专题05分式方程(原卷版+解析)

第05讲分式方程分式方程的基本概念解分式方程分式方程的增根列表法解决分式方程的应用★简单；★★易错；★★★中等；★★★★难；★★★★★压轴

TOC\o"1-1"\h\u考点1：解分式方程 2考点2：分式方程的根 10考点3：分式方程的应用 15课堂总结：思维导图 27分层训练：课堂知识巩固 27

考点1：解分式方程①分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程．②解方式方程的解法步骤（1）去分母，将分式方程化为整式方程；（2）解所得的整式方程；（3）检验：把所求得的x的值代入最简公分母中，若最简公分母为0，则应舍去．

｛分式方程的定义★｝下列关于的方程，是分式方程的是A． B． C． D．｛解分式方程★｝如图是小明同学解方程的过程．针对以上解题过程，下列说法正确的是A．从第一步开始有错 B．从第二步开始有错 C．从第三步开始有错 D．完全正确｛新定义-解分式方程★｝对于实数，，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是A． B． C． D．｛解分式方程★｝解分式方程：（1）；（2）．｛分式方程定义★｝已知方程：①；②；③；④．这四个方程中，分式方程的个数是A．1 B．2 C．3 D．4｛解分式方程★｝解分式方程时，去分母后得到的整式方程是A． B． C． D．｛解分式方程★｝解下列分式方程：（1）；（2）．｛解分式方程★｝解方程（1）；（2）．（2021•陕西）解方程：．（2020•大庆）解方程：．（2020•郴州）解方程：．

考点2：分式方程的根①依据分式方程的增根确定字母参数的方法将分式方程化为整式方程用含有字母参数的代数式表示x（3）根据情况确定值②依据分式方程的增根确定字母参数的方法先将分式方程转化为整式方程由题意求出增根（3）将增根代入所化得的整式方程，解出字母

｛分式方程的根★｝已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是．｛分式方程的根★｝（2021•达州）若分式方程的解为整数，则整数．｛分式方程的根★｝若关于的方程有增根，那么．｛分式方程的根★｝关于的方程的解是非负数，则的取值范围是．｛分式方程的根★｝若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为．（2021•重庆）关于的分式方程的解为正数，且使关于的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数的值之和是A． B． C． D．（2020•广元）按照如图所示的流程，若输出的，则输入的为A．3 B．1 C．0 D．（2021•齐齐哈尔）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是．（2020•潍坊）若关于的分式方程有增根，则．

考点3：分式方程的应用①列分式方程解应用题的一般步骤(1)审题；(2)设未知数；(3)列分式方程；(4)解分式方程；(5)检验：(6)作答．在检验这一步中，既要检验所求未知数的值是不是所列分式方程的解，又要检验所求未知数的值是不是符合题目的实际意义.②常用公式（1）数量问题；（2）销售问题（利润=售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（3）工程问题①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量（4）行程问题（路程=速度×时间）；

某工程队在某街道改造一条长6000米的人行步道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“”，设实际每天改造人行步道米，则可得方程，根据已有信息，题中用“”表示的缺失的条件应补为A．每天比原计划多铺设18米，结果提前25天完成 B．每天比原计划多铺设18米，结果延期25天完成C．每天比原计划少铺设18米，结果延期25天完成 D．每天比原计划少铺设18米，结果提前25天完成某班级为做好疫情防控，班委会决定拿出班费中的200元给同学们购买口罩，由于药店对学生购买口罩每包优惠2元，结果比原计划多买了5包口罩．设原计划购买包口罩，则依题意列方程为A．B．C． D．在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树万棵，由题意得到的方程是A． B． C． D．（2021•梧州）某工厂急需生产一批健身器械共500台，送往销售点出售．当生产150台后，接到通知，要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的1.4倍，一共用8天刚好完成任务．（1）原来每天生产健身器械多少台？（2）运输公司大货车数量不足10辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输．已知每辆大货车一次可以运输健身器械50台，每辆车需要费用1500元；每辆小货车一次可以运输健身器械20台，每辆车需要费用800元．在运输总费用不多于16000元的前提下，请写出所有符合题意的运输方案？哪种运输方案的费用最低，最低运输费用是多少？（2021秋•娄底期中）“六一”儿童节前夕，某文具店用4000元购进种滑板车若干台，用8400元购进种滑板车若干台，所购种滑板车比种滑板车多10台，且种滑板车每台进价是种滑板车每台进价的1.4倍．（1）、两种滑板车每台进价分别为多少元？（2）第一次所购滑板车全部售完后，第二次购进、两种滑板车共100台（进价不变），种滑板车的售价是每台300元，种滑板车的售价是每台400元．两种滑板车各售出一半后，六一假期已过，两种滑板车均打七折销售，全部售出后，第二次所购滑板车的利润为5800元（不考虑其他因素），求第二次购进、两种滑板车各多少台？在某核酸检测任务中，甲医疗队比乙医疗队每小时多检测15人，甲队检测600人所用的时间比乙队检测500人所用的时间少．设甲队每小时检测人，根据题意，可列方程为A． B． C． D．为降低成本，某出租车公司推出了“油改气”措施，如图，，分别表示燃油汽车和燃气汽车行驶路程（单位：千米）与所需费用（单位：元）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需费用2倍多0.2元，设燃气汽车每千米所需费用为元，则可列方程为A． B． C． D．山西交城骏枣是山西四大名枣之一，誉为“枣后”，素有“八个一尺，十个一斤”之称，畅销山西乃至全国各地．甲、乙两辆运输车将骏枣运往距离180千米的地，已知乙车的速度是甲车的速度的1.5倍，甲车比乙车早出发0.5小时，结果甲车比乙车晚到0.5小时．求甲、乙两车的速度分别是多少？设甲车的速度是千米时，则根据题意列方程为A． B． C． D．某防护用品厂计划生产240000个口罩，但在实际生产时，？．求实际每天生产口罩的个数．在这个问题中，若设实际每天生产口罩个，由题意可列出的方程为，则问题中用“？”所表示的条件应该是A．每天比原计划多生产200个，结果延期10天完成 B．每天比原计划少生产200个，结果提前10天完成 C．每天比原计划少生产200个，结果延期10天完成 D．每天比原计划多生产200个，结果提前10天完成某销售商准备采购一批丝绸，经过调查得知，用10000元采购型丝绸的件数与用8000元采购型丝绸的件数相等，且一件型丝绸的进价比一件型丝绸的进价多100元．（1）一件型、型丝绸的进价分别为多少元？（2）若销售商购进型、型丝绸共50件，其中型丝绸的件数不多于型丝绸的件数，且不少于16件，设购进型丝绸件．①求的取值范围；②已知型丝绸的售价为800元件，型丝绸的售价为600元件，求销售这批丝绸的最大利润．某商店计划今年的圣诞节购进、两种纪念品若干件．若花费480元购进的种纪念品的数量是花费480元购进种纪念品的数量的，已知每件种纪念品比每件种纪念品多4元．（1）求一件种纪念品、一件种纪念品的进价各是多少元？（2）老板花费480元购进种纪念品后，以每个20元的价格销售种纪念品，当种纪念品售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使种纪念品的销售利润不低于224元，剩余的种纪念品每个售价至少要多少元？（2021•淄博）甲、乙两人沿着总长度为的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为，则下列方程中正确的是A． B． C． D．（2020•福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是A． B． C． D．（2021•鞍山）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为元，则符合题意的方程是．（2021•阜新）为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．（1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？（2）已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？

