专题18圆解答题归类-三年(2020-2022)中考数学真题分项汇编(四川专用)(原卷版+解析)

专题18圆解答题归类1．（2022·四川广安·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠BAD．(1)求证：CD是⊙O的切线．(2)若tan∠BED=，AC=9，求⊙O的半径．2．（2022·四川广元·中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．3．（2021·四川乐山·中考真题）如图，已知点是以为直径的圆上一点，是延长线上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连结，且．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径．4．（2020·四川凉山·中考真题）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分交半圆于点D，过点D作与AC的延长线交于点H．（1）求证：DH是半圆的切线；（2）若，，求半圆的直径．5．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，点C是以AB为直径的上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且．(1)求证：DE是的切线；(2)若点F是OA的中点，，，求EC的长．6．（2021·四川德阳·中考真题）如图，已知：AB为⊙O的直径，⊙O交△ABC于点D、E，点F为AC的延长线上一点，且∠CBF∠BOE．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若AB＝4，∠CBF＝45°，BE＝2EC，求AD和CF的长．7．（2021·四川南充·中考真题）如图，A，B是上两点，且，连接OB并延长到点C，使，连接AC．（1）求证：AC是的切线．（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交于点F，G，，求GF的长．8．（2021·四川广元·中考真题）如图，在Rt中，，是的平分线，以为直径的交边于点E，连接，过点D作，交于点F．（1）求证：是的切线；（2）若，，求线段的长．9．（2021·四川广安·中考真题）如图，是的直径，点在上，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，延长、相交于点．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为5，，求的长．10．（2021·四川资阳·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点D，交的延长线于点E，交于点F．（1）求证：是的切线；（2）若，求的长．11．（2020·四川广安·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，AD⊥DE于点D．（l）求证：直线DE是⊙O的切线．（2）如果BE=2，CE=4，求线段AD的长．12．（2022·四川南充·中考真题）如图，为的直径，点C是上一点，点D是外一点，，连接交于点E．(1)求证：是的切线．(2)若，求的值．13．（2021·四川雅安·中考真题）如图，在⊙中，是直径，，垂足为P，过点的的切线与的延长线交于点,连接．（1）求证：为⊙的切线；（2）若⊙半径为3，，求．14．（2022·四川乐山·中考真题）如图，线段AC为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，=，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．连结CE交DF于点G．(1)求证：CG=DG；(2)已知⊙O的半径为6，，延长AC至点B，使．求证：BD是⊙O的切线．15．（2021·四川巴中·中考真题）如图，ABC内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD与CO的延长线交于点D．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AD＝2，BC＝6，求图中阴影部分面积．16．（2021·四川达州·中考真题）如图，是的直径，为上一点（不与点，重合）连接，，过点作，垂足为点．将沿翻折，点落在点处得，交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求阴影部分面积．17．（2021·四川凉山·中考真题）如图，在中，，AE平分交BC于点E，点D在AB上，．是的外接圆，交AC于点F．（1）求证：BC是的切线；（2）若的半径为5，，求．18．（2022·四川雅安·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)连接CE，求证：△ACE∽△ADC；(3)若＝，⊙O的半径为6，求tan∠OAC．19．（2022·四川遂宁·中考真题）如图，是的外接圆，点O在BC上，的角平分线交于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．(1)求证：PD是的切线；(2)求证：∽；(3)若，，求点O到AD的距离．20．（2021·四川内江·中考真题）如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接、交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积；（3）连结，在（2）的条件下，求的长．21．（2022·四川德阳·中考真题）如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且．(1)求证：是的切线；(2)如果，，①求的长；②求的面积．22．（2021·四川遂宁·中考真题）如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°．（1）求证：直线AC是⊙O的切线；（2）求△ABC的面积；（3）点E在上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F．①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．23．（2021·四川成都·中考真题）如图，为的直径，C为上一点，连接，D为延长线上一点，连接，且．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为，的面积为，求的长；（3）在（2）的条件下，E为上一点，连接交线段于点F，若，求的长．24．（2020·四川·中考真题）如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有一点P，满足∠PBD＝∠DAB．过点P作PN⊥CD，交OA的延长线于点N，连接DN交AP于点H．（1）求证：BP是⊙O的切线；（2）如果OA＝5，AM＝4，求PN的值；（3）如果PD＝PH，求证：AH•OP＝HP•AP．25．（2020·四川绵阳·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外，∠ADC＝90°，BD交⊙O于点E，交AC于点F，∠EAC＝∠DCE，∠CEB＝∠DCA，CD＝6，AD＝8．（1）求证：AB∥CD；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）求tan∠ACB的值．26．（2020·四川内江·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．27．（2020·四川广元·中考真题）在中，，OA平分交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．（1）如图1，求证：AB为的切线；（2）如图2，AB与相切于点E，连接CE交OA于点F．①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．②若，求的值．28．（2020·四川成都·中考真题）如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画⊙O，⊙O与边相切于点，，连接交⊙O于点，连接，并延长交线段于点．（1）求证：是⊙O的切线；（2）若，，求⊙O的半径；（3）若是的中点，试探究与的数量关系并说明理由．29．（2020·四川遂宁·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）求证：＝．（3）若sin∠ABC═，AC＝15，求四边形CHQE的面积．30．（2020·四川乐山·中考真题）如图1，是半圆的直径，是一条弦，是上一点，于点，交于点，连结交于点，且．（1）求证：点平分；（2）如图2所示，延长至点，使，连结．若点是线段的中点．求证：是⊙的切线．31．（2020·四川自贡·中考真题）如图，⊙是△的外接圆，为直径，点是⊙外一点，且，连接交于点，延长交⊙于点．⑴.证明：=；⑵.若，证明：是⊙的切线；⑶.在⑵的条件下，连接交⊙于点,连接;若，求的长．

