全等三角形基本模型综合训练(一)(原卷版+解析)

全等三角形基本模型综合训练（一）1．如图，A点坐标(0，4)，B为x轴上一动点，将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到BC，连接OC，则B在运动过程中，线段OC的最小值是（

）A．4 B．4 C．2 D．22．如图，在中，，，为边上一点，于点．若，，则的长为（）A． B．2 C． D．43．如图，中，，平分，交于点，，，则的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．64．正方形ABCD的边长为4，点E是射线AD上的一个动点，连结CE，以CE为边往右侧作正方形CEFG，连结DF、DG．（1）当点E在AD延长线上，且DE=AD时，DG=________．（2）当点E在线段AD上，且△DGF为等腰三角形时，DG=________．5．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F在BC上，且BF=2CF，DE，AF相交于点G，则DG的长为___________．6．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，连接BD，△ABD的中线AE的延长线交BC于点F，∠FAC=60°，若AD=5，AB=7，则EF的长为__________．7．如图，将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF，使点C恰好落到线段AD上的E点处，连接CE，连接CG交BE于点H．(1)求证：CE平分∠BED；(2)取BC的中点M，连接MH，求证：MHBG；(3)若BC＝2AB＝4，求CG的长．8．如图，在正方形ABCD中，点E是CD中点，连接AE．过点C作，交AE的延长线于点F，连接DF．过点D作交AF于点G．若，则正方形ABCD的边长为________．9．已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．10．如图1，，，点，分别在边，上，点为中点．(1)请直接写出线段与的关系；(2)连接，将绕点逆时针旋转至如图2位置，请写出与的关系，并说明理由；(3)在绕点旋转的过程中，当，，三点共线时，若，，请直接写出的长．11．在四边形ABCD中，，对角线AC平分∠BAD．(1)推理证明：如图1，若，且，求证：；(2)问题探究：如图2，若，试探究AD、AB、AC之间的数量关系；(3)迁移应用：如图3，若，AD=2，AB=4，求线段AC的长度．12．如图，点在四边形的边上．(1)如图，当四边形是正方形时，过点作，垂足为，交于点求证：；(2)当四边形是矩形，，时，①如图，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上，求的值；②如图，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上，延长、交于点，当时，请直接写出的值．13．将一块足够大的直角三角板的直角顶点P放在边长为1的正方形ABCD的对角线AC上滑动,一条直角边始终经过点B,另一条直角边与射线DC交于点E．(1)当点E在边DC上时（如图1），求证：①△PBC≌△PDC；②PB=PE．(2)当点E在边DC的延长线上时（如图2）,（1）中的结论②还成立吗？如果不成立，请说明理由；如果成立，请给予证明．14．在中，，D是BC所在直线上的一个动点（点D不与点B、点C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．(1)观察发现：如图1，当点D在线段BC上时，①BC、CF的位置关系为___________；②BC、CD、CF之间的数量关系为___________．(2)探究证明：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．(3)问题解决：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.若，时，直接写出GE的长．15．【探究建模】已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．(1)如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线．求证：AE＝CF；(2)【类比应用】如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．①（1）中的结论AE＝CF还成立吗？请说明理由；②猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系．全等三角形基本模型综合训练（一）1．如图，A点坐标(0，4)，B为x轴上一动点，将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到BC，连接OC，则B在运动过程中，线段OC的最小值是（