课堂总结：思维导图

分层训练：课堂知识巩固1．（2021秋•青龙县期末）某农场开挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖米，那么求时所列方程正确的是A． B． C． D．2．（2022•广西）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程A． B． C． D．3．（2022•大同二模）为了美化小区环境，某小区物业公司计划对辖区内600平方米的土地进行绿化，为了尽快完成任务，实际平均每天的绿化面积是原计划的1.5倍，结果提前10天完成任务，求原计划平均每天的绿化面积．小宁同学所列的方程为，则小宁同学应如何假设A．设原计划平均每天的绿化面积为平方米 B．设实际平均每天的绿化面积为平方米 C．设原计划完成任务需要天 D．设实际完成任务需要天4．（2022•天心区校级三模）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”引爆购买潮，导致“一墩难求”．某工厂承接了60万只冰墩墩的生产任务，实际每天的生产效率比原计划提高了，提前10天完成任务．设原计划每天生产万只冰墩墩，则下面所列方程正确的是A． B． C． D．5．（2022•迁安市二模）有一道题：“甲队修路与乙队修路所用天数相同，若▄，求甲队每天修路多少米？”根据图中的解题过程，被遮住的条件是A．甲队每天修路比乙队2倍还多 B．甲队每天修路比乙队2倍还少 C．乙队每天修路比甲队2倍还多 D．乙队每天修路比甲队2倍还少6．（2022•昭阳区一模）某优秀毕业生向我校赠送1080本课外书，现用、两种不同型号的纸箱包装运送，单独使用型纸箱比单独使用型纸箱可少用6个；已知每个型纸箱比每个型纸箱可多装15本．若设每个型纸箱可以装书本，则根据题意列得方程为A． B． C． D．7．（2021秋•鱼台县期末）下列方程中不是分式方程的是A． B． C． D．8．（2021秋•如皋市期末）已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围为A．且 B． C．且 D．且9．（2022春•溧阳市期末）关于的方程的解是正数，则的取值范围是A． B．且 C． D．且10．（2022•惠阳区一模）对于实数，，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是A． B． C． D．11．（2022春•枣庄期末）已知关于的方程的解是负数，那么的取值范围是A．且 B． C．且 D．且12．（2021秋•武城县期末）我市防汛办为解决台风季排涝问题，准备在一定时间内铺设一条长4000米的排水管道，实际施工时，．求原计划每天铺设管道多少米？题目中部分条件被墨汁污染，小明查看了参考答案为：“设原计划每天铺设管道米，则可得方程，”根据答案，题中被墨汁污染条件应补为A．每天比原计划多铺设10米，结果延期20天完成 B．每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成 C．每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成 D．每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成1．（2022秋•沙坪坝区校级月考）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非正整数解，则符合条件的所有整数的和为A． B． C．1 D．2．（2022秋•沙坪坝区校级期中）若数使关于的分式方程的解为非负数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为A．15 B．12 C．11 D．103．（2022秋•渝中区校级月考）若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是A．12 B．14 C．19 D．214．（2022秋•任城区校级期中）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为A． B．且 C． D．且5．（2022春•开江县期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是非负整数．则所有满足条件的整数之和是A．10 B．19 C．16 D．86．（2022春•滁州期末）对于两个不相等的实数，，我们规定符号，表示，中较小的值，如，．按照这个规定，方程的解为A．4 B．2 C．4或2 D．无解7．（2022春•渝北区期末）关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为A．6 B．9 C．10 D．131．（2022秋•港北区期中）甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如表：天数第3天第5天工作进度若乙单独完成这项工作，则需要（）A．9天 B．10天 C．12天 D．24天2．（2021秋•苍溪县期末）中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营时速最高的动车组列车，达到世界先进水平，安全、舒适、快速是它的显著优点．从广元站到重庆北站的距离是353千米，乘坐“复兴号”动车组列车将比乘坐普通快车节省1小时40分钟．已知“复兴号”动车组的平均速度比普通快车速度快80千米时，设“复兴号”动车组的平均速度为千米时，根据题意列方程正确的是A． B． C． D．3．（2022秋•晋州市期中）学校需采购部分课桌，现有，两个商家供货，商家每张课桌的售价比商家的优惠30元．若该校花费1800元采购款在商家购买课桌的数量与花费2250元采购款在商家购买课桌的数量一样多，则商家每张课桌的售价为A．90元 B．120元 C．150元 D．180元4．（2022秋•沙坪坝区校级期中）若数使关于的分式方程的解为非负数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为A．15 B．12 C．11 D．105．（2022秋•渝中区校级月考）若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是A．12 B．14 C．19 D．216．（2022春•柯桥区期末）设，为实数，定义如下一种新运算：☆，若关于的方程☆☆无解，则的值是A．4 B． C．4或 D．4或37．（2021•银川模拟）甲、乙两人分别从、两地同时相向匀速前进，在距点700米处第一次相遇，然后继续前进，甲到地、乙到地后都立即返回，第二次相遇在距点400米处，则、两地间的距离是米．8．（2021•南平模拟）为了估计湖里有多少条鱼，有如下方案：从湖里捕上100条鱼做上标记，然后放回湖里，经过一段时间，待带标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕上200条，若其中带有标记的鱼有10条，那么估计湖里大约有条鱼．9．（2019春•西湖区校级月考）有下列说法：①不论取何实数，多项式总能分解能两个一次因式积的形式；②关于的分式方程无解，则：③关于、的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为，其中正确的是．（填序号）10．（2021•邗江区二模）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？第05讲分式方程分式方程的基本概念解分式方程分式方程的增根列表法解决分式方程的应用★简单；★★易错；★★★中等；★★★★难；★★★★★压轴