32．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，的直径垂直于弦于点F，点P在的延长线上，与相切于点C．(1)求证：；(2)若的直径为4，弦平分半径，求：图中阴影部分的面积．33．（2022·四川成都·中考真题）如图，在中，，以为直径作⊙，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点．(1)求证：；(2)若，，求及的长．34．（2020·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，点D在上，的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段上的点，过点E的弦于点H．（1）求证：；（2）已知，，且，求的长．35．（2021·四川阿坝·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．（1）求证：；（2）若，，求CD的长．36．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）四边形内接于，直径与弦交于点，直线与相切于点．(1)如图1，若，且，求证：平分；(2)如图2，连接，若，求证：．37．（2022·四川泸州·中考真题）如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作的切线交的延长线于点．(1)求证：；(2)若，，求的长．38．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．(1)求证：；(2)若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度；(3)在（2）的条件下，求的面积．39．（2022·四川眉山·中考真题）如图，为的直径，点是上一点，与相切于点，过点作，连接，．(1)求证：是的角平分线；(2)若，，求的长；(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．40．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，四边形是⊙的内接矩形，过点的切线与的延长线交于点，连接与交于点，，．（1）求证：；（2）设，求的面积（用的式子表示）；（3）若，求的长．41．（2020·四川南充·中考真题）如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC得延长线于点E，延长线ED交AB得延长线于点F．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．（2）若DF=，求tan∠EAD的值．42．（2022·四川凉山·中考真题）如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；(2)求AB的长；(3)连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．43．（2022·四川内江·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．(1)判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；(2)若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长；(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．44．（2021·四川宜宾·中考真题）如图1，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠ADC＝，AC＝2，求⊙O的半径；（3）如图2，在（2）的条件下，∠ADB的平分线DE交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE．求sin∠DBE的值．45．（2021·四川自贡·中考真题）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，求EF的长．46．（2021·四川遂宁·中考真题）已知平面直角坐标系中，点P（）和直线Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离可用公式来计算．例如：求点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离，因为直线y＝2x＋1可化为2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离为：．根据以上材料，解答下列问题：（1）求点M（0，3）到直线的距离；（2）在（1）的条件下，⊙M的半径r＝4，判断⊙M与直线的位置关系，若相交，设其弦长为n，求n的值；若不相交，说明理由．47．（2020·四川凉山·中考真题）如图，的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，、、所对的边分别是a、b、c（1）求证：（2）若，，，利用（1）的结论求AB的长和的值48．（2020·四川雅安·中考真题）如图，四边形内接于圆，，对角线平分．（1）求证：是等边三角形；（2）过点作交的延长线于点，若，求的面积．49．（2020·四川宜宾·中考真题）如图，已知AB是圆O的直径，点C是圆上异于A，B的一点，连接BC并延长至点D，使得，连接AD交于点E，连接BE．（1）求证：是等腰三角形；（2）连接OC并延长，与B以为切点的切线交于点F，若，求的长．50．（2020·四川巴中·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点E，AC平分．且，．（1）求证：；（2）若点P为线段CE上一动点，当与相似时，求EP的长．专题18圆解答题归类1．（2022·四川广安·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠BAD．(1)求证：CD是⊙O的切线．(2)若tan∠BED=，AC=9，求⊙O的半径．【答案】(1)见详解(2)【分析】（1）连接OD，只要证明，则有，即可证明结论成立；（2）由圆周角定理，求得，然后证明△ACD∽△DCB，求出CD的长度，再根据勾股定理，即可求出答案．（1）证明：连接OD，如图∵AB为⊙O的直径，∴，∴，∵OA=OD，∴，∵∠BDC=∠BAD，∴，∴，∴，∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵，∴，∵△ABD是直角三角形，∴，∵，，∴△ACD∽△DCB，∴，∵，∴，∴，在直角△CDO中，设⊙O的半径为，则，∴，解得：；∴⊙O的半径为；【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的理解题意，从而进行解题．2．（2022·四川广元·中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．【答案】(1)见详解(2)【分析】（1）连接OD，OE，由题意易得OE∥AB，∠A=∠ODA，则有∠A=∠COE=∠DOE=∠ODA，然后可得△COE≌△DOE，进而问题可求证；（2）连接CD，由题意易得∠ADC=90°，然后可证△ADC∽△CDB，则有，进而可得CD=6，最后利用勾股定理可求解．（1）证明：连接OD，OE，如图所示：∵，∴∠A=∠ODA，∵点E是边BC的中点，∴OE∥AB，∴∠DOE=∠ODA，∠A=∠COE，∴∠DOE=∠COE，∵，∴△COE≌△DOE（SAS），∵∠ACB＝90°，∴∠ODE＝∠ACB＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接CD，如图所示：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△ADC∽△CDB，∴，即，∵AD＝4，BD＝9，∴，∴，在Rt△ADC中，由勾股定理得：，∴⊙O的半径为．【点睛】本题主要考查切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．3．（2021·四川乐山·中考真题）如图，已知点是以为直径的圆上一点，是延长线上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连结，且．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）连接、，根据已知条件证明，即可得解；（2）由（1）可得，得到，令，根据正切的定义列式求解即可；【详解】解：（1）证明：连结、．