专题12从问题到方程重难点题型专训（10大题型）

专题12从问题到方程重难点题型专训（10大题型）【题型目录】题型一判断各式是否是方程题型二列方程题型三一元一次方程的定义题型四方程的解集题型五根据方程的解求值题型六根据等式的性质判断变形是否正确题型七利用等式的性质解方程题型八利用等式的性质比较大小题型九根据等式的性质检验方程的根题型十有规律的方程的解【知识梳理】方程的定义方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．一元一次方程的定义只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．方程的解解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．4、等式的性质性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．【经典例题一判断各式是否是方程】1．（19·20七年级下·四川巴中·期末）下列式子中：①，②，③，④，⑤．是方程的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据方程的定义可得出正确答案．【详解】①，是方程；②，不是等式，不是方程；③，不是等式，不是方程；④，是方程；⑤，是方程．综上，方程共有3个，故选：C．【点睛】本题主要考查了方程的定义，解题关键是依据方程的定义．含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．2．（22·23七年级上·安徽阜阳·期末）下列各式中，是方程的个数为（）；；；；；．A．2个 B．3个 C．5个 D．4个【答案】C【分析】根据方程的定义：含有未知数的等式，即可判断．【详解】解：①、②、④、⑤、⑥是方程，符合题意；③不是等式，故不是方程，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查的是方程的定义，解题的关键是依据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．3．（20·21七年级·全国·假期作业）下列各式是方程的有①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）；②＋y＝5；③x2﹣2x＝1；④x2﹣2x＝x﹣y；⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数）【答案】②③④【分析】含有未知数的等式是方程，根据定义依次判断．【详解】解：①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3），不含有未知数，不是方程；②＋y＝5，是方程；③x2﹣2x＝1，是方程；④x2﹣2x＝x﹣y，是方程；⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数），不含有未知数，不是方程；故答案为：②③④．【点睛】此题考查方程的定义，有理数的加减混合运算，理解方程的定义是解题的关键．4．（23·24七年级上·全国·课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)不是方程，见解析(2)是方程(3)不是方程，见解析(4)不是方程，见解析(5)是方程(6)不是方程，见解析【分析】（1）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；（2）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；（3）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；（4）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；（5）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；（6）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得．【详解】（1）解：不是方程，理由是：不含未知数．（2）解：是方程．（3）解：不是方程，理由是：不是等式．（4）解：不是方程，理由是：不是等式．（5）解：是方程．（6）解：不是方程，理由是：不含未知数．【点睛】本题考查了方程，熟记方程的概念是解题关键．【经典例题二列方程】1．（22·23七年级上·湖北鄂州·期末）如图，有四个大小相同的小长方形和两个大小相同的大长方形如图位置摆放，按照图中所示尺寸，则小长方形长与宽的差是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设小长方形的长为x，宽为y，再根据大长方形的长不变可得，再求出的值，即为长与宽的差．【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得：，即，整理得：，则小长方形的长与宽的差是，故选：D．【点睛】此题考查了列方程、整式的加减、等式的性质，根据大长方形的长不变建立方程是解本题的关键．2．（19·20七年级上·四川成都·期末）王强参加3000米的长跑，他以8米/秒的速度跑了一段路程后，又以5米秒的速度跑完了其余的路程，一共花了15分钟，他以8米/秒的速度跑了多少米？设以8米/秒的速度跑了x米，列出的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】设以8米秒的速度跑了x米，则以5米/秒的速度跑了米，然后再根据题意列一元一次方程即可．【详解】解：设以8米秒的速度跑了x米，则以5米/秒的速度跑了米，依题意，得：．故答案为A．【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、设出未知数、列出一元一次方程成为解答本题的关键．3．（2023下·广东河源·七年级校考开学考试）一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为．【答案】【分析】设这个场地的宽为米，则长为米，然后根据长方形的周长公式即可解答．【详解】解：设这个场地的宽为米，则长为米，由题意可得：．故答案为．【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、设出未知数、明确等量关系是解答本题的关键．4．（23·24七年级上·全国·课堂例题）在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多，乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵．设乙班植树棵．(1)列两个不同的含的式子来表示甲班植树的棵数；(2)根据题意列出含未知数的方程；(3)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵．【答案】(1)甲班植树的棵数为棵、棵(2)(3)见解析【分析】（1）根据多、一半的含义列出式子即可；（2）直接列出等式即可；（3）利用代入法进行检验即可．【详解】（1）根据甲班植树的棵数比乙班多，得甲班植树的棵数为棵；根据乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵，得甲班植树的棵数为棵．（2）．（3）把分别代入（2）中方程的左边和右边，得左边，右边．因为左边右边，所以是方程的解，即乙班植树的棵数是25棵．由上面的检验过程可得甲班植树的棵数是30棵，而不是35棵【点睛】本题考查了列方程解实际问题的能力，考查了学生应用数学解决实际问题的能力．【经典例题三一元一次方程的定义】1．（19·20七年级上·湖南常德·期中）下列方程中：①；②；③；④；；，属于一元一次方程的是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据一元一次方程的定义逐一判断即可得．【详解】解：①是一元一次方程，符合题意；②，含有3个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；③中的次数是2，不是一元一次方程，不符合题意；④中的次数是2，不是一元一次方程；含有2个未知数，不是一元一次方程；不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意；综上，属于一元一次方程的是1个，故选：B．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键．2．（22·23七年级上·重庆九龙坡·期末）已知关于y的方程是一元一次方程，则c的值为（