TOC\o"1-1"\h\u考点1：解分式方程 2考点2：分式方程的根 10考点3：分式方程的应用 15课堂总结：思维导图 27分层训练：课堂知识巩固 27

考点1：解分式方程①分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程．②解方式方程的解法步骤（1）去分母，将分式方程化为整式方程；（2）解所得的整式方程；（3）检验：把所求得的x的值代入最简公分母中，若最简公分母为0，则应舍去．

｛分式方程的定义★｝下列关于的方程，是分式方程的是A． B． C． D．【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．【解答】解：．方程分母中不含未知数，故不是分式方程；．方程分母中不含未知数，故不是分式方程；．方程分母中不含表示未知数的字母，是常数，故不是分式方程；．方程分母中含未知数，故是分式方程．故选：．【点评】本题主要考查了分式方程的定义，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．｛解分式方程★｝如图是小明同学解方程的过程．针对以上解题过程，下列说法正确的是A．从第一步开始有错 B．从第二步开始有错 C．从第三步开始有错 D．完全正确【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．【解答】解：从第二步开始出错，正确的解答过程是：方程两边同时乘，得，解得，检验：当时，，所以原方程的解为．故选：．【点评】本题考查了解分式方程和解一元一次方程，能把分式方程转化成整式方程和能根据等式的性质进行变形是解此题的关键．｛新定义-解分式方程★｝对于实数，，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是A． B． C． D．【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．【解答】解：根据题中的新定义化简得：，去分母得：，解得：，经检验是分式方程的解．故选：．【点评】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．｛解分式方程★｝解分式方程：（1）；（2）．【分析】（1）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、的系数化为1、检验解决此题．（2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、的系数化为1、检验解决此题．【解答】解：（1），方程同乘，得．去括号，得．移项，得．合并同类项，得．的系数化为1，得．经检验：当时，．该分式方程的解为．（2），方程两边同乘，得．去括号，得．移项，得．合并同类项，得．的系数化为1，得．经检验：当时，．是该分式方程的增根．该分式方程无解．【点评】本题主要考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解决本题的关键．｛分式方程定义★｝已知方程：①；②；③；④．这四个方程中，分式方程的个数是A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用分式方程的定义进行判定即可．【解答】解：分式方程是指分母中含有未知数的方程，①②③是分式方程，④是整式方程．故选：．【点评】本题主要考查了分式方程的定义，准确利用分式方程的定义进行判断是解题的关键．｛解分式方程★｝解分式方程时，去分母后得到的整式方程是A． B． C． D．【分析】分式方程两边乘以去分母得到结果，即可作出判断．【解答】解：去分母得：．故选：．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．｛解分式方程★｝解下列分式方程：（1）；（2）．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母，得：，解得：，检验：把代入得：，是原分式方程的解；（2）去分母，得：，解得：，检验：把代入得：，是原分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．｛解分式方程★｝解方程（1）；（2）．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：，移项得：，合并得：，解得：，检验：把代入得：，是分式方程的解；（2）去分母得：，整理得：，即，分解因式得：，解得：，，检验：把代入得：，把代入得：，是增根，分式方程的解为．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．（2021•陕西）解方程：．【分析】方程两边都乘以得出，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：方程两边都乘以得：，解得，检验：当时，，所以是原方程的解．【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．（2020•大庆）解方程：．【分析】根据解分式方程的步骤解答即可．【解答】解：方程的两边同乘，得：，解这个方程，得：，经检验，是原方程的解，原方程的解是．【点评】本题主要考查了解分式方程，会把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键．（2020•郴州）解方程：．【分析】方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：，方程两边都乘，得，解得，检验：当时，．故是原方程的解．【点评】考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程求解．最后注意需验根．

