沧州市重点中学2025届高一数学第一学期期末联考试题含解析

沧州市重点中学2025届高一数学第一学期期末联考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，，，则的大小关系为A. B.C. D.2．如图，在下列四个正方体中，、为正方体两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（）A. B.C. D.3．如图，在平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B.C. D.4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AD1和B1C所成的角是（）A. B.C. D.5．各侧棱长都相等，底面是正多边形的棱锥称为正棱锥，正三棱锥的侧棱长为，侧面都是直角三角形，且四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B.C. D.6．下列函数中，在区间上是增函数的是（）A. B.C. D.7．已知两条直线，，且，则满足条件的值为A. B.C.-2 D.28．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（）A. B.C. D.9．半径为2的扇形OAB中，已知弦AB的长为2，则的长为A. B.C. D.10．已知a＝4-5，b=log45，c＝log0.45，则a，b，c的大小关系为（）A.a>b>c B.c>b>aC.b>a>c D.c>a>b二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．高三年级的一次模拟考试中，经统计某校重点班30名学生的数学成绩均在[100，150]（单位：分）内，根据统计的数据制作出频率分布直方图如右图所示，则图中的实数a=__________，若以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，估算该班的数学成绩平均值为__________12．已知是半径为，圆角为扇形,是扇形弧上的动点，是扇形的接矩形，则的最大值为________.13．写出一个最小正周期为2的奇函数________14．直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为____________15．求过(2,3)点，且与(x－3)2＋y2＝1相切的直线方程为_____16．已知函数，将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移个单位，得到函数的解析式______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．函数是定义在上的奇函数，且（1）确定的解析式（2）判断在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；（3）解关于的不等式18．已知函数，（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在区间上的值域19．已知，（1）求，的值；（2）求的值20．已知函数，图象上两相邻对称轴之间的距离为；_______________；（Ⅰ）在①的一条对称轴；②的一个对称中心；③的图象经过点这三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；（Ⅱ）若动直线与和的图象分别交于、两点，求线段长度的最大值及此时的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.21．如图，在中，已知为线段上的一点，.（1）若，求的值；（2）若，，，且与的夹角为时，求的值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】利用利用等中间值区分各个数值的大小【详解】；；故故选A【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待2、D【解析】利用线面平行判定定理可判断A、B、C选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，如下图所示，连接，在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，、分别为、的中点，则，，平面，平面，平面；对于B选项，连接，如下图所示：在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，、分别为、的中点，则，，平面，平面，平面；对于C选项，连接，如下图所示：在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，、分别为、中点，则，，平面，平面，平面；对于D选项，如下图所示，连接交于点，连接，连接交于点，若平面，平面，平面平面，则，则，由于四边形为正方形，对角线交于点，则为的中点，、分别为、的中点，则，且，则，，则，又，则，所以，与平面不平行；故选：D.【点睛】判断或证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理（，，），其关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理（，）.3、B【解析】由题意，的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积【详解】解：由题意，四面体顶点在同一个球面上，和都是直角三角形，所以的中点就是球心，所以，球的半径为：，所以球的表面积为：故选B【点睛】本题是基础题，考查四面体的外接球的表面积的求法，找出外接球的球心，是解题的关键，考查计算能力，空间想象能力4、D【解析】正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线AD1和面对角线DA1所成的角就是异面直线AD1和B1C所成的角，利用正方体的性质即得【详解】由正方体的性质可知，，∴四边形为平行四边形，∴DA1∥B1C，∴正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线AD1和面对角线DA1所成的角就是异面直线AD1和B1C所成的角，∵四边形ADD1A1正方形，∴直线AD1和DA1垂直，∴异面直线AD1和B1C所成的角是90°故选：D5、D【解析】因为侧棱长为a的正三棱锥P﹣ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，三棱锥的正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，正方体的对角线长为：；所以球的表面积为：4π=3πa2故答案为D．