广东省惠州市2023-2024学年高二年级下册7月期末考试数学试题（含答案解析）

广东省惠州市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合A={N%2—3%<o},5={Hlnx>O},则AB=()

A.1x|O<x<l|B.{木>0}C.{x|O<x<31D.|x|l<x<3}

2.若i(l—z)=l,贝lJz+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

3.在等差数列{〃〃}中，已知〃1=2,42+〃3=13,贝!J〃4+〃5+〃6等于()

A.40B.42C.43D.45

4.卜3一/J的展开式中常数项是（：

)

A.14B.-14C.42D.-42

5.在正三棱柱A5C-A与G中，若A5=2,AA=1,则点A到平面A5C的距离为（）

A.自B.典C.上D.2也

24

6.在VA2C中，内角A,民C所对的边分别为瓦c.向量力=（a+c/）,q=（6-a,c-a）.若

p//q,则角c的大小为（）

717C7C2兀

A.-B.—C.—D.—

6433

7.设点48在曲线y=log?X上.若A8的中点坐标为（5,2）,则|AB|=（）

A.6B.2MC.473D.4百

jr57r

8.已知函数/（X）=5皿35-：）5皿28+~-）在区间（0,兀）恰有6个零点，若Q〉0,贝！J①的

46;

取值范围为（）

313D•雷

A。("c•(屋

二、多选题

9.现有甲、乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表(满

分100分).设事件M表示“从甲机构测评分数中任取3个，至多1个超过平均分”，事件N

表示“从甲机构测评分数中任取3个，恰有2个超过平均分”.下列说法正确的是()

B.甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差

C.乙机构测评分数的中位数为92.5

D.事件M,N互为对立事件

10.设公比为g的等比数列｛%｝的前"项积为北，若=16,贝()

A.%=4B.当％=1时，q=±y/2

C.logj©=18D.城+蜡＞32

11.在平面直角坐标系xOy中，动点P(x,y)的轨迹为曲线C,且动点尸(x,y)到两个定点

片(-1,0),玛(1,0)的距离之积等于3.则下列结论正确的是()

A.曲线C关于y轴对称B.曲线C的方程为三+^+1=而百

c.面积的最大值5D.IOPI的取值范围为［应,2］

三、填空题

12.双曲线V一@2=1的一个焦点是(2Q),贝!］左=.

13.若点A(cose,sin。)关于y轴对称点为B(cos(e+m),sin(9+3)),写出6的一个取值为

OO

14.已知函数/(x)的定义域为［OH,对于。《再＜声＜1,恒有/(%)《/区)，且满足

/«+f(l-x)=l,/(j)=1fix),贝I/(七)=.

四、解答题

15.已知函数/(x)=xlnx+ax+2在点处的切线与直线尤-2丁+2=0相互垂直.

试卷第2页，共4页

(1)求实数。的值;

⑵求/(x)的单调区间和极值.

16.某企业举行招聘考试，共有1000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分100分，初

试通过后参加复试.

(1)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布其中〃=65。=10,试估计初试

成绩不低于75分的人数；(精确到个位数)

(2)复试共三道题，每答对一题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复

试成绩.已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为3:，后两题答对的概率均为

4

3

且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试成绩为匕求丫的分布列及期望.

附：若随机变量X服从正态分布NJ,"),贝P(〃—b〈Xv〃+b)=0.6827,

P(/z-2(y<X<//+2cr)=0.9545,P(//-3cr<X<〃+3cr)=0.9973.

IT

17.在三棱锥尸—ABC中，尸CL平面ABC,尸C=3,/ACB=—.RE分别为线段AB,BC上

2

的点，且CD=DE=RCE=2EB=2.

/:C\\.g\

产D

⑴证明：£>E_L平面PCD；

(2)求平面PAD与平面尸CD夹角的余弦值.

18.如图，已知椭圆G：［+y2=i和抛物线。2：犬=2刀(p〉。)，J的焦点尸是G的上顶

点，过歹的直线交C?于M、N两点，连接NO、MO并延长之，分别交C|于A、3两点，

连接A3,设人沏、△OAB的面积分别为黑0的、SOAB•

⑴求P的值；

⑵求OATON的值；

(3)求〉1的取值范围.

19.如果数列｛4｝对任意的〃eN*,an+2~an+l>an+l~%，则称｛%｝为“速增数列”.