）A． B． C．2 D．1【答案】C【分析】根据一元一次方程的定义：一个未知数，未知数的项的次数为1，列式求解即可．【详解】解：∵关于y的方程是一元一次方程，∴，∴，又∵，即，∴；故选C．【点睛】本题考查一元一次方程的定义．熟练掌握一元一次方程的定义，是解题的关键．3．（22·23上·福州·期末）已知是一个关于x的一元一次方程，若有理数a满足，则代数式的值为．【答案】4【分析】根据一元一次方程的定义，则的系数为0，且x系数，，得出；由，得，即可得到，，化简绝对值，即可得到答案．【详解】∵是一个关于x的一元一次方程，∴的系数为0，且x系数，∴，，即且，∴，∵，∴，即，∴，∴，，∴，故答案为：4【点睛】本题考查绝对值、一元一次方程的定义、整式的加减，解题的关键是知道如何去绝对值以及一元一次方程的定义.4．（22·23七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知是一元一次方程．(1)求代数式的值；(2)求关于y的方程的解．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据是一元一次方程即可求得m及x的值，代入即可求得其值；（2）把m及x的值代入，解绝对值方程，即可求得．【详解】（1）解：是一元一次方程，解得故将代入，得，解得，（2）解：把，分别代入得，得，解得或．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，代数式求值问题，解绝对值方程，求得m及x的值是解决本题的关键．【经典例题四方程的解集】1．（2022上·江苏泰州·七年级统考期末）下列有理数中，不可能是关于的方程的解的是（

）A．0 B．1 C． D．－3【答案】A【分析】把x的值代入方程ax+4=1，求出所得方程的解，再得出选项即可．【详解】A．当x=0时，a•0+4=1，即4=1，此时不成立，即x=0不是方程ax+4=1的解，故本选项符合题意；B．当x=1时，a•1+4=1，解得：a=3，即x=1可以是方程的解，故本选项不符合题意；C．当x=时，a•+4=1，解得：a=2，即x=可以是方程的解，故本选项不符合题意；D．当x=3时，a•（3）+4=1，解得：a=1，即x=3可以是方程的解，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．2．（21·22上·湘西·期末）是下列哪个方程的解（）A． B．C． D．【答案】D【分析】把代入各个方程计算求解即可．【详解】把代入，可得：，故A选项不符合题意；，故B选项不符合题意；，故C选项不符合题意；，故D选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了方程的解的判定，准确计算分析是解题的关键．3．（22·23上·渝中·阶段练习）若是关于的一元一次方程的解，则的值是．【答案】8【分析】把代入方程可得，再利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：把代入方程可得，∴===8．故答案为：8．【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．4．（21·22七年级上·陕西榆林·期末）某同学在解方程时，去分母时方程右边的没有乘6，其他步骤正确，结果方程的解为，求a的值．【答案】【分析】根据错解代入错方程即可得到a的值．【详解】解：根据题意可得是方程的解，将代入，得，解得．【点睛】本题考查方程的解：使方程左右两边相等的未知数值，解题关键是题目给的解是错方程的解要代入错方程．【经典例题五根据方程的解求值】1．（22·23上·珠海·期末）已知a是方程的解，则代数式的值为（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A【分析】把代入方程得到关于a的等式，然后整体代入计算即可．【详解】解：∵a是方程的一个解，，即∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，理解一元二次方程的解的定义是解答本题的关键．2．（21·22上·宝鸡·期末）已知是方程的解，则的值为（

