5.3平行线的性质（原卷版）-1

七年级下册数学《第五章相交线与平行线》5.3平行线的性质知识点一知识点一平行线的性质◆1、平行线性质定理性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠4.(两直线平行，内错角相等)．性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠1＋∠2＝180°(同旁内角互补，两直线平行)．◆2、平行线的判定与性质平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别：区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．知识点二知识点二命题及其组成◆1、概念：判断一件事情的语句，叫做命题．【注意】1、命题必须满足的条件：①必须是语句；②对一件事情作出判定；二者缺一不可.2、命题只需具有“判断”功能，而不论这个判断是否对错.◆2、命题的组成每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．知识点三知识点三真、假命题◆1、真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；◆2、假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.知识点四知识点四定理与证明◆1、定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据．◆2、证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.（a）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．◆3、证明的一般步骤：①根据题意画出图形；②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径；④书写证明过程.题型一利用平行线的性质求角的度数题型一利用平行线的性质求角的度数【例题1】（2022秋•李沧区期末）如图，AB∥CD，直线EF分别与直线AB、直线CD相交于点E，F，点G在CD上，EG平分∠BEF．若∠EGC＝58°，求∠EFD的度数．解题技巧提炼两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数.【变式11】（2022•西藏）如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（）A．46° B．90° C．96° D．134°【变式12】（2022春•五莲县期末）如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．35°【变式13】（2021秋•霍州市期末）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，则∠2+∠3的和是（）A．200° B．210° C．220° D．230°【变式14】（2022秋•安岳县期末）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为．【变式15】（2022春•海淀区月考）如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM．当∠DCM＝60°时，求∠O的度数．【变式16】（2021春•黄冈期中）如图，DB∥FG∥EC，A是FG上的一点，∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠CAD，求∠PAG的度数．题型二利用平行线的性质说明两直线垂直题型二利用平行线的性质说明两直线垂直【例题2】（2022春•龙岗区期末）已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．解题技巧提炼准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.【变式21】如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB．【变式22】已知，如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，试说明DA⊥AB．【变式23】（2022春•海淀区校级月考）如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE．题型三平行线的性质与判定的综合应用题型三平行线的性质与判定的综合应用【例题3】（2022春•永川区期末）如图，已知∠2+∠3＝180°，∠1＝120°，则∠4＝（）A．120o B．80o C．60o D．75o解题技巧提炼平行线的判定和性质在解题中经常反复使用，见到角相等或互补就应该联想到能否判定两条直线平行，见到直线平行就应该联想到能否证明相关的角相等或互补.【变式31】（2022秋•南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2＝180°+∠3 C．∠1+∠3＝180°+∠2 D．∠2+∠3＝180°+∠1【变式32】（2022春•重庆月考）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．【变式33】（2022春•舞阳县期末）如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°．（1）若∠F＝30°，求∠ACB的度数；（2）若∠F＝∠G，求证：DG∥BF．【变式34】（2022春•温江区校级期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠CED＝75°，求∠FHD的度数．【变式35】（2022春•木兰县期末）有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AD，BC，然后在平行线间画了一点E，连接CE，DE后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，∠C，∠D与∠DEC之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．（1）请直接写出图①到图④各图中的∠C，∠D与∠DEC之间的关系吗？（2）请从图③④中，选一个说明它成立的理由．【变式36】（2022秋•朝阳区校级期末）（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．请把下面的证明过程补充完整：证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC（）．∴∠C＝∠CEF．（）．∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理）．∴∠B+∠C＝．即∠B+∠C＝∠BEC．（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：∠B+∠BEC+∠C＝360°．（3）解决问题：如图③，AB∥DC，E、F、G是AB与CD之间的点，直接写出∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的数量关系．题型四利用平行线的性质解决实际问题题型四利用平行线的性质解决实际问题【例题4】如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？