圆锥曲线三角形面积与四边形面积题型归类（七大题型）（原卷版）-2025年高考数学一轮复习（新教材新高考）

重难点突破07圆锥曲线三角形面积与四边形面积题型归类

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................4

题型一：三角形的面积问题之〃=q・底•高.........................................4

题型二：三角形的面积问题之分割法...............................................5

题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化...................................6

题型四：三角形的面积比问题之共角'等角模型.....................................9

题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型........................................10

题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型......................................12

题型七：四边形的面积问题之一般四边形..........................................14

03过关测试....................................................................16

亡法牯自与.柒年

//\\

1、三角形的面积处理方法

（1）2=3.底.高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）

⑵5「：水平宽・铅锤高=3|阴.%-&|或2=#分|%-酒

（3）在平面直角坐标系xOy中，已知△OA/N的顶点分别为0（0,0）,〃（玉，y）,N{x2,%），三角

形的面积为S—%2%|•

2、三角形面积比处理方法

2

（2）等角、共角模型

-OAOC-sma

OAOC

SAC®。1OBOD-sina

2

3、四边形面积处理方法

一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值（一般

处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求

最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活使用割补法

计算面积，尽可能降低计算量.

题型归赢总结

题型一：三角形的面积问题之〃=5•底高

【典例1-1】(2024•陕西商洛•模拟预测)记椭圆C:5+与=1(。>6>0)的左、右顶点分别为4，A2,上顶

ab

点为3(0,1),直线9,%的斜率满足峪.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知椭圆4+4=1(«>^>0)上点(%,%)处的切线方程是学+浮=1.若点尸为直线/：x=递上的

ab〃匕3

动点，过点尸作椭圆c的切线PM,PN,切点分别为A/,N,求..尸跖V面积的最小值.

【典例1-2】(2024•浙江绍兴.三模)己知双曲线「：/一上=1与直线八y=x+l交于A、3两点(A在

4

B左侧)，过点A的两条关于/对称的直线人4分别交双曲线「于C、。两点(C在右支，。在左支).

(1)设直线4的斜率为占，直线4的斜率为心，求仁•七的值；

(2)若直线8与双曲线「在点3处的切线交于点P,求AABP的面积.

【变式1-1](2024•高三・河南•开学考试)已知椭圆。：5+斗=1(。>6>0)的短轴长为2,点1,卓]在椭

abI2J

圆C上.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设点7(加,")在椭圆。上(点T不在坐标轴上)，证明：直线肾+=1与椭圆C相切；

(3)设点尸在直线x=-l上(点尸在椭圆C外)，过点尸作椭圆C的两条切线，切点分别为A8,。为坐标原

点，若—和△OA3的面积之和为1,求直线AB的方程.

【变式1-2](2024•陕西安康•模拟预测)已知抛物线C：：/=2px(p>0)的准线方程为尤=-；,直线/与C

交于A,B两点，且。4,03(其中。为坐标原点)，过点。作交4B于点D

(1)求点。的轨迹E的方程；

⑵过C上一点Q(%,%)(%>2)作曲线E的两条切线分别交y轴于点跖N,求QMN面积的最小值.

题型二：三角形的面积问题之分割法

【典例2-1】已知椭圆C的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在V轴上，离心率e=g,且过点

尸(3,2).

(1)求椭圆c的标准方程；

(2)若直线/与椭圆交于A，B两点，且直线以，网的倾斜角互补，点u(o,8),求三角形面积的最大值.

【典例2-2】(2024.高三.安徽蚌埠.开学考试)已知椭圆C的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且

经过点的,1)和卜半]

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点M(2,0)作不与坐标轴平行的直线/交曲线C于A,B两点,过点A,3分别向％轴作垂线，垂足

分别为点。，E,直线AE与直线相交于尸点.

①求证：点尸在定直线上；

②求APAB面积的最大值.

【变式2-1］（2024•天津南开•二模）己知椭圆C：^-+4=1（。＞6＞0）的离心率为老，且C的左、右

a2b22

焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为8省.

（1）求椭圆C的方程；

⑵过点P（l,0）的直线/与椭圆C交于43两点，过点A与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为。.当

VBPQ的面积取得最大值时，求直线/的方程.

4（%,%），5（巧,%），则。（石,一%），

【变式2-2】设动点M与定点打。,0卜＞0）的距离和/到定直线/：X/的距离的比是9.

C乙

（1）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；

（2）当°=正时，记动点M的轨迹为O,动直线机与抛物线「：V=4x相切，且与曲线。交于点A,B.求

493面积的最大值.

