2024-2025学年高中数学第五章数系的扩充与复数的引入测评含解析北师大版选修2-2

PAGEPAGE6第五章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列命题中,正确的是()A.复数的模总是正实数B.复数集与复平面内全部向量组成的集合一一对应C.若与复数z对应的点在第一象限,则与该复数对应的向量的终点也肯定会在第一象限D.相等的向量对应着相等的复数解析复数的模大于或等于0,因此A不正确;复数集与复平面内全部从原点动身的向量组成的集合一一对应,因此B不对;同理C也不正确,D正确,因此选D.答案D2.已知z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),若z1-z2是纯虚数,则有()A.a-c=0且b-d≠0B.a-c=0且b+d≠0C.a+c=0且b-d≠0D.a+c=0且b+d≠0解析依题意z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i,因为z1-z2是纯虚数,所以实部a-c=0且虚部b-d≠0.故选A.答案A3.设复数z满意z·(1+i)=2i+1(i为虚数单位),则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限解析∵复数z满意z·(1+i)=2i+1(i为虚数单位),∴z=1+2i1+i=该复数在复平面内对应点32,1答案A4.若复数(4+ai)(1+i)(i为虚数单位,a∈R)为纯虚数,则a的值为()A.-4 B.3 C.4 D.5解析∵(4+ai)(1+i)=4+ai+4i+ai2=4-a+(a+4)i,∴4-a=0,故选C.答案C5.在复平面内,复数z=i(1+2i)的共轭复数为()A.2-i B.-2-i C.2+i D.-2+i解析∵复数z=i(1+2i)=-2+i,∴复数z=i(1+2i)的共轭复数为-2-i.答案B6.复数z满意(1+i)·z=1-i2021,则z的虚部为()A.1 B.-1 C.i D.-i解析因为(1+i)·z=1-i2024=1-i,所以z=1-i所以z=i,故z的虚部为1.故选A.答案A7.已知复数z满意z(1-i)=2,则z5=()A.16 B.-4+4i C.-16 D.-16i解析∵z(1-i)=2,∴z=21-则z=1-i.∴z5=(1-i)5=(1-i)4(1-i)=-4(1-i)=-4+4i.答案B8.下面是关于复数z=2-1+ip1:|z|=2;p2:z2=2i;p3:z的共轭复数为1+i;p4:z的虚部为-1.其中的真命题为()A.p2,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4解析本题考查了复数的四则运算以及复数的模,共轭复数等学问.z=2-1+i=2(-1-i)(-1+i)(-1-i)=-1-i,p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z的共轭复数为-1+答案C9.设z=21+i+(1+i)2,则|z|=(A.3 B.1 C.2 D.2解析z=21+i+(1+i)2=2(1-i)(1+i)(1-i)+2i=1-答案D10.若复数z=a+3i1-2i(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则在复平面内zA.(0,2) B.(0,3i) C.(0,3) D.(0,2i)解析∵z=a+3i1-2i=(a+3i)(1+2i)(∴在复平面内z对应点的坐标为(0,3).答案C11.已知复数a+i1-2i·i2016(i是虚数单位)为纯虚数,则实数aA.2 B.-2 C.1 D.-1解析∵i4=1,∴i2016=1.∴复数a+i1-2i·=a-2+(∴a-25=0,1+2a5≠答案A12.若A,B是锐角△ABC的两内角,则复数z=(cosB-sinA)+(sinB-cosA)i在复平面内所对应的点位于()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限解析∵A,B是锐角△ABC的两内角,∴A+B>π2.由①得A>π2-B∵A,B为锐角△ABC的内角,∴A∈0,又在0,π2内∴sinA>sinπ2-B,即sinA>∴cosB-sinA<0.又由①可得B>π2-A同理可得sinB>sinπ2即sinB>cosA,∴sinB-cosA>0.故z对应的点在其次象限.答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知i是虚数单位,计算1-i(1+i解析1-i(1+i答案-1214.已知复数z满意2z+z=1-i,则|z|=.

解析设z=a+bi(a,b∈R),因为2z+z=1-i,所以2a+2bi+a-bi=1-i,故3a+bi=1-i,所以a=13,b=-1,则|z|=1+答案1015.在复平面上,假如AB,AC对应的复数分别是5+4i,-2+3i,那么BC对应的复数为解析∵AB,AC对应的复数分别是5+4i,-2+3i,∴BC对应的复数为-2+3i-(5+4i)=-7-i.答案-7-i16.若复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称,且z1(3-i)=z2(1+3i),|z1|=2,则z1=.

解析设z1=a+bi,则z2=-a+bi,∵z1(3-i)=z2(1+3i),且|z1|=2,∴(解得a=1,b=-1或a=-1,b=1.答案1-i或-1+i三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)若复数(m2-3m-4)+(m2-m-6)i表示的点在第四象限内,求实数m的取值范围.解由题意,知m∴-2<m<-1.故m的取值范围是{m|m∈R,且-2<m<-1}.18.(本小题满分12分)已知复数z=1+i,求实数a,b,使得az+2bz=(a+2z)2.解因为z=1+i,所以az+2bz=(a+2b)+(a-2b)i,(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a2+4a)+4(a+2)i.因为a,b都是实数,所以由az+2bz=(a+2z)2,得a两式相加并整理得a2+6a+8=0,解得a1=-2,a2=-4,相应得b1=-1,b2=2.所以所求实数为a=-2,b=-1或a=-4,b=2.19.(本小题满分12分)实数k为何值时,复数(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)分别是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)零?解令z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.(1)当k2-5k-6=0时,z∈R,此时k=6或k=-1.(2)当k2-5k-6≠0时,z是虚数,即k≠6且k≠-1.(3)当k2-3k-4=0,k2(4)当k2-3k-4=0,k综上,当k=6或k=-1时,z是实数;当k≠6且k≠-1时,z是虚数;当k=4时,z是纯虚数;当k=-1时,z是零.20.(本小题满分12分)已知复数z满意|z+2-2i|=2,且复数z在复平面内的对应点为M.(1)确定点M的集合构成图形的形态;(2)求|z-1+2i|的最大值和最小值.解(1)设复数-2+2i在复平面内的对应点为P(-2,2),则|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=|MP|=2,故点M的集合是以P为圆心,2为半径的圆,如图所示.(2)设复数1-2i在复平面内的对应点为Q(1,-2),则|z-1+2i|=|MQ|.如图所示,由(1)知|PQ|=(1+2)2+(-2-2)2=5,则|MQ|的最大值即|z-1+2i|的最大值,是|PQ|+2=7;|MQ|的最小值即|z-1+21.(本小题满分12分)已知|z1|=1,|z2|=1,|z1+z2|=3,求|z1-z2|.解(方法一)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).由已知,得a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=3.∵(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=2+2ac+2bd=3,∴2ac+2bd=1.又|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2ac-2bd=2-1=1,∴|z1-z2|=1.(方法二)在复平面内设z1,z2分别对应向量OZ1,OZ2,则对角线OZ对应z1+z2,Z2Z1对应z1-z2,由已知可得|OZ1∴∠OZ1Z=120°.∴∠Z2OZ1=60°.故在△OZ1Z2中,|Z2Z1|=1,即|z1-z222.(本小题满分12分)已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.(1)求实数a,b的值;(2)若复数z满意|z-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.解(1)因为b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实数根,所以b2-(6+i)b+9+ai=0,即(b2-6b+9)+(a-b)i=0,故b2-6b(2)设z=