVZDBC=ZDBA=90°、ZPBA=30°,/.ZDBP=ZDPB=60°,

...△PBD是等边三角形，.,.DB=PB=194,

在RtaBCD中,VZC=80°36',

Be-DB-194-32,

tanZCtan8O°36'

答：引桥BC的长约为32m.

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14、风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源.风电机组主要由塔杆和叶

片组成（如图1）,图2是从图1引出的平面图.假设你站在A处测得塔杆顶端C

的仰角是55。，沿方向水平前进43米到达山底G处，在山顶8处发现正好一

叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端。（。、C、”在同一直线上）的仰

角是45。.已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高

BG为10米，BG1HG,。〃_147,求塔杆。”的高.（参考数据：tan55°«1.4,

tan35°«0.7,sin55°®0.8,sin35°«0.6）

（图1）（图2）

【答案】

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试题分析：作BE1DH,知GH=BE、BG=EH=10,设AH=x,贝"BE=GH=43+x,由CH=AHtanZCAH=tan550«x

知CE=CH-EH=tan55°-x-10,根据BE=DE可得关于x的方程，解之可得.

试题解析：如图，作BE1DH于点E,

贝i」GH=BE、BG=EH=10,

设AH=x,则BE=GH=GA-AH=43+x,

在RtAACH中，CH=AHtanZCAH=tan550-x,

.,.CE=CH-EH=tan550-x-10,

,.,ZDBE=45°,.,.BE=DE=CE+DC,即43+x=tan55%x-10+35,解得：足45,

/.CH=tan55°・x=l.4X45=63,

答：塔杆CH的高为63米.

15、小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底，"处出

发，向前走3米到达/处，测得树顶端6的仰角为30°,他又继续走下台阶到

达。处，测得树的顶端E的仰角是60°,再继续向前走到大树底〃处，测得食

堂楼顶平的仰角为45°.已知力点离