）A．4 B．4 C．2 D．2【答案】C【详解】解：过点C作CD⊥x轴于点D，∴∠CDB=90°又线段AB绕点B顺时针旋转90°，∴∠ABC=90°，AB=BC∵∠ABO+∠CBD=90°，∠BCD+∠CBD=90°，∴∠ABO=∠BCD由图可知，∠AOB=90°，∴∠AOB=∠CDB∴△AOB≌△BDC（AAS），∴OB=CD，OA=BD=4，令点B（x，0）①当x>0时，如图1，在Rt△COD中OC===，∴当x=-2时，OC有最小值，又x>0∴x=-2不符合题意，舍去②当x<0时，如图2，在Rt△COD中OC===∴当x=-2时，OC有最小值，且最小值为2，故选：C．2．如图，在中，，，为边上一点，于点．若，，则的长为（）A． B．2 C． D．4【答案】D【详解】解：如图，作DF⊥AB于点F，∵AD＝BD∴△ADB是等腰三角形，∠ABD＝∠A＝40°∴AB＝2AF＝2BF∵，，∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝80°，∴∠DBE＝∠ABC－∠ABD＝40°∴∠DBE＝∠ABD∵∴∠DE＝DF∵BD＝BD∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL）∴BF＝BE＝2∴AB＝2BF＝4，故选：D3．如图，中，，平分，交于点，，，则的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【详解】解：过点D作DF⊥AB于点F，∵，，∴，∴,得DF=3，∵，平分，DF⊥AB，∴CD=DF=3，故选：A．4．正方形ABCD的边长为4，点E是射线AD上的一个动点，连结CE，以CE为边往右侧作正方形CEFG，连结DF、DG．（1）当点E在AD延长线上，且DE=AD时，DG=________．（2）当点E在线段AD上，且△DGF为等腰三角形时，DG=________．【答案】

4或或【详解】解：（1）过点F作FH⊥AD交AD延长线于点H，∵四边形ABCD是正方形，且DE=AD，∴DE=AD=CD，∠ADC=∠CDE=90°，∴△EDC是等腰直角三角形，∴∠DCE=∠DEC=45°，∵四边形CEFG是正方形，∴CG=CE=EF，∠GCE=∠CEF=90°，∴∠DCG=∠DEF=135°，∴△DCG≌△DEF，∴DG=DF，∵∠DEC=45°，∠CEF=90°，∴∠HEF=45°，∴△EHF是等腰直角三角形，∵CE=EF，∴DE=CD=EH=FH=4，在Rt△DFH中，FH=4，DH=8，∴DG=DF=；（2）当点E与点A重合时，DG=DF，∴DG=DE=DC=4；当DG=GF时，过点G作GI⊥CD于点I，∵四边形CEFG是正方形，∴CG=GF=CE，∠GCE=90°，∴DG=GC，∴CI=DI=CD=2，∠DCE+∠ICG=90°，∠IGC+∠ICG=90°，∴∠DCE=∠IGC，∴△DCE≌△IGC，∴IG=DC=4，∴DG=GC=；点E与点D重合时，DF=GF，此时，FG=FD=DC=4，∴DG=；综上，△DGF为等腰三角形时，DG=4或或．故答案为：4或或．5．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F在BC上，且BF=2CF，DE，AF相交于点G，则DG的长为___________．【答案】【详解】如图，延长DG、CB，二线交于点H，∵四边形ABCD是正方形，E是AB的中点，∴∠DAE=∠HBE=90°，AE=BE，∵∠AED=∠BEH∴△DAE≌△HBE，∴BH=AD=3，∵BF=2CF，BC=3，∴BF=2，CF=1，∴FH=FB+BH=3+2=5，CH=FH+CF=1+5=6，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCH=90°，AD∥BC，∴△DAG∽△HFG，DH=，∴，∴，∴=，故答案为：．6．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，连接BD，△ABD的中线AE的延长线交BC于点F，∠FAC=60°，若AD=5，AB=7，则EF的长为__________．