(1)判断数列｛2,｝是否为“速增数列”？说明理由；

(2)若数列｛4｝为“速增数列”.且任意项为eZ,%=1,%=3s=2023,求正整数k的最大值;

(3)已知项数为2左(^>2,^eZ)的数列也｝是“速增数列”，且也｝的所有项的和等于左，若

4=2"”，〃=1,2,3,,2k,证明：ckck+l<2.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案DDBAACBCBDBCD

题号11

答案ABD

1.D

【分析】解不等式化简集合A,8,再利用交集的定义求解即得.

【详解】由]2-3x<0，得0<x<3,即A={%|0<%<3},由lnx〉O,得x>l,即8={x\x>1),

所以Ac5={x[l<%<3}.

故选：D

2.D

【分析】利用复数的除法可求z,从而可求z+N.

【详解】由题设有l-z=1=3=-i,故z=l+i,故z+彳=(l+i)+(l-i)=2,

故选：D

3.B

【分析】根据已知求出公差即可得出.

【详解】设等差数列{册}的公差为d,

因为6=2,%+生=2%+3d=13,所以d=3,

则。4+%+。6=3al+12d=3x2+12x3=42.

故选：B.

4.A

【解析】利用二项式展开式的通项公式，即可容易求得结果.

【详解】展开式的通项为4M=C；(2X3厂[一9)=C；27-r(-l)r/^r,

由21-1=0,得厂=6,那么展开式中常数项是C”7-6(_I)6=]4.

故选：A.

【点睛】本题考查由二项式定理的通项公式求指定项，属基础题.

5.A

答案第1页，共10页

【分析】利用匕-4BC―^Ay-ABC结合已知条件求解即可.

【详解】因为在正三棱柱ABC-44G中，若A8=2,AA=1,

所以45=A。=Ji2+12=，^ABC=—x2x2sin—=A/3,

ABC=/C2B=gx2xQ=2,

所以S}BJ(A,B)-QJ

设点A到平面\BC的距离为d,

因为^A-AXBC~A}-ABC，

所以M=§SKg.明,

所以2d=\/3x1,得d=.

2

故选：A

【分析】利用共线向量的坐标表示，结合余弦定理求解即得.

【详解】在VABC中,由"=（a+c,/?）&=（/?-〃,。一〃），pllq,#{a+c）（c-a）=b（b-a）,

整理得片+廿一，=而，由余弦定理得cosC="+"—=玉,WO<C<71,

2ab2

所以C=£

故选：c

7.B

【分析】设A（占,log2%）,8（%，log2%），根据题意，利用对数的运算，求得%，%的值，结合

两点间的距离公式，即可求解.

【详解】设4%,1082尤1），8（%，1。82%），

答案第2页，共10页

芯+%=5

因为A8的中点坐标为(5,2),可得"-J

2

整理得玉+无2=1°，%々=16,解得％1=2,%2=8或玉=8,々=2,

不妨设A(2,1),8(8,3),所以恒回=7(2-8)2+(1-3)2=2廊.

故选：B.

8.C

TTSIT7jr97r137r177r197r

【分析】令〃x)=。，求得小)从左到右的零点依次为行后后后而言，商,

结合题意，列出不等式，即可求解.

TT57r7T

【详解】函数/(%)=sin(3°x——)sin(2G%+一),由/(%)=。，得sin(3Gx——)=0或

464

57T

sin(2s+—)=0,

6

e/0/•/、/»-T-1、r(1+4左)兀_p.(1+6左)兀,,

解得了(%)的正零点为'一或。NT,

12G12co

Jr57r7兀9兀13兀177r197r

则函数f(x)从左到右的零点依次为：『泮黑，泮等，泻等,

12a)12®12®12。12。12。12。

为了使得了⑴在区间(0,兀)恰有6个零点，只需177/T<一19等兀，解得1上719

12a)12G1212

所以实数0的取值范围为1七7苣19.

故选：C

9.BD

【分析】直接由平均数、方差、百分位数及对立事件的概念，逐一对各个选项分析判断，即

可得出结果.

【详解】对于A,甲机构测评分数的平均分百=以1+尤+;+以+距=93,

乙机构测评分数的平均分充2=；=93,A错误；

对于B,甲机构测评分数的方差

22

s：=g[(90-93)2+(98—93)2+(90_93)2+(92-93)+(95-93)]=9.6,

乙机构测评分数的方差$=¥(93-93了+(95-93>+(92—93)2+(91-93『+(94-93力=2,B

正确；

对于C,乙机构测评分数从小排到大为：91,92,93,94,95,乙机构测评分数的中位数为

答案第3页，共10页

93,C错误；

对于D,由甲机构测评分数中有且仅有2个测评分数超过平均分，事件",N不可能同时发

生，

但必有一个发生，因此事件M,N互为对立事件，D正确.