题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化

2

【典例3-1］如图，已知双曲线C:/-匕=1的左右焦点分别为耳、F2,若点尸为双曲线C在第一象限上

3

的一点，且满足|尸娟+|尸阊=8,过点尸分别作双曲线C两条渐近线的平行线山、心与渐近线的交点分

别是A和6.

22

（2）若对于更一般的双曲线C':0-/=1e>0,。>0）,点P为双曲线。上任意一点，过点P分别作双曲

线。两条渐近线的平行线尸'A、PR与渐近线的交点分别是A和B'.请问四边形。4’尸万的面积为定值吗？

若是定值，求出该定值（用“、b表示该定值）；若不是定值，请说明理由.

【典例3-2】（2024•四川达州•二模）已知抛物线r：/=2px5>。），直线/：y=k（x-p）与「交于A,3两点,

线段中点=2.

（1）求抛物线「的方程；

（2）直线/与x轴交于点C,。为原点，设BOC,COM,HOA的面积分别为SB"，SCO.，SMO4,若

SBOC，SCOM，SMOA成等差数列，求上

【变式3-1］（2024•湖南衡阳•模拟预测）已知抛物线C：*=2px（p>o）,焦点厂在直线2x+3y-2=0

上.过点（3,0）的直线/与抛物线C交于尸，。两点，以焦点厂为圆心，O尸为半径的圆尸分别与直线OP、

。。交于/、N两点.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)求面积S的取值范围.

22

【变式3-2】(2。24•河北保定三模)设椭圆C*+>1…>。)的左、右顶点分别为相，离心率为e,

且恒用=半0=4.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)设点RQ为椭圆上异于A3的两动点，记直线AP的斜率为左，直线Q3的斜率为心，已知匕=7无2.直线

PQ与1轴相交于点V,求的面积的最大值.

【变式3-3](2024.河北保定.三模)已知抛物线C：f=2py(p>0)上一点到坐标原点。的距离

为40.过点P(0,2)且斜率为左(4>0)的直线/与C相交于A,3两点，分别过A,2两点作/的垂线，并

与V轴相交于M,N两点.

⑴求。的方程；

⑵若|PN|=4|PM|,求上的值；

⑶若左e[1,2],记△7%〃，PBN的面积分别为跖，&，求5+S2的取值范围.

【变式3-4](2024•江苏苏州•模拟预测)如图，在平面直角坐标系X0Y中，已知抛物线C：旷=4x的焦点

为F,过尸的直线交C于A,3两点(其中点A在第一象限)，过点A作C的切线交X轴于点P,直线尸3

交C于另一点Q,直线QA交二轴于点T.

⑴求证：\AF\-\A7]=\BF\-\QT\；

⑵记AOP,AAFT,△BQT的面积分别为S1,S2,S,当点A的横坐标大于2时，求的最小值

3%一5

及此时点A的坐标.

题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型

【典例4-1】(2024•陕西西安.一模)己知椭圆C:「+斗=1(。>6>0)的短轴长等于焦距，且过点(2,1)

ab

(1)求椭圆C的方程；

(2)P为直线y=2g上一动点，记椭圆C的上下顶点为A3,直线PAP8分别交椭圆C于点M,N,当

3

PMN与R4B的面积之比为:时，求直线肱V的斜率.

4

【典例4-2](2024・高三・四川成都・开学考试)已知双曲线C:―-y2=l(a>0)的焦距为2石且左右顶点分别

a

为A，4,过点7(4,0)的直线/与双曲线C的右支交于M,N两点.

(1)求双曲线的方程；

k,

(2)记直线AM,AN的斜率分别为.卷,证明：皆是定值；

s

(3)设G为直线4M和4N的交点，记△GMM^GAH的面积分别为，,S2,求法的最小值.

【变式4-1](2024.河北・统考模拟预测)已知抛物线C:x2=2py(p>0),过点尸(0,2)的直线/与C交于A,3

两点，当直线/与y轴垂直时，OAYOB(其中。为坐标原点).

(1)求C的准线方程；

(2)若点A在第一象限，直线/的倾斜角为锐角，过点A作C的切线与V轴交于点T,连接7B交C于另一

点为£>,直线AD与V轴交于点。，求△AP。与面积之比的最大值.

【变式4-2】已知抛物线C：'2=2内(77>0)上一点4(4,砌"0)到焦点厂的距离为，

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点F的直线/与抛物线C交于P,。两点，直线OP,。。与圆E：(x-2y+y=4的另一交点分别为

为坐标原点，求△OPQ与，OAW面积之比的最小值.

