2024-2025学年年浙江省“启航杯”高三（上）联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年年浙江省“启航杯”高三（上）联考

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4={x|2W<4,xGZ},则4的元素数量是（)

A.2B.3C.4D.5

2.已知z=T尸,则忆2—1|=()

殍

A.1B.邓C.2D.

3.椭圆E：[+y?=

1的左右焦点分别为八,&，G为E上一点，则当△GFrF2的面积最大时，的取

值为（）

、2〃717171

ATB.2C.3

4.已知边长为6的正方体与一个球相交，球在正方体的每个面上的交线都为一个面积为16兀的圆，则该球的

表面积为（）

A.967rB.IOOTTC.1257TD.2047r

5.已知6+依产的二项式系数之和为64,则e+行厂的展开式中常数项为（）

A.1B.6C.15D.20

6.6知%%t>Inx+（对Vx>0恒成立，贝！la的最大值为（）

A.0B,iC.eD.1

JI

7.已知an=削1土:

—,Cln6[―1,1]且臼二cosg,则aia2a3的值为()

、11_11

c-D

A.—B。8

8.克拉丽丝有一枚不对称的硬币.每次掷出后正面向上的概率为p（0<p<1）,她掷了k次硬币，最终有10

次正面向上.但她没有留意自己一共掷了多少次硬币.设随机变量X表示每掷N次硬币中正面向上的次数，现

以使P（X=10）最大的N值估计N的取值并计算E（X）.（若有多个N使P（X=10）最大，则取其中的最小N值）.

下列说法正确的是（）

A.E(X)>10B.E(X)<10

C.E(X)=10D.E（X）与10的大小无法确定

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二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.如图所示，在棱长为2的正方体中，M为BBi的中点，G为靠近％的四等分点，"为线段MG上一动

点，则()

A.三棱锥的体积为定值

B./.AMC=皿MC

C.HD的最小值为空

口.若"6=/1"81+4”。1（儿〃6/?）,则;

10.设定义域为(0,+8)的单调递增函数/(%)满足/(x)=/(x-l)+%(%>2),且/(I)=1,则下列说法正

确的是()

A.当x6N+时，f(x)

C.不等式/(口)</(x)的解集为［1,+8)

D.若〉0使得x>1时，等WM恒成立，贝M的最小值为2

11.数学有时候也能很可爱，如题图所示是小。同学发现的一种曲线，因形如小)丁

恐龙，因此命名为小恐龙曲线对于小恐龙曲线的：x2+y3-axy=20,下列

说法正确的是()/。一Q~

A.该曲线与x=8最多存在3个交点

B.如果曲线如题图所示(x轴向右为正方向，y轴向上为正方向)，贝必〉。

C.存在一个a,使得这条曲线是偶函数的图像

D.a=3时，该曲线中x28的部分可以表示为y关于x的某一函数

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.随着某抽卡游戏在班级内流行，李华统计了6位同学获得某角色的抽取次数，结果如下：10,60,90,

80,20,180,则以上数据的下四分位数为.

13.已知正四面体。-28C棱长为4,棱上有一点棱OB上有一点%,棱。C上有一点若|公&|=同

Ci|=1,则Mie/的最大值为.

14.设函数/(幻=ex-ax-alnx(a>0)的极小值点为功，若y=/(x)的图象上不存在关于直线％=配对称

的两点，则久o的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

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15.(本小题12分)

已知△ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=3,S4ABC=讥C.

(1)求a的取值范围；

(2)求NB最大时，△ABC的面积.

16.(本小题12分)

已知双曲线C：x2-y2=8,圆4(x-2)2+(y-2)2=产，其中r〉0.圆4与双曲线C有且仅有两个交点。，

E,线段DE的中点为G.

(1)记直线4G的斜率为前，直线。G的斜率为6，求".

(2)当直线DE的斜率为3时，求G点坐标.

17.(本小题12分)

浙里启航团队举办了一场抽奖游戏，玩家一共抽取n次.每次都有寺的概率抽中，a的概率没抽中.小明的抽奖

得分按照如下方式计算：

(1)将玩家几次抽奖的结果按顺序排列，抽中记作1,未抽中记作0,形成一个长度为n的仅有01的序列.

(2)定义序列的得分为：对于这个序列每一段极长连续的1,设它长度为3那么得分即为t2.

(3)序列的得分即为每一段连续的1的得分和.

例如：如果玩家力抽了7次，第1,3,4,5,7次中奖，那么序列即为1,0,1,1,1,0,1,得分为/+

32+12=11.可能用到的公式：若X,丫为两个随机变量，则E(X)+E(Y)=E(X+Y).

(1)若n=3,清照进行了一次游戏.记随机变量X为清照的最终得分，求E(X).

(2)记随机变量Z表示长度为几的序列中从最后一个数从后往前极长连续的1的长度，求E(Z).

(3)若n=匕清照进行了一次游戏.记随机变量力为清照的最终得分，求E(4).

18.(本小题12分)

定义：因表示X的整数部分，{灯表示x的小数部分,例如[1.2]=1,{1.75}=0.75.数列斯满足斯+1=

[{a”},出1右2)、其中£11=7?1.若存在/£€可+，使得当n>/c时，an=a„+i恒成立，则称数根为木来数.

(an(anGZ)

(1)分别写出当根=避M=|时。1，«2>a3，a4的值.

(2)证明：后不I(tGN+)是木来数.

(3)若m为大于1的有理数.且mWZ,求证：山为木来数.