考点2：分式方程的根①依据分式方程的增根确定字母参数的方法将分式方程化为整式方程用含有字母参数的代数式表示x（3）根据情况确定值②依据分式方程的增根确定字母参数的方法先将分式方程转化为整式方程由题意求出增根（3）将增根代入所化得的整式方程，解出字母

｛分式方程的根★｝已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是且．．【分析】先由题意求出分式方程的解，再由解是非负数和分母不为0，列出不等式组，解出即可得到答案．【解答】解：，去分母得：，，，解得：且，故答案为：且．【点评】本题考查了分式方程中参数的取值范围，除了题干中明确要求的条件外，要注意分母不能为0的隐含条件．｛分式方程的根★｝（2021•达州）若分式方程的解为整数，则整数．【分析】先将分式方程化简为整式方程，再用含代数式表示，由方程的解为整数及为增根可求．【解答】解：方程两边同时乘以得，整理得，整理得，，为整数，或，为增根，，．故答案为：．【点评】本题考查分式方程的解，解题关键是用含参代数式表示方程的解并注意增根情况．｛分式方程的根★｝若关于的方程有增根，那么．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，求出的值，代入整式方程计算即可求出的值．【解答】解：方程两边都乘以，得：，方程有增根，，将代入得：，故答案为：．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．｛分式方程的根★｝关于的方程的解是非负数，则的取值范围是且．【分析】先求出方程的解，根据解是非负数列出不等式，即可解答．【解答】解：在方程两边同乘得：，解得：，方程的解是非负数，，且，解得：且．故答案为：且．【点评】本题考查了分式方程的解、一元一次不等式，解决本题的关键是根据方程的解是非负数得出不等式．｛分式方程的根★｝若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为且．【分析】先解出这个分式方程的解，然后去掉增根以及解为正数列出不等式，从而得到的取值范围．【解答】解：，，，，，，，，，．方程的解为正数，，．的取值范围为：且．故答案为：且．【点评】本题考查了分式方程的解法，一元一次不等式的解法，考核学生的计算能力，解题时注意解分式方程必须检验．（2021•重庆）关于的分式方程的解为正数，且使关于的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数的值之和是A． B． C． D．【分析】由关于的一元一次不等式组有解得到的取值范围，再由关于的分式方程的解为正数得到的取值范围，将所得的两个不等式组成不等式组，确定的整数解，结论可求．【解答】解：关于的分式方程的解为，关于的分式方程的解为正数，，，关于的分式方程有可能产生增根2，，，解关于的一元一次不等式组得，关于的一元一次不等式组有解，，，综上，且，为整数，或或0或1，满足条件的整数的值之和是：，故选：．【点评】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，确定分式方程的解时，注意分式方程可能产生增根的情形是解题的关键．（2020•广元）按照如图所示的流程，若输出的，则输入的为A．3 B．1 C．0 D．【分析】根据题目中的程序，利用分类讨论的方法可以分别求得的值，从而可以解答本题．【解答】解：当时，，解得，经检验，是原方程的解，并且满足，当时，，解得，不满足，舍去．故输入的为0．故选：．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．（2021•齐齐哈尔）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是且．【分析】利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由方程的解为正数列出不等式，；又分式方程有可能产生增根，所以分式方程的解不等于1，根据上述条件得到不等式组，解不等式组得到的取值范围．【解答】解：去分母，得：，去括号，移项，合并同类项，得：．关于的分式方程的解为正数，．又，．．，解得：且．故答案为：且．【点评】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组．利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解并注意分式方程可能产生增根的情形是解题的关键．（2020•潍坊）若关于的分式方程有增根，则3．【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出的值．【解答】解：去分母得：，整理得：，关于的分式方程有增根，即，，把代入到中得：，解得：；故答案为：3．【点评】本题主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值．

考点3：分式方程的应用①列分式方程解应用题的一般步骤(1)审题；(2)设未知数；(3)列分式方程；(4)解分式方程；(5)检验：(6)作答．在检验这一步中，既要检验所求未知数的值是不是所列分式方程的解，又要检验所求未知数的值是不是符合题目的实际意义.②常用公式（1）数量问题；（2）销售问题（利润=售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（3）工程问题①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量（4）行程问题（路程=速度×时间）；