题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型

22

【典例5-1](2024.高三.山西吕梁.开学考试)已知椭圆。:g+%=1(。>6>0)过点A(2,a),且C的右焦

点为“2,0).

⑴求C的方程：

(2)设过点(4,0)的一条直线与C交于P,Q两点，且与线段AF交于点S.

(i)证明：S到直线所和FQ的距离相等；

(ii)若A4PS的面积等于FQS的面积，求Q的坐标.

【典例5-2】在平面直角坐标系x。，中，点8与点关于原点。对称，P是动点，且直线在与呼的

斜率之积等于

（1）求动点P的轨迹方程；

⑵设直线”和8尸分别与直线x=3交于点N,问：是否存在点P使得一R4B与尸AW的面积相等？若存

在，求出点尸的坐标；若不存在，说明理由.

【变式5-1］（2024•陕西宝鸡三模）已知椭圆E:三+2=1（。>b>0）和圆C:/+必=1,c经过E的右焦点

ab

F,点A3为E的右顶点和上顶点，原点。到直线A3的距离为组.

7

（1）求椭圆E的方程；

⑵设A是椭圆E的左、右顶点，过歹的直线/交E于N两点（其中M点在X轴上方），求ZXA么F

与ADNF的面积之比的取值范围.

【变式5-2］（2024•高三・山东•开学考试）已知抛物线。：9=2/（夕>0）.过抛物线焦点/作直线4分别在第

一、四象限交。于K、P两点，过原点。作直线乙与抛物线的准线交于E点，设两直线交点为S.若当点尸

的纵坐标为-2时，|。尸|=否.

（1）求抛物线的方程.

（2）若EP平行于x轴，证明：S在抛物线C上.

⑶在（2）的条件下，记SEP的重心为R,延长ER交S尸于Q,直线EQ交抛物线于N、T（T在右侧），

设AT中点为G,求△尸EG与,ESQ面积之比n的取值范围.

【变式5-3］（2024.安徽黄山.屯溪一中校考模拟预测）已知椭圆C:J+J=l（a>b>0）的离心率为专,

（1）求椭圆C方程;

（2）直线了=履（女＞0）与椭圆C交于点M、N『为C的右焦点，直线浙NR分别交C于另一点M1、乂,

S

记.2^与△月％乂的面积分别为外邑，求”的范围.

»2

题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型

22

【典例6-1】（2024.湖北•模拟预测）已知椭圆E:二+多=1（。＞6＞0）的上顶点为3,右焦点为凡点2、

ab

尸都在直线3x+y/3y—3=0上.

（D求椭圆E的标准方程；

（2）若圆，+y2=i的两条相互垂直的切线小乙均不与坐标轴垂直，且直线小乙分别与E相交于点A,C和B,

D,求四边形ABCD面积的最小值.

【典例6-2】（2024•河北邯郸•三模）已知椭圆氏］+，=1（。＞02＞0）经过«-0,-乎；两点.

⑴求E的方程；

（2）若圆/+寸=1的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线4%分别与E相交于点A,C和B,

D,求四边形ABCD面积的最小值.

【变式6-1】已知直线x+y+石=0与椭圆E:\+y2=l有且只有一个公共点.

(1)求椭圆E的方程；

(2)是否存在实数2,使椭圆E上存在不同两点尸、。关于直线2》-，-2=0对称？若存在，求彳的取值范

围；若不存在，请说明理由；

(3)椭圆E的内接四边形ABCD的对角线AC与垂直相交于椭圆的左焦点，S是四边形A3CD的面积，求

S的最小值.

22

【变式6-2](2024•陕西商洛•模拟预测)已知耳B分别为椭圆〃：=+4=1(。＞匕＞0)的左、右焦点，直线

ab

4过点B与椭圆交于A,B两点，且△AEE的周长为(2+0)a.

⑴求椭圆的离心率；

⑵直线4过点招，且与4垂直，4交椭圆“于两点，若a=6,求四边形ACBD面积的范围.

【变式6-3](2024•陕西安康•模拟预测)已知椭圆C：J+y2=i(“＞i)的离心率为半，椭圆C的动弦

A3过椭圆C的右焦点尸，当43垂直x轴时，椭圆C在A,3处的两条切线的交点为M.

⑴求点"的坐标；

(2)若直线A3的斜率为工，过点”作％轴的垂线/，点N为/上一点，且点N的纵坐标为直线NF与

m2

椭圆C交于P，Q两点，求四边形4尸8。面积的最小值.

