专题4.1等可能条件下的概率（章节复习能力强化卷）教师版

20232024学年苏科版九年级上册册章节知识讲练专题4.1等可能条件下的概率（章节复习+能力强化卷）知识点01：等可能性一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性.知识点02：等可能条件下的概率1.等可能条件下的概率一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A发生，那么事件A发生的概率P（A）=（其中m是指事件A发生可能出现的结果数，n是指所有等可能出现的结果数）.当一个随机事件在一次试验中的所有可能出现的结果是有限个，且具有等可能性时，只需列出一次试验可能出现的所有结果，就可以求出某个事件发生的概率.2.等可能条件下的概率的求法一般地，等可能性条件下的概率计算方法和步骤是：（1）列出所有可能的结果，并判定每个结果发生的可能性都相等；（2）确定所有可能发生的结果的个数n和其中出现所求事件的结果个数m；（3）计算所求事件发生的可能性：P（所求事件）=.知识点03：用列举法计算概率常用的列举法有两种：列表法和画树状图法.1.列表法当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.细节剖析：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.2.树状图当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.细节剖析：(1)树状图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；(2)在用树状图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•南川区期末）一个布袋里装有8个只有颜色不同的球，其中2个红球，6个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是白球的概率为（）A． B． C． D．解：因为一共有8个球，白球有6个，所以从布袋里任意摸出1个球，摸到白球的概率为．故选：A．2．（2分）（2023•瓯海区一模）不透明袋子中装有10个球，其中有6个红球和4个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋子中随机摸出1个球，是红球的概率为（）A． B． C． D．解：∵从袋子中随机摸出1个球共有10种等可能结果，其中是红球的有6种结果，∴是红球的概率为＝，故选：C．3．（2分）（2022秋•常州期末）如图，将某一个空白小方块涂黑后，能使图中所有黑色方块构成轴对称图形的概率是（）A． B． C． D．解：图中共有7块空白小方块，其中将某一个空白小方块涂黑后，能使图中所有黑色方块构成轴对称图形是A、B、C、D、E、共5个小方块，所以P（使图中所有黑色方块构成轴对称图形）＝．故选：D．4．（2分）（2023•西丰县一模）在一个不透明的布袋中装有6个只有颜色不同的球，其中2个红球、1个黄球和3个白球，从袋中任意摸出一个球，是红球的概率是（）A． B． C． D．解：共6只球，红色的有2个，所以从袋中任意摸出一个球，是红球的概率为＝，故选：B．5．（2分）（2023•宁乡市模拟）八卦图是中国古老的科学文化遗产，是我国古代劳动人民智慧的结晶，古人认为，世间万物皆可分类归至八卦之中，相传，德国数学家莱布尼茨受八卦图的启发而发明了电子计算机使用的二进制．八卦图中的每一卦由三根线组成．如果从图中任选一卦，那么这一卦中恰有2根“”和1根“”的概率是（）A． B． C． D．解：从八卦中任取一卦，基本事件总数n＝8，这一卦中恰有2根“”和1根“”的基本事件个数m＝3，∴这一卦中恰有2根“”和1根“”的概率为＝；故选：C．6．（2分）（2022秋•冷水滩区期中）如图所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是（）A． B． C． D．解：圆形纸板被等分成10个扇形，飞镖落在每个扇形的概率是．阴影部分有4个，所以飞镖落在阴影部分的概率为．故选：D．7．（2分）（2022春•龙岗区期末）“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”．端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽5个、红枣粽3个、腊肉粽3个、鲜肉粽4个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽．