第02讲二次函数的图象与性质（3大考点8种解题方法）（原卷版）

第02讲二次函数的图象与性质（3大考点8种解题方法）考点考向考点考向一、二次函数的定义（1）二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．二、二次函数的图象（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．三、二次函数的性质二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左（右）平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．四、二次函数图象与系数的关系二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．五、二次函数图象上的点的坐标特征二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．①抛物线是关于对称轴x=﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=．六、二次函数的最值（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=时，y=．（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=时，y=．（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．七、待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．八、二次函数的三种形式二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；②顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；③交点式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．考点精讲考点精讲一、二次函数的定义1.（2021•龙湾区模拟）下列函数中，是二次函数的是A． B． C． D．2.（2020秋•合肥期末）若是二次函数，则．3.（2020秋•南丹县期中）若是二次函数，且开口向上，则的值为．二次函数的图象4.（2020秋•临沭县期末）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是A． B． C． D．5.（2020秋•庐阳区期末）如图，一次函数与二次函数图象在同一坐标系下如图所示，则函数的图象可能是A． B． C． D．6.（2020秋•合川区校级期末）二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是A． B． C． D．三、二次函数的性质7.（2020秋•灵山县期末）抛物线的对称轴是A． B． C． D．8.（2020秋•卧龙区期末）已知抛物线的顶点在轴上，则的值为A．2 B．4 C． D．9.（2021•河北模拟）对二次函数的性质描述正确的是A．该函数图象的对称轴在轴左侧 B．当时，随的增大而减小 C．函数图象开口朝下 D．该函数图象与轴的交点位于轴负半轴10.（2020秋•番禺区期末）抛物线与轴的交点坐标为A． B． C． D．四、二次函数图象与系数的关系11、（2021•宁波模拟）小甬从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＞0；②2a+3b＝0；③a﹣2b+c＞0；④c﹣4b＞0，其中结论正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12.（2021•曹县一模）如图，抛物线的对称轴为直线，下列结论：（1），（2），（3）为任意实数），其中结论正确的个数为A．0个 B．1个 C．2个 D．3个13.（2021春•龙华区月考）二次函数图象如图，下列结论中：①；②；③；④．正确的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14.（2021•娄星区模拟）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个五、二次函数图象上的点的坐标特征15.（2021•郑州模拟）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是A． B． C． D．16.（2021•于洪区一模）若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系是A． B． C． D．17.（2021•南平模拟）二次函数、是常数）的自变量与函数值的部分对应值如下表：023下列判断正确的是A． B． C． D．二次函数的最值18.（2021•道外区一模）二次函数的最小值为2，则的值为．19.（2020秋•中站区期末）已知抛物线，点在抛物线上，则的最大值是．20.（2020秋•覃塘区期末）二次函数的最大值为．21.（2020秋•番禺区校级期中）若函数，当时的最大值是，最小值是，则．22.（2020秋•瑶海区期末）已知抛物线过点，，求抛物线的解析式及其顶点的坐标．23.（2020秋•越城区期末）已知二次函数图象的顶点是，且过点．（1）求二次函数的表达式；（2）判断该二次函数的图象是否经过点，并解释你的判断．八、二次函数的三种形式24.（2021•贺兰县校级一模）用配方法将二次函数化成的形式是．25.（2021•天河区校级二模）将二次函数化成的形式应为巩固提升巩固提升一、单选题1．（2021·广州市第七中学九年级月考）抛物线的顶点坐标是（）A． B． C． D．2．（2021·广州市第七中学九年级月考）已知抛物线，当，时，它的图象经过（）A．第一，二，三象限 B．第一，二，四象限C．第一，三，四象限 D．第一，二，三，四象限3．（2021·仪征市实验初中九年级月考）把抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线是（）A． B．C． D．4．（2021·浙江杭州市·翠苑中学九年级二模）直角坐标系中，一次函数的图象过点，且，与轴，轴分别交于，两点．设的面积为，则的最小值是（）A．4 B．3 C．2 D．15．（2021·山东青岛市·九年级期末）将函数y＝（x+1）2﹣4的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，则得到的函数解析式为（）A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x﹣1）2﹣8 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x+3）2﹣86．（2021·广州市第五中学九年级期中）点，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．7．（2021·福建省福州第一中学九年级开学考试）抛物线（其中，是常数）过点A(2，6)，且物线的对称轴与线段有交点，则的值不可能是（）A． B． C． D．148．（2021·广州市第七中学九年级月考）如图，在中，，，，点从点沿向点以的速度运动，同时点从点沿向点以的速度运动（点运动到点停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为（）A． B． C． D．9．（2021·山东济南市·中考真题）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题10．（2021·哈尔滨市第十七中学校九年级二模）如果将抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，那么所得新抛物线对应的函数解析式是___．11．（2021·陕西渭南市·九年级月考）已知二次函数y＝2x2+bx，当x＞1时，y随x增大而增大，则b的取值范围为______．12．（2021·广州市黄埔华南师范大学附属初级中学九年级期中）已知二次函数，当时，函数的最大值是______．13．（2021·珠海市斗门区实验中学九年级期中）已知点A（﹣2，y1），B（5，y2）为函数y＝x2＋a图象上的两点，比较：y1_____y2．14．（2021·沭阳县修远中学九年级期末）二次函数y＝2x2+4x+1图象的顶点坐标为_____．当x=1时，y=_____．15．（2021·广州市第七中学九年级月考）二次函数的图象经过点、，顶点的纵坐标是，则关于的方程的解是_______．16．（2021·广州市第七中学九年级月考）已知二次函数的图象与轴交于点，，且，与轴的正半轴的交点在的下方，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有_______．（填序号）17．（2021·沈阳市第四十三中学九年级月考）如图，矩形ABCD中，BC＝4，AB＝3，点E为CD边上一动点（不与C、D重合），以CE为边向外作矩形CEFG，且CG＝CE，连接BF，点O是线段BF的中点，连接OE，则OE的最小值为_____．18．（2021·连云港市新海实验中学九年级二模）如图，二次函数的图象过点(1，0)，对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c<3b；③8a+7b+2c>0；④若点A(3，)、点B()、点C()在该函数图象上，则：⑤若方程的两根为，且，则其中正确的结论有__________．(只填序号)19．（2021·珠海市紫荆中学九年级三模）如图，正方形的边长为1，点在边上运动（不与点，重合），，点在射线上，且，与相交于点，连接、、．则下列结论：①；②平分；③；④的面积的最大值是；其中正确的结论是______．三、解答题20．（2021·浙江衢州市·九年级期末）已知二次函数y＝2x2﹣x+1，当﹣1≤x≤1时，求函数y的最小值和最大值．彤彤的解答如下：解：当x＝﹣1时，则y＝2×（﹣1）2﹣（﹣1）+1＝4；当x＝1时，则y＝2×12﹣1+1＝2；所以函数y的最小值为2，最大值为4．彤彤的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．21．（2021·浙江衢州市·九年级期末）已知二次函数y＝ax2﹣bx+3（a≠0）的图象过点A(2，3)，交y轴于点B．（1）求点B的坐标及二次函数图象的对称轴；（2）若抛物线最高点的纵坐标为4，求二次函数的表达式；（3）已知点(m，y1)，(n，y2)在函数图象上且0＜m＜n＜1，试比较y1和y2的大