北师大版八年级数学上册 探索勾股定理 同步测试

北师大版八年级数学上册1.1探索勾股定理同步测试

班级：姓名：

夯实基础联，黑/不肌勤学早.白育方悔父韦迟.

一、单选题

1.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=8,点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至ME与AD

相交于点G,CE与AD相交于点F,且AG=GE,则BM的长度是（）

A.mB.4C.若D.5

2.若直角三角形的两边长分别是5和12,则它的斜边长是（）

A.13B.13或V119C.V119D.12或13

3.如图，在4ABC中，ZACB=90°，点D是AB的中点，连接CD,若AC=4,BC=3,则CD的长度是

()

C.2.5D.5

4.如图，长方形OABC中，点A在y轴上，点C在x轴上.。4=BC=4,AB=0C=8.点D在边AB

上，点E在边0C上，将长方形沿直线DE折叠，使点B与点0重合.则点D的坐标为（）

A.(4,4)B.(5,4)C.(3,4)D.(6,4)

5.如图，在Rt^ABC中，ZB=90°,AB=3,BC=4,将^ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点3重

合，AE为折痕，则EB长为（）

A.3cmB.2.5cmC.1.5cmD.1cm

6.如图，在AABC中,ZC=90°,AC=3,BC=2.以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的

面积是（）

A.5B.6C.12D.13

7.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm,内壁高12cm.若这支铅笔长为

18cm,则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（)

A.3cmB.5cmC.6cmD.8cm

8.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B

处，点A的对应点为点A，B'C=3，贝I力M的长为（）

D

B'

8・・・,

N

A.1.8B.2C.2.3D.V5

9.如图，在矩形纸片ABCD中，AD=9,AB=3,将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF,那么折痕EF

的长为（）

C

A.3B.V6c.VioD.9

10.一直角三角形的斜边长比其中一直角边长大3,另一直角边长为9,则斜边长为（）

A.15B.12C.10D.9

宝男伴从.启今出.梅花岁白若4

二、填空题

11.如图，RtaABC中，ZA=90°,AB=3,AC=4,现将aABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC

上，则CD=.

12.如图所示，已知直线m〃n,且这两条平行线间的距离为5个单位长度，点P为直线n上一定点，以

P为圆心、大于5个单位长度为半径画弧，交直线m于A、B两点.再分别以点A、B为圆心、大于；AB长

为半径画弧，两弧交于点Q,作直线PQ,交直线m于点0,点H为射线0B上一动点，作点0关于直线PH

的对称点0',当点0'到直线n的距离为4个单位时，线段PH的长度为.

一

n

13.如图，。&=4遇2=&&=^3^4==1，2。4遇2=^OA2A3=^OA3A4=^OA4A5

14.在△ABC中，AD是BC边上的中线，AD±AB,如果AC=5,AD=2,那么AB的长是.

15.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt^ABC

中，ZC=90°,AC=2,若RtZkABC是“好玩三角形”，则AB=.

优尖拔书山与路勤为径.学为无征若作令.

三、解答题

16.如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°

航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少.

17.如图，在Rt4ABC中，NC=90。，AC=5,BC=12,将△ABC沿AD折叠，使点C落

在AB上的点E处，求DB的长.

B

CD

18.如图，在RtzX//中，N6=90°,AB=9,6c=12,。为仍上一点，连接47,将△46C沿4?折叠,

使点6恰好落在边4C上的点B'处，求DB,的长度.

19.如图①是一个直角三角形纸片，ZC=90°,AB=13cm,BC=5cm,将其折叠，使点C落在斜边上的

点C'处，折痕为BD（如图②），求AC和DC的长.

20.如图，已知长方形/成技中46=8cm,6C=10cm,在边切上取一点£将巫折叠使点，恰好落在

比边上的点F,求配的长.

21.在AABC中，ZC=90°,AOBC,D是AB的中点.E在线段CA的延长线上，连接DE,过点D作DF

±DE,交直线BC的延长线于点F,连接EF.求证：AE2+BF2=EF2

E

22.如图，在AABC中，AD±BC,AD=12,BD=16,CD=5.求：ZkABC的周长.