小明任意选取一个，选到甜粽的概率是（）A． B． C． D．解：小明任意选取一个共有15种等可能结果，其中选到甜粽的有8种结果，所以选到甜粽的概率为，故选：B．8．（2分）（2022•黔东南州）如图，已知正六边形ABCDEF内接于半径为r的⊙O，随机地往⊙O内投一粒米，落在正六边形内的概率为（）A． B． C． D．以上答案都不对解：圆的面积为πr2，正六边形ABCDEF的面积为r×r×6＝r2，所以正六边形的面积占圆面积的＝，故选：A．9．（2分）（2020秋•涪城区期末）如图，是一个质地均匀的转盘，转盘分成7个大小相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止；其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．则指针指向绿色或黄色的概率为（）A． B． C． D．解：∵转动转盘，停止后指正指向的位置共有7种等可能结果，其中指针指向绿色或黄色的有4种结果，∴指针指向绿色或黄色的概率为，故选：B．10．（2分）（2021秋•武汉期末）将三幅完全相同的图片，分别剪成大小相同的上、中、下三段，每张图片的三段放在一起组成三部分，若从每一部分中抽取一段，则正好拼成一幅完整图片的概率是（）A． B． C． D．解：把三幅完全相同的图片分别用甲、乙、丙来表示，画树状图如下：共有27种等可能的结果，其中正好拼成一幅完整图片的结果有6种，∴正好拼成一幅完整图片的概率为＝，故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•桐乡市一模）有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是2，3，4，5，6．从中随机抽取一张，编号是奇数的概率是．解：从编号分别是2，3，4，5，6的卡片中，随机抽取一张有5种可能性，其中编号是奇数的可能性有2种可能性，∴从中随机抽取一张，编号是奇数的概率等于，故答案为：．12．（2分）（2022秋•龙岩期末）动车上二等座车厢每排都有A，B，C，D，F五个座位，其中A和F是靠窗的座位．某天，小刘计划从龙岩坐动车前往福州出差，于是在铁路12306平台上购买动车票，若购票时系统随机为每位乘客分配座位，则他的座位是靠窗的概率为．解：∵动车上二等座车厢每排都有A，B，C，D，F五个座位，其中A和F是靠窗的座位，∴小刘的座位是靠窗的概率为，故答案为：．13．（2分）（2023•辽阳三模）如图，三角形纸板ABC，点M．N分别是AB，AC中点，点D、E在BC上，连接ME、DN，ME与DN交于点O．DE＝BC，小明随机向纸板内投掷飞镖一次，飞镖落在阴影部分的概率是．​解：连接MN，设ME与DN交于点O．设BC＝a，△ABC中BC边上的高为h，则DE＝BC＝a．∵点M、N分别是AB，AC中点，∴MN∥BC，MN＝BC＝a，△AMN中MN边上的高为h，梯形MBCN的高为h，∴∠MNO＝∠EDO．在△MON与△EOD中，，∴△MON≌△EOD（AAS），∴S△MON＝S△EOD，△OMN中MN边上的高为h，△ODE中DE边上的高为h．∵S△ABC＝ah，∴S阴影部分＝S△ABC﹣S△AMN﹣S△OMN﹣S△ODE＝ah﹣•a•h﹣•a•h×2＝ah，∴飞镖落在阴影部分的概率是＝．故答案为：．14．（2分）（2023•商河县一模）小华在如图所示的4×4正方形网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是．解：（2+1+2）÷16＝．故飞镖落在阴影区域的概率是．故答案为：．15．（2分）（2023•官渡区校级开学）桌子上有一个不透明的盒子，其中装有形状、大小都相同的红球6个，白球4个，摸出一个球记录它的颜色，再放回去，重复30次，摸出红球的可能性大．解：摸出红球的概率为，：摸出白球的概率为，所以摸出红球的可能性大．故答案为：红．16．（2分）（2023•淮阳区校级三模）“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在正方形的内切圆中画出太极图，然后在正方形内随机取一点，则此点取自太极图中白色部分的概率是．​解：根据图形的对称性知，白色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，所以白色部分的面积为S＝•π•12＝π，正方形的面积为22＝4，则所求的概率P＝＝．故答案为：．17．（2分）（2023•开化县模拟）在“圆、正三角形、正方形、正五边形、正六边形”中，任取其中一个图形，恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为．