某工程队在某街道改造一条长6000米的人行步道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“”，设实际每天改造人行步道米，则可得方程，根据已有信息，题中用“”表示的缺失的条件应补为A．每天比原计划多铺设18米，结果提前25天完成 B．每天比原计划多铺设18米，结果延期25天完成C．每天比原计划少铺设18米，结果延期25天完成 D．每天比原计划少铺设18米，结果提前25天完成【分析】根据题意和题目中的方程可知，实际每天改造人行步道米，则原计划每天改造人行步道米，实际比原计划提前25天，从而可以选出符合题意的选项．【解答】解：由题意可得，题中用“”表示的缺失的条件应补为：每天比原计划多铺设18米，结果提前25天完成，故选：．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，写出表示方程的实际含义．某班级为做好疫情防控，班委会决定拿出班费中的200元给同学们购买口罩，由于药店对学生购买口罩每包优惠2元，结果比原计划多买了5包口罩．设原计划购买包口罩，则依题意列方程为A．B．C． D．【分析】根据原计划每包的价格实际购买每包的价格，可以列出相应的分式方程．【解答】解：由题意可得，，故选：．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树万棵，由题意得到的方程是A． B． C． D．【分析】根据原计划的天数实际的天数提前的天数可以列出相应的方程，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，，故选：．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程．（2021•梧州）某工厂急需生产一批健身器械共500台，送往销售点出售．当生产150台后，接到通知，要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的1.4倍，一共用8天刚好完成任务．（1）原来每天生产健身器械多少台？（2）运输公司大货车数量不足10辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输．已知每辆大货车一次可以运输健身器械50台，每辆车需要费用1500元；每辆小货车一次可以运输健身器械20台，每辆车需要费用800元．在运输总费用不多于16000元的前提下，请写出所有符合题意的运输方案？哪种运输方案的费用最低，最低运输费用是多少？【分析】（1）设原来每天生产健身器械台，则提高工作效率后每天生产健身器械台，利用工作时间工作总量工作效率，结合一共用8天刚好完成任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设使用辆大货车，使用辆小货车，根据同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输，可得出，化简后可得出，结合“运输公司大货车数量不足10辆，且运输总费用不多于16000元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出的值，由的值结合可得出的最小值，进而可得出各运输方案，利用总运费每辆车的运动派车数量，即可分别求出两个运输方案所需运费，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设原来每天生产健身器械台，则提高工作效率后每天生产健身器械台，依题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意．答：原来每天生产健身器械50台．（2）设使用辆大货车，使用辆小货车，同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输，，．又运输公司大货车数量不足10辆，且运输总费用不多于16000元，，即，解得：．又为整数，可以为8，9．当时，；当时，，又为整数，的最小值为3．共有2种运输方案，方案1：使用8辆大货车，5辆小货车；方案2：使用9辆大货车，3辆小货车．方案1所需费用为（元，方案2所需费用为（元．，运输方案2的费用最低，最低运输费用是15900元．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．（2021秋•娄底期中）“六一”儿童节前夕，某文具店用4000元购进种滑板车若干台，用8400元购进种滑板车若干台，所购种滑板车比种滑板车多10台，且种滑板车每台进价是种滑板车每台进价的1.4倍．（1）、两种滑板车每台进价分别为多少元？（2）第一次所购滑板车全部售完后，第二次购进、两种滑板车共100台（进价不变），种滑板车的售价是每台300元，种滑板车的售价是每台400元．两种滑板车各售出一半后，六一假期已过，两种滑板车均打七折销售，全部售出后，第二次所购滑板车的利润为5800元（不考虑其他因素），求第二次购进、两种滑板车各多少台？【分析】（1）设种滑板车每台进价为元，则种滑板车每台进价为元，根据“所购种滑板车比种滑板车多10台”，即可得出关于的分式方程，解之即可得出结论；（2）设设第二次购进种滑板车台，种滑板车台，根据销售利润每盒的利润销售数量，即可得出关于的一元一次方程，解方程即可．【解答】（1）解：设种滑板车每台进价为元，则种滑板车每台进价为元，根据题意得：，解得：，经检验是原方程的根，且符合题意，此时（元，答：种滑板车每台进价为200元，种滑板车每台进价为280元；（2）解：设第二次购进种滑板车台，种滑板车台，由题意得：，解得：，此时（台，答：第二次购进种滑板车40台，种滑板车60台．【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程．在某核酸检测任务中，甲医疗队比乙医疗队每小时多检测15人，甲队检测600人所用的时间比乙队检测500人所用的时间少．设甲队每小时检测人，根据题意，可列方程为A． B． C． D．【分析】根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．【解答】解：设甲队每小时检测人，根据题意得，，故选：．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程．为降低成本，某出租车公司推出了“油改气”措施，如图，，分别表示燃油汽车和燃气汽车行驶路程（单位：千米）与所需费用（单位：元）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需费用2倍多0.2元，设燃气汽车每千米所需费用为元，则可列方程为A． B． C． D．【分析】设燃气汽车每千米所需费用为元，则燃油汽车每千米所需费用为元，根据行驶路程所需费用每千米所需费用，结合行驶路程相等，即可得出关于的分式方程，此题得解．【解答】解：设燃气汽车每千米所需费用为元，则燃油汽车每千米所需费用为元，依题意得：．故选：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．山西交城骏枣是山西四大名枣之一，誉为“枣后”，素有“八个一尺，十个一斤”之称，畅销山西乃至全国各地．甲、乙两辆运输车将骏枣运往距离180千米的地，已知乙车的速度是甲车的速度的1.5倍，甲车比乙车早出发0.5小时，结果甲车比乙车晚到0.5小时．求甲、乙两车的速度分别是多少？设甲车的速度是千米时，则根据题意列方程为A． B． C． D．【分析】设甲车的速度是千米小时，根据从地开往地时，乙车的速度是甲车的速度的1.5倍，甲车比乙车早出发0.5小时，结果甲车比乙车晚到0.5小时，可列方程求解．