湖南省衡阳县某中学2024届高考考前冲刺卷（三）数学试题

A（1+砌B（9-5心）兀

衡阳县四中2024届高考考前冲刺卷（三）.2.2

C（96一15）兀口竺

数学•8°3

6.在锐角△力中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为AABC的面积，且3s=M一

注意事项：

（b-C）2,则鲍取值范围为（）

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号

条形码粘贴在答题卡上的指定位置。A-（域号）B.（*+8）C,偿，蓑）D.偿,+8）

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标

7.已知数歹儿册}满足an+i=4a九—12n+4,且%=4,若以=2024,贝=（）

号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。A.253B.506C.1012D.2024

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、8.甲，乙，丙，丁四位师范生分配到A,B,。三所学校实习，若每所学校至少分到一人，

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。且甲不去A学校实习，则不同的分配方案的种数是（）

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。A.48B.36C.24D.12

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）

第I卷（选择题）

9.函数（（%）=Asin（3%+口）（4,co,@是常数，且A＞0,0）＞0）的部分图象如图所示,

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

下列结论正确的是（）

1.已知集合4={%|-1工XV5},^={xeN|y=log3（x-2）},则4nB=（）

A.{-1,2,3,4}B.{3,4}C.{3,4,5}D.{2,3}

2.复数z满足|iz|=1（i为虚数单位），则|z-4+3i|的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

3.如图，在△力BC中，设荏=匕芯=3,而=2沆，荏=4前，则同=（）

A./（0）=1B.在区间［七,。］上单调递增

C.将/Xx）的图象向左平移看个单位，所得到的函数是偶函数D./（X）=-/（|+%）

10.已知函数7'。）满足//。）+2X/'0：）=?,/'（2）=?,贝1卜＞0时，（）

A.x=2为/'（X）的极值点B.x=1为/f（x）导函数的极值点

c*f8

C.---aH——।bD.

1515-|a+QC.x=2为炉/。）的极大值点D.x=2为好/（x）的极小值点

4.已知函数/(%)=3%,若a=f(log36),b=/(logslO'c=f(|),则()11.已知数列{%；}的通项公式为a”=/p其前n项和为S”，数列{*}与数列{乎册册+口的前

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<an项和分别为时,B，则（）

5,将一块棱长为1的正方体木料，打磨成两个球体艺术品，则两个球体的体积之和的最大A.22±1＜；B.存在m使得

值为（）

C.Sn＜—D.R"26，-5zi

16.(15分)已知等差数列己”｝的前w项和为％,且5&=452，a=2a+l(neN,).

第n卷(非选择题)2nn

(1)求数列｛a*｝的通项公式；

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

(2)求数列｛a4｝的前n项和立；

12.已知函数/(%)=In%+%+?在％e[2,+8)上单调递增，则实数a的取值范围是__.

(3)若勾=3吁1,令cn=詈,求数列&｝的前n项和6

13.已知双曲线。:《一，=1缶>0/>0)的左、右焦点分别为&,尸2，焦距为2c,A,B为C

上的两点，AB〃F'F?，四边形&尸2%8的面积为遍(2a+c)b,若△尸2人8的周长为10a,则C的

离心率为.

14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截

得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面

的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所

围成的几何体.如图1,一个球面的半径为R,球冠的高是h,球冠的表面积公式是S=2兀Rh,

与之对应的球缺的体积公式是以二^九炉口氏一份汝口图？，已知C,0是以48为直径的圆上的

17.(15分)已知四棱锥P-ABC。的底面是边长为4的菱形，ADAB=60°,PA=

两点，乙40cS扇形的=2兀，则扇形C。。绕直线48旋转一周形成的几何体的体

PC,PB=PD=2V10,M是线段PC上的点，且正二4祈乙

积为一.

A

⑴证明：PC1平面BDM；

图1图2

(2)点E在直线。M上，求BE与平面A3CD所成角的最大值.

四、解答题(本题共6小题，共70分)

15.(13分)在△ABC中，内角4,8,C所对的边分别是见瓦c,且cos2B+cos?。一cos2?!=1-

sinBsinC.

(1)求角4

(2)若4D是“4B的角平分线，AD=4V3,A4BC的面积为186，求a的值.

18.(17分)入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”.南方的小土豆们纷纷北上19.(17分)设函数f(x)=(x+i)；a+i)G*0).

体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中

(1)求f(x)的单调区间；

心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入.东北某城市洗浴中心花式宠“且”，

⑵求f(x)的取值范围；

为给顾客更好的体验，推出了4和8两个套餐服务，顾客可自由选择4和B两个套餐之一，并

(3)已知不等式2*>(x+l)m对任意Xe(-1,0)恒成立，求实数m的取值范围.

在App平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App平台10天销售优惠券情况.