）A．0 B．6 C． D．【答案】B【分析】此题可先把x=2代入方程然后求出a的值，再把a的值代入a2a6求解即可．【详解】解：将x=2代入方程得：10+12=1a；解得：a=3；∴a2a6=9(3)6=6．故选：B．【点睛】此题考查的是一元一次方程的解，先将x的值代入方程求出a的值，再将a的值代入a2a6即可解出此题．3．（23·24上·昆明·期末）若关于的方程的解为，则．【答案】/1.5/【分析】将代入可得：，从而得到．【详解】解：关于的方程的解为，将代入可得：，∴．故答案为：．【点睛】本题考查方程的解与代数式求值，理解方程的解的定义是解题的关键．4．（21·22七年级下·全国·期中）若x＝1是方程﹣＝1的解．(1)试判断a与b的关系，并说明理由；(2)如图是一个正方体的表面展开图，每组相对表面上所标的两个数都互为相反数，求a的值；(3)求代数式﹣8a﹣2b+5的值．【答案】(1)b＝5﹣4a，见解析；(2)a＝1；(3)20.【分析】（1）把x＝1代入方程，即可解答；（2）利用正方体及其表面展开图的特点，求出b的值，代入（1）中的式子，即可解答；（3）把a，b的值代入代数式，即可解答．【详解】（1）把x＝1代入方程﹣＝1得：﹣＝1解得：b＝5﹣4a．（2）根据正方体的表面展开图，可得b与﹣1是相对的面，∵每组相对表面上所标的两个数都互为相反数，∴b＝1，∴1＝5﹣4a，解得：a＝1．（3）当a＝1，b＝1时，﹣8a﹣2b+5＝﹣8×1﹣2×1+5＝25﹣8﹣2+5＝20．【点睛】本题考查了方程解的定义，代数式求值，正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．【经典例题六根据等式的性质判断变形是否正确】1．（2023七年级上·江苏·专题练习）下列等式变形，错误的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；等式的性质2：等式的两边都乘同一个数，等式仍成立；等式的性质3：等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立．根据等式的性质逐个判断即可．【详解】解：A．∵，∴，变形正确，故本选项不符合题意；B．∵，∴，变形正确，故本选项不符合题意；C．∵·，∴，变形正确，故本选项不符合题意；D．由能推出或，故本选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了等式的性质，能正确根据等式的基本性质进行变形是解此题的关键．2．（22·23七年级下·湖南衡阳·阶段练习）对于等式，下列变形正确的是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等式的性质逐一判断各选项即可得出答案.【详解】解：A、将移到等号的左边，将1移动到等号的右边，得到的等式为，故该选项错误；B、将移到等号的右边，得，故该选项正确；C、对整理，得，故该选项错误；D、给等式的两边同时乘以3，得，故该选项错误；故选B.【点睛】本题主要考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键.3．（20·21六年级下·上海·期末）将方程36x2y=56变形为用含x的式子表示y的形式是．【答案】【分析】根据减数＝被减数−差得到2y的表达式，然后等式两边都除以2即可得到y的表达式．【详解】解：∵36x−2y＝56，∴2y＝36x−56，∴y＝18x−28，故答案为：y＝18x−28．【点睛】本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键，即：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．4．（23·24上·全国·课时练习）将等式变形，过程如下：因为，所以，（第一步）所以.（第二步）上述过程中，第一步的依据是什么？第二步得出的结论是错误的，其原因是什么？【答案】一步依据是：等式的性质1；第二步错误的原因是：等式的两边同除以了一个可能等于零的【分析】根据等式的性质解答即可．【详解】解：一步依据是：等式的性质1；第二步错误的原因是：等式的两边同除以了一个可能等于零的．【点睛】本题主要考查了等式的性质．熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．【经典例题七利用等式的性质解方程】1．（23·24上·福州·期中）已知等式，则下列等式中不一定成立的是(