【答案】【详解】解：延长AE至点G，使得AE＝EG，∵E是BD的中点，∴BE＝DE，在△ADE和△GBE中，∴△ADE≌△GBE（SAS），∴AD＝GB＝5，∠G＝∠FAC＝60°，过点B作BH⊥GE于点H，在Rt△BGH中，∠GBH＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴GH＝BG＝，BH＝，在Rt△ABH中，AH＝，∴AG＝AH+GH＝8，∴AE＝GE＝4，过点D作DMEF，交BC于点M．∴，设EF＝x，则DM＝2x，∵DMEF，∴，∴AF＝7x，∴AE＝7x﹣x＝6x＝4，∴x＝，∴EF＝，故答案为：．7．如图，将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF，使点C恰好落到线段AD上的E点处，连接CE，连接CG交BE于点H．(1)求证：CE平分∠BED；(2)取BC的中点M，连接MH，求证：MHBG；(3)若BC＝2AB＝4，求CG的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴BC=BE，DE∥BC，∴∠BEC=∠BCE，∠BCE=∠DEC，∴∠BEC=∠DEC，∴CE平分∠BED．(2)过点C作CN⊥BE，垂足为N，∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥DE，∵CE平分∠BED，∴CD=CN，∵矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF，∴CD=BG，∠GBH=∠CNH=90°，∴CN=BG，∠BHG=∠NHC，∴△BHG≌△CHN，∴HG=HC，∴H是GC的中点，∵BC的中点是M，∴MH是△BGC中位线，∴MHBG．(3)过点C作CN⊥BE，垂足为N，∵四边形ABCD是矩形，BC＝2AB＝4，矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF，∴GB⊥BH，GB=BM=2，∵MH是△BGC中位线，∴MH=1，∴∠HBM=∠QGB，∵GB=BM=2，∠BHM=∠GQB，∴△QBG≌△HMB，∴QB=MH=1，GQ=BH=，QC=5，∴CG=．8．如图，在正方形ABCD中，点E是CD中点，连接AE．过点C作，交AE的延长线于点F，连接DF．过点D作交AF于点G．若，则正方形ABCD的边长为________．【答案】【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°，∴∠DAE+∠AED=90°，∵CF⊥AE，∴∠ECF+∠CEF=90°，∴∠DAE=∠ECF，同理，∵∠ADG+∠GDE=90°，∠GDE+∠CDF=90°，在△AGD与△CFD中，，∴△AGD≌△CFD（ASA），∴DG=DF，AG=CF，∵DG⊥DF，∴△DGF是等腰直角三角形，∴过点D作DK⊥AE于点K，则，在△DKE与△CFE中，，∴△DKE≌△CFE（AAS），∴DK=CF，∴，∴，∴，故答案为：．9．已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．【答案】AC+BD=AB，理由见见解析【详解】解：AC+BD=AB，证明如下：在BA上截取BF=BD，连接EF，如图所示：∵AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，∴∠EAF=∠EAC，∠EBF=∠EBD，在△BEF和△BED中，，∴（SAS），∴∠BFE=∠D，∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，∵∠AFE+∠BFE=180°，∴∠AFE+∠D=180°，∴∠AFE=∠C，在△AEF和△AEC中，，∴（AAS），∴AF=AC，∵AF+BF=AB，∴AC+BD=AB．10．如图1，，，点，分别在边，上，点为中点．(1)请直接写出线段与的关系；(2)连接，将绕点逆时针旋转至如图2位置，请写出与的关系，并说明理由；(3)在绕点旋转的过程中，当，，三点共线时，若，，请直接写出的长．【答案】(1)，；(2)，，理由见解析；(3)或【解析】(1)，，理由如下，设BM与CE相交于点N，如图，∵，∠ABC=90°，∴AF=CE，∠A=∠C，∴∠A+∠AFB=90°，∵M为AF的中点，∴BM=AM=FM=AF，∴BM=CE，即2BM=CE，∠AFB=∠CBM，∴∠C+∠CBM=90°，∴∠CNB=90°，∴BM⊥CE，故BM与CE的关系为：，，(2)，，理由如下：证明：延长至点，使，连接∵为的中点，为中点∴为的中位线∴∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∵为的中位线，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，综上且；(3)当点E在CB的延长线上时，如图，∵∠ABC=∠ABE=90°，AB=BC=3，BE=BF，∴在等腰Rt△BEF中，有EF=BE=BF，又∵EF=，∴BE=BF=1，∴AF=AB-EF=3-1=2，∵M为AF的中点，∴FM=AF=1，∴，当点E在CB上时，如图，同理可求得BF=BE=1，∴AF=AB+BF=3+1=4，∵M为AF的中点，∴FM=AF=2，∴BM=FM-BF=2-1=1，∴，即CM的长为或．