题型七：四边形的面积问题之一般四边形

【典例7-1】（2024•辽宁・模拟预测）给出如下的定义和定理：

定义：若直线/与抛物线「有且仅有一个公共点尸，且/与「的对称轴不平行，则称直线/与抛物线「相切,

公共点尸称为切点.

定理：过抛物线V=2px上一点（七,%）处的切线方程为%、="%+?人

完成下述问题：

已知抛物线r：y2=x,焦点、为F,过「外一点Q（不在x轴上），作「的两条切线，切点分别为A3,

（A3在％轴两侧）直线QA,QB分别交y轴于C,。两点，

⑴若［4刊=求线段c厂的长度；

（2）若点。在直线x=-l上，证明直线A3过定点，并求出该定点；

7

⑶若点。在曲线（无+I）,（T4尤<o）上，求四边形ACZ）B的面积的范围.

O

【典例7-2］（2024•安徽芜湖•模拟预测）如图，直线4：x=根y+%与直线小龙二冲+%，分别与抛物线

7:丫2=22双°>0）交于点4B和点C,D（A,D在x轴同侧）.当4经过T的焦点尸且垂直于无轴时,

|AB|=1.

（1）求抛物线T的标准方程;

（2）线段AC与3。交于点X,线段A2与C。的中点分别为M,N

①求证：M,H,N三点共线；

②若21HM=|”N|=2,求四边形AB。。的面积.

【变式7-1]（2024•高三.四川达州・开学考试）定义：若椭圆C:=1（。＞匕＞0）上的两个点

4（%,%）,8（々，%）满足竽+节1=0,则称A3为该椭圆的一个“共软点对”，记作[A8].已知椭圆C的

一个焦点坐标为耳（-1,0）,且椭圆过点

（1）求椭圆c的标准方程；

（2）求证：有两个点3满足“共朝点对”[AB],并求出3的坐标；

⑶设（2）中的两个点3分别是用，为，设。为坐标原点，点RQ在椭圆C上，且用，尸，心。顺时针排列

且尸。〃OA,证明：四边形耳尸耳Q的面积小于4

Y221

【变式7-2】已知椭圆。:1+/v=：1（。＞6＞0）的离心率为1,过其右焦点尸且与x轴垂直的直线交椭圆C

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知过点P的直线/与坐标轴不垂直，且与椭圆交于点A,B,弦A3的中点为直线OA1与椭圆

交于点C,D,求四边形ACBD面积S的取值范围.

丫2

【变式7-3】已知曲线C:y=上的焦点是尸，A,8是曲线C上不同的两点，且存在实数几使得衣=4而,

2

曲线C在点A,8处的切线交于点D

（1）求点。的轨迹方程；

（2）点E在y轴上，以EP为直径的圆与AB的另一个交点恰好是的中点，当4=2时，求四边形AD8E

的面积.

22

【变式7-4](2024•浙江•高三浙江省普陀中学校联考开学考试)类似于圆的垂径定理，椭圆C：，+二=1

ab

(a>b>0)中有如下性质：不过椭圆中心。的一条弦月。的中点为当PQ,斜率均存在时，

2

b尤22

利用这一结论解决如下问题：已知椭圆E：—+^=1,直线。尸与椭圆E交于A，8两

点，且。4=30尸，其中。为坐标原点.

(1)求点尸的轨迹方程「；

(2)过点尸作直线8交椭圆E于C,。两点，使尸C+PD=0，求四边形的面积.

0

过关测试

22

1.(2024.高三.安徽亳州.开学考试)已知椭圆C:=+•=l(a>。>0)的左、右焦点为耳B，离心率为

ab

当,点尸为椭圆c上任意一点，且—分;B的周长为6+4忘.

⑴求椭圆C的方程；

(2)直线lA-.y=x+y/3与直线/2:y=x-百分别交椭圆C于A,3和C,。两点，求四边形ABCD的面积.

2.(2024・河北•模拟预测)已知M卜石,0),N(6,0),平面内动点尸满足直线PM,PN的斜率之积为.

(1)求动点尸的轨迹方程;

（2）过点F（1,O）的直线交P的轨迹E于A,B两点，以OA,OB为邻边作平行四边形OACB（O为坐标原点）,

若C恰为轨迹E上一点，求四边形OACB的面积.