【解答】解：设甲车的速度是千米时，根据题意列方程为，故选：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出方式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．某防护用品厂计划生产240000个口罩，但在实际生产时，？．求实际每天生产口罩的个数．在这个问题中，若设实际每天生产口罩个，由题意可列出的方程为，则问题中用“？”所表示的条件应该是A．每天比原计划多生产200个，结果延期10天完成 B．每天比原计划少生产200个，结果提前10天完成 C．每天比原计划少生产200个，结果延期10天完成 D．每天比原计划多生产200个，结果提前10天完成【分析】根据所设未知数和方程可得：实际生产时，每天比原计划多生产200个，提前10天完成任务．【解答】解：根据方程可得：某防护用品厂计划生产240000个口罩，但是在实际生产时，每天比原计划多生产200个，结果提前10天完成，求实际每天生产口罩的个数．故选：．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程．某销售商准备采购一批丝绸，经过调查得知，用10000元采购型丝绸的件数与用8000元采购型丝绸的件数相等，且一件型丝绸的进价比一件型丝绸的进价多100元．（1）一件型、型丝绸的进价分别为多少元？（2）若销售商购进型、型丝绸共50件，其中型丝绸的件数不多于型丝绸的件数，且不少于16件，设购进型丝绸件．①求的取值范围；②已知型丝绸的售价为800元件，型丝绸的售价为600元件，求销售这批丝绸的最大利润．【分析】（1）设一件型丝绸的进价为元，则一件型丝绸的进价为元，由题意：用10000元采购型丝绸的件数与用8000元采购型丝绸的件数相等，列出分式方程，解方程即可；（2）①由题意：销售商购进型、型丝绸共50件，其中型丝绸的件数不多于型丝绸的件数，且不少于16件，列出不等式组，即可求解；②设销售这批丝绸的利润为元，求出销售这批丝绸的利润（元与（件的函数关系式，再由一次函数的性质即可解答．【解答】解：（1）设一件型丝绸的进价为元，则一件型丝绸的进价为元，根据题意得：，解得：，经检验，为原方程的解，，答：一件型丝绸的进价为500元，一件型丝绸的进价为400元．（2）①根据题意得：，解得：，的取值范围为：且为整数．②设销售这批丝绸的利润为元，根据题意得：，，随的增大而增大，当时，（元，答：销售这批丝绸的最大利润为12500元．【点评】本题考查了分式方程的应用、一次函数的性质、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找准等量关系和不等关系，列出分式方程或一元一次不等式组．某商店计划今年的圣诞节购进、两种纪念品若干件．若花费480元购进的种纪念品的数量是花费480元购进种纪念品的数量的，已知每件种纪念品比每件种纪念品多4元．（1）求一件种纪念品、一件种纪念品的进价各是多少元？（2）老板花费480元购进种纪念品后，以每个20元的价格销售种纪念品，当种纪念品售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使种纪念品的销售利润不低于224元，剩余的种纪念品每个售价至少要多少元？【分析】（1）设购买一件种纪念品需元，则购买一件种纪念品需元，由题意：花费480元购进的种纪念品的数量是花费480元购进种纪念品的数量的，列出分式方程，解方程即可；（2）设剩余的种纪念品每个售价为元，由题意：老板花费480元购进种纪念品后，以每个20元的价格销售种纪念品，当种纪念品售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，要使种纪念品的销售利润不低于224元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）设购买一件种纪念品需元，则购买一件种纪念品需元，依题意，得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，．答：购买一件种纪念品需16元，购买一件种纪念品需12元．（2）设剩余的种纪念品每个售价为元，依题意，得：，解得：，答：剩余的种纪念品每个售价至少为14元．【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式．（2021•淄博）甲、乙两人沿着总长度为的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为，则下列方程中正确的是A． B． C． D．【分析】设乙的速度为，则甲的速度为，根据时间路程速度结合甲比乙提前12分钟走完全程，即可得出关于的分式方程，此题得解．【解答】解：12分钟，设乙的速度为，则甲的速度为，根据题意，得：，故选：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．（2020•福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是A． B． C． D．【分析】根据单价总价数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于的分式方程，此题得解．【解答】解：依题意，得：．故选：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．（2021•鞍山）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为元，则符合题意的方程是．【分析】设第一批购买的“四大名著”每套的价格为元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为元，利用数量总价单价，结合第二批购买的套数比第一批少4套，即可得出关于的分式方程，此题得解．【解答】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为元，依题意得：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．（2021•阜新）为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．（1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？（2）已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？【分析】（1）设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室，由题意：乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．列出分式方程，解方程即可；（2）设安排甲公司工作天，则乙公司工作天，由题意：甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，则，答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室；（2）设安排甲公司工作天，则乙公司工作天，根据题意得：，解这个不等式，得：，答：最多安排甲公司工作12天．【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出不等关系，列出一元一次不等式．

