《线性代数》课件 第10章 旋转变换、对称变换和反射变换

第十章旋转变换、对称变换和反射变换第十章

主要学习内容旋转变换及其矩阵表示对称变换及其矩阵表示旋转变换、反射变换和对称变换是描述和处理几何对象的重要工具，它们在几何学、线性代数、计算机图形学等领域中都有广泛的应用.通过对这些变换的理解和运用，可以更好地描述和分析对象的形状、方向和位置，从而为各种实际问题提供有效的解决方案.比如，通过旋转变换，可以改变对象的方向和位置，而不改变其形状和大小。旋转变换在计算机图形学、物理学、机器人学等领域有广泛的应用，例如在三维建模中调整物体的方向，或者在机器人控制中控制机器人的姿态.【导入】通过反射变换，可以将对象的左右、上下或前后进行镜像对称，而保持其形状和大小不变。反射变换常被用于镜面对称的几何问题、光学中的反射现象以及计算机图形学中的镜像渲染等领域.通过对称变换，可以实现对象的镜像对称、旋转对称或轴对称等操作，从而产生具有对称性的图形。对称变换在几何学、艺术、生物学等领域都有重要的应用，例如在结构设计中考虑物体的对称性，或者在生物学中研究生物体的对称结构.本章主要介绍几何对象的常见变换形式，包括旋转变换、反射变换和对称变换，并说明了它们在几何学、线性代数、计算机图形学等领域的重要性和广泛应用.第一节主要介绍旋转变换，一种基本的几何变换，通过指定旋转中心、旋转轴和旋转角度来描述对象的旋转.第二部分介绍了对称变换，是围绕某个中心点、中心线或中心面进行的对称操作，产生对称效果。在这两个部分中，还介绍了如何通过矩阵表示这些变换，以及如何利用基底向量的变换来确定线性变换的标准矩阵.最后，简单说明反射变换作为一种特殊的对称变换，用于描述物体围绕平面进行镜像翻转的操作.旋转变换是一种基本的几何变换，它可以描述物体在空间中的旋转运动.通过旋转变换，可以改变对象的方向和位置，但不改变其形状和大小，从而实现对物体的控制和调整.旋转变换可以分为二维旋转和三维旋转两种.第一节旋转变换及其矩阵表示二维旋转是指将二维平面上图形绕着一个中心点进行旋转的变换.二维旋转的特点是，图形的形状不变，但位置和大小可能会发生变化.二维旋转的实例，旋转图片：使用旋转变换可以将图片旋转到任意角度。旋转物体：使用旋转变换可以将物体旋转到任意角度.三维旋转是指将三维空间中的物体绕着一个中心点进行旋转的变换.三维旋转的特点是，物体的形状和大小不变，但位置和姿态可能会发生变化.三维旋转的实例，地球自转：地球自转就是一种三维旋转。地球绕着地轴进行旋转，导致地球上不同地区出现了昼夜变化.第一节旋转变换及其矩阵表示旋转变换通常通过指定旋转中心、旋转轴和旋转角度来进行描述，其中旋转中心可以是任意点，旋转轴可以是任意直线或向量，旋转角度可以是任意实数.自然界中有许多与旋转变换相关的现象，在数学、物理、工程和计算机图形学等领域也都有着广泛的应用。第一节旋转变换及其矩阵表示旋转变换被广泛应用于图形处理、动画制作和虚拟现实等方面.通过旋转变换，可以实现对图像和物体的旋转效果，从而产生生动和逼真的视觉效果.旋转变换还被用于飞行器的姿态控制和导航系统设计。通过旋转变换，可以调整飞行器的姿态和方向，实现精确的航向控制和航行路径规划.行星围绕自身的轴线进行自转运动，产生了昼夜交替和地球自转的现象。行星和星系围绕中心点进行旋转运动，产生了星空的变化和行星的季节变化。这种旋转运动影响了天体的运行轨迹和星系的结构，对宇宙中的各种现象产生了重要影响.第一节旋转变换及其矩阵表示

第一节旋转变换及其矩阵表示

第一节旋转变换及其矩阵表示图10-1反比例函数的图像可经旋转得到标准的双曲线

第一节旋转变换及其矩阵表示图10-2旋转变换作用在单位正方形例10.1.1在现实世界中普遍存在的刚体运动，比如行驶中的车轮，自转中的地球。在刚体运动中，物体刚体的每一点都按照相同的方式运动，因此其物体形状和大小在运动过程中不发生改变。因此车轮上的点可以看作以轴所在直线为圆心的圆周，研究这样的圆周运动就可以看成一点绕圆心旋转的运动。因为圆周上的点到圆心的距离相同，一旦确定某一点后圆周上的任意一点都可由这一点旋转得到，见图10-3第一节旋转变换及其矩阵表示图10-3圆周可以看成由一点旋转而得通过圆的定义可以知道，通过旋转之后像和原像均落在同一圆周上，因此它们到圆心的距离均为半径.事实上如果一开始确定圆周上的两点（两个原像），在经过同一个旋转变换（Rotation）（比如都沿逆时针旋转60°）后得到圆周上的另外两个点（两个像）。通过简单的计算可以得到两个原像之间的距离和两个像之间的距离是一样，也就是说旋转变换不会改变两点之间的距离，因此称旋转变换是保长的.