22

3.（2024・重庆・模拟预测）已知耳（-。,0）,乙（c,0）分别是椭圆C］：,方=1（。>0,6>0）的左右焦点，如图,

抛物线6：9=-20叶（°>0）的焦点为6（—,0）,且与椭圆在第二象限交于点P,p£|=gc,延长尸片与椭圆

交于点。.

（1）求椭圆的离心率；

⑵设，和知鸟的面积分别为，,S?,求娶.

4.（2024•高三•山东烟台•开学考试）抛物线C：/=4y的焦点为产，准线为/,斜率分别为

4,也化>k220）的直线44均过点八且分别与c交于A3和。,E（其中A,。在第一象限），T,S分别为

A5,OE的中点，直线比与/交于点尸，NfifE的角平分线与/交于点Q.

⑴求直线灯的斜率（用配&表示）；

（2）证明：SPQ的面积大于2.

22

5.（2024.高三.河南.开学考试）已知椭圆C：5+（=1,点A（〃0）（w>0）与C上的点之间的距离的

最大值为6.

(1)求点A到C上的点的距离的最小值；

⑵过点A且斜率不为。的直线/交C于M,N两点(点/在点N的右侧)，点N关于％轴的对称点为T.

①证明：直线过定点；

②已知。为坐标原点，求△MOT面积的取值范围.

6.(2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)已知N,,0),平面内动点P满足=|即|.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

⑵动直线/交。于A、B两点，。为坐标原点，直线Q4和06的倾斜角分别为。和夕，若。+尸=三，求

4

证直线/过定点，并求出该定点坐标；

⑶设(2)中定点为。，记一OQA与△。。8的面积分别为y和$2,求EK2的取值范围.

7.(2024.河北石家庄.三模)已知椭圆C：^+t=l(a>6>0)的左、右焦点分别为耳(-g,0),月(6,0),0

为坐标原点，直线/与C交于A3两点，点A在第一象限，点3在第四象限且满足直线。4与直线08的斜

13

率之积为-丁.当/垂直于x轴时，FA>FB=--.

42l2

⑴求C的方程；

(2)若点尸为C的左顶点且满足。尸=4。4+〃。3(4<0,〃<0),直线R1与03交于片，直线尸8与Q4交于

A.

①证明：矛+笛为定值；

②证明：四边形的面积是VA0B面积的2倍.

8.(2024・高三•北京.开学考试)己知椭圆C:J+J=l(a>b>0)的离心率为坐，左、右顶点分别为

4,4.上、下顶点分别为^，为，且小月生面积为2.

⑴求椭圆C的方程；

(2)点尸是椭圆C上一点(不与顶点重合)，直线4P与X轴交于点M,直线4尸、用P分别与直线&生交于

点N、D,求证：4ZW与△dDW的面积相等.

22

9.定义：若椭圆C：；+}=l(a>6>0)上的两个点4A，M),5(%,%)满足竽+等=。，则称A3

为该椭圆的一个“共轨点对

22

如图，为椭圆C喂+?=1的“共辄点对”，已知4(3』)，且点3在直线/上，直线/过原点.

(1)求直线/的方程;

(2)已知P,Q是椭圆C上的两点，O为坐标原点，且尸。〃。4.

(i)求证：线段尸Q被直线/平分；

(ii)若点3在第二象限，直线/与尸。相交于点M,点N为网的中点，求8跖V面积的最大值.

10.已知抛物线T：/=20X(夕>0)的焦点为厂，直线y=2与抛物线T交于点石，且|EF|=2.

(1)求抛物线T的标准方程；

(2)过点/作两条互相垂直的直线上4与T交于A,8两点，6与T交于C,。两点，设线段AB的中

点为P,线段8的中点为Q,求△PFQ面积的最小值.

11.(2024・广东广州•模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，点T到点尸(2,0)的距离与到直线无=1的距离

之比为加，记T的轨迹为曲线E,直线4交E右支于A,3两点，直线6交£右支于C,。两点，I川2.

(1)求E的标准方程；

⑵证明：OAOB=OCOD\

(3)若直线4过点(2,0),直线4过点(8,0),记A3,的中点分别为尸，Q,过点。作E两条渐近线的垂

线，垂足分别为N,求四边形PMQV面积的取值范围.

fv21

12.(2024•江苏连云港•模拟预测)已知椭圆斗+1=1(。＞6＞0)的离心率为彳，抛物线/=4y的焦点为

ab2

点尸，过点尸作y轴的垂线交椭圆于P,0两点，|尸。|=g.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过抛物线上一点A作抛物线的切线/交椭圆于8,