24.3三角形一边的平行线（第2课时）（作业）

24.3三角形一边的平行线（第2课时）（作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一．选择题（共2小题）1．（2021秋•闵行区校级期中）如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，EF∥CD交AB于F，那么下列比例式中正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、∵EF∥CD，DE∥BC，∴，，∵CE≠AC，∴．故本答案错误；B、∵DE∥BC，EF∥CD，∴，，∴，∵AD≠DF，∴，故本答案错误；C、∵EF∥CD，DE∥BC，∴，，∴．∵AD≠DF，∴，故本答案错误；D、∵DE∥BC，EF∥CD，∴，，∴，故本答案正确．故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例的运用及平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的新三角形与原三角形相似的定理的运用，在解答时寻找找对应线段是关键．2．（2020秋•崇左期末）如图，E是平行四边形ABCD的BA边的延长线上的一点，CE交AD于点F．下列各式中，错误的是（）A． B． C． D．【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD；AD∥BC，再根据平行线分线段成比例得到＝＝，用AB等量代换CD，得到＝＝；再利用AF∥BC，根据平行线分线段成比例得＝，由此可判断A选项中的比例是错误的．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD；AD∥BC，∴＝＝，而AB＝CD，∴＝＝，而AB＝CD，∴＝＝；又∵AF∥BC，∴＝．故选：A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质．二．填空题（共7小题）3．（2021秋•奉贤区校级期中）点G是腰长为10的等腰三角形ABC的重心，∠A＝90°，把△ABC绕点A旋转，使点B与点C重合，此时点G转到点G′处，那么GG′的长为．【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据重心的概念和性质求出AG的长，根据旋转的性质得到∠GAG′＝90°，根据勾股定理得到答案．【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝AC＝10，∴BC＝10，∴AD＝5，∴AG＝，由题意得，∠GAG′＝90°，∴GG′＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是重心的概念和旋转的性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．4．（2021秋•徐汇区期中）已知在△ABC中，∠BAC＝90°，点G是△ABC的重心，若AG＝4，则BC的长为12．【分析】延长AG交BC于点D，根据重心的性质可知点D为BC的中点，且AG＝2DG＝4，则AD＝6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．【解答】解：如图，延长AG交BC于点D．∵点G是△ABC的重心，AG＝4，∴点D为BC的中点，且AG＝2DG＝4，∴DG＝2，∴AD＝AG+DG＝6，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边的中线，∴BC＝2AD＝12．故答案为：12．【点评】本题考查了三角形重心的定义及性质，三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．同时考查了直角三角形的性质．5．（2021秋•黄浦区期中）等腰直角三角形的腰长为，该三角形的重心到斜边的距离为．【分析】作等腰直角三角形底边上的高并根据勾股定理求解，再根据三角形重心三等分中线的性质即可求出．【解答】解：如图，根据三线合一的性质，底边上的中线AD＝sin45°＝1，∵三角形的重心到三角形顶点的距离等于中点距离的2倍，∴重心到BC的距离＝1×＝．故答案为：．【点评】本题主要考查等腰三角形三线合一的性质和三角形重心的性质，熟练掌握定理是解题的关键．6．（2018秋•长宁区校级期中）点G是Rt△ABC的重心，∠C＝90°，如果CG＝2，那么AB的长是6．【分析】先根据三角形重心的性质得到DG＝CG＝1，则CD＝3，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到AB的长．【解答】解：如图，AD为AB边上的中线，∵点G是Rt△ABC的重心，∴CG＝2DG，∴DG＝CG＝1，∴CD＝3，∴AB＝2CD＝6．故答案为6．【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．7．（2018秋•虹口区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝3，G为△ABC的重心，GD∥BC，则△AGD的面积是．【分析】延长AG交BC于H，根据直角三角形的性质，勾股定理分别求出BC，AB，得到△ABC的面积，根据重心的性质得到H是BC的中点，AG＝AH，根据相似三角形的性质定理计算．【解答】解：延长AG交BC于H，∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴BC＝2AC＝6，由勾股定理得，AB＝＝3，则△ABC的面积＝×AC×AB＝，∵G为△ABC的重心，∴H是BC的中点，AG＝AH，∴△AHC的面积＝×△ABC的面积＝，∵GD∥BC，∴△AGD∽△AHC，∴△AGD的面积＝（）2×△AHC的面积＝，故答案为：．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．8．（2018秋•松江区期中）已知△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，BG＝8，则BE＝12．【分析】利用重心的性质得到GE＝BG＝4，从而计算出BG+GE的和即可．【解答】解：∵△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，∴G点为△ABC的重心，∴BG＝2GE，∴GE＝BG＝4，∴BE＝8+4＝12．故答案为12．【点评】本题考查了重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．9．