∵，，∴，．∵，∴，∴，，∴，∴，即是的切线．（2）由（1）知，，又，∴，∴，即．令，∴．即，即．∵，即，∴，解得或（舍），∴的半径为．【点睛】本题主要考查了圆的综合运用，结合相似三角形的判定与性质、正切的定义求解是解题的关键．4．（2020·四川凉山·中考真题）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分交半圆于点D，过点D作与AC的延长线交于点H．（1）求证：DH是半圆的切线；（2）若，，求半圆的直径．【答案】（1）见详解；（2）12【分析】（1）连接OD，先证明OD∥AH，然后根据DH⊥AH，可得OD⊥DH，即可证明；（2）过点O作OE⊥AH于E，由（1）知，四边形ODHE是矩形，可得OE=DH=，在Rt△AOE中，根据sin∠BAC=，sin∠BAC=，可得AO==×=6，即可求出直径．【详解】（1）连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分，∴∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AH，∵DH⊥AH，∴OD⊥DH，∴DH是半圆的切线；（2）过点O作OE⊥AH于E，由（1）知，四边形ODHE是矩形，∴OE=DH=，在Rt△AOE中，∵sin∠BAC=，sin∠BAC=，∴AO==×=6，∴AB=2OA=12，∴半圆的直径长为12．【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，矩形的性质和判定，解直角三角形，灵活运用所学知识点是解题关键．5．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，点C是以AB为直径的上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且．(1)求证：DE是的切线；(2)若点F是OA的中点，，，求EC的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连结OC，利用等腰三角形的性质和圆周角定理证，即可由切线的判定定理得出结论；（2）解，求出，从而求得，则可求得，再证，得，即可求得，即可由求解．（1）证明：如图，连结OC，∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴DE是的切线；（2）解：在中，，，∴，∴，∴，∴，又∵点F为AO中点，

∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．6．（2021·四川德阳·中考真题）如图，已知：AB为⊙O的直径，⊙O交△ABC于点D、E，点F为AC的延长线上一点，且∠CBF∠BOE．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若AB＝4，∠CBF＝45°，BE＝2EC，求AD和CF的长．【答案】（1）见解析；（2），【分析】（1）连结，，根据“圆周角定理”及“直径所对的圆周角等于”得到，即，即可判定是的切线；（2）过点作于点，连结，解直角三角形得出，，，由判定，得出，即可求出，，再根据勾股定理求出，，最后根据特殊角的三角函数即可得解．【详解】解：（1）证明：连结，，，，，为的直径，，，，即，，是的切线；（2）解：过点作于点，连结，，，在中，，，，，，在中，，，，，，，，，，，，在中，，在中，，为的直径，，又，，即，，．【点睛】此题考查了切线的判定与性质、圆周角定理，熟记切线的判定与性质、圆周角定理及作出合理的辅助线是解题的关键．7．（2021·四川南充·中考真题）如图，A，B是上两点，且，连接OB并延长到点C，使，连接AC．（1）求证：AC是的切线．（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交于点F，G，，求GF的长．【答案】（1）见解析；（2）2【分析】（1）先证得△AOB为等边三角形，从而得出∠OAB=60°，利用三角形外角的性质得出∠C=∠CAB=30°，由此可得∠OAC=90°即可得出结论；（2）过O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N，利用勾股定理得出AC=，根据含30°的直角三角形的性质得出DN=，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF的长．【详解】（1）证明：∵AB=OA，OA=OB∴AB=OA=OB∴△AOB为等边三角形∴∠OAB=60°，∠OBA=60°∵BC=OB∴BC=AB∴∠C=∠CAB又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB∴∠C=∠CAB=30°∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°∴AC是⊙O的切线；（2）∵OA=4∴OB=AB=BC=4∴OC=8∴AC===∵D、E分别为AC、OA的中点，∴OE//BC，DC=过O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N则四边形OMDN为矩形∴DN=OM在Rt△CDN中，∠C=30°，∴DN=DC=∴OM=连接OG，∵OM⊥GF∴GF=2MG=2==2【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．8．（2021·四川广元·中考真题）如图，在Rt中，，是的平分线，以为直径的交边于点E，连接，过点D作，交于点F．（1）求证：是的切线；（2）若，，求线段的长．【答案】（1）证明见详解；（2）．【分析】（1）先根据圆周角定理、角平分线定义、平行线性质证明∠EAD=∠FDE，再根据AD为直径，得到∠ADE+∠DAE=90°，进而得到AD⊥FD，问题得证；（2）先求出DE=3，证明△AED≌△ACD，得到DE=DC=3，BC=BD+CD=8，解Rt中求出AC=6，进而得到AE=6，求出,证明△ADE∽△AFD，得到，即可求出．【详解】解：（1）证明：连接DE，∵∴∠CAD=∠CED，∵是的平分线，∴∠CAD=∠EAD，∴∠CED=∠EAD，∵，∴∠CED=∠FDE，∴∠EAD=∠FDE，∵AD为直径，∴∠AED=∠ACD=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∴∠ADE+∠FDE=90°，即AD⊥FD，又∵为直径，∴是的切线；（2）∵∠AED=90°，∴∠BED=90°，∴,∵∠AED=∠ACD，∠DAE=∠DAC，AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴DE=DC=3，∴BC=BD+CD=8，在Rt中，∵，∴设AC=3x，AB=5x，∴，∵x＞0，∴x=2，∴AB=5x=10，AC=3x=6，∵△AED≌△ACD，∴AE=AC=6，∴在Rt△ADE中，,∵∠EAD=∠DAF，∠AED=∠ADF=90°，∴△ADE∽△AFD，∴，即,∴．【点睛】本题为圆的综合题，考查了切线的判定，圆的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识，根据题意添加辅助线，熟知圆的性质，利用三角函数解直角三角形是解题关键．9．（2021·四川广安·中考真题）如图，是的直径，点在上，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，延长、相交于点．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为5，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OE，由题意可证OE∥AD，且DE⊥AF，即OE⊥DE，则可证CD是⊙O的切线；（2）连接BE，证明△ADE∽△AEB，得到，根据tan∠EAD=，在△ABE中，利用勾股定理求出BE和AE，可得AD和DE，再证明△COE∽△CAD，得到，设BC=x，解方程即可求出BC．【详解】解：（1）连接OE，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵AE平分∠BAF，∴∠OAE=∠DAE，∴∠OEA=∠EAD，∴OE∥AD，∵ED⊥AF，∴OE⊥DE，∴CD是⊙O的切线；（2）连接BE，∵AB为直径，∴∠AEB=90°=∠D，又∠DAE=∠BAE，∴△ADE∽△AEB，∴，又tan∠EAD=，∴，则AE=2BE，又AB=10，在△ABE中，AE2+BE2=AB2，即（2BE）2+BE2=102，解得：BE=，则AE=，∴，解得：AD=8，DE=4，∵OE∥AD，∴△COE∽△CAD，∴，设BC=x，∴，解得：x=，经检验：x=是原方程的解，故BC的长为．【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，作出辅助线，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．