23.学校校园一角有一块如图所示的三角形空地ABC,其中AB=13米，BC=14米，AC=15米，计划将这

块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为60元，请通过计算估计学校修建这个

花园需要投资多少元？

B14米C

*0答案与解析7

1.【答案】c

【解析】【解答】解：设BM=x,

•.•四边形ABCD是矩形，

AZA=ZB=90°,

由折叠的性质得：ZE=ZB=90°,ME=BM,CE=BC,

在△GAM和aGEF中，

'ZA=NE

AG=GE,

、/力GM=NEGF

.'.△GAM^AGEF(ASA),

/.GM=GF,

.\AF=ME=BM=x,EF=AM=6-x,

•*.DF=8—x,CF=8-(6—x)=x+2,

在RtaDFC中，由勾股定理得：(x+2)2=(8-x)2+62,

解得：X噂

故答案为：C.

【分析】设BM=x,由ASA证明△GAM/Z\GEF,得出GM=GF,从而得出AF=ME=BM=x,EF=AM=6-x,DF=8-

x,CF=x+2,在RtZiDFC中，由勾股定理得出方程，解方程求出x的值，即可得出答案.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：①当12为斜边时，它的斜边长是12；

②当12是直角边时，它的斜边长二/-2+52=13.

故答案为：D.

【分析】分12为斜边和直角边两种情况讨论，再利用勾股定理求解即可.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：:△ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,

由勾股定理得：AB=VXC2+BC2=742+32=5,

•.•点D是AB的中点，

.\CD=|AB=|X5=2.5,

故答案为：C.

【分析】在RtZkABC中，根据勾股定理求出AB,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半即可求出

CD长度.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：设AD=x,由折叠的性质可知，0D=BD=8-x,

在RtAOAD中，

V0A2+AD2=0D2,

42+X2=(8-X)2,

；.x=3,

，D(3,4),

故答案为：C.

【分析】设AD=x,由折叠的性质可知，0D=BD=8-x,再利用勾股定理列出方程4?+x2=(8-x)＞求解即

可。

5.【答案】C

【解析】【解答】解：根据折叠可得BE=EB',AB'=AB=3,

设BE=EB'=x,贝IEC=4—x,

VZB=90°,AB=3,BC=4,

...在RtAABC中，由勾股定理得，AC=〃B2+Be?=732+42=5，

：.B,C=5-3=2,

在RtZSB'EC中，由勾股定理得，x2+22=(4-x)2,

解得x=1.5,

故答案为：C.

【分析】利用折叠得出得BE=EB',AB'=AB=3,设BE=EB'=x,则EC=4—x,在RtZ\ABC中，由

勾股定理得出AC的值，在RtZ\B'EC中，由勾股定理得出答案。

6.【答案】D

【解析】【解答】M：VZC=90°,

.\AB2=AC2+BC2=32+22=13,

,正方形面积S=AB2=13,

故答案为：D.

【分析】利用勾股定理即可得出答案。

7.【答案】D

【解析】【解答】当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：7122+92=15(cm),则铅笔在笔筒外部

分的最小长度为:18-15=3(cm);

当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度为18-12=6(cm),即铅笔在笔筒外面最长不

超过6cm,从而铅笔露出笔筒部分的长度不短于3cm,不超过6cm.

所以前三项均不符合题意，只有D选项符合题意；

故答案为：D

【分析】根据勾股定理的性质判断即可。

8.【答案】B

【解析】【解答】解：连接BM,MB7,

在RtZ\ABM中,AB2+AM2=BM2,

在RtZSMDB'中，B'M2=MD2+DBZ2,

•折叠，

AMB=MB/,

.\AB2+AM2=MD2+DBZ2,

gp92+X2=(9-X)2+(9-3)2,

解得x=2,

即AM=2,

故答案为：B.

【分析】连接BM,MB',根据勾股定理求出AB?和B'M2,再利用MB=MB',可得AB2+AMJMD2+DBZ2,再

将数据代入可得铲+xJ(9-x)2+(9-3)2,最后计算即可。

9.【答案】C

【解析】【解答】解：过点F做FH14。交AD于点H.