点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，有时也可利用补体法得到半径．6、B【解析】根据函数单调性的定义和性质分别进行判断即可【详解】解：对于选项A.的对称轴为，在区间上是减函数，不满足条件对于选项B.在区间上是增函数，满足条件对于选项C.在区间上是减函数，不满足条件对于选项D.在区间上是减函数，不满足条件故满足条件的函数是故选：B【点睛】本题主要考查函数单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的单调性，属基础题7、C【解析】根据两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，可得求得a=﹣2，故选C8、A【解析】根据任意角三角函数的概念可得出，然后利用诱导公式求解.【详解】因为角以为始边，且终边与单位圆交于点，所以，则.故选：A.【点睛】当以为始边，已知角终边上一点的坐标为时，则，.9、C【解析】由已知可求圆心角的大小，根据弧长公式即可计算得解【详解】设扇形的弧长为l，圆心角大小为，∵半径为2的扇形OAB中，弦AB的长为2，∴，∴故选C【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，考查了数形结合思想的应用，属于基础题10、C【解析】根据指数函数、对数函数的单调性，判断的大致范围，即可比较大小.【详解】因为，且，故；又，故；又，故；故.故选：C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①.0.005（或）②.126.5（或126.5分）【解析】根据频率分布直方图的性质得到参数值，进而求得平均值.详解】由频率分布直方图可得：，∴；该班的数学成绩平均值为.故答案为：12、【解析】设,用表示出的长度,进而用三角函数表示出,结合辅助角公式即可求得最大值.【详解】设扇形的半径为,是扇形的接矩形则,所以则所以因为,所以所以当时,取得最大值故答案为:【点睛】本题考查了三角函数的应用,将边长转化为三角函数式,结合辅助角公式求得最值是常用方法,属于中档题.13、【解析】根据奇函数性质可考虑正弦型函数，，再利用周期计算，选择一个作答即可.【详解】由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数，，满足，即是奇函数；根据最小正周期，可得.故函数可以是中任一个，可取.故答案为：.14、x＋3y－5＝0或x＝－1【解析】当直线l为x=﹣1时，满足条件，因此直线l方程可以为x=﹣1当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y﹣2=k（x+1），化为：kx﹣y+k+2=0，则，化为：3k﹣1=±（3k+3），解得k=﹣∴直线l的方程为：y﹣2=﹣(x+1），化为：x+3y﹣5=0综上可得：直线l的方程为：x+3y﹣5=0或x=﹣1故答案为x+3y﹣5=0或x=﹣115、或【解析】当直线没有斜率时，直线的方程为x=2,满足题意，所以此时直线的方程为x=2.当直线存在斜率时，设直线的方程为所以故直线的方程为或.故填或.16、【解析】根据三角函数图象的变换可得答案.【详解】将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得，再将得到的图象向右平移个单位得故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）增函数，证明见解析（3）【解析】（1）根据奇偶性的定义与性质求解（2）由函数的单调性的定义证明（3）由函数奇偶性和单调性，转化不等式后再求解【小问1详解】根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，解可得；又由，则有，解可得；则【小问2详解】由（1）的结论，，在区间上为增函数；证明：设，则又由，则，，，，则，即则函数在上为增函数.【小问3详解】由（1）（2）知为奇函数且在上为增函数.，解可得：，即不等式的解集为.18、（1）；（2）【解析】（1）根据正弦函数的周期性和单调性即可得出答案；（2）根据周期变换和平移变换求出函数，再根据余弦函数的性质即可得出答案.【小问1详解】解：由函数，则函数f（x）的最小正周期，令，解得，所以函数f（x）的单调递增区间为；【小问2详解】解：函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，得到，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到，当时，，所以，所以函数在区间上的值域为.19、（1），（2）【解析】（1）首先利用诱导公式得到，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；（2）利用诱导公式化简，再将弦化切，最后代入求值即可；【小问1详解】解：因为，，所以，又解得或，因为，所以【小问2详解】解：20、（Ⅰ）选①或②或③，；（Ⅱ）当或时，线段的长取到最大值.【解析】（Ⅰ）先根据题中信息求出函数的最小正周期，进而得出.选①，根据题意得出，结合的取值范围可求出的值，进而得出函数的解析式；选②，根据题意得出，结合的取值范围可求出的值，进而得出函数的解析式；选③，根据题意得出，结合的取值范围可求出的值，进而得出函数的解析式；（Ⅱ）令，利用三角恒等变换思想化简函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质求出在上的最大值和最小值，由此可求得线段长度的最大值及此时的值.【详解】（Ⅰ）由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，则该函数的最小正周期为，，此时.若选①，则函数的一条对称轴，则，得，，当时，，此时，；若选②，则函数的一个对称中心，则，得，，当时，，此时，；若选③，则函数的图象过点，则，得，，，，解得，此时，.综上所述，；（Ⅱ）令，，，，当或