)A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了等式的基本性质．等式性质：“1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．”掌握等式的性质是解题的关键．【详解】解：A、在等式的两边同时减去，等式仍成立，即．故本选项不符合题意；B、在等式的两边同时加上，等式仍成立，即．故本选项不符合题意；C、该等式成立的条件是，所以该等式不一定成立．故本选项符合题意；D、在等式的两边同时乘以，等式仍成立，即．故本选项不符合题意；故选：C．2．（22·23上·南通·阶段练习）若且，则的值为（）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】先由变形，得，进而求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查了等式的性质，是基础知识，比较简单．3．（23·24七年级上·辽宁大连·期中）利用等式的性质，解方程，可得方程的解为．【答案】【分析】本题考查解一元一次方程，根据等式的性质求解即可，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题关键．【详解】解：，等式两边同减去2，得：，等式两边同除以，得：，故答案为：．4．（22·23七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）利用等式性质解下列方程：(1)(2)(3)【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）首先在方程两边同加上1，再方程两边同除以，即可求得答案；（2）首先在方程两边同加上5，再方程两边同乘以，即可求得答案；（3）首先方程两边同减去2，再方程两边乘，即可求得答案．【详解】（1）解：，，即，，解得；（2）解：，，即，，解得；（3）解：，，，，解得．【点睛】本题考查了等式的基本性质．注意等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．【经典例题八利用等式的性质比较大小】1、（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）已知2m﹣1＝2n，利用等式的性质比较m，n的大小是(

)A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定【答案】A【分析】等式两边同时除以2，减去n，加上12【详解】等式两边同时除以2得：m﹣12＝n等式两边同时减去n得：m﹣n﹣12等式两边同时加上12m﹣n＝12即m﹣n＞0，即m＞n，故选A．【点睛】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式.2、（2023秋·全国·七年级专题练习）已知5a−3b−1=5b−3a，利用等式的基本性质比较a，b的大小.【答案】a>b【分析】利用等式的性质将一个字母用另一个字母表示出来，再判断．【详解】解：等式两边同时加3b+1，得5a=8b3a+1．等式两边同时加3a，得8a=8b+1．等式两边同时除以8，得a=b+18所以a＞b．【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．3、（2023秋·江苏泰州·七年级校考期末）已知4m+2n﹣5=m+5n，利用等式的性质比较m与n的大小关系：mn（填“＞”，“＜”或“=”）．【答案】>【分析】利用等式的性质两边同时减去(m+5n5)，可得3m3n=5，等式的两边再同时除以3可得，mn=53【详解】解：等式的两边同时减去(m+5n5)，可得3m3n=5，等式的两边再同时除以3可得，mn=53故答案为＞.【点睛】本题考查了等式的性质.4、（2023·甘肃武威·七年级统考期中）已知34m﹣1=3【答案】m＞n．【详解】试题分析：根据等式的性质进行变形，最后得到m与n的差，根据差的正负即可进行判断.试题解析：等式两边同时乘以4得：3m4=3n，整理得：3（mn）=4，∴mn＞0，则m＞n．【点睛】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．【经典例题九根据等式的性质检验方程的根】1、（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）整式mx−n的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值：x−5−4−3−2−11mx−n9630−3−9则关于x的方程−mx+n=9的解为（

）A．x=−5 B．x=−4 C．x=−2 D．x=1【答案】D【分析】根据等式的性质把−mx+n=9变形为mx−n=−9；再根据表格中的数据求解即可．【详解】解：关于x的方程−mx+n=9变形为mx−n=−9，由表格中的数据可知，当−mx+n=9时，x=1；故选：D．【点睛】本题考查了等式的性质，解题关键是恰当地进行等式变形，根据表格求解．2、（2023秋·甘肃白银·七年级统考期末）下列方程中，其解为x=−2的是（