课堂总结：思维导图

分层训练：课堂知识巩固1．（2021秋•青龙县期末）某农场开挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖米，那么求时所列方程正确的是A． B． C． D．【分析】本题的关键描述语是：“提前4天完成任务”；等量关系为：原计划用时实际用时．【解答】解：原计划用时为：，实际用时为：，根据题意，得：．故选：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．2．（2022•广西）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程A． B． C． D．【分析】根据题意可知，装裱后的长为，宽为，再根据整幅图画宽与长的比是，即可得到相应的方程．【解答】解：由题意可得，，故选：．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．3．（2022•大同二模）为了美化小区环境，某小区物业公司计划对辖区内600平方米的土地进行绿化，为了尽快完成任务，实际平均每天的绿化面积是原计划的1.5倍，结果提前10天完成任务，求原计划平均每天的绿化面积．小宁同学所列的方程为，则小宁同学应如何假设A．设原计划平均每天的绿化面积为平方米 B．设实际平均每天的绿化面积为平方米 C．设原计划完成任务需要天 D．设实际完成任务需要天【分析】根据题意和题目中的式子，可知表示的实际意义．【解答】解：由题意可得，小宁所设实际完成任务需要天，故选：．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．4．（2022•天心区校级三模）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”引爆购买潮，导致“一墩难求”．某工厂承接了60万只冰墩墩的生产任务，实际每天的生产效率比原计划提高了，提前10天完成任务．设原计划每天生产万只冰墩墩，则下面所列方程正确的是A． B． C． D．【分析】根据实际及原计划工作效率之间的关系，可得出实际每天生产万只冰墩墩，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前10天完成任务，即可得出关于的分式方程，此题得解．【解答】解：实际每天的生产效率比原计划提高了，且原计划每天生产万只冰墩墩，实际每天生产万只冰墩墩．依题意得：．故选：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．5．（2022•迁安市二模）有一道题：“甲队修路与乙队修路所用天数相同，若▄，求甲队每天修路多少米？”根据图中的解题过程，被遮住的条件是A．甲队每天修路比乙队2倍还多 B．甲队每天修路比乙队2倍还少 C．乙队每天修路比甲队2倍还多 D．乙队每天修路比甲队2倍还少【分析】根据图中的方程，可以写出被遮住的条件，本题得以解决．【解答】解：由图表可得方程：，故被遮住的条件是乙队每天修路比甲队2倍还少，故选：．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，写出被遮住的条件．6．（2022•昭阳区一模）某优秀毕业生向我校赠送1080本课外书，现用、两种不同型号的纸箱包装运送，单独使用型纸箱比单独使用型纸箱可少用6个；已知每个型纸箱比每个型纸箱可多装15本．若设每个型纸箱可以装书本，则根据题意列得方程为A． B． C． D．【分析】由每个型纸箱比每个型纸箱可多装15本及每个型纸箱可以装书本，可得出每个型纸箱可以装书本，利用所需纸箱的数量赠送课外书的总数每个纸箱装课外书的数量，结合单独使用型纸箱比单独使用型纸箱可少用6个，即可得出关于的分式方程，此题得解．【解答】解：每个型纸箱比每个型纸箱可多装15本，且每个型纸箱可以装书本，每个型纸箱可以装书本．依题意得：．故选：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．7．（2021秋•鱼台县期末）下列方程中不是分式方程的是A． B． C． D．【分析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，判断即可．【解答】解：、分母中含未知数，是分式方程，故此选项不符合题意；、分母中含未知数，是分式方程，故此选项不符合题意；、分母中不含未知数，不是分式方程，故此选项符合题意；、分母中含未知数，是分式方程，故此选项不符合题意．故选：．【点评】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．8．（2021秋•如皋市期末）已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围为A．且 B． C．且 D．且【分析】先解分式方程得，再由题意可得，，求出的范围即可．【解答】解：，方程两边同时乘，得，去括号得，，解得，方程的解是正数，，，，，故选：．【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏增根的情况是解题的关键．9．（2022春•溧阳市期末）关于的方程的解是正数，则的取值范围是A． B．且 C． D．且【分析】先求出方程的解，根据解是正数列出不等式，且分母不为0，综合即可解答．【解答】解：在方程两边同乘得：，解得：，方程的解是正数，，，，即，，且．故选：．【点评】本题考查了分式方程的解、一元一次不等式，解决本题的关键是根据方程的解是正数得出不等式．10．（2022•惠阳区一模）对于实数，，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是A． B． C． D．【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．【解答】解：根据题中的新定义化简得：，去分母得：，解得：，经检验是分式方程的解．故选：．【点评】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．11．（2022春•枣庄期末）已知关于的方程的解是负数，那么的取值范围是A．且 B． C．且 D．且【分析】解分式方程，用含的代数式表示出方程的解，根据方程的解是负数，确定的取值范围．【解答】解：去分母，得，．由于方程的解为负数，且，解得且．故选：．【点评】本题考查了分式方程的解法、一元一次不等式的解法等知识点，掌握分式方程、一元一次不等式的解法是解决本题的关键．12．（2021秋•武城县期末）我市防汛办为解决台风季排涝问题，准备在一定时间内铺设一条长4000米的排水管道，实际施工时，．求原计划每天铺设管道多少米？题目中部分条件被墨汁污染，小明查看了参考答案为：“设原计划每天铺设管道米，则可得方程，”根据答案，题中被墨汁污染条件应补为A．每天比原计划多铺设10米，结果延期20天完成 B．每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成 C．每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成 D．