10．（2021·四川资阳·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点D，交的延长线于点E，交于点F．（1）求证：是的切线；（2）若，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）要证明DE是的切线，只要证明即可．连接OD，根据条件证明，则可推导出．（2）根据条件，在中，求出OE的长，然后证明，从而根据相似比求解即可．【详解】（1）证明：如下图，连接OD，∵,，∴,，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴DE是的切线．（2）解：∵AC=6，∴，在中，，∴，，∴，又∵，∴，∴,即，∴．【点睛】本题考查的是切线的判定，等腰三角形的性质、三角形的相似，勾股定理等相关知识点，根据题意数形结合是解题的关键.11．（2020·四川广安·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，AD⊥DE于点D．（l）求证：直线DE是⊙O的切线．（2）如果BE=2，CE=4，求线段AD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）连接OC，根据等边对等角和垂直定义可得∠OAC=∠OCA，∠D=90°，根据角平分线的定义可得∠DAC=∠OAC，从而得出∠OCA=∠DAC，根据平行线的判定可得OC∥AD，从而得出∠OCE=∠D=90°，然后根据切线的判定定理即可证出结论；（2）连接BC，根据相似三角形的判定定理可证△BCE∽△CAE，列出比例式即可求出AE，从而求出OC、OB和OE，然后根据平行线证出△EOC∽△EAD，列出比例式即可求出AD．【详解】解：（1）连接OC∵OA=OC，AD⊥DE∴∠OAC=∠OCA，∠D=90°∵AC平分∠DAE∴∠DAC=∠OAC∴∠OCA=∠DAC∴OC∥AD∴∠OCE=∠D=90°∴OC⊥DE∴直线DE是⊙O的切线；（2）连接BC∵AB为直径∴∠ACB=90°∴∠ACO＋∠OCB=90°∵OC⊥DE∴∠BCE＋∠OCB=90°∴∠BCE=∠ACO∵∠OAC=∠OCA∴∠BCE=∠CAE∵∠E=∠E∴△BCE∽△CAE∴即解得：AE=8∴AB=AE－BE=6∴OC=OB==3∴OE=OB＋BE=5∵OC∥AD∴△EOC∽△EAD∴即解得：AD=．【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质、平行线的判定及性质、切线的判定及性质、圆周角定理的推论和相似三角形的判定及性质，掌握等边对等角、平行线的判定及性质、切线的判定及性质、圆周角定理的推论和相似三角形的判定及性质是解题关键．12．（2022·四川南充·中考真题）如图，为的直径，点C是上一点，点D是外一点，，连接交于点E．(1)求证：是的切线．(2)若，求的值．【答案】(1)见解析；(2)3【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据OA=OC推出∠BCD=∠ACO，即可得到∠BCD+∠OCB=90°，由此得到结论；（2）过点O作OF⊥BC于F，设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x，BE=1.5x，勾股定理求出AC，根据OF∥AC，得到，证得OF为△ABC的中位线，求出OF及EF，即可求出的值．(1)证明：连接OC，∵为的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO,∵，∴∠BCD=∠ACO，∴∠BCD+∠OCB=90°，∴OC⊥CD，∴是的切线．(2)解：过点O作OF⊥BC于F，∵，∴设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x，∴BE=BC-CE=1.5x，∵∠C=90°，∴AC=，∵OA=OB，OF∥AC，∴，∴CF=BF=2x，EF=CE-CF=0.5x，∴OF为△ABC的中位线，∴OF=，∴=．【点睛】此题考查了圆周角定理，证明直线是圆的切线，锐角三角函数，三角形中位线的判定与性质，平行线分线段成比例，正确引出辅助线是解题的关键．13．（2021·四川雅安·中考真题）如图，在⊙中，是直径，，垂足为P，过点的的切线与的延长线交于点,连接．（1）求证：为⊙的切线；（2）若⊙半径为3，，求．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）连接、，由题意可以得到，再利用，即可得出即可；（2）过点作于点，在中，，由（1）得，在和中，设，根据勾股定理建立方程求出，再求出即可．【详解】解：（1）证：连接、∵为的切线∴∵是直径，∴，又∵∴∴，又∵∴∴∴为⊙的切线；（2）过点作于点，如下图：由（1）得在中，，，∴∴（等面积法）∴设，则在和中，，∴解得∴【点睛】此题考查了圆的切线证明、勾股定理的应用、三角函数的概念，解题的关键是熟练掌握圆的有关性质、勾股定理的应用和三角函数的有关概念．14．（2022·四川乐山·中考真题）如图，线段AC为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，=，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．连结CE交DF于点G．(1)求证：CG=DG；(2)已知⊙O的半径为6，，延长AC至点B，使．求证：BD是⊙O的切线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AD，得到∠ADF+∠FDC=90°，由DF⊥AC，得到∠ADF+∠DAF=90°，再由=，可推出∠DCE=∠FDC，即可证明CG=DG；（2）要证明BD是⊙O的切线，只要证明OD⊥BD，只要证明BD∥CE，通过计算求得sin∠B=，即可证明结论．（1）证明：连接AD，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，则∠ADF+∠FDC=90°，∵DF⊥AC，∴∠AFD=90°，则∠ADF+∠DAF=90°，∴∠FDC=∠DAF，∵=，∴∠DCE=∠DAC，∴∠DCE=∠FDC，∴CG=DG；（2）证明：连接OD，设OD与CE相交于点H，∵=，∴OD⊥EC，∵DF⊥AC，∴∠ODF=∠OCH=∠ACE，∵，∴sin∠ODF=sin∠OCH=，即=，∴OF=，由勾股定理得DF=，FC=OC-OF=，∴FB=FC+BC=，由勾股定理得DB==8，∴sin∠B==，∴∠B=∠ACE，∴BD∥CE，∵OD⊥EC，∴OD⊥BD，∵OD是半径，∴BD是⊙O的切线．【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆的切线的判定及圆中的相关计算是解题的关键．15．（2021·四川巴中·中考真题）如图，ABC内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD与CO的延长线交于点D．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AD＝2，BC＝6，求图中阴影部分面积．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OA，证明OA⊥AD即可，利用角平分线的意义以及等腰三角形的性质得以证明；（2）求出圆的半径和阴影部分所对应的圆心角度数即可，利用相似三角形求出半径，再根据特殊锐角三角函数求出∠BOC．【详解】解：（1）如图，连接OA并延长交BC于E，∵AB=AC，△ABC内接于⊙O，∴AE所在的直线是△ABC的对称轴，也是⊙O的对称轴，∴∠BAE=∠CAE，又∵∠MAD=∠BAD，∠MAD+∠BAD+∠BAE+∠CAE=180°，∴∠BAD+∠BAE=×180°=90°，即AD⊥OA，∴AD是⊙O的切线；（2）连接OB，∵∠OAD=∠OEC=90°，∠AOD=∠EOC，∴△AOD∽△EOC，∴，由（1）可知是的对称轴，垂直平分，，设半径为，在中，由勾股定理得，，，解得（取正值），经检验是原方程的解，即，又，是等边三角形，，，．【点睛】本题考查了切线的判定和性质、角平分线的性质，圆周角定理，三角形外接圆与外心，扇形面积的计算，灵活运用切线的判定方法是解题的关键．16．（2021·四川达州·中考真题）如图，是的直径，为上一点（不与点，重合）连接，，过点作，垂足为点．将沿翻折，点落在点处得，交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求阴影部分面积．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OC，先证明∠CDA=90°，根据折叠的性质和圆的半径相等证明OCAE，从而求出∠ECO=90°，问题得证；（2）连接，过点作于点，证明四边形OCEG为矩形，求出，，，进而求出，∠COF=30°，分别求出矩形OCEG、△OGF、扇形COF面积，即可求出阴影部分面积．