日期t12345678910

销售量y(千张)1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4

经计算可得：歹=V型i%=2.2,能岫%=118.73,2：>"385.

(1)因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数

量大幅减少，现剔除第10天数据，求y关于£的经验回归方程(结果中的数值用分数表示)；

⑵若购买优惠券的顾客选择4套餐的概率为|，选择B套餐的概率为3并且/套餐可以用一张

优惠券，8套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为七，求心；

(3)记(2)中所得概率匕的值构成数歹式2｝(九£?4*).

①求心的最值；

②数列收敛的定义：已知数列｛an｝,若对于任意给定的正数以总存在正整数M),使得当

时，|册-a|V%(a是一个确定的实数)，则称数列｛&｝收敛于a.根据数列收敛的定义证

明数列｛4｝收敛.

22式/一元)(yt-9)_2之1%/［一九后夕ZS-p-

参考公式：b=,a=y—bx.

2屋3-戏2着片-成2

因此logslO<|<log6,而函数/■(%)=3%在R上单调递增，

数学答案3

.【答案】

1B所以f(logslO)</(|)</(log36),即b<c<a.

【解析】因为力={x|-l<x<5},5={%6N|x-2>0}={xGN|x>2},

故选:D

所以4CB={3,4}.

5.【答案】B

故选：B.

【解析】要使两个球的体积之和最大，则应满足两个球互相外切，并且分别与正方体的面相

2.【答案】B

切，即应有两个球球心连线位于正方体的体对角线上.

【解析】设z=%+yi,(x,yeR),则

所以iz=i(x4-yi)=xi+yi2=—y+xi,

|iz|=\—y+%i|=J72+(_y)2=J72+y2

又|iz|=1,

所以+y2=1,即/+y2=i,

所以z对应的点(%,y)在以原点为圆心，1为半径的圆上，如图，设两球的圆心分别为01，。2，半径为丁1，丁2，

|z-4+3i|=|x+yi-4+3i|=-4尸+(y+3'表示复平面内的点(%,y)到点(4,一3)的由已知可得，A4i=l,AC=y[2,

距离，所以，sin乙4c翳=冬

所以|z-4+3”的最小值是J(4一0尸+(-3-0)2-1=4.

则。1。2=q+左，。14=.；工=02c==8二2・

故选：B.

又。144-。1。2+02C=q+左+73(^+r2)=(V3+l)(q4-r2)=V3,

3.【答案】C

所以，心+厂2=福=等，72=等一小

【解析】因为近=AC-AB=b-a,BD=2DC,

因为0<ri<I；0<r<所以2:<<|.

所以丽=|前=|(B—占)，而=荏+而=a+|(B—2)=|B+1落2

又两球的体积之和P=(兀厅+|^2=(兀疗+(兀(与@一『J'

又因为标=4ED,

V=4兀号-4兀-rj=4兀卜--G)]=8兀Xx(q-

所以笳=工9=--f-b+-a)=--b--a,

当学平时，有『V0,即函数卜=(兀疗+(兀(等—af在[芽,竽)上单调递

所以炭=丽+反=2@_菊_2另一三五=-—a+-b,

3v715151515

减；

故选：C.

当F<『1好时，有厂>0,即函数1=*；+京(萼-rj在(等中上单调递增.

4.【答案】D

当『竽时，等f/

【解析】依题意，10836=1+log32>1+log3V3=I，log510=1+log52<1+log5V5=

3所以，-(守)=呜4©+)(泊3=T-

2'

Ur兀一.C,无,兀7T,-，兀，•兀5兀,一•兀

由——<2%4--<-=>——<2%+-<-=>---<x<一.

2322321212

所以，函数0=［兀川+171(誓-『1)3的最大值为鱼咨因为,G［―所以函数f(%)在［―：,。］上单调递增，故B正确；

故选：B.将f(%)的图象向左平移，个单位得：y=2sin［2(%+£)+,=2sin(2x+^),不是偶函数,

6.【答案】A

故C错误；

【解析】在中，由余弦定理得标=力2+-2bccos4且△的面积S=jbcsin/,

因为/(%+1)=2sin(2x+兀+_2sin(2x+=~fM，故D正确.

由3s=必—(6—得jbcsin/=2bc—2bcos4化简得3sinZ+4cos4=4,

c)2,故学：BD

又4E(0,；),sin2i44-cos2?l=1,联立解得sin/=||,cosZ=£,10.【答案】BD

2

所以b_sinB_sin(A+C)_sinAcosC+cosAsinC_24+7【解析】由题意得，xf'{x)+2x/(x)=则=L-,

csinCsinCsinC25tanC25'

令F(%)=x2f(x)即尸'(%)=亍，

△ABC为锐角三角形，有OVCV：,8=兀一力一0<|,得］-4vCV会f

所以F(2)=4./(2)=4.9=?,

则有tanOtan信一4)=等=一可得土£(0,§),所以纪修考)

由％2尸(%)+2x/(x)=?得，尸(%)=.：(*),

故知：A

7.【答案】B设。(%)=ex—2F(x),则g'(%)=ex-29'(%)=qX~~=(久，

【解析】因为题+i=4a—12n4-4,所以与+i—4(n4-1)=4(a—4n).

zin所以g(%)在(0,2)上递减，在(2,+8)上递增，

因为%=4,所以%-4x1=0,故{a九一4n}为常数列，

所以g(%)min=g⑵=0，

所以=4n.由以=4k=2024,解得k=506.

