高中数学 第1章 数学归纳法(二)同步检测 北师大版选修2-2

§4数学归纳法(二)一、基础过关1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝eq\f(n＋3n＋4,2)(n∈N*)，验证n＝1时，左边应取的项是 ()A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋42．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取 ()A．2 B．3C．5 D．63．已知f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)(n∈N*)，证明不等式f(2n)>eq\f(n,2)时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是()A．2k－1项 B．2k＋1项C．2k项 D．以上都不对4．用数学归纳法证明不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)>eq\f(11,24)(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是 ()A．增加了一项eq\f(1,2k＋1)B．增加了两项eq\f(1,2k＋1)和eq\f(1,2k＋1)C．增加了B中的两项，但又减少了一项eq\f(1,k＋1)D．增加了A中的一项，但又减少了一项eq\f(1,k＋1)5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________________．二、能力提升6．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开 ()A．(k＋3)3 B．(k＋2)3C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)37．k(k≥3，k∈N*)棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为 ()A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋k＋1C．f(k)＋k D．f(k)＋k－28．对于不等式eq\r(n2＋n)≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，eq\r(12＋1)≤1＋1，不等式成立．②假设n＝k(n∈N*)时，不等式成立，即eq\r(k2＋k)≤k＋1，则n＝k＋1时，eq\r(k＋12＋k＋1)＝eq\r(k2＋3k＋2)<eq\r(k2＋3k＋2＋k＋2)＝eq\r(k＋22)＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法 ()A．过程全部正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确9．用数学归纳法证明eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n＋12)>eq\f(1,2)－eq\f(1,n＋2).假设n＝k时，不等式成立．则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是_______．10．证明：62n－1＋1能被7整除(n∈N*)．11．求证：eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n)>eq\f(5,6)(n≥2，n∈N*)．12．已知数列{an}中，a1＝－eq\f(2,3)，其前n项和Sn满足an＝Sn＋eq\f(1,Sn)＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明．三、探究与拓展13．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．

答案1．D2.C3.C4.C5.Sn＝eq\f(2n,n＋1)6．A7.A8.D9.eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k2)＋eq\f(1,k＋12)＋eq\f(1,k＋22)>eq\f(1,2)－eq\f(1,k＋3)10．证明(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，62k－1＋1能被7整除．那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36(62k－1＋1)－35.∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．由(1)，(2)知命题成立．11．证明(1)当n＝2时，左边＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)>eq\f(5,6)，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,3k)>eq\f(5,6).则当n＝k＋1时，eq\f(1,k＋1＋1)＋eq\f(1,k＋1＋2)＋…＋eq\f(1,3k)＋eq\f(1,3k＋1)＋eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋1)＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,3k)＋(eq\f(1,3k＋1)＋eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋3)－eq\f(1,k＋1))>eq\f(5,6)＋(eq\f(1,3k＋1)＋eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋3)－eq\f(1,k＋1))>eq\f(5,6)＋(3×eq\f(1,3k＋3)－eq\f(1,k＋1))＝eq\f(5,6)，所以当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．12．解当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋eq\f(1,Sn)＋2.∴Sn＝－eq\f(1,Sn－1＋2)(n≥2)．则有：S1＝a1＝－eq\f(2,3)，S2＝－eq\f(1,S1＋2)＝－eq\f(3,4)，S3＝－eq\f(1,S2＋2)＝－eq\f(4,5)，S4＝－eq\f(1,S3＋2)＝－eq\f(5,6)，由此猜想：Sn＝－eq\f(n＋1,n＋2)(n∈N*)．用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，S1＝－eq\f(2,3)＝a1，猜想成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时猜想成立，即Sk＝－eq\f(k＋1,k＋2)成立，那么当n＝k＋1时，Sk＋1＝－eq\f(1,Sk＋2)＝－eq\f(1,－\f(k＋1,k＋2)＋2)＝－eq\f(k＋2,k＋3)＝－eq\f(k＋1＋1,k＋1＋2).即n＝k＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想结论均成立．13．证明当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立．下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k(