解：∵既是轴对称图形又是中心对称图形的图形有圆，正方形，正六边形3个，∴从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率；故答案为：．18．（2分）（2023•天桥区三模）如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域的概率是．解：根据图示，黑色区域的面积等于6块方砖的面积，总面积等于16块方砖的面积，∴小球最终停留在黑色区域的概率是：＝．故答案为：．19．（2分）（2023•锦江区校级三模）一只袋中装有四个完全相同的小球，小球上分别标有数字1，0，﹣2，﹣3，随机摸出一个小球，把这只小球上的数字作为一次函数y＝kx+5中的k，则得到一次函数y＝kx+5的图象不经过第四象限的概率为．解：∵一次函数y＝kx+5的图象不经过第四象限，∴k＞0，∴四个数字中符合题意的只有1，∴一次函数y＝kx+5的图象不经过第四象限的概率为，故答案为：．20．（2分）（2023•西城区校级三模）如下表，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球．abcdefgh甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球；②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走；③最后一个将球取完的人获胜．（1）若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则乙（填“甲”或“乙”）一定获胜；（2）若甲首次取走写有a，b的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是e、f．解：（1）∵甲首次取走写有b、c、d的三个球，∴还剩下a、e、f、g、h，又∵乙首次也取走三个球，但必须相邻，∴乙可以取e、f、g或f、g、h，若乙取e、f、g只剩下a、h，∵它们不相邻，∴甲只能拿走一个，故乙拿走最后一个，故乙胜；同理，若乙取f、g、h，只剩下a、e，∵它们不相邻，∴甲只能拿走一个，故乙拿走最后的一个，故乙胜；故答案为：乙．（2）∵甲首次拿走a、b两个球，还剩下c、d、e、f、g、h，①若乙取三个球，若乙取c、d、e或f、g、h，那么剩下的球胜连着的，故甲取走剩下的三个，则甲胜；若乙取d、e、f，此时甲取g，则c、h不相邻，则甲胜；若取e、f、g，此时甲取d，则ch不相邻，则甲胜；②若乙取两个球：若乙取c、d，此时甲取f、g，那么剩下e、h，不相邻，则甲胜；若乙取d、e，此时甲取f、g，则c、h不相邻，则甲胜；若乙取e、f，此时甲取c、d或g、h，则乙胜；若甲c或d，那么乙取g或h，则乙胜；若甲取g或h，那么乙取c或d，那么剩下两个球不相邻，则乙胜；因此，乙一定要获胜，那么它首次取e、f．故答案为：e、f．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•海口期末）一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同．你同意下列说法吗？请说明理由．（1）搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球这两个事件是等可能的．（2）如果将摸出的第一个球放回搅匀再摸出第二个球，两次摸球就可能出现3种结果，即“都是红球”、“都是白球”、“一红一白”．这三个事件发生的概率相等．解：（1）不同意，理由如下：因为摸出白球的概率是，摸出红球的概率是，所以摸出白球和摸出红球不是等可能的．（2）不同意．所有等可能的结果，用树状图分析如下：由图可知共有9种等可能的结果，P（两红）＝，P（两白）＝，P（一红一白）＝．22．（6分）（2022春•垦利区期末）如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有2，3，4，5，6，7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．求：（1）转到数字8是不可能事件；（从“不确定事件”“必然事件”“不可能事件”中选一个填入）（2）转动转盘，转出的数字大于3的概率是；（3）现有两张分别写有3和4的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度，这三条线段能构成直角三角形的概率是多少？解：（1）转到数字8是不可能事件．故答案为：不可能事件；（2）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，大于3的结果有4种，∴转出的数字大于3的概率是．故答案为：．