（2021•上海）如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，＝，则＝．【分析】过D作DM⊥BC于M，过B作BN⊥AD于N，由四边形BMDN是矩形，可得DM＝BN，＝，根据AD∥BC，可得＝＝，＝，即可得到＝．【解答】解：过D作DM⊥BC于M，过B作BN⊥AD于N，如图：∵AD∥BC，DM⊥BC，BN⊥AD，∴四边形BMDN是矩形，DM＝BN，∵＝，∴＝，∴＝，∵AD∥BC，∴＝＝，∴＝，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，涉及基本的相似三角形判定与性质，掌握同（等）底三角形面积比等于高之比，同（等）高的三角形面积比等于底之比是解题的关键．三．解答题（共1小题）10．（2019秋•杨浦区校级月考）如图，AD⊥BC于点D，点E在边AB上，CE与AD交于点G，EF⊥AD于点F，AE＝5cm，BE＝10cm，BD＝9cm，CD＝5cm，求AF、FG、GD的长．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，代入已知数据求出EF，根据平行线分线段成比例定理得到＝，＝，计算得到答案．【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥AD，∴EF∥BC，∴＝，又AE＝5cm，BE＝10cm，BD＝9cm，∴EF＝3cm，在Rt△ABD中，AB＝15，BD＝9，由勾股定理得，AD＝12，∵EF∥BC，∴＝，∴AF＝4，DF＝8，∵EF∥BC，∴＝，∴FG＝3cm，GD＝5cm．答：AF＝4cm，FG＝3cm，GD＝5cm．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理和勾股定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．【能力提升】一．选择题（共1小题）1．（2021秋•松江区期末）如图，已知点G是△ABC的重心，那么S△BCG：S△ABC等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5【分析】连接AG延长交BC于点D，由G是重心可得D是BC的中点，所以S△ABD＝S△ACD，S△BCG＝S△CDG，又由重心定理可AG＝2GD，则2S△BCD＝S△ABG，进而得到3S△BDG＝S△ABC，即可求解．【解答】解：连接AG延长交BC于点D，∵G是△ABC的重心，∴D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD，S△BCG＝S△CDG，∵AG＝2GD，∴2S△BCD＝S△ABG，∴3S△BCD＝S△ABD，∴3S△BDG＝S△ABC，∴S△BDG：S△ABC＝1：3，故选：B．【点评】本题考查三角形的重心，熟练掌握三角形重心定理，利用等底、等高三角形面积的特点求解是解题的关键．二．填空题（共4小题）2．（2021秋•青浦区期末）如图，点G为等边三角形ABC的重心，联结GA，如果AG＝2，那么BC＝．【分析】延长AG交BC于H，如图，利用三角形的重心性质得到BH＝CH，GH＝AG＝1，再利用等边三角形的性质得到AH⊥BC，∠B＝60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出BH，从而得到BC的长．【解答】解：延长AG交BC于H，如图，∵点G为等边三角形ABC的重心，∴BH＝CH，AG＝2GH，∴GH＝AG＝1，∴AH＝AG+GH＝3，∵△ABC为等边三角形，AH为中线，∴AH⊥BC，∠B＝60°，∴BH＝AH＝，∴BC＝2BH＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了三角形的重心：重三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了等边三角形的性质．3．（2021秋•宝山区期末）已知△ABC的两条中线AD、BE相交于点F，如果AF＝10，那么AD的长为15．【分析】先根据三角形的重心的定义得出点F是△ABC的重心，再利用重心的性质得出AD＝AF，即可求解．【解答】解：∵△ABC的两条中线AD、BE相交于点F，∴点F是△ABC的重心，∴AF：FD＝2：1，∴AD＝AF＝×10＝15．故答案为：15．【点评】本题考查了三角形的重心的定义及性质，重心是三角形三边中线的交点．掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．4．（2021秋•奉贤区期末）如图，已知菱形ABCD，E、F分别为△ABD和△BCD的重心．如果边AB＝5，对角线BD＝6，那么EF的长为．【分析】连接AC，交BD于点O，根据菱形的性质得出OB＝OD＝3，OA＝OC，AC⊥BD，利用勾股定理求出OA＝OC＝4．再根据重心的性质可知△ABD和△BCD的重心E，F分别在线段OA、OC上，且OE＝OA，OF＝OC，进而得到EF的长．【解答】解：如图，连接AC，交BD于点O，∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，∴OB＝OD＝BD＝3，OA＝OC，AC⊥BD，∴OA＝＝＝4，∴OC＝OA＝4．∵E、F分别为△ABD和△BCD的重心，∴E，F分别在线段OA、OC上，且OE＝OA＝，OF＝OC＝，∴EF＝OE+OF＝+＝．故答案为：．【点评】本题考查了三角形的重心的性质，菱形的性质，勾股定理，掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．5．（2021秋•杨浦区期末）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点G是△ABC的重心，那么点G到斜边AB的距离是．【分析】过C点作CE⊥AB于E，过G点作GH⊥AB于H，如图，先利用勾股定理计算出AB，再利用面积法求出CE＝，根据G是△ABC的重心得到DG＝CD，然后证明△DHG∽△DEC，利用相似比可求出GH的长度．【解答】解：过C点作CE⊥AB于E，过G点作GH⊥AB于H，如图．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∵CE•AB＝AC•BC，∴CE＝＝，∵G是△ABC的重心，∴DG＝CG，∴DG＝CD，∵CE⊥AB，GH⊥AB，∴GH∥CE，∴△DHG∽△DEC，∴＝＝，∴GH＝CE＝×＝．故答案为：．【点评】此题考查了三角形重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，也考查了勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定与性质．三．解答题（共1小题