数学互动课堂综合法和分析法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精互动课堂疏导引导1。综合法与分析法的思维特点分析法是从命题的结论出发，分析使结论成立的充分条件.若能够肯定这些条件都已具备，就可以判定结论是正确的.分析法的特点:有些题目用一般方法较难入手时，可以用分析法探索解题思路，然后再倒回去，得到问题的解决；也可以用分析法直接书写解题过程，步骤要清楚，书写要严格.综合法是从命题的条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到问题的解决。综合法的特点：广泛应用于数学知识的各个方面，是解决问题非常重要的方法.分析法是和综合法相比较而清晰的。综合法逐步推求已知条件的必要条件.而分析法步步逆向寻求未知事项成立的充分条件,所以分析法和综合法从思维过程看是互逆的，叙述形式也有区别.一般说来，当题目已知条件较少，发展已知较困难时，可逆向思考,由果索因,用分析法解决.一般地，对于命题“若A则D”用综合法证明时,思考过程可表示为：综合法的思考过程是由因导果的顺序，是从A推演达到D的途径，但由A推演出的中间结论未必唯一，如B、B1、B2等，可由B、B1、B2能推演出的进一步的中间结论则可能更多,如C、C2、C1、C3、C4等。最终，能有一个（或多个)可推演出结论D即可.用分析法思考数学问题的顺序可表解为：（对于命题“若A则D”）分析法的思考顺序是执果索因的顺序，是从D上溯寻其论据，如C、C1、C2等,再寻求C、C1、C2的论据，如B、B1、B2、B3、B4等,继而寻求B、B1、B2、B3、B4的论据，如果其中之一B的论据恰为已知条件,于是命题已经得证。2.应用分析法和综合法证明问题需注意以下问题(1)应用综合法时，应从命题的前提出发，在选定了真实性是无可争辩的出发点以后（它基于题设或已知的真命题),再依次由它得出一系列的命题(或判断),其中每一个都是真实的（但它们并不一定都是所需求的），且最后一个必须包含我们要证明的命题的结论时，命题得证.同分析法一样，并非一上来就能找到通达命题结论的思路，只是在证明的过程中对每步结论进行分析、推敲、比较、选择后才能得到。当然,在较多地积累一些经验,掌握一些证法之后，可较为顺利地得到证明的思路.而在证明的叙述时，直接叙述这条思路就够了。(2)应用分析法时，并非一开始就确信由结论出发所产生的那些推断(或命题）都正确,各个推理步骤及依次考虑的概念、定理、法则等都合适.这种推理方法仅仅是建立与需要证明的命题的等效关系,因而需要从这些关系中逐个考察，逐个思索，逐个分析,逐个判断，在得到了所需的确定结论时（它们是已证的命题或已知的条件）,才知道前面各步推理的适当与否，从而找出证明的路子.（3)综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方式,在实际证明命题时,应当把分析法与综合法联合起来运用，即当遇到较难的新命题时，应当先用分析法来探求解法,然后将找到的解法用综合法叙述出来。这样,可以培养我们逻辑思维的能力和数学论证的能力,使我们知道应该从何处入手，并明了为什么要这样证明的理由,而不至于盲目揣测,更不至于束手无策.规律总结1。综合法证明的方法是“执因索果”.此法的特点是表述简单，条理清楚。2。在解决数学问题时，往往先作语言的转换，如把文学语言转换为符号语言，或把符号语言转化为图形语言等，还要细致分析.把问题中的隐含条件明确表示出来。3.分析法证明数学问题是“执果索因"，便于解题思路的探录。4.使用分析法时要把握三点：（1）寻找使命题成立的充分条件时，往往先寻找使命题成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否成立.（2)分析法和综合法要结合起来使用,也就是说“两头凑"，会使问题轻易解决.活学巧用例1如图，在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，求证：PC⊥BD。证明：(综合法）∵PA是平面ABCD的垂线,PC是平面ABCD的斜线,如图连结AC、BD,则AC是PC在底面ABCD内的射影.又∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD.故PC⊥BD.点评：本例图形具有很多性质,从不同的审视角度去分析，可以得到多个证明方法，如可以转化为线面垂直来证线线垂直,也可以用向量来证明(因为图形中有AB、AD、PA两两垂直的基向量)等。例2已知a＞b＞0，求证:.证明:∵a＞b＞0，∴,即。进而,于是，即,∴.点评：综合法从正确地选择已知其为真实的命题出发，依次推出一系列的真实命题,最后达到我们所要证明的结论。在用综合法论证命题时,必须首先找到正确的出发点，也就是能够想到从哪里起步。我们一般的处理方法，是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层递进,步步为营，由已知逐渐地引导到结论.例3已知a、b、c为不全相等的正数，求证:证明：左边=（+)+（)+(）—3,∵a、b、c为不全相等的正数，∴,,≥2,且这三式的等号不能同时成立.(否则a=b=c）∴(+）+()+(）-3＞6-3=3,即点评:本题用综合法证明的出发点是以不等式的左端入手，加以变形,灵活运用平均值不等式，这是综合法证明不等式的主要技巧。为创造应用条件，常把分子分成若干部分,对每部分运用重要不等式,然后相加或相乘.例4求证：。证明:当ac+bd＜0时,成立.当ac+bd≥0时,欲证成立,只需证（ac+bd)2≤（a2+b2）（c2+d2）,即2abcd≤a2d2+b2c2，只需证a2d2+b2c2-2abcd≥0,即（ad-bc)2≥0.因为(ad—bc）2≥0成立,所以当ac+bd≥0时,点评：用分析法证明不等式的关键是寻求不等式成立的充分条件,因此常对原不等式化简,常用的方法有：平方、合并、有理化、去分母等，但要注意所有这些变形必须能够逆推.本题ac+bd符号不定，不能直接平方,而应对其符号进行讨论。例5已知a、b、c是不全相等的正数，且0＜x＜1，求证：logx+logx+logx＜logxa+logxb+logxc.证明：要证明logx+logx+logx＜logxa+logxb+logxc,只需要证明logx［··]＜logx(abc）。由已