【详解】解：（1）如图，连接OC，∵，∴∠CDA=90°，∵翻折得到，∴∠EAC=∠DAC，∠E=∠CDA=90°，∴∠EAD=2∠DAC，∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA∴∠COD=2∠OAC，∴∠COD=∠EAD，∴OCAE，∴∠ECO=180°-∠E=90°，∴OC⊥EC，∴是的切线；（2）如图，连接，过点作于点，∵∠E=∠ECO=90°，∴四边形OCEG为矩形．∵，，∴，∴，∴，∵于点，OA=OF=2，∴，∠FAO=∠AFO=30°，∵OCAE，∴∠COF=∠AFO=30°，∴矩形OCEG面积为，△OGF面积为，扇形COF面积为∴阴影部分面积=矩形OCEG面积-△OGF面积-扇形COF面积=．【点睛】本题为圆的综合题，考查了切线的判定，垂径定理，扇形的面积等知识，综合性较强，熟练掌握相关定理并根据题意添加辅助线是解题的关键．17．（2021·四川凉山·中考真题）如图，在中，，AE平分交BC于点E，点D在AB上，．是的外接圆，交AC于点F．（1）求证：BC是的切线；（2）若的半径为5，，求．【答案】（1）见解析；（2）20【分析】（1）连接OE，由OA=OE，利用等边对等角得到一对角相等，再由AE为角平分线得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行，得到AC与OE平行，再根据两直线平行同位角相等及∠C为直角，得到OE与BC垂直，可得出BC为圆O的切线；（2）过E作EG垂直于OD，利用AAS得出△ACE≌△AGE，得到AC=AG=8，从而可得OG，利用勾股定理求出EG，再利用三角形面积公式可得结果．【详解】解：（1）证明：连接OE，∵OA=OE，∴∠1=∠3，∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴OE∥AC，∴∠OEB=∠C=90°，则BC为圆O的切线；（2）过E作EG⊥AB于点G，在△ACE和△AGE中，，∴△ACE≌△AGE（AAS），∴AC=AG=8，∵圆O的半径为5，∴AD=OA+OD=10，∴OG=3，∴EG==4，∴△ADE的面积==20．【点睛】此题考查了切线的判定，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，切线的判定方法有两种：有点连接证垂直；无点作垂线，证明垂线段等于半径．18．（2022·四川雅安·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)连接CE，求证：△ACE∽△ADC；(3)若＝，⊙O的半径为6，求tan∠OAC．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)tan∠OAC【分析】（1）如图，过作于证明即可得到结论；（2）证明再结合从而可得结论；（3）由相似三角形的性质可得设则而从而建立方程求解x，从而可得答案．（1）证明：如图，过作于∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，O为圆心，OC为半径，是⊙O的切线．（2）如图，连结CE，为的直径，（3）设则而解得tan∠OAC【点睛】本题考查的是切线的判定，相似三角形的判定与性质，求解锐角的正切，证明，利用相似三角形的性质求解是解本题的关键．19．（2022·四川遂宁·中考真题）如图，是的外接圆，点O在BC上，的角平分线交于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．(1)求证：PD是的切线；(2)求证：∽；(3)若，，求点O到AD的距离．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)点O到AD的距离为【分析】（1）连接OD，证明，则，即可得证；（2）由，，可得，根据四边形ABDC为圆内接四边形，又，可得，即可证明∽；（3）过点O作于点E，由∽，根据相似三角形的性质可求得，证明∽，继而求得，在中，利用勾股定理即可求解．（1）证明：连接OD，∵AD平分，∴，∴．又∵BC为直径，∴O为BC中点，∴．∵，∴．又∵OD为半径，∴PD是的切线；（2）证明：∵，∴．∵，∴．∵四边形ABDC为圆内接四边形，∴．又∵，∴，∴∽．（3）过点O作于点E，∵BC为直径，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴．由（2）知∽，∴，∴，∴．又∵，，∴∽，∴，∴，∴．∵，∴．在中，，∴点O到AD的距离为．【点睛】本题考查了切线的性质与判定，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．20．（2021·四川内江·中考真题）如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接、交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积；（3）连结，在（2）的条件下，求的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）根据同圆中等弧所对的圆周角相等得到∠CAD=∠DAB，根据等边对等角得到∠DAB=∠ODA，则∠CAD=∠ODA，即可判定OD∥AE，进而得到OD⊥DE，据此即可得解；（2）连接BD，根据相似三角形的性质求出AE=3，AD=2，解直角三角形得到∠DAB=30°，则∠EAF=60°，∠DOB=60°，DF=2，再根据S阴影=S△DOF-S扇形DOB即可得解；（3）过点E作EM⊥AB于点M，连接BE，解直角三角形得到AM=，EM=，则MB=，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：（1）证明：如图，连接，，，，，，，，，是的半径，是的切线；（2）解：，，，，的半径为2，，，如图，连接，是的直径，，，，，，即，，在中，，，，，，，，；（3）如图，过点作于点，连接，在中，，，，．【点睛】此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、扇形的面积、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质并证明△OGD∽△EGA求出AE是解题的关键．21．（2022·四川德阳·中考真题）如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且．(1)求证：是的切线；(2)如果，，①求的长；②求的面积．【答案】(1)证明过程见详解(2)①；②【分析】（1）连接OC、BC，根据垂径定理得到AB平分弦CD，AB平分，即有∠BAD=∠BAC=∠DCB，再根据∠ECD=2∠BAD，证得∠BCE=∠BCD，即有∠BCE=∠BAC，则有∠ECB=∠OCA，即可得∠ECB+∠OCB=90°，即有CO⊥FC，则问题得证；（2）①利用勾股定理求出OH、BC、AC，在Rt△ECH中，，在Rt△ECO中，，即可得到，则问题得解；②过F点作FP⊥AB，交AE的延长线于点P，先证△PAF∽△HAC，再证明△PEF∽△HEC，即可求出PF，则△PEF的面积可求．（1）连接OC、BC，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，AO=OB，∵AB⊥CD，∴AB平分弦CD，AB平分，∴CH=HD，，∠CHA=90°=∠CHE，∴∠BAD=∠BAC=∠DCB，∵∠ECD=2∠BAD，∴∠ECD=2∠BAD=2∠BCD，∵∠ECD=∠ECB+∠BCD，∴∠BCE=∠BCD，∴∠BCE=∠BAC，∵OC=OA，∴∠BAC=∠OCA，∴∠ECB=∠OCA，∵∠ACB=90°=∠OCA+∠OCB，∴∠ECB+∠OCB=90°，∴CO⊥FC，∴CF是⊙O的切线；（2）①∵AB=10，CD=6，∴在（1）的结论中有AO=OB=5，CH=HD=3，∴在Rt△OCH中，，同理利用勾股定理，可求得，，∴BH=OB-OH=5-4=1，HA=OA+OH=4+5=9，即HE=BH+BE，在Rt△ECH中，，∵CF是⊙O的切线，∴∠OCB=90°，∴在Rt△ECO中，，∴，解得：，∴，②过F点作FP⊥AB，交AE的延长线于点P，如图，∵∠BAD=∠CAB，∠CHA=90°=∠P，∴△PAF∽△HAC，∴，即，∴，∵∠PEF=∠CEH，∠CHB=90°=∠P，∴△PEF∽△HEC，∴，即，∵HB=1，，，，∴，解得：，∴，故△AEF的面积为．【点睛】本题主要考查了垂径定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．利用相似三角形的性质是解题的难点．22．（2021·四川遂宁·中考真题）如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°．（1）求证：直线AC是⊙O的切线；（2）求△ABC的面积；（3）点E在上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F．