吉林省通化市通化县综合高级中学2024-2025学年高二数学下学期期中试题理含解析

PAGE吉林省通化市通化县综合高级中学2024-2025学年高二数学下学期期中试题理（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部是（）A.3 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】干脆依据复数的概念得到答案.【详解】复数的虚部是.故选：B.【点睛】本题考查了复数的虚部，属于简洁题.2.复数的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】计算共轭复数得到，再推断对应点得到答案.【详解】复数的共轭复数为，对应的点在第一象限.故选：A.【点睛】本题考查了共轭复数，复数对应点，意在考查学生对于复数概念的驾驭状况.3.（）A.4 B.2 C.0 D.-4【答案】A【解析】【分析】干脆利用微积分基本定理计算得到答案.【详解】.故选：A.【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算实力.4.用数学归纳法证明对于的自然数都成立时，证明中的起始值最小应取（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】C【解析】【分析】取时，，解除AB，验证和满意，解除D，得到答案.【详解】当时，，解除AB，当时，，当时，，故和满意，解除D.故选：C.【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生的理解实力和推断实力.5.曲线在处的切线方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,当x=0时，y’=2,即切线的斜率为2，通过选项可看出C符合题意故选C6.三角形外角和为，四边形外角和为，五边形外角和为．由此推断平面多边形外角和均为．此推理属于（）A.演绎推理 B.归纳推理 C.类比推理 D.以上都不对【答案】B【解析】【分析】干脆利用归纳推理的定义得到答案.【详解】归纳推理是由特别到一般的推理过程，依据题意知属于归纳推理.故选：B.【点睛】本题考查了归纳推理，属于简洁题.7.的单调递增区间为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求导计算解得答案【详解】，则，解得.故选：A.【点睛】本题考查了利用导数求函数单调区间，意在考查学生的计算实力.8.的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求导得到单调区间，计算最值得到答案【详解】，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，故.故选：D.【点睛】本题考查了利用导数求最值，意在考查学生的计算实力和应用实力.9.设为随意正数．则这三个数（）A.都大于2 B.都小于2 C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2【答案】C【解析】【分析】假设三个数均小于2，利用均值不等式得到，得出冲突，得到答案.【详解】假设三个数均小于2，即，故，而，当时等号成立，这与冲突，故假设不成立，故至少有一个不小于2，C正确；取，计算解除BD；取，计算解除A.故选：C.【点睛】本题考查了反证法，意在考查学生的推断实力和计算实力，均值不等式的敏捷运用是解题的关键.10.（）A.4 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】设，变换得到的几何意义为图中阴影面积，计算面积得到答案.【详解】设，则，其中，.的几何意义为图中阴影面积，设，易知，则.故选：D.【点睛】本题考查了定积分的几何意义，意在考查学生的计算实力和转化实力.第Ⅱ卷（非选择题共60分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11.若复数满意．则=______．【答案】【解析】【分析】干脆利用复数的乘法运算得到答案.【详解】，则.故答案为：.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，属于简洁题.12.的微小值为______．【答案】【解析】【分析】求导，依据导数正负得到函数单调区间得到函数的微小值为，计算得到答案.【详解】，则，当和时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，故函数微小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了利用导数求极值，意在考查学生的计算实力和应用实力.13.数列满意，，通过计算猜想______．【答案】【解析】【分析】依次求出即可猜想出.【详解】因为，，所以，，故猜想故答案为：【点睛】本题主要考查的是由数列的递推公式写出数列的前几项，较简洁.14.在空间中直线AB和CD是异面直线，则直线AC和BD的位置关系为______．【答案】异面【解析】【分析】由已知可得A、B、C、D四点不在任何同一平面内，进而依据异面直线的定义可得答案.【详解】若AB和CD是异面直线，则A、B、C、D四点不在任何同一平面内，故直线AC和BD肯定是异面直线.故答案为：异面.【点睛】本题考查的学问点是异面直线的判定，其中依据已知分析出A、B、C、D四点不在任何同一平面内是解题关键，属于基础题.15.在等差数列中，若正整数满意，则．类比这一结论写出在等比数列的一个相应结论：若，则_______________．【答案】【解析】【分析】依据“等差数列中两项之和”类比“等比数中为两项之积”，即可求解.【详解】由题意，在等差数列中，，，若，可得，“等差数列中两项之和”类比“等比数中为两项之积”，所以在等比数列中，则正整数满意，则.故答案为：.【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，对于类比推理的一般步骤：①找出等差数列与等比数列之间的相像性或一样性；②用等差数列的性质取推想等比数列的性质，得出一个明确的结论（或猜想）三、解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分．16.用分析法证明：．【答案】详见解析【解析】【分析】依据分析法证明步骤，将不等式两边同时平方，再绽开依次证明即可.【详解】欲证，只须证，即，只须证，只须证，而明显成立，所以.不等式得证【点睛】本题考查了分析法证明不等式中的应用，属于基础题.17.用数学归纳法证明.【答案】见解析【解析】【分析】依据数学归纳法证明的步骤进行证明即可.【详解】证明：①当时，左边，右边，等式成立；②假设当时等式成立，即.那么，即当时等式也成立.由①②知，等式对任何都成立.【点睛】本题考查了利用数学归纳法证明有关数列的命题，属于基础题.18.已知函数在处的切线垂直于直线.（1）求．（2）求的单调区间．【答案】（1）；（2）在内单调递减，在内单调递增．【解析】【分析】（1）由题意求导可得，代入可得（1），从而求，进而求切线方程；（2）的定义域为，，从而求单调性．【详解】解：（1）因在处切线垂直于，所以（2）因为的定义域为当时，当时，在内单调递减，在内单调递增．【点睛】本题考查导数几何意义，利用导数探讨函数的单调性，属于基础题.19.如图，抛物线的焦点为，过作斜率为的直线交抛物线于，两点（1）写出直线方程．（2）求出弦和曲线围成的阴影部分面积．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标，再利用点斜式求直线方程即可；（2）首先求出抛物线与直线的交点坐标，再依据微积分基本定理计算可得；【详解】解：（1）因为抛物线的焦点为，所以直线方程为即（2）联立直线与抛物线方程得，解得或则，阴影部分面积【点睛】本题考查抛物线的简洁几何性质，点斜式求直线方程，定积分求曲边形的面积，属于基础题.20.设函数.（1）若时，取得极值，求的值；（2）若在其定义域内为增函数，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）先求函数的导函数，依据若时，取得极值得，解之即可；（2）在其定义域内为增函数可转化成只需在内有恒成立，依据二次函数的图象与性质建立不等式关系，解之即可.试题解析：(1)因为时，取得极值，所以，即故．(2)的定义域为.方程的判别式,（Ⅰ）当,即时，,在内恒成立,此时为增函数.（Ⅱ）当,即或时，要使在定义域内为增函数,只需在内有即可,设，由得,所以.由(1)(2)可知,若在其定义域内为增函数，的取值范围是.【方法点晴】本