（3）∵转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共6种可能结果，能构成直角三角形的结果只有1种，∴P（构成直角三角形）＝．23．（8分）（2023•衡水模拟）对甲、乙两家公司员工月收入情况进行调查，并把调查结果分别绘制成统计表和不完整的条形统计图（月收入为9千元的数据不全）．甲公司员工月收入统计表​员工序号经理副经理职员A职员B职员C职员D职员E职员F职员G职员H月收入/千元8.86.24.54.23.83.73.63.63.63乙公司员工月收入统计图（1）若在甲公司随机选择一名员工，则该员工月收入超过4千元的概率为；（2）若甲、乙两家公司员工月收入的平均数相同，请通过计算补全条形统计图；（3）若甲公司有一名员工辞职了，从本月停发该员工工资，其他员工工资不变，嘉淇通过计算发现，该公司剩下9名员工月收入的平均数比原10名员工月收入的平均数减小了，则该名辞职的员工可能经理或副经理（填写员工序号）．解：（1）由统计表可得：甲公司共10人，其中月收入超过4千元的有4人，∴在甲公司随机选择一名员工，则该员工月收入超过4千元的概率为：＝；故答案为：；（2）设乙公司月收入为9千元的有x人，则＝（8.8+6.2+4.5+4.2+3.8+3.7+3.6+3.6+3.6+3）÷10，解得x＝2，补全条形统计图如下：（3）甲公司的平均工资为8.8+6.2+4.5+4.2+3.8+3.7+3.6+3.6+3.6+3）÷10＝4.5（千元），由题意可知，辞职的那名员工工资高于4.5千元，所以辞职的那名员工可能是经理或副经理．故答案为：经理或副经理．24．（8分）（2023•怀宁县一模）为弘扬中华文化，鼓励学生多读书，读好书，九年级（4）班班主任精选了《朝花夕拾》《平凡的世界》《长征》《红岩》《文化苦旅》5种书，准备送给学生．（1）若有上述5种书各3本，小明同学从中任选一本，选中《红岩》的概率是多少？（2）若小明同学从上述5种书中任选一本，选中《长征》的概率是，则在（1）的基础上，班主任老师只需要增加几本《长征》书？解：（1）∵总共有15本书，其中《红岩》有3本，∴从这15本书中任选一本，选中《红岩》的概率为＝．（2）设班主任老师要增加x本《长征》，得＝，解得：x＝1，经检验，x＝1是原分式方程的解．∴要增加1本《长征》．25．（8分）（2022秋•南昌县期末）一个不透明的口袋中装有7个红球，9个黄球，2个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球．（1）摸到的球是红球的概率是；摸到黄球的概率为；摸到白球的概率为．（2）如果要使摸到白球的概率为，需要在这个口袋中再放入多少个白球？解：（1）红球的概率：，黄球的概率：，白球的概率：，故答案为：，，；（2）设需要在这个口袋中再放入x个白球，得，解得x＝2，经检验，x＝2是原分式方程的根，答：需要在这个口袋中再放入2个白球．26．（8分）（2022秋•钦南区校级月考）3张扑克牌中只有1张黑桃，3位同学依次抽取，第一个同学抽到黑桃的概率记为P1，第二个同学抽到黑桃的概率记为P2，第三个同学抽到黑桃的概率记为P3，比较P1，P2，P3的大小．解：∵三张扑克牌中只有一张黑桃，∴每一位同学抽到黑桃的概率为．∴让三位同学依次抽取，大量重复试验，发现每位同学抽到黑桃的频率会逐渐稳定在，说明每位同学抽到黑桃的概率为．∵第一个同学抽到黑桃的概率记为P1，第二个同学抽到黑桃的概率记为P2，第三个同学抽到黑桃的概率记为P3，∴P1＝P2＝P3．27．（8分）（2022春•织金县期末）八月底，八年级（1）班学生小颖对全班同学这一个多月来去重庆大学图书馆的次数做了调查统计，将结果分为A、B、C、D、E五类，其中A表示“0次”、B类表示“1次”、C类表示“2次”、D类表示“3次”、E类表示“4次及以上”．并制成了如下不完整的条形统计和扇形统计图（如图所示）．请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）填空：a＝20；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中D类的扇形所占圆心角的度数；（3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取1人，谈谈对新图书馆的印象和感受．求恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率．解：（1）调查的总人数为12÷24%＝50（人），所以a%＝＝20%，即a＝20；故答案为20；（2）C类人数为50﹣8﹣12﹣10﹣4＝16（人），条形统计图为：扇形统计图中D类的扇形所占圆心角的度数为360°×