1•四边形EFCB是四边形EFCD沿EF折叠所得,

AED=BE,CF=CF,BC'=CD=3

VED=BE,DE=AD-AE=9-AE

.\BE=9-AE

'：RtAABE,AB=3,BE=9-AE

A(9-AE)2=32+AE2

AAE=4

ADE=5

CF=BC—BF=9—BF

：.RtABCF,BC=3,CF=9-BF

(9-BF)2+32=BF2

，BF=5,EH=1

V/?t△EFH,HF=3,EH=1

'-EF=y/EH2+HF2=V32+I2=V10

故答案为：C.

【分析】过点F做FH14。交AD于点H,由折叠的性质可得ED=BE,CF=CF,BC/=CD=3,再求出

BE=9-AE,根据勾股定理可列（9—AE,=32+4产，从而可求出AE、DE,再根据勾股定理可列

（9-BF）2+32=BF2,从而可求出BF、EH,进而根据勾股定理可求出EF.

10.【答案】A

【解析】【解答】解：设斜边长为x,则一直角边长为x-3,

根据勾股定理得92+（X-3）2=X2,

解得x=15.

故答案为：A.

【分析】设斜边长为X,则一直角边长为X-3,然后根据勾股定理建立方程，求解即可.

11.【答案】|

【解析】【解答】解：设CD=x,则AD=A'D=4-x.

在直角三角形ABC中，BC=y]AB2+AC2=5.则A'C=BC-AB=BC-AzB=5-3=2.

在直角三角形A'DC中：AD2+AC2=CD2.

即：（4-x）2+22=x2.

解得:x=|.

故答案为:|.

【分析】设CD=x,则AD=A'D=4-x,在RtZiABC中，根据勾股定理求出BC,则A'C=BC-AB=BC-

A'B=2,然后在RtaA'DC中，应用勾股定理求解即可.

12.【答案】5VTU或殳翳

PE=VPO2-F02=3,

则。。=PE=3,O'D=DE—O'E=l,

设0H=x,可知，DH=(3-x),

(3-%)2+l2=%2

解得，x=]

PH=VPO2+OH2=

如图所示，过点O'作直线n的垂线，交m、n于点D、E,连接O'H,

由作图可知，P01m,PO=P。，=5,点O'到直线n的距离为4个单位，即EO'=,

PE=<PO2-EO2=3,

则。。=PE=3,。/Q=DE+OE=9,

设OH=x,可知，DH=(x-3),

(%-3)2+92=x2

解得，x=15,

PH=VPO2+OH2=5V10;

故答案为：5J1U或守.

【分析】分两种情况：①当点0'在直线n的上方；②当点0'在直线n的下方，据此画出图形并解答即

可.

13.【答案】V5

【解析】【解答】M：•••ZOArA2=^OA2A3=NCM3Z4=^OA4A5=90°,OAr=71^2=A2A3=

A3A4=A4A5=1

OA2=[(MJ+&&2=Vl2+I2=V2,

2222

OA3=JOA2+A2A3=J(V2)+l=V3,

22

OA4=JOA3+A3A4=J(a2+12=2,

2222

CM5=JOA4+A4A5=V2+l=Vs-

故答案为：V5.

【分析】利用勾股定理分别求出OA,0A2,0A3,OA”的长，然后利用勾股定理求出品的长.

14.【答案】3

【解析】【解答】解：过点C作CE〃AB交AD延长线于E,

D

R

TAD是BC边上的中线，

ABD=CD,

VAD±AB,CE//AB,

.\AD±CE,NABD二NECD,

AZE=90°,

在AABD和AECD中

(NADB=NEDC

|^ABD=NECD，

(BD=CD

.,.△ABD^AECD(AAS),

.\AB=EC,AD=ED=2,

AAE=2AD=4,

在RtAAEC中，CE=y/AC2-AE2=V52-42=3,

.\AB=CE=3.

故答案为：3.

