02数学文化-立体几何-2021年高中数学传统文化与人文价值素材

PAGEPAGE102数学文化——立体几何（24题）1、“堑堵”1．《九章算术》中，将底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（）A． B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．【解析】：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是，且侧棱与底面垂直，侧棱长是，所以几何体的表面积，故选：D．【点评】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．2．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）A． B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的侧面积．【解析】：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是，且侧棱与底面垂直，侧棱长是，所以几何体的侧面积，故选：C．【点评】本题考查三视图求几何体的侧面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．2、商鞅铜方升3．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取，其体积为（立方寸），则图中的为（）A． B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．利用体积求出．【解析】：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：，所以．故选：B．【点评】本题考查三视图，考查体积的计算，确定直观图是关键．3、鳖臑4．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，且，过点分别作于，于，连接，当的面积最大时，的值是（）A． B． C． D．【考点】直线与平面垂直的判定．【分析】由已知可证平面，平面，可得、均为直角三角形，由已知得，从而，当且仅当时，取“”，解得当时，的面积最大，即可求得的值．【解析】：显然平面，则，又，则平面，于是，且，结合条件得平面，所以、均为直角三角形，由已知得，而，当且仅当时，取“”，所以，当时，的面积最大，此时，故选：B．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，不等式的解法及应用，同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，属于中档题．【编号第5题】5．《九章算术》中将底面的长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为蟞臑．在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，则当点在下列四个位置：中点、中点、中点、中点时分别形成的四面体中，蟞臑有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】分情况讨论：（1）当点在中点时，证明平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即可得出结论；（2）当点在中点时：以为原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则可求三边长不满足勾股定理，可得不是直角三角形，故四面体不是蟞臑．（3）当点在中点时：易证不是直角三角形（同上），可得四面体不是蟞臑．（4）当点在中点时：由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑．【解答】证明：（1）当点在中点时：因为底面，所以，因为为正方形，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，因为，点是的中点，所以，因为，所以平面，由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB；（2）当点在中点时：如图，以为原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则：，，，，可求：，，，三边长不满足勾股定理，可得不是直角三角形，故四面体不是蟞臑．（3）如下图当点在中点时：易证不是直角三角形（同上），故四面体E﹣BCD不是蟞臑．（4）如下图当点在中点时：由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑．故选：B．【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4、羡除6．在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为羡除，现有一个羡除如图所示，面、面、面均为等腰梯形，，，到面的距离为，与间的距离为，则这个羡除的体积是（）A． B． C． D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】将几何体分解成一个直棱柱和两个相同的不规则几何体，将三个几何体改变位置组合成一个直棱柱进行计算．【解析】：过作，，过作，，垂足分别为，将一侧的几何体放到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为．棱柱的高为，所以．故选：D．【点评】本题考查了不规则几何体的体积计算，将不规则几何体补成规则几何体是常用解题方法．5、圆周率相关7．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式．人们还用过一些类似的近似公式．根据判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A． B． C． D．【考点】进行简单的演绎推理．【分析】根据球的体积公式求出直径，然后选项中的常数为，表示出，将四个选项逐一代入，求出最接近真实值的那一个即可．【解析】：由，解得，设选项中的常数为，则选项A代入得；选项B代入得；选项C代入得；选项D代入得，由于D的值最接近的真实值，故选D．【点评】本题主要考查了球的体积公式及其估算，同时考查了计算能力，属于中档题．8．我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》，其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若取，估算小城堡的体积为（）A．1998立方尺 B．2012立方尺 C．2112立方尺 D．2324立方尺【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据周长求出城堡的底面半径，代入圆柱的体积公式计算．【解析】：设圆柱形城堡的底面半径为，则由题意得，所以尺．又城堡的高尺，所以城堡的体积立方尺．故选：C．【点评】本题考查了圆柱的体积计算，属于基础题．9．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为：（底面的圆周长的平方高）．则由此可推得圆周率的取值为（）A． B． C． D．【考点】排序问题与算法的多样性．【分析】由题意，圆柱体底面的圆周长20尺，高4尺，利用圆堡瑽（圆柱体）的体积（底面的圆周长的平方高），求出，再建立方程组，即可求出圆周率的取值．【解析】：由题意，圆柱体底面的圆周长20尺，高4尺，因为圆堡瑽（圆柱体）的体积（底面的圆周长的平方高），所以，所以，所以，，故选：A．【点评】本题考查圆柱体底面的圆周长、体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．10．《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其第五卷《商功》中有如下问题：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”这里所说的圆堢壔就是圆柱体，其底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若取，估算该圆堢壔的体积为（）A．