所以g(v)>0,又%>0,

故选：B

所以尸(%)=三警>0,即/(%)在(0,+8)上单调递增，

8.【答案】C

所以/(%)无极值，故A错误；

【解析】①若A学校只有1人去实习，则不同的分配方案的种数是C：C专A］=18,

②若A学校有2人去实习，则不同的分配方案的种数是=6,对于B,F(x)=/f(%)的导函数为尸(%)=亍，

则不同的分配方案的种数共有18+6=24.所以F〃(%)=出称先，当%>1时，F〃(%)>0,当0V%Vl时，F〃(%)V0,

故选：C.

即P(%)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

9.【答案】BD

所以％=1为%2f(%)导函数尸(%)=9的极小值点，故B正确；

【解析】根据函数图象，易知：4=2,9=9+3=?=7=兀=3=2.

41264对于C,x3f'{x}=ez—2F(x)=g(x),

由f(石)=-2=2sin+0)=-2=@='+2k兀，kEZ.

由上可知g(O在(0,2)上递减，在(2,+8)上递增，

所以f(%)=2sin卜％+；+2左兀)=2sin卜％+；),kEZ.所以x=2为炉广。)的极小值点，故C错误，D正确.

故选：BD.

因为/(0)=2sing=E，故A错误;

11.【答案】ACD

4y=2+]36

【解析】对A，由%=总可得%+i=舟，所以答1=幸13.【答案】|/1.5

rl4n+1-3-4n+1-3

残§,13Un4一3

；-4:一3<3故A正确,【解析】不妨设4(%0,丫0)(%0>0,y0>0),则驾--驾=妨

对B,a=*—用"3n=中一3n,V3(2a4-c)b=|(2x04-2c)y0=(x04-c)J像-1)b,解得％0=2a,

Uaan+1=nn+1所以|AB|=4a,又△J4B的周长为10a，所以吗川+在用=6a,

^nn+1=(4n-3)(4-3)3\4-3—4-3.

根据对称性，正引=|Fi川,所以典称+J川=6a,

所以及号(含一套)+1(&-&)+…+1(含_=IO_♦故B

根据双曲线定义，|FM]—在川=2a,解得|Fi川=4a,

错误,

根据勾股定理，|Fi川2=(2a+c)2+(gb)2,即(3。-2c)(5a+2c)=0,

对C,由于心3时,41>9=4二3>昔4一,

所以3a—2c=0,即e=-=

故时=七<亘尢"=2六，所以%=的+。2+…+朝〈1+卷+卷X吗竽D=葛+a2

34故答案为：|

舒一会)<髀%£+呆”16标一5加二一3吁6层+5”审

14.【答案】16岛

6n24-2n,

【解析】因为乙40c=乙BOD=泉所以4DOC=7t-2x^=p

2

对D,1己6=-6n2+2n,Pn+1—4=————?-”4-。-6(n+l)+2(n+1)4-

设圆的半径为R,又S扇形co。=[X：R2=2兀，解得R=26(负值舍去),

6n2—2n,

故Pn+i-4二4n+i-12n-4,根据指数哥的性质可知4n+i>12n+4,过点C作CE14B交于点E,过点。作DF14B交于点汽

n+1

当且仅当九=1取等号，故Pn+i—%=4-12n-4>0Pn+1>Pn,只有九=1取等号,AA

故2>Pn_i>&>P3>P22Pi=0,故D正确，

故选：ACD

12.【答案】(一8,3]

【解析】r(x)=l+i-^=^^,x>0,

7XX2X2

因为函数/■(%)=Inx+x+?在％E[2,+8)上单调递增，则CE=OCsing=3,OE=OCcos^=V3,

所以尸(%)>。在％G[2,+8)上恒成立，即％2+%—2a>0在％G[2,+8)上恒成立，所以4E=R-0E=g,同理可得DF=3,OF=BF=V3,

分离参数可得a工子，即(0)，

将扇形CO。绕直线48旋转一周形成的几何体为一个半径R=28的球中上下截去两个球缺所

令g(%)=子，

剩余部分再挖去两个圆锥，

2

则g(%)=|(%+0-｝在(一|,+8)上单调递增，其中球缺的高九=遮，圆锥的高瓦=遮，底面半径丁=3,

因为X>2,所以g(x)min=g(2)=3,则其中一个球缺的体积匕=|TC/I2(37?—h)=|TTx(V3)2(3X2遮—V3)=5V3TI,

所以aV3,所以实数a的取值范围是(-8,3].