①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）①3；②【分析】（1）连接OC，利用切线的判定定理，证明OC⊥AC即可；（2）要求的面积，结合（1）题，底边AB可求，只需再求出底边上的高CH即可；（3）根据垂径定理可求CE的长，再利用锐角三角函数，可求CF的长；由可知，点E在运动过程中，始终有，所以，求出CE的最大值，即可得到CF的最大值．【详解】（1）证明：连结OC，如图所示．∵AD＝CD，∠A＝30°，∴∠ACD＝∠A=30°．∴∠CDB＝60°．∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC=60°．∴∠ACO＝∠ACD＋∠OCD＝30°+60°=90°．∴OC⊥AC．∴直线AC是⊙O的切线．（2）过点C作CH⊥AB于点H，如图所示．∵OD=OC，∠ODC=60°，∴是等边三角形．∴．∴在中，．∵AB＝AD＋BD＝3，∴．（3）当点运动到与点关于直径BD对称时，如图所示．此时，CE⊥AB，设垂足为K．由（2）可知，．∵BD为圆的直径，CE⊥AB，∴CE＝2CK＝．∵CF⊥CE，∴∠ECF＝90°．∵，∴∠E=∠CDB＝60°．在中，∵，∴．如图所示：由可知，在中，∵，∴．∴当点E在上运动时，始终有．∴当CE最大时，CF取得最大值．∴当CE为直径，即CE=2时，CF最大，最大值为．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理、圆周角定理的推论、锐角三角函数、求线段的最值等知识点，熟知切线的判定方法、垂径定理、圆周角定理、锐角三角函数的定义是解题的关键．23．（2021·四川成都·中考真题）如图，为的直径，C为上一点，连接，D为延长线上一点，连接，且．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为，的面积为，求的长；（3）在（2）的条件下，E为上一点，连接交线段于点F，若，求的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）连接．可证得，从而得是的切线；（2）过点C作于点M，可得，再证明△COM∽△DOC，进而得到；（3）过点E作于点N，连接，证明△FCM∽△FEN，利用相似可得，再证明Rt△COM≌Rt△OEN，通过全等可得ON=CM=2，进而根据已知条件得到．【详解】（1）证明：连接，∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBO＝90°，又∵OB＝OC，∴∠CBO＝∠BCO，∴∠CAB+∠BCO＝90°∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD+∠BCO＝90°，∴OC⊥CD∴CD为⊙O切线；（2）过点C作于点M，∵的半径为，∴AB=，∵的面积为，∴CM=2，在Rt△CMO中，CO=，CM=2，∴OM=1，由（1）得∠OCD=∠CMO=90°，∵∠COM=∠COD，∴△COM∽△DOC，∴，∴，∴，（3）过点E作于点N，连接，∵，，∴△FCM∽△FEN，∴，由（2）得CM=2，OM=1，∴EN=OM=1，∵OC=OE，∴Rt△COM≌Rt△OEN，∴ON=CM=2，∴MN=3，∵，∴FM=2，∵OM=1，∴OF=1，∵BF=OB+OF，∴．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，解答本题需要我们熟练掌握各部分的内容，要注意将所学知识贯穿起来．24．（2020·四川·中考真题）如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有一点P，满足∠PBD＝∠DAB．过点P作PN⊥CD，交OA的延长线于点N，连接DN交AP于点H．（1）求证：BP是⊙O的切线；（2）如果OA＝5，AM＝4，求PN的值；（3）如果PD＝PH，求证：AH•OP＝HP•AP．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【分析】（1）连接BC，OB，证明OB⊥PB即可．（2）解直角三角形求出OM，利用相似三角形的性质求出OP，再利用平行线分线段成比例定理求出PN即可．（3）证明△NAH∽△NPD，推出=，证明△PAN∽△OAP，推出=，推出=可得结论．【详解】（1）如图，连接BC，OB．∵CD是直径，∴∠CBD=90°，∵OC=OB，∴∠C=∠CBO，∵∠C=∠BAD，∠PBD=∠DAB，∴∠CBO=∠PBD，∴∠OBP=∠CBD=90°，∴PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线；（2）∵CD⊥AB，∴CD垂直平分AB，∴PA=PB，∵OA=OB，OP=OP，∴△PAO≌△PBO（SSS），∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠AMO=90°，∴OM===3，∵∠AOM=∠AOP，∠OAP=∠AMO，∴△AOM∽△POA，∴=，∴=，∴OP=，∵PN⊥PC，∴∠NPC=∠AMO=90°，∴=，∴=，∴PN=．（3）∵PD=PH，∴∠PDH=∠PHD，∴∠PDN=∠PHD=∠AHN，∵∠NPC=90°，∠OAP=90°，∴∠NAH=∠NPD=90°，∴△NAH∽△NPD，∴=，∵∠APN+∠PNA=∠POA+∠PNA=90°，∴∠APN=∠POA，又∠PAN=∠PAO=90°，∴△PAN∽△OAP，∴=，∴=，∴==，∴AH•OP=HP•AP．【点睛】本题综合考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．25．（2020·四川绵阳·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外，∠ADC＝90°，BD交⊙O于点E，交AC于点F，∠EAC＝∠DCE，∠CEB＝∠DCA，CD＝6，AD＝8．（1）求证：AB∥CD；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）求tan∠ACB的值．【答案】（1）见解析

（2）见解析

（3）【分析】（1）由圆周角定理与已知得，即可得出结论；（2）连接并延长交于，连接，则为的直径，，证明，得出，即可得出结论；（3）由三角函数定义求出，证出，求出，，过点作于，设，则，由勾股定理得出方程，解方程得，由勾股定理求出，由三角函数定义即可得答案．【详解】（1）证明：，，，；（2）证明：连接并延长交于，连接，如图1所示：则为的直径，，，，，，，，，即，是的半径，是的切线；（3）解：在中，由勾股定理得：，，是的切线，，，，，过点作于，如图2所示：设，则，由勾股定理得：，即：，解得：，，，．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定与性质、圆周角定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角函数定义、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键．26．（2020·四川内江·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）EF=4；（3）【分析】（1）连接OC，如图，根据垂径定理由OD⊥BC得到CD=BD，则OE为BC的垂直平分线，所以EB=EC，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB，加上∠OBC=∠OCB，则∠OBE=∠OCE；再根据切线的性质得∠OCE=90°，所以∠OBE=90°，然后根据切线的判定定理得BE与⊙O相切；（2）设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R，在Rt△OBD，利用勾股定理解得R=4，再利用含30º角的直角三角形边角关系可求得OE，利用EF=OE-OF即可解答；（3）利用（2）中可求得∠BOC=120º,然后利用代入数值即可求解．【详解】（1）证明：连接OC，如图，∵OD⊥BC，∴CD=BD，∴OE为BC的垂直平分线，∴EB=EC，∴∠EBC=∠ECB，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OBC+∠EBC=∠OCB+∠ECB，即∠OBE=∠OCE，∵CE为⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∴∠OBE=90°，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切．（2）设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R，在Rt△OBD中，BD=BC=∵OD2+BD2=OB2，∴，解得R=4，∴OD=2，OB=4，∴∠OBD=30°，∴∠BOD=60°，∴在Rt△OBE中，∠BEO=30º，OE=2OB=8，∴EF=OE-OF=8-4=4，即EF=4；（3）由∠OCD=∠OBD=30º和OD⊥BC知：∠COD=∠BOD=60º，∴∠BOC=120º，又BC=，OE=8，∴=,