第一节旋转变换及其矩阵表示需要注意的是并不是所有的变换都是保长的，像上面图像伸缩的例子中原点到各顶点之间的距离均发生改变，因此伸缩变换不是保长的.但是可以发现定义域中在同一条直线上的原像经变换的像仍旧可以连成一条直线，称这样的性质是线性性（Linearity），满足线性性的变换称为线性变换（LinearTransformation）.第一节旋转变换及其矩阵表示

第一节旋转变换及其矩阵表示

第一节旋转变换及其矩阵表示

第一节旋转变换及其矩阵表示例10.1.2

试确定变换使得图10-4中的图形做从左到右的变化，并求出其标准矩阵.第一节旋转变换及其矩阵表示图10-4字符“L”在某个旋转变换下的作用

第一节旋转变换及其矩阵表示

第一节旋转变换及其矩阵表示对称变换是一种几何变换，一般是将图形相对于某个轴或点进行变换，使其与原图形具有对称关系的一种变换.常见的对称变换可以分为以下几种：（1）轴（关于直线）对称：使像与原像具有关于该直线的对称关系.（2）中心对称：图形相对于某个点进行对称变换，使其与原图形具有中心对称关系.第二节对称变换及其矩阵表示对称变换在自然界和生活中许多领域都有着广泛的应用.通过对称变换，可以观察到自然界中形形色色的对称现象，也可以在人类设计和艺术创作中看到对称的美学价值.同时，对称变换也在科学研究、工程技术和日常生活中发挥着重要作用.自然界中存在许多对称现象。例如许多植物的花瓣排列具有对称性，例如玫瑰花的五瓣对称或向日葵的对称排列。这种花瓣的对称排列不仅美观，还有助于吸引传粉昆虫，促进植物的繁殖和生长；许多动物的身体都具有左右对称的特点，例如人类、大多数哺乳动物和昆虫。这种身体对称性有助于动物在环境中的移动和捕食，同时也为生物进化提供了重要的适应优势；第二节对称变换及其矩阵表示在化学和材料科学中，对称变换被用于研究分子结构、晶体结构和材料性质。晶体具有各种不同的对称结构，例如立方体、正六角柱等.这些对称结构反映了晶体内部原子或分子的排列规律，对晶体的物理性质和化学性质有着重要的影响。通过对称性分析，可以揭示分子和晶体的对称性和稳定性，为材料设计和性能优化提供理论指导等.这些对称现象反映了自然界的秩序和美学，也为科学研究提供了重要的线索和启示.第二节对称变换及其矩阵表示在建筑设计和城市规划中，对称常被用于设计建筑物的立面、景观和城市布局.通过对称设计，可以提高建筑物和城市的整体美感和视觉效果，增强人们的舒适感和归属感，比如故宫几乎成轴对称图形。在艺术和设计领域，对称变换被广泛应用于绘画、雕塑、建筑和装饰品设计等方面。通过对称设计，可以创造出具有和谐美感和视觉吸引力的艺术作品，激发人们的情感和想象力.第二节对称变换及其矩阵表示线性代数中的对称变换（SymmetryTransformation）是一种几何变换，它通过围绕某个中心点、中心线或中心面进行对称操作，产生对称的效果。对称变换可以包括镜像对称、旋转对称和轴对称等操作，它们都是围绕某个中心进行的对称操作。对称变换和旋转变换之间存在一定的联系，但它们是两种不同的几何变换.第二节对称变换及其矩阵表示旋转变换（RotationTransformation）也是一种几何变换，它将对象围绕一个中心点或坐标轴旋转一定角度。通过旋转变换，可以改变对象的方向和位置，而不改变其形状和大小.两者的关系在于，旋转变换可以被视为一种特殊的对称变换。当旋转的角度是180°时，旋转变换就等价于镜像对称；当旋转的角度是360°的整数倍时，旋转变换就等价于恒等变换，即保持不变.从计算伸缩变换和旋转变换的过程可以看出，用10.1节中的方法计算线性变换标准矩阵的前提是知道每个原像到像是如何变化的，总结规律，建立坐标系得出等价关系进而可以把标准矩阵计算出来.但是在一些变换中点的变换规律不是一致的或是不方便写出一般点的坐标表达式，例如计算旋转变换时，若旋转角不是特殊角所推导出的标准矩阵将会十分复杂.为解决这一难题，必须找到计算线性变换标准矩阵更一般的方法.第二节对称变换及其矩阵表示

第二节对称变换及其矩阵表示

第二节对称变换及其矩阵表示

第二节对称变换及其矩阵表示

第二节对称变换及其矩阵表示

第二节对称变换及其矩阵表示

第二节对称变换及其矩阵表示

第二节对称变换及其矩阵表示

第二节对称变换及其矩阵表示

第二节对称变换及其矩阵表示

第二节对称变换及其矩阵表示

第二节对称变换及其矩阵表示

通过上述的例题可以得到一个重要的事实：一个线性变换完全由它作用在空间基底的作用所决定，这里选用的基底并不一定必须是自然基底，只是通常在自然基底下的计算会比较简单.因而对于任一线性变换，一旦知道基底向量的像，那么任意向量的像就可以借助基底向量的像表示出来.第二节对称变换及其矩阵表示对称变换和旋转变换都是几何学中常见的重要变换形式，它们都可以改变对象的方向和位置，但对称变换强调的是对称性，而旋转变换强调的是旋转操作.两者之间的关系在于旋转变换可以被视为对称变换的一种特例.它们都是围绕某个中心点进行的对称操作之一.在本章结尾，最后简单介绍一类特殊的对称变换：反射变换.当涉及到物体围绕一个中心进行镜像翻转时，常常用反射变换对这个过程进行描述：想象一面镜子，当把一个物体放在镜子前时，镜子会将物体沿着镜面进行镜像翻转，即得到物体的镜像.这种镜像翻转的操作就是反射变换.第二节对称变换及其矩阵表示反射变换是指将图形相对于某个轴或点进行变换，使其与原图形具有镜像关系的一种变换.自然界中的反射水中的倒影：水中的倒影是物体相对于水面进行反射的结果.许多光学仪器利用反射原理工作，例如望远镜、显微镜