圆锥的体积彩="x32xb=38兀，球的体积匕==[兀x(2V3)3=32V3TT,所以

故答案为：(-oo,3].

所以〃=3-黄『

几何体的体积U=V3-2V1-2V2=16V3n.

故答案为：16V371.17.【解析】(1)连结AC,80交于点。，连P。，

15•【解析】(1)由条件cc/B+cos?©—cos2A=1—sinBsinC知由P4=PC,PB=PD=2V10

1—sin2^+1—sin2c—1+sin224=1—sinBsinC,知P。1AC,PO1BD,

此即sinBsinC=sin2B+sin2c—sin2i4,故由正弦定理得be=b2+c2—a2,又ACCBD=0,/.P0_L平面ABC。

再由余弦定理知COSZ=_a2=黑=2，又底面ABC。为菱形，所以

"才2bc2bc2

以。为坐标原点，OB,0C,而分别为％,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,

且4e(0,7t),所以/=

(2)由484。=乙CAD,Z-ADB+Z-ADC=180°,如图所示=60°,边长为4,则。。=0B=2,0A=0C=28

BDAB

结合正弦定理得行=错巫=可殍=^=在直角三角形B0P中，28=2/而所以。。=6

sinz.CADsinz.ADC

而80+CD=a,故8。=—,CD=所以点。(0,0,0),P(0,0,6),8(2,0,0),。(一2,0,0),C(0,2V5,0)

b+cb+c

由于188=S4ABe=|4D•BCsmZ-ADB=28asin乙408,故asin乙40B=9.PC=4MC,则M(0，¥，|)

ABsinAADB

所以C=AB==BDsin"DB=^in^ADB=奉=空，故匕+。=18.所以定=(0,2V3,-6),DM=(2,哈J两=(-2,苧,|),

smZ.ADBsmz.BADsin6--2b+c

而18v5=S^ABC=|besinA=]busing=fbc,故be=72.所以亚•丽=0x2+28X手+(-6)x|=0,

所以M=b2+c2-2bccosA=b2+c2—be=(Z?4-c)2—3bc=182—3x72=108.PC-BM=0%(-2)+2V3X子+(-6)x|=0,

故a=6^/5.

所以丽1询，无1询，

16.【解析】(1)设等差数列｛册｝的公差为d,则

所以PC1DM,PCIBM,

[4%+6d=4(2%+d)彳曰[的=1

Li+(2n-l)d=2al+2(n—l)d+1'用牛用td=2'又=平面BDM,

所以a九=l+(n—l)x2=2n—1；所以PC_L平面BOM,

(2)由(1)知，%=1,an=2n—1,(2)设反=疝羽，

所以=%誓=n(i+j-D=2.

n所以反=WM=(2尢子;I,豺)，

(3)因为b=3n-1,a=2n—1,所以“=詈=

nnbn3故E(2/1-2,^A,IA),

〃=击+K+京+…+①’所以丽=(2A-4,手尢豺)

沔=*+,+卷+…++筌②，

平面48co的一个法向量是记=(0,0,1),

①-②得设BE与平面CD所成角为仇则

2T-1,22,22n-l_.,Q]2n-l_2n+2

=我+£+豆+•••+傅一丁=l+2x—^-=2—玄

3所以/一|=-1{Pn-l_竟)(九22),又Pi=|~|=

\BE-n\

sinO=|cos(5E,n)|=纲

j(2"4)2+j^aj+d2

\BE\­|n|V13A-16A+16所以｛々-皆是以首项为-总，公比为-|的等比数列，

故々一合_\.(一|)"即4=1+*「+/(一§”

当;1=0时，BEu平面ABC。，0=0；

(3)①当n为偶数时，&="9(一斗="!(1)”>弹调递减，最大值为Pz=^；

当4WO时，88\5/88\5/825

当也为奇数时，4单调递增，最小值为Pi=g

Sm―7*-同+16-2^3-竽+翁一zJ；6xG.)2+9一88\5/88\5/85

综上：数列弭｝的最大值为弟最小值为a

当且仅当4=：时取等号，

②证明：对任意£>0总存在正整数N。=[log3Q£)]+1,(其中[幻表示取整函数),

又ee[o用所以eW

当71>[10g|(|£)]+1时，|P"-竟|="(-1)"|=II'(1)1<I-⑨喟㈤=

故BE与平面4BCD所成角的最大值为已

所以数列｛七｝收敛.

19.【解析】(1)因为函数7