）A．3x−4=2 B．3x+1−3=0 C．2x=−1 【答案】D【分析】把x=−2分别代入各选项左边代数式求值，然后比较判定即可；【详解】解：A.当x=2时，3x−4=−6−4=−0≠2，故不符合题意；B.当x=2时，3x+1C.当x=2时，2x=2×−2D.当x=2时，x+75故选D．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．3、（2023秋·江苏·七年级专题练习）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解．(1)2x+5=10x−3,x=1(2)0.52x−1−0.52【答案】(1)是(2)不是【分析】（1）将x=1分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则x=1是该方程的解，否则不是；（2）将x=1000分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则x=1000是该方程的解，否则不是．【详解】（1）解：当x=1时，左边=2x+5=7，右边=10x−3=7，左边=右边，∴x=1是该方程的解．（2）解：当x=1000时，左边=0.52x−1−0.52右边=80，左边≠右边，∴x=1000不是方程的解．【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．4、（2023春·上海·六年级专题练习）x=2是方程ax﹣4=0的解，检验x=3是不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解．【答案】x=3不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解，理由见解析.【分析】x=3不是方程2ax5=3x4a的解，理由为：由x=2为已知方程的解，把x=2代入已知方程求出a的值，再将a的值代入所求方程，检验即可．【详解】x=3不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解，理由为：∵x=2是方程ax﹣4=0的解，∴把x=2代入得：2a﹣4=0，解得：a=2，将a=2代入方程2ax﹣5=3x﹣4a，得4x﹣5=3x﹣8，将x=3代入该方程左边，则左边=7，代入右边，则右边=1，左边≠右边，则x=3不是方程4x﹣5=3x﹣8的解．【点睛】此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．【经典例题十有规律的方程的解】1、（2023秋·全国·七年级专题练习）一列方程如下排列：x4+x−1x6+x−2x8+x−3…根据观察得到的规律，写出其中解是x＝20的方程：．【答案】x【分析】先根据已知方程得出规律，再根据得出的规律写出方程即可．【详解】解：∵一列方程如下排列：x4+x−1x6+x−2x8+x−3∴一列方程如下排列：x2×2+x−(2−1)x2×3+x−(3−1)x2×4+x−(4−1)…，由此可得：解为x=20的方程为：x2×20即x40故答案为：x40【点睛】本题考查了一元一次方程的解，能根据题意得出规律，是解题的关键．2、（2023秋·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）有一系列方程，第1个方程是x+x2=3，解为x=2；第2个方程是x2+x3=5，解为x=6；第3个方程是x3+x4=7，解为x=12；…根据规律第10个方程是x【答案】x=110【分析】观察这一系列方程可发现规律，第n个方程为xn+xn+1=2n+1，其解为n(【详解】解：第1个方程是x+x2=3，解为x第2个方程是x2+x第3个方程是x3+x4=…可以发现,第n个方程为xn+x解为n(n+1)．∴第10个方程x10+x故答案为x=110．【点睛】此题考查了一元一次方程的解，关键在于通过观察题干中给出的一系列方程，总结归纳出规律，然后用含n的式子表示出来.此题难度适中，属于中档题．3、（2023秋·七年级课时练习）阅读理解题)先阅读下列一段文字，然后解答问题：已知：方程x−1x=112的解是x1=2,x2问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：x−1【答案】见解析【详解】试题分析：我们分析题中的几个例子可得：上述方程的结构符合：“x−1x=n+nn+1试题解析：（1）猜想得：x−1x=10当x=11时，原方程左边=11−111=10当x=−111时，原方程左边=∴x=−1（2）一般情形：方程x−1x=n+4、（2023秋·七年级单元测试）已知关于x的方程x+2x=3+又已知关于x的方程x+2x=4+又已知关于x的方程x+2x=5+…，小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．关于x的方程x+2x=c+(1)关于x的方程x+2x=11+211的两个解是x(2)已知关于x的方程x+2x−1=12+【答案】(1)11，2(2)x1=12【分析】（1）根据规律可直接得到答案；（2）将原方程进行变形，变成x−1+2【详解】（1）解：∵关于x的方程x+2x=c+∴方程x+2x=11+211故答案为：11，211（2）∵x+2∴x−1+2∴x−1+2∴x1−1=11，∴x1=12，【点睛】本题考查方程的解，解题的关键是将方程进行正确的变形，根据方程的定义求出方程的解．