【分析】过点C作CE〃AB交AD延长线于E,先利用“AAS”证明4ABD也△£©口,再利用全等三角形的性

质可得AB=EC,AD=ED=2,再利用勾股定理求出CE的长，即可得到AB二CE二3。

15.【答案】夕或弩I

【解析】【解答】解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图，

VZC=90°,AC=2,

.\CD=1,BD=2

：.BC2=BD2-CD2=22-l2=3,

.".AB=yjAC2+BC2=V22+3=V7

当BC边上的中线AE等于BC时，

VAC2=AE2-CE2,

ABC2-(1BO5,

解得，Bg竽，

•'-AB=yjAC2+BC2=J22+

综上所述，AB=V7或AB必争，

故答案为V7或缘1

【分析】分两种情况：当AC边上的中线BD等于AC时，当BC边上的中线AE等于BC时，分别画出图形

利用勾股定理即可解决问题。

16.【答案】解：根据题意，得NCAB=180°-40°-50°=90°,

VAC=16X3=48（海里），BC=60海里,

...在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB=7602-482=36（海里）.

则乙船的速度是364-3=12海里/时.

【解析】【分析】利用平角的定义及方位角可求出ZCAB=180°-40°-50°=90°,再利用勾股定理求出

AB的长，利用速度=路程♦时间即可求解.

17.【答案】解：由折叠的性质可得：AE=AC=5,DC=DE,NAED=NBED=NC=9。°.

：4=90°,AC=5,BC=12,

：.AB=y/AC2+BC2=13,

：.BE=AB-AE^8,

设。C=%,贝IDE=x,BD=BC-DC=12-x.

在RtABDE中，由勾股定理，DE2+BE2=BD2,

A%2+82=（12-%）2,

解得久=学.

••BD=12-x=•

【解析】【分析】利用折叠的性质可证得AE=AC=5,DC=DE,NAED=NBED=NC=90°,利用勾股定理可求出

AB的长，由此可求出BE的长；设DC=x,可表示出DE,BD的长，然后利用勾股定理建立关于x的方程，

解方程求出x的值，然后求出BD的长.

18.【答案】解：

由折叠的性质可得AB'=AB=9,DB'=DB=9,^AB'D=NB=90°,

NCB'D=180°-NAB'D=90°

VZB=90°,AB=9,BC=12,

'-AC=7AB2+BC2=15,

:C=AC-AB'=6，

设DB'=DB=x,贝DC=BC-BD=12-x,

在直角三角形BCD中：CD?=DB'+B'C2>

A(12-久,=%2+62,

解得久=2，

:.DB'=3.

【解析】【分析】由折叠的性质可得AB'=AB=9,DB,=DB=9,NAB,D=NB=90°,设

9

DB'=DB=%,贝‘1DC=BC-BD=12-x,在直角三角形BCD中：CD2=DB'+B'C?,

解出x的值即可。

19.【答案】解：由题意可得BC=BC,CD=CD,AC'=AB-BC,=8cm,

根据勾股定理可得：AC=7AB2一BC?=12cm,

设CD=xcm,则AD-(12—%)cm,

在Rt△ACD中，AD2=AC2+C'D2即(12-x)2=82+%2,

解得久=学，

即CD=^-cm.

【解析】【分析】利用折叠的性质可知BC=BC',CD=CZD,由此可求出AC'的长；再利用勾股定理求出

AC的长；设CD=xcm,可表示出AD的长，然后利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可

得到CD的长.

20.【答案】解：•..四边形ABCD是矩形，

•*.AD—■BC--10cm,CD——AB——8cm,

根据题意得：RtAADE^RtAAFE,

・・・NAFE=90°,AF=10cm,EF=DE,

设CE=xcm,贝IDE=EF=CD—CE=8—x,

在RtAABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2,

即82+BF2=102,

BF=6cm,

.\CF=BC-BF=10-6=4(cm),

在RtAECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2,

即(8-x)2=X2+42,

Z.64-16X+X2=X2+16,

x=3(cm),

即CE=3cm.

【解析】【分析】根据题意得：RtAADE^RtAAFE,得出ZAFE=90°,AF=10cm,EF=DE,设CE=

xcm,则DE=EF=CD-CE=8-x,在RtaABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2,在RtAECF中由勾股定理

可得：EF2=CE2+CF2,代入数值求解即可。

21.【答案】证明：过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G,连接FG,

■：BG//AC,

：.^EAD=NGBD,NDEA