11．在四边形ABCD中，，对角线AC平分∠BAD．(1)推理证明：如图1，若，且，求证：；(2)问题探究：如图2，若，试探究AD、AB、AC之间的数量关系；(3)迁移应用：如图3，若，AD=2，AB=4，求线段AC的长度．【答案】(1)见解析；(2)；(3)【解析】(1)证明：∵平分，∴，又∵，∴，又∵，，∴，∴，∴，，∴．(2)解：；过点C作于点E，过点C作的延长线于点F，∵平分，∴，，∵，而，∴，在与中，∴，∴，∴，由（1）知，∴．(3)过点C作于点M，过点C作的延长线于点N，由（2）知：，∴，∴，而，平分，∴，∴，∴，又，，∴．12．如图，点在四边形的边上．(1)如图，当四边形是正方形时，过点作，垂足为，交于点求证：；(2)当四边形是矩形，，时，①如图，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上，求的值；②如图，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上，延长、交于点，当时，请直接写出的值．【答案】(1)证明见解析；(2)①；②．【解析】(1)证明：四边形是正方形，，，于点，，，≌，．(2)解：如图，过作于点，于点，则，四边形是矩形，，，，四边形是矩形，，于点，，，，∽，，，，∽，，同理，，，；如图，连接、，，，，，∽，，，，∽，，，；，，∽，，，，，，∽，，．13．将一块足够大的直角三角板的直角顶点P放在边长为1的正方形ABCD的对角线AC上滑动,一条直角边始终经过点B,另一条直角边与射线DC交于点E．(1)当点E在边DC上时（如图1），求证：①△PBC≌△PDC；②PB=PE．(2)当点E在边DC的延长线上时（如图2）,（1）中的结论②还成立吗？如果不成立，请说明理由；如果成立，请给予证明．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)（1）中的结论②仍然成立，证明见解析【解析】(1)①∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD,∠BCP=∠DCP=45°,又∵CP=CP，∴△PBC≌△PDC，②过点P分别作PF⊥BC于点F，PG⊥CD于点G，易证四边形PFCG为正方形，∴∠BFP=∠EGP=90°，PF=PG，∵∠EPG+∠EPF=90°=∠BPF+∠EPF，∴∠BFP=∠EGP∴△PGE≌△PFB(ASA)，∴PB=PE.(2)PB=PE成立，证明：设PE交BC于点O，∵∠BPE=∠BCE=90°，∠BOP=∠COE，∴∠PBC=∠PEC，由（1）得：∠PBC=∠PDC，∴∠PDC=∠PEC，PB=PD，∴PE=PD=PB，故（1）中的结论②仍然成．14．在中，，D是BC所在直线上的一个动点（点D不与点B、点C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．(1)观察发现：如图1，当点D在线段BC上时，①BC、CF的位置关系为___________；②BC、CD、CF之间的数量关系为___________．(2)探究证明：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．(3)问题解决：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.若，时，直接写出GE的长．【答案】(1)①，②；(2)（1）中结论①成立，②不成立，理由见解析；(3)【解析】(1)①在正方形ADEF中，AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAC=∠DAF=90°∴∠BAD=∠CAF，在△DAB与△FAC中，，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴∠ABD=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=∠ACB+∠ABD=180°-∠BAC=90°，∴BC⊥CF；故答案为：BC⊥CF；②由①知，△DAB≌△FAC，∴BD=CF，∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD；故答案为：BC=CF+CD；(2)（1）中结论①成立．②不