【培优检测】1．（23·24上·长沙·期中）若，是任意有理数，则下列等式不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据等式的性质即可求出答案．【详解】、利用等式性质，两边都加，得到，原变形一定成立，故此选项不符合题意；、利用等式性质，两边都减去，得到，原变形一定成立，故此选项不符合题意；、利用等式性质，两边都乘，得到，原变形一定成立，故此选项不符合题意；、成立的条件是，原变形不一定成立，故此选项符合题意；故选：．【点睛】此题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质，等式的性质：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数(或式子)，结果仍相等．2．（23·24上·哈尔滨·阶段练习）下列运用等式性质进行的变形，正确的是（

）A．如果，那么 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】应用等式的性质即可．【详解】A.如果，那么

，选项错误；B.若，则，选项正确；C.若，则，选项错误；D.若，则当，或，选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了等式的性质，关键是正确应用等式的性质转化并解决问题．3．（23·24上·全国·专题练习）下列是一元一次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】只含有一个未知数，且未知数的指数是1的整式方程叫做一元一次方程．根据一元一次方程的定义进行解答．【详解】解：选项A有两个未知数，不符合一元一次方程；选项B未知数的次数是2而不是1，不符合一元一次方程；选项C不是整式方程，不符合一元一次方程的定义；选项D符合一元一次方程的定义．故选D．【点睛】本题考查一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．4．（22·23七年级下·河南开封·期末）《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？若设人数为x，则下列方程正确的是（）A． B．C． D．8x+4=7x3【答案】B【分析】设人数为x，然后根据等量关系“每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱”即可列出方程．【详解】解：设人数为x，根据题意可得：．故选B．【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系是解答本题的关键．5．（22·23七年级上·江苏盐城·期末）整式的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值：x19630则关于x的方程的解为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等式的性质把变形为；再根据表格中的数据求解即可．【详解】解：关于x的方程变形为，由表格中的数据可知，当时，；故选：D．【点睛】本题考查了等式的性质，解题关键是恰当地进行等式变形，根据表格求解．6．（23·24七年级上·福建福州·期中）若，则式子：．【答案】【分析】将等式两边同时乘2023得，再整体代入计算即可．【详解】解：，等式两边同时乘2023得：，原式，故答案为：．【点睛】本题考查了代数式求值，根据题意化为是解题的关键，注意整体代入思想的运用．7．（22·23七年级上·湖南长沙·阶段练习）关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为．【答案】【分析】把代入方程得到关于a与b的关系式，再将关系式代入即可求解．【详解】把代入方程，得：，即，代入所求方程，得：，整理得：，解得：．故答案为：．【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．8．（23·24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是关于的一元一次方程，则的值为．【答案】【分析】利用一元一次方程的定义求解即可．【详解】解：∵是关于的一元一次方程，∴且，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟记一元一次方程的定义及一次项系数不能为．9．（20·21六年级下·上海长宁·期中）关于x的方程（1）当a、b满足，此方程为一元一次方程．（2）当a、b满足时，此方程无解．【答案】为任意数【分析】（1）方程移项合并整理得到结果，根据一元一次方程的定义即可得出答案；（2）方程移项合并整理得到结果，由方程无解，确定出a的值，及b的范围即可．【详解】解：（1）移项得：，合并同类项得：，∴为任意数，此方程为一元一次方程，故答案为：为任意数．解：（2）由原方程得，则时，此方程无解，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值．10．（22·23七年级下·河南南阳·阶段练习）一列方程及其解如下排列：的解是的解是的解是，…，根据观察得到的规律，写出其中解是的方程：．【答案】【分析】由已有方程可探索出规律：对于整数，方程的解是，将代入即可．【详解】解：由已知的方程知，即，解为；即，解为；即，解为；所以对于整数，方程的解是，所以的方程是．故答案为：【点睛】本题考查规律探索，根据已有的方程探索出解与方程中常数之间的关系是解题的关键．11．（23·24七年级上·广东肇庆·开学考试）求未知数x(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）运用等式性质2，等式两边同时乘上不为0的数，再同时除以，等式左右两边仍相等，进行解题即可；（2）先通分运算，即，运用等式性质2，等式两边同时乘上，方程左右两边仍相等，进行解题即可