解题技巧提炼给出一个实际问题，联系平行线的性质解答实际问题，有时需要通过作辅助线构造平行线，同时还会综合运用平行线的判定和性质.【变式41】如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是千米．【变式42】（2022春•高新区校级期末）学习平行线的性质后，老师给小明出了一道题：如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是多少度？请你帮小明求出（）A．120° B．130° C．140° D．150°【变式43】（2021春•沧县期中）某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45° C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120° D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°【变式44】（2022春•东湖区校级月考）工人师傅对一个如图所示的零件进行加工，把材料弯成了一个40°的锐角，然后准备在A处第二次加工拐弯，要保证弯过来的部分与BC保持平行，弯的角度应是．【变式45】（2022•小店区校级开学）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是乎动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（）A．110° B．120° C．130° D．140°题型五利用平行线的性质解决折叠问题题型五利用平行线的性质解决折叠问题【例题5】如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（）A．58° B．64° C．72° D．60°解题技巧提炼结合长方形的性质，对边是互相平行的，从而综合折叠的特征和平行线的性质求解即可.折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置发生了变化.【变式51】（2021秋•陈仓区期末）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（）A．77° B．64° C．26° D．87°【变式52】如图，把长方形ABCD沿EF折叠后使两部分重合，若∠1＝30°，则∠AEF＝（）A．100° B．150° C．110° D．105°【变式53】（2022秋•昭阳区期中）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（）A．40° B．50° C．80° D．100°【变式54】（2022•沭阳县模拟）已知长方形纸条ABCD，点E，G在AD边上，点F，H在BC边上．将纸条分别沿着EF，GH折叠，如图，当DC恰好落在EA'上时，∠1与∠2的数量关系是（）A．∠1+∠2＝135° B．∠2﹣∠1＝15° C．∠1+∠2＝90° D．2∠2﹣∠1＝90°【变式55】如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的两个角相差18°，则图中∠1的度数为（）A．72°或48° B．72°或36° C．36°或54° D．72°或54°题型六借助三角尺求角的度数题型六借助三角尺求角的度数【例题6】（2022春•秦淮区校级月考）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB＝90°）按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°．则∠2的度数是（）A．38° B．45° C．52° D．58°解题技巧提炼借助三角尺求角的度数主要是利用三角尺的特征，结合平行线的性质一般解决求角的度数问题.【变式61】（2022秋•琼海期中）如图，将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（）A．∠1＝∠2 B．∠2+∠3＝90° C．∠3+∠4＝180° D．∠1+∠2＝90°【变式62】（2022秋•南关区校级期末）如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为（）A．58° B．42° C．32° D．30°【变式63】（2022•大渡口区校级模拟）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE．则∠BAE的度数为（）A．85° B．75° C．65° D．55°【变式64】（2022秋•绿园区校级期末）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，则∠HFD的度数为（）A．40° B．35° C．30° D．25°题型七命题的识别及改写题型七命题的识别及改写【例题7】下列语句是命题的是（）A．延长线段AB至C B．垂线段最短 C．直线AB平行于直线CD吗 D．不许大声讲话解题技巧提炼命题是判断一件事情的语句，正确区分命题的题设和结论是把命题写成“如果…那么…”形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题改写的原则是不改变原题的原意．【变式71】（2021秋•泾阳县期末）下列语句中，不是命题的是（）A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．平角是一条直线 D．延长线段AO到点C，使OC＝OA【变式72】（2022秋•南岸区期末）下列命题是真命题的是（）A．同位角相等 B．内错角相等 C．相等的角是对顶角 D．同旁内角互补，两直线平行【变式73】（2021秋•雁山区校级期末）下列命题中是假命题的是（）A．对顶角相等 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C．同旁内角互补 D．平行于同一条直线的两条直线平行【变式74】（2022春•北京期末）已知：在同一平面内，三条直线a，b，c．下列四个命题为真命题的是．（填写所有真命题的序号）①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；③如果a∥b，c∥b，那么a∥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．【变式75】（2022秋•榆阳区校级期末）对假命题“若a＞b，则a2＞b2”举反例，正确的反例是（）A．a＝﹣1，b＝2 B．a＝2，b＝﹣1 C．a＝﹣1，b＝0 D．a＝﹣1，b＝﹣2【变式76】（2022春•江汉区校级月考）下列命题：①两个角的和等于平角时，这两个角互为邻补角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③内错角相等；④a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c．其中真命题的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【变式77】把下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并指出命题的真假．（1）等角的补角相等．（2）垂直于同一直线的两直线平行．【变式78】判断下列命题的真假，若是假命题，举出反例．（1）若两个角不是