【点睛】本题考查了切线的判定与性质、垂径定理、扇形面积的计算、含30º角的直角三角形边角关系、勾股定理等知识，熟练掌握每个知识点是解答的关键．27．（2020·四川广元·中考真题）在中，，OA平分交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．（1）如图1，求证：AB为的切线；（2）如图2，AB与相切于点E，连接CE交OA于点F．①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．②若，求的值．【答案】（1）见解析；（2）①OA垂直平分CE，理由见解析；②【分析】（1）过点O作OG⊥AB，垂足为G，利用角平分线的性质定理可得OG=OC，即可证明；（2）①利用切线长定理，证明OE=OC，结合OE=OC，再利用垂直平分线的判定定理可得结论；②根据求出OF和CF，再证明△OCF∽△OAC，求出AC，再证明△BEO∽△BCA，得到，设BO=x，BE=y，可得关于x和y的二元一次方程组，求解可得BO和BE，从而可得结果.【详解】解：（1）如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，∵OA平分交BC于点O，∴OG=OC，∴点G在上，即AB与相切；（2）①OA垂直平分CE，理由是：连接OE，∵AB与相切于点E，AC与相切于点C，∴AE=AC，∵OE=OC，∴OA垂直平分CE；②∵，则FC=2OF，在△OCF中，，解得：OF=，则CF=，由①得：OA⊥CE，则∠OCF+∠COF=90°，又∠OCF+∠ACF=90°，∴∠COF=∠ACF，而∠CFO=∠ACO=90°，∴△OCF∽△OAC，∴，即，解得：AC=6，∵AB与圆O切于点E，∴∠BEO=90°，AC=AE=6，而∠B=∠B，∴△BEO∽△BCA，∴，设BO=x，BE=y，则，可得：，解得：，即BO=5，BE=4，∴tanB==.【点睛】本题考查了圆的综合，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二元一次方程组的应用，有一定难度，解题要合理选择相似三角形得出结论.28．（2020·四川成都·中考真题）如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画⊙O，⊙O与边相切于点，，连接交⊙O于点，连接，并延长交线段于点．（1）求证：是⊙O的切线；（2）若，，求⊙O的半径；（3）若是的中点，试探究与的数量关系并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析【分析】（1）连接OD，由切线的性质可得∠ADO=90°，由“SSS”可证△ACO≌△ADO，可得∠ADO=∠ACO=90°，可得结论；（2）由锐角三角函数可设AC=4x，BC=3x，由勾股定理可求BC=6，再由勾股定理可求解；（3）连接OD，DE，由“SAS”可知△COE≌△DOE，可得∠OCE=∠OED，由三角形内角和定理可得∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE，∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE，可得∠DEF=∠DFE，可证DE=DF=CE，可得结论．【详解】解：（1）如图，连接OD，∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AB，即∠ADO=90°，∵AO=AO，AC=AD，OC=OD，∴△ACO≌△ADO（SSS），∴∠ADO=∠ACO=90°，又∵OC是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）在Rt△ABC中，tanB==，∴设AC=4x，BC=3x，∵AC2+BC2=AB2，∴16x2+9x2=100，∴x=2，∴BC=6，∵AC=AD=8，AB=10，∴BD=2，∵OB2=OD2+BD2，∴（6-OC）2=OC2+4，∴OC=，故⊙O的半径为；（3）连接OD，DE，由（1）可知：△ACO≌△ADO，∴∠ACO=∠ADO=90°，∠AOC=∠AOD，又∵CO=DO，OE=OE，∴△COE≌△DOE（SAS），∴∠OCE=∠ODE，∵OC=OE=OD，∴∠OCE=∠OEC=∠OED=∠ODE，∴∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE，∵点F是AB中点，∠ACB=90°，∴CF=BF=AF，∴∠FCB=∠FBC，∴∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE，∴∠DEF=∠DFE，∴DE=DF=CE，∴AF=BF=DF+BD=CE+BD．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．29．（2020·四川遂宁·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）求证：＝．（3）若sin∠ABC═，AC＝15，求四边形CHQE的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）45【分析】（1）连接OE，OP，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝BE，根据全等三角形的性质得到∠BEO＝∠BPO，根据切线的判定和性质定理即可得到结论．（2）根据平行线和等腰三角形的性质即可得到结论．（3）根据垂径定理得到EP⊥AB，根据平行线和等腰三角形的性质得到∠CAE＝∠EAO，根据全等三角形的性质得到CE＝QE，推出四边形CHQE是菱形，解直角三角形得到CG＝＝12，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OE，OP，∵PE⊥AB，点Q为弦EP的中点，∴AB垂直平分EP，∴PB＝BE，∵OE＝OP，OB＝OB，∴△BEO≌△BPO（SSS），∴∠BEO＝∠BPO，∵BP为⊙O的切线，∴∠BPO＝90°，∴∠BEO＝90°，∴OE⊥BC，∴BC是⊙O的切线．（2）解：∵∠BEO＝∠ACB＝90°，∴AC∥OE，∴∠CAE＝∠OEA，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，∴∠CAE＝∠EAO，∴．（3）解：∵AD为的⊙O直径，点Q为弦EP的中点，∴EP⊥AB，∵CG⊥AB，∴CG∥EP，∵∠ACB＝∠BEO＝90°，∴AC∥OE，∴∠CAE＝∠AEO，∵OA＝OE，∴∠EAQ＝∠AEO，∴∠CAE＝∠EAO，∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE，∴△ACE≌△AQE（AAS），∴CE＝QE，∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AHG＝90°，∴∠CEH＝∠AHG，∵∠AHG＝∠CHE，∴∠CHE＝∠CEH，∴CH＝CE，∴CH＝EQ，∴四边形CHQE是平行四边形，∵CH＝CE，∴四边形CHQE是菱形，∵sin∠ABC═sin∠ACG═＝，∵AC＝15，∴AG＝9，∴CG＝＝12，∵△ACE≌△AQE，∴AQ＝AC＝15，∴QG＝6，∵HQ2＝HG2+QG2，∴HQ2＝（12﹣HQ）2+62，解得：HQ＝，∴CH＝HQ＝，∴四边形CHQE的面积＝CH•GQ＝×6＝45．【点睛】此题考查了圆的综合问题，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、菱形的判定和性质、勾股定理以及解直角三角形等知识，此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想应用．30．（2020·四川乐山·中考真题）如图1，是半圆的直径，是一条弦，是上一点，于点，交于点，连结交于点，且．（1）求证：点平分；（2）如图2所示，延长至点，使，连结．若点是线段的中点．求证：是⊙的切线．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）连接，由是直径得，由同角的余角相等证明，由直角三角形斜边中线性质证明，进而得出，即得出结论；（2）由已知可知DE是OA、HB的垂直平分线，可得，，从而，，再由即可证明，由此即可得出可能．【详解】证明：（1）连接、，如图3所示，