19.(本小题12分)

称代数系统G(x,。)为一个有限群，如果：

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a.X为一个有限集合，。为定义在X上的运算（不必交换），Va,bEX,a°beX

fo.（a°6）°c=a°（b°c）,Va,b,cEX

c3eEX,X/aGX,a°e=e0a=a,e称为G的单位元

d.VaeX,存在唯一元素a-1eX使相（2-1=aT*=e,aT称为a的逆元有限群H（Y,。），称为G（X,。）的子群

.若yax,定义运算a。"={a°h\h6H}.

（1）设H为有限群G的子群，a,b为G中的元素,求证：

①a°H=6。”当且仅当片1。aeH；

与H元素个数相同.

（2）设p为任一质数X={1,2，…,p-1}.X上的乘法定义为a*=（y-[y]）p,其中团为不大于久的最小整数.已

知G（X,。）构成一个群，求证：VaeX,砂-1—1=0.（其中aPT表示p—l个a作。运算）

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参考答案

l.D

2.B

3.X

4.B

5.C

6.D

7.C

8.B

9.AC

IQ.ACD

11.ABC

12.20

13

3

14.（0,1]

15.解：（1）由“三角形的两边之和大于第三边”，可知a+b>c,b+c>a,c+a>b.

1

2

abc=-absinC=bsinC,整理得a=2b,结合c=3,得3b>3,b+3>2b,c+2b>b.

解得lVb<3,所以2Va<6,边a的取值范围是（2,6）；

（2）由余弦定理得cosB=a?广叽红之球£=

2ac4bc4bc2

当且仅当3房=02,即时，等号成立，结合a=2b可知cosB最小时，6=4，a=2避.

因为Be（0,兀），余弦函数在（0,兀）上是减函数，

所以乙8的最大值为?此时SAABC=，csin8=寺x24x3xsin^=#三

16.解：⑴由题意如图所示：

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因为|EG|=\DG\,\AD\=\AE\,线段DE的中点为G,

所以AG1DE,

又设。（久1，月）,E3，y2），

因为蛀一比=%2—yi=8,

所以（久i一久2）（久1+冷）=（yi-y2）Oi+y2）＞

M12，%i

而圆心2（2,2）不在坐标轴上，从而力%+x20,

丫1-丫2月+丫2

所以=1,

X1~X2%i+X2

所以k°G•kDE=1，

又以G.ME——1，

kAG_kAG，kpE_二

=-1;

k■?2koGkoG,kDE1

(2)设直线DE：y=3x+m,与%2—y2=8联立,

化简并整理得：8x2+6mx+m2+8=0,

其中/=36m2-32(m2+8)=4(m2-64)>0,

设。Qi,yi)，E(x2,y2),

所以*1+X2-+y2=3(%i+%2)+2m-

即G点坐标为（一手W）,

因为k/iG,ME=—LME=3,

所以旗G=-p

而4（2,2）,

%+21on

即森0=4，解得m=一季

所以G（4;1）.

17.解：（1）若序列为：0,0,0,则最终得分为0,

若序列为：1,0,0,或0,1,0,或0,0,1,则最终得分为1,

若序列为：1,0,1,则最终得分为2,

若序列为：1，1,0,或0,1,1,则最终得分为4,

若序列为：1,1,1,则最终得分为9,

13111

P(X=0)=款(X=l)=f,P(X=2)=/P(X=4)=1,P(X=9)=|,

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所以E(X)=0x1+lx|+2x|+4x|+9x1=^；

ooo4o4,

(2)令外表示长度为71的序列，E(Z)的答案，换言之En(Z)=gn,

则有递推关系册+1=*(呢+1+0)，表示第n+1位分别为1或0的答案，

11

显然91=万,(。+1)=5,

、1

设9九+1+4=万(9九+4)，

则01+1=01一万九

所以等=|,

解得4=-1,

所以9n—1=3-1)(*=一(扔，

解得9n=1-亲

故所求为1-奈

(3)设%表示进行n次游戏后的期望得分，即后„(4)=fn,

则有递推关系/n=/n-l+31+2xgn_i),(7l>l,neN*),

解释：因为(久+l)2=/+2x+1,考虑第2立为1的时候对序列的额外贡献，

即为(9n-i+1A-成-1=2gn_i+1,如果为0的贡献即为0,特别的，/o=O,

力n_lri_rl')n-i-i1

直接累加得到：fn=2+(i90+91+■­■+5n-l)=2+(n-1)+2.<i----==—+行p

若7t=k,代入上式，于是得九=北广+£三，

故所求即为3k4+

zZK1

18.解：(1)当加=”时，G1=根,。2=相|==避+1'同理。3=2裾+2以4=2"+2,

[-1

55a1-3

--同m理22

-{--2--的--

T二

3ay-2

3/-1J3

(2)证明：当m=也2+eN+时，即的=加2+1,则由=世2+卜2==t(t+J2+1),

由于t<世2+1,所以/<+1<{2+1,

所以上，/+1]=/,则口2]=2t2,所以。3=滓不，=21«+1产^1),

由于2t2<2Ht2+1<2t2+1,所以[214：2+1]=2t2,

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4.一L5------

则以=21产五-2石=+1)=，

由此知即=册+1对ri>3,nEN+恒成立.

可知当m=也2+1时,m为木来数；

(3)证明：设6=段,qn>Pn>l,Pn、%[62且％1,pn互质，

r^n1h1

可知品与厮+1均不为整数时,有厮+1=笠=遮亓=党&=q"；%]

显然,一禽<QPn>qn-Pn•玲，

且此时qn—Pn,角为正整数，又qn+1，Pn+l互质，则qn-禽P'NPn+1，

故Pn>—禽Pn2pn+i，

下面用反证法说明数列也„｝中存在整数.

由为有理数可知，斯也为有理数.

则Pi>P2>••・>Ppi，推出PpiWl,与假设矛盾.

因此m为木来