第02讲勾股定理逆定理与勾股数（4种题型）（原卷版）

第02讲勾股定理逆定理与勾股数（4种题型）【知识梳理】一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.二、如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.三、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）（是自然数）是直角三角形的三条边长；【考点剖析】题型一、勾股定理的逆定理 例1、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．（1）＝7，＝24，＝25；（2）＝，＝1，＝；（3），，()；【变式】发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形的三边长的有（） A.1组 B.2组 C.3组 D.4组题型二．勾股数例2．（2022春•铜梁区校级期中）下列四组数中，是勾股数的是（）A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．32，42，52例3．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数，你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一组勾股数．【变式1】观察下列勾股数3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…；a、b、c．根据你发现的规律，回答下列问题：（1）a＝17时，求b、c的值；（2）a＝2n+1时，求b、c的值．【变式2】已知m＞0，若3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数，求m的值．题型三、勾股定理逆定理的应用例4．（2022春•汉阴县月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．求证AC⊥CD．例5．古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处．（1）你能说说其中的道理吗？（2）仿照上面的方法，你能否只用绳子，设计一种不同于（1）的直角三角形（在图2中，只需画出示意图．）【变式】如图，在中，∠ACB=90°，AB=13，AC=12，点D为外一点，连接BD，CD，测得CD=4，BD=3，求四边形ABDC的面积．例6.如图所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝CD＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数．【变式1】如果△ABC的三边长a、b、c满足关系式，则△ABC的形状是．【变式2】如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．题型四、勾股定理逆定理的实际应用例7．（2022春•蚌山区校级期中）龙梅和玉荣是草原上的好朋友，可是有一次经过一场争吵之后，两人不欢而散，龙梅的速度是米/秒，4分钟后她停了下来，觉得有点后悔了，玉荣走的方向好像是和龙梅成直角，她的速度是米/秒，如果她和龙梅同时停下来，而这时候她俩正好相距200米，那么她走的方向是否成直角？如果她们现在想讲和，那么原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？例8、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？例9.如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？【过关检测】一．选择题1．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三内角之比为3：4：5 B．三边长的平方之比为1：2：3 C．三边长之比为7：24：25 D．三内角之比为1：2：32．下列条件中，能判断是直角三角形的有（）①；②；③；④；⑤；⑥．A．5个 B．4个 C．3个 D．2个3.如图，根据下列条件，不能判断是直角三角形的是（）A． B．C． D．二．填空题4．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为．5．勾股数为一组连续自然数的是．6．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为cm2．7．（2022春•泗水县期中）观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑥组勾股数为．8．已知△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，则△ABC的面积是cm2．9．（2022春•孝南区月考）探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…，请写出第6个数组：．10．已知△ABC中，AB＝k，AC＝k﹣1，BC＝3，当k＝时，∠C＝90°．三．解答题11．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D是BC的中点，AD＝2，求△ABC的面积．12．已知△ABC中，AB＝AC，BC＝20，D是AB上一点，且CD＝16，BD＝12，（1）求证：CD⊥AB；（2）