每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成【分析】工作时间工作总量工作效率．那么表示原来的工作时间，那么就表示现在的工作时间，20就代表原计划比现在多的时间．【解答】解：原计划每天铺设管道米，那么就应该是实际每天比原计划少铺了10米，而用，则实际用的时间表示用原计划的时间天，那么就说明每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成．故选：．【点评】本题考查了由实际问题抽象除法分式方程，是根据方程来判断缺失的条件，要注意方程所表示的意思，结合题目给出的条件得出正确的判断．1．（2022秋•沙坪坝区校级月考）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非正整数解，则符合条件的所有整数的和为A． B． C．1 D．【分析】先求出每一个不等式的解，再根据关于的一元一次不等式组的解集为，求出；解出分式方程，再根据关于的分式方程有非正整数解，，，求出的值，进而求出符合条件的所有整数的和．【解答】解：，解不等式①，得，解不等式②，得，关于的一元一次不等式组的解集为，，；整理分式方程为整式方程：，解得，关于的分式方程有非正整数解，，，，，，为7或2或或，，故选：．【点评】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，掌握这三个知识点的综合应用是解题关键．2．（2022秋•沙坪坝区校级期中）若数使关于的分式方程的解为非负数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为A．15 B．12 C．11 D．10【分析】先用表示，根据解为非负数，最简公分母，列不等式组，求公共解集；解不等式①②，根据关于的不等式组的解集为，求出的取值范围，最后求的公共解集，再根据为整数，进而确定的值，最后求出符合条件的所有整数的和．【解答】解：，，，解得，且，解为非负数，，，解得且，，解不等式①，得，解不等式②，得，关于的不等式组的解集为，，且，为整数，为1、2、4、5，符合条件的所有整数的和为：，故选：．【点评】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式、解不等式组，掌握解分式方程、解不等式组的步骤，首先对原方程进行变形，把分母化为相同的，根据题意列不等式组是解题关键．3．（2022秋•渝中区校级月考）若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是A．12 B．14 C．19 D．21【分析】解不等式组可得，解分式方程可得，且，由此可求整数的值．【解答】解：，由①得，，由②得，，不等式组的解集为，，，，，，，方程的解是非负整数，是3的倍数，，，的取值为，，，5，8，11，所有满足条件的整数的值之和是12，故选：．【点评】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．4．（2022秋•任城区校级期中）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为A． B．且 C． D．且【分析】先表示分式方程的解，再求范围．【解答】解：两边同时乘以得：，，分式方程的解是正数，，．，且．．且．故选：．【点评】本题考查分式方程的解，正确表示分式方程的解是求解本题的关键．5．（2022春•开江县期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是非负整数．则所有满足条件的整数之和是A．10 B．19 C．16 D．8【分析】解不等式组，利用确定不等式组解集的方法得到关于的不等式，解得的范围；解分式方程求得分式方程的解，利用已知条件和可能产生增根的情形得到关于的不等式组，综上求得所有满足条件的整数的值，再相加即可得出结论．【解答】解：关于的一元一次不等式组的解集为，关于的一元一次不等式组的解集为，，．关于的分式方程的解为，关于的分式方程的解是非负整数，，，且为奇数，且，为奇数，且为奇数，，，1，3，5，7，9，所有满足条件的的整数之和为：，故选：．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的解集，解分式方程，考虑到解分式方程可能产生增根是解题的关键．6．（2022春•滁州期末）对于两个不相等的实数，，我们规定符号，表示，中较小的值，如，．按照这个规定，方程的解为A．4 B．2 C．4或2 D．无解【分析】根据新定义运算的规定，先得分式方程再求解即可．【解答】解：当时，，．．经检验，是方程的根．，故不符合的规定，所以不是方程的解．当时，，．．经检验，是方程的根．，故符合的规定．所以是方程的解．故选：．【点评】本题考查了解分式方程，掌握新定义运算的规定，把方程转化为分式方程是解决本题的关键．7．（2022春•渝北区期末）关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为A．6 B．9 C．10 D．13【分析】先根据不等式组的解求的范围，再根据分式方程的解求．【解答】解：，由①得：，由②得：，原不等式组的解集是：，，．，．，当时，方程无解，不合题意，，，是正整数，，2，4，，4，6，，，或6，符合条件的所有整数的和为：．故选：．【点评】本题考查分式方程和一元依次不等式组的解，根据不等式组的解求出的范围，根据分式方程的解求出的值是求解本题的关键．1．（2022秋•港北区期中）甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如表：天数第3天第5天工作进度若乙单独完成这项工作，则需要（）A．9天 B．10天 C．12天 D．24天【分析】求出甲单独完成这项工程所需时间，设乙单独完成这项工作需x天，根据甲完成的部分+乙完成的部分＝这项工程的，列出分式方程，解方程即可．【解答】解：甲单独完成这项工作所需天数为3÷＝12（天）．设乙单独完成这项工作需x天，依题意，得：+＝，解得：x＝24经检验，x＝24是原方程的解，且符合题意．故选：D．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．2．（2021秋•苍溪县期末）中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营时速最高的动车组列车，达到世界先进水平，安全、舒适、快速是它的显著优点．从广元站到重庆北站的距离是353千米，乘坐“复兴号”动车组列车将比乘坐普通快车节省1小时40分钟．已知“复兴号”动车组的平均速度比普通快车速度快80千米时，设“复兴号”动车组的平均速度为千米时，根据题意列方程正确的是A． B． C． D．【分析】设“复兴号”动车组的平均速度为千米时，则乘坐普通快车的平均速度为千米时，由题意：乘坐“复兴号”动车组列车将比乘坐普通快车节省1小时40分钟．列出分式方程即可．【解答】解：设“复兴号”动车组的平均速度为千米时，则乘坐普通快车的平均速度为千米时，1小时40分钟小时，根据题意得：，故选：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．3．（2022秋•晋州市期中）学校需采购部分课桌，现有，两个商家供货，商家每