故选：BD

10.BCD

【分析】根据等比数列下标和的性质和应用判断ABC,根据基本不等式的应用判断D.

【详解】A选项：因为靖=%%=16,所以为=±4,所以A不正确；

B选项：因为4=1,4a9=16,则a；/=i6,所以/=16,所以4=±0,所以B正确；

C选项：因为7；=%的的=W,所以闿=|0=2%所以log2国=18,所以C正确；

D选项：a；+a；N2a3%=2。得9=32,当且仅当。3=%时，等号成立.所以D正确.

故选：BCD.

11.ABD

【分析】根据给定的信息，列式求出曲线C的方程，再逐项分析判断即可.

[详解]对于B,依题意，J（x+l）2+y2.J（尤_iy+y2=3,整理得/+/+1=心+9,

因此曲线C的方程为/+8+1=，4犬2+9,B正确；

对于A,方程中的x换成一无方程不变，因此曲线C关于V轴对称，A正确；

对于C,显然丁=,4炉+9-（/+1）20,贝!]-2^2-8<0,解得：-2<X<2,

令14炉+9=/€[3,5]，则;/=一：+/+：=一："一2）2+^^0,2],即

片尸身的面积S=；|月月||y|=|y|4&,C错误；

对于D,|OP『=/+/=92+9一1e[2,4]，因此1。川的取值范围为[&,2],D正确.

故选：ABD

【点睛】结论点睛：曲线C的方程为尸（无4）=0,①如果歹（-羽>）=0,则曲线C关于y轴

对称；②如果尸（无,->）=0,则曲线C关于x轴对称；③如果/％-y）=0,则曲线C关于

原点对称.

答案第4页，共10页

【分析】化双曲线方程为标准形式，再结合焦点坐标求出左值.

2

,°f-匕一111

【详解】双曲线炉-a2=1方程为1一，依题意，1+==4,所以左=：.

Ik3

故答案为：—

13.—(满足0=池+及匹及eZ即可)

1212

【分析】根据48在单位圆上，可得。,。+9关于y轴对称，得出。+9+。=万+2左万内€2求

66

解.

【详解】A(cose,sine)与小os［6)+V］,sin.+关于y轴对称，

即仇©+£关于y轴对称，

6

JI

3-----F夕=7T+2k7l、kGZ,

6

57r

则夕=左左+法,左£2,

当左=0时，可取e的一个值为厂57r.

12

故答案为：=(满足0=4万+3,左eZ即可).

1212

14.—/0.03125

32

【分析】根据给定条件，可得当xeg,：］时，再借助/($=变形/(焉)

即可得解.

【详解】函数/(X)的定义域为［0,1］,由/(x)+/(l-x)=l,得y(；)+/(g)=l,即/g)=g

又/(0)+"1)=1,由公)=g/(x),得/(0)=?(0),解得/(。)=0,则/⑴=1,

于是/(1)=1/(I)=g,由对于。<玉<龙2<1，恒有/(再)<f(xj，得当XeB,；］时，f(x)=1,

HLI1、1512511251£(625

，2024=2”2024=21，2024=21*2024=F，2024'

而［<反3<1，即有/(空_)=,，所以〃」_)=_L.

52024220242202432

故答案为：—

【点睛】关键点点睛：关键点是根据题意求得f(1)=|，心=；,进而求得当xeBf时，

答案第5页，共10页

15.⑴a=—3；

（2）增区间为k2,+s）,减区间为（0,e2）,极小值2-e2,无极大值.

【分析】（1）根据gx尸⑴=-1,代值计算即可求得参数值；

（2）根据（1）中所求参数值，求得尸（x）,利用导数的正负即可判断函数单调性和极值.

【详解】⑴因为/'（x）=lnx+l+a,在点（1"（1））处的切线斜率为％=/'（l）=l+a,

又元）在点（1,/。））处的切线与直线x-2y+2=0相互垂直，

所以;x/⑴=-1,解得°=一3.

（2）由（1）得,/"（x）=lnx-2,xe（0,+oo）,

令得x>e2,令r（x）<。,得o<九ve?,

即/（X）的增区间为卜2,+8）,减区间为

又/'（"）=6211162-362+2=2-62,

所以/（X）在无=『处取得极小值2-e2,无极大值.