1998立方尺 B．2012立方尺 C．2112立方尺 D．2324立方尺【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据周长求出圆堢壔的底面半径，代入圆柱的体积公式计算．【解析】：设圆柱形圆堢壔的底面半径为，则由题意得，所以尺，又圆堢壔的高尺，所以圆堢壔的体积立方尺．故选：C．【点评】本题考查了圆柱的体积计算，属于基础题．6、牟合方盖相关11．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为．后人导出了“牟合方盖”的体积计算公式，即，为球的半径，也即正方形的棱长均为，为从而计算出．记所有棱长都为的正四棱锥的体积为，棱长为的正方形的方盖差为，则（）A． B． C． D．【考点】球的体积和表面积．【分析】计算出，，即可得出结论.【解析】：解：由题意，，所有棱长都为的正四棱锥的体积为，所以，故选：C．【点评】本题考查新定义，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础12．我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．它是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，其直观图如图丙，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A． B． C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据已知中“牟合方盖”的几何特征，分别判断它的正视图和俯视图形状，可得答案．【解析】：当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，它的正视图为：，俯视图为：，故选：A【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，难度不大，属于基础题．13．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，如图（1）（2），刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不得不说“敢不阙疑，以俟能言者”.约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等.如图（3）（4），祖暅利用八分之一正方体去掉八分之一牟合方盖后的几何体与长宽高皆为八分之一正方体的边长的倒四棱锥“等幂等积”，计算出牟合方盖的体积，据此可知，牟合方盖的体积与其外切正方体的体积之比为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设正方体的边长为，因为，，所以，故选B．14．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A． B． C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【解析】：因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．所以其正视图和侧视图是一个圆，因为俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，所以俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：A．【点评】本题很是新颖，三视图是一个常考的内容，对于几何体，他描述的应该熟悉，想想出它的样子，才能够作对此题．15．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为，即，也导出了“牟合方盖”的体积计算公式，即，从而计算出．记所有棱长都为的正四棱锥的体积为，则（）A． B．C． D．以上三种情况都有可能【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】计算出，，即可得出结论．【解析】：由题意，，所有棱长都为r的正四棱锥的体积为，所以，故选：A．【点评】本题考查新定义，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．16．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）A． B． C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【解析】：因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．所以其正视图和侧视图是一个圆，因为俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，所以俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：B.【点评】本题考查了几何体的三视图，属于基础题．7、“米谷粒分”问题17．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用．【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．【解析】：由题意，这批米内夹谷约为石，故选：B．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．18．我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺（注：1丈等于10尺）（）A．29尺 B．24尺 C．26尺 D．30尺【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即木棍的高）长24尺，另一条直角边长（尺），利用勾股定理，可得结论．【解析】：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即木棍的高）长24尺，另一条直角边长（尺），因此葛藤长=26（尺）．故选：C．【点评】本题考查旋转体表面上的最短距离问题，考查学生的计算能力，正确运用圆柱的侧面展开图是关键．7、祖暅原理19．（2019·天津高考模拟（理））祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的体积相等，在同高处的截面积相等，由于A、B体积相等，A、B在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此是的必要不充分条件.选B.20.(2017·石家庄一模)祖暅是南北朝时期的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为()A.①② B.①③C.②④ D.①④【答案】D【解析】设截面与底面的距离为，则①中截面内圆半径为，则截面圆环的面积为；②中截面圆的半径为，则截面圆的面积为；③中截面圆的半径为，则截面圆的面积为；②中截面圆的半径为，则截面圆的面积为，所以①④中截面的面积相等，故选D．21.祖暅（公元前5-6世纪)，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，則积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上.以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明知总成立.据此，短轴长为，长轴为的椭球体的体积是__________．【答案】【解析】因为总有圆所以，半椭球的体积等于，椭球的体积为，所以，该椭环体积是，故答案为.22.我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”。“势”即是高，“幂”是面积。意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数t取[0,3]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为___________．【答案】【解析】依题意，类比可