图3∵是半圆的直径，∴，∵，∴，又∵，即点是的斜边的中点，∴，∴，∴，∴，即点平分；（2）如图4所示，连接、，图4∵点是线段的中点，，，∴，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴是⊙的切线．【点睛】本题是圆的简单综合题目，考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、菱形的性质、直角三角形的性质知识；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质和判定是解题的关键．31．（2020·四川自贡·中考真题）如图，⊙是△的外接圆，为直径，点是⊙外一点，且，连接交于点，延长交⊙于点．⑴.证明：=；⑵.若，证明：是⊙的切线；⑶.在⑵的条件下，连接交⊙于点,连接;若，求的长．

【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析；（3）【分析】（1）连接CO，易证△PCO≌△PAO，得PO为∠APC的角平分线，根据条件证出F为优弧中点，即可证明=；（2）因为AB是直径，所以∠ACB=90°，由tan∠ABC=可求得∠ABC的正弦和余弦，设⊙O的半径为r，则AB=2r，根据三角函数表示出BC，AC的长度，由勾股定理表示出OD的长度，易得PA=PC=，，PO=PD+OD=3r，由可得PA⊥OA，即可证明是⊙的切线；（3）连接AE，过E作EN⊥PD于N，过B作BH⊥PF于H，由（2）可得，，PB=，证出△PEA∽△PAB，可得，证出四边形BCDH是矩形，得BH=CD=，在Rt△BPH和Rt△PEN中表示出sin∠BPH，可得，，ND=PD-PN=，在Rt△NED中，DE=，代入r=3即可【详解】解：（1）证明：如图，连接CO，在△PCO和△PAO中，∴△PCO≌△PAO（SSS），∴∠CPO=∠APO，即PO为∠APC的角平分线，∵PA=PC，∴CD=AD，PF⊥AC，∵AC为⊙O的弦，PF过圆心O，∴F为优弧中点，∴=，（2）证明：∵AB是⊙O的直径，且弦AB所对圆周角为∠ACB，∴∠ACB=90°，∵tan∠ABC=，∴sin∠ABC=，cos∠ABC=，设⊙O的半径为r，则AB=2r，∴BC=ABcos∠ABC=，AC=ABsin∠ABC=，∴，∵PA=PC=AB，∴PA=PC=，∴，∴PO=PD+OD=3r，∴，即PA⊥OA，又∵OA是⊙O半径，∴PA是⊙O的切线；（3）由（2）可得，∴，在Rt△PBA中，，连接AE，可得∠AEB=90°，∴∠PEA=∠PAB=90°，又∠APE=∠APB，∴△PEA∽△PAB，∴，∴，过E作EN⊥PD于N，过B作BH⊥PF于H，如图所示，∴∠BCD=∠CDF=∠BHD=90°，∴四边形BCDH是矩形，∴BH=CD=，在Rt△BPH中，sin∠BPH=，在Rt△PEN中，sin∠BPH=，∴，∴，∴ND=PD-PN=，在Rt△NED中，DE=，∵，∴DE=．【点睛】此题考查了圆的综合应用，用到的知识点是矩形的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形等知识，此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想应用．32．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，的直径垂直于弦于点F，点P在的延长线上，与相切于点C．(1)求证：；(2)若的直径为4，弦平分半径，求：图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)首先可证得，由圆周角定理得：，可得，再根据切线的性质，可得，根据垂直的定义可得，据此即可证得；(2)首先由弦平分半径，，可得，，，再根据，可得，即可证得，最后由即可求得．【详解】（1）证明：如图，连接，，，由圆周角定理得：，，与相切，，，，，；（2）解：如图：连接，弦平分半径，，，在中，，，，，，，，，．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质，扇形的面积公式，作出辅助线是解决本题的关键．33．（2022·四川成都·中考真题）如图，在中，，以为直径作⊙，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点．(1)求证：；(2)若，，求及的长．【答案】(1)见解析(2)BF=5，【分析】（1）根据中，，得到∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，根据，得到∠B=∠BCF，推出∠A=∠ACF；（2）根据∠B=∠BCF，∠A=∠ACF，得到AF=CF，BF=CF，推出AF=BF=AB，根据，AC=8，得到AB=10，得到BF=5，根据，得到，连接CD，根据BC是⊙O的直径，得到∠BDC=90°，推出∠B+∠BCD=90°，推出∠A=∠BCD，得到，推出，得到，根据∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，得到∠FDE=∠B，推出DE∥BC，得到△FDE∽△FBC，推出，得到．(1)解：∵中，，∴∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，∵，∴∠B=∠BCF，∴∠A=∠ACF；(2)∵∠B=∠BCF，∠A=∠ACF∴AF=CF，BF=CF，∴AF=BF=AB，∵，AC=8，∴AB=10，∴BF=5，∵，∴，连接CD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴，∴，∴，∵∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，∴∠FDE=∠B，∴DE∥BC，∴△FDE∽△FBC，∴，∴．【点睛】本题主要考查了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理及推论，运用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性质．34．（2020·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，点D在上，的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段上的点，过点E的弦于点H．（1）求证：；（2）已知，，且，求的长．【答案】（1）见解析；（2）-2．【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据切线的性质得到∠ABC=90°，得到∠C=∠ABD，根据圆周角定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论．【详解】解：（1）证明：如图1，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∴∠C+∠CAB=90°，∴∠C=∠ABD，∵∠AGD=∠ABD，∴∠AGD=∠C；（2）解：∵∠BDC=∠ABC=90°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，∴，∴AC=9，∴AB=，∵CE=2AE，∴AE=3，CE=6，∵FH⊥AB，∴FH∥BC，∴△AHE∽△ABC，∴，∴，∴AH=，EH=2，如图2，连接AF，BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠AFH+∠BFH=∠AFH+∠FAH=90°，∴∠FAH=∠BFH，∴△AFH∽△FBH，∴，∴，∴FH=，∴EF=-2．【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．35．（2021·四川阿坝·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．（1）求证：；（2）若，，求CD的长．【答案】(1)见解析；（2）.【分析】（1）连接OC，根据切线的性质，判断出AD∥OC，再应用平行线的性质，即可推得．(2)连接BC，通过证明△ADC△ACB，可求出AD的长，再在Rt△ADC中，通过勾股定理可求出CD的长.【详解】解：（1）证明：如图，连接OC，，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO．∵OA=OC，∴∠CAB=∠ACO，∴∠DAC=∠CAB.(2)如图，连接BC∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.∵AD⊥CD，∴∠ADC=90°.∴∠ADC=∠ACB.由（1）知∠DAC=∠CAB，∴△ADC△ACB.∴.∵，,则可设AD=2x,AB=3x,x>0,∴.解得x=2.∴AD=4.在Rt△ADC中，由勾股定理，得CD==.【点睛】此题主要考查了切线的性质和应用，以及平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：若出现圆的切线，必连过切点的半径，得出垂直关系．36．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）四边形内接于，直径与弦交于点，直线与相切于点．(1)如图1，若，且，求证：平分；(2)如图2，连接，若，求证：．【答案】(1)见解析(2)见