【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和极值，属综合中档题.

16.（1）159；

（2）分布列见解析，期望为195

【分析】（1）分析可知75=〃+。，计算出尸（XN75）的值，乘以1000可得结果；

（2）分析可知随机变量y的取值分别为0、io、20、30,计算出随机变量y在不同取值下

的概率，可得出随机变量y的分布列，进而可求得E"）的值.

【详解】（1）由学生初试成绩X服从正态分布N（〃Q2）,其中〃=65,<7=10,得

75=65+10=〃+b,

因此「（*275）=2（乂2〃+（7）=3[1-尸（〃一64乂4〃+（7）]=^1^=0.15865,

所以估计初试成绩不低于的人数为015865X1000°159人.

答案第6页，共10页

(2)y的可能取值为0,10,20,30,

则P(y=0)=(l_3)x(l-%=—,P(y=10)=-x(l--)2+(l--)xC*x-x-=—

4525454-5525

49333Q3377

P(y=20)=-xC^x-x-+(l--)x(-)2=—,P(y=30)=-x(-)2=一,

4255452045100

所以y的分布列为:

Y0102030

16927

P

252520100

数学期望为E(y)=0x」+10x9+20x2+30x^=19.5.

v7252520100

17.(1)证明见解析;

(2)T

【分析】(1)根据PC，平面A3C并结合t.CDE的形状,利用线面垂直的判定定理进行证明；

(2)建立空间直角坐标系，求解出平面APD、平面PDC的法向量，再用面面角的向量求

法求解即得..

【详解】(1)由PC,平面ABC,OEu平面ABC,得「CLDE,

由CE=2,8=。后=应得。E为等腰直角三角形，即

又PCcCD=C,且尸Cu面PCD,CDu面尸CD,

所以DE_L平面PCD.

(2)在三棱锥P-ABC中，取CE中点尸，连接。/，由(1)知，DF=1,DFLBC,

DFBF23

而ACJ_3C,于是DFV/AC,==—,则AC=—

ACBC32

显然直线C4,C氏C尸两两垂直，以点。为原点，直线C4,C氏CP分别为％yz轴建立空间直

角坐标系，

答案第7页，共10页

3

C(0,0,0),P(0,0,3),A(-,0,0),E(0,2,0),0(1,1,0)

ED=(1,-1,0),DP=(-1,-1,3),DA=(1,-l,0),

n•DP=-x-y+3z=0

设平面PAD的法向量为n=(%,%z)则1,令x=2,得“=(2,1,1).

n-DA=-x-y=0

12'

由DEL平面PCD,则平面PCD的法向量为E。，设平面PAD与平面P6夹角为6,

因止匕cos0=|cos〈",DE)|=।〃0FI=广1「=

\n\\DE\76x726

所以平面PAD与平面PCD夹角的余弦值为f.

6

18.⑴P=2

(2)-3

(3)[2,^o)

【分析】(1)由抛物线C2的焦点坐标求P的值;

(2)设直线跖V的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理求ON的值;

s\OM'ON\

(3)设直线NO、MO的方程，与椭圆联立方程组表示出乙,4,由《幽

)OAB\OB-OA\'

化简并结合基本不等式求取值范围.

【详解】⑴椭圆C1：1+y2=i的上顶点坐标为(0,1),

则抛物线G的焦点为尸(0,1),故p=2.

(2)若直线MN与，轴重合，则该直线与抛物线Q只有一个公共点，不符合题意,

所以直线"N的斜率存在，设直线的方程为>=履+1,点MO1,月)、N(x2,y2),

y=kx+1

联立x2_4y可得/_4履-4=0A=16/+16>0恒成立，贝1]%％=-4,

答案第8页，共10页

OM-ON=+y^2=尤［%+：］：=-4+］=-3.

(3)设直线NO、MO的斜率分别为尤、k2,其中勺＞0,k2＜0,

XX-可得(%+i产明解得金后

联立

2

点A在第三象限,则乙=一

小4］；+1

2

点3在第四象限,同理可得/二

小4代+1

%%=%送2二1

且桃2=

玉/164

S.OMN=WHOM=卜・马|=卜fl

22

SOAB~\OB\-\OA\-k-x4r

7^+144.+1

=J(%+D(M+1)=/好+6+22H：-L+2=2,

当且仅当时，等号成立.

¥”的取值范围为［2,