广东省深圳市龙岗区2023-2024学年高一年级上册1月期末考试 数学试题（含解析）

龙岗区2023-2024学年第一学期高一期末质量监测

数学试卷

注意事项：

1.本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.

2.答题前，请将学校、班级、姓名和考号用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码

粘贴在答题卡的贴条形码区.请保持条形码整洁、不污损.

3.本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无

效.答题卡必须保持清洁，不能折叠.

4.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑，

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；非选择题答案必须用规定的笔，按作答题目的

序号，写在答题卡非选择题答题区内.

5.考试结束，请将答题卡交回.

一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.化简sin420。的值是（）

A一立B.--C.|D.立

2222

2设集合M={x[0<x<4},N="尤-<%<5^则AfcN=（）

3

A.<x0<^<—>B.<x—<x<4>

3：3

C.{x4Kxv5}D.1x|0<x<5}

3.当〃>1时，在同一直角坐标系中，函数y=与y=log“x的图像是（）

k:

OUlXC

9

4.已知命题“VxwR,/+（〃一2）%+—>0”是真命题，则实数〃的取值范围是（）

4

A.(―8,—1)B.(—5,1)C.(―5,+oo)D.(—1,5)

5.“85。>0且5由2。<0”是“。为第四象限角”的()

A.充要条件B.必要不充分条件

C,充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知“x)=%5+加+陵+3且/(—2)=5,则/'(2)的值是()

A.-3B.-1C.1D.3

7.已知角e终边上有一点(cos1—sinl,cos1+sin1),则。=()

5兀19兀9〃

A.-+1B.----1C.—D.----1

4444

3\x<0

8.设函数〃%对任意给定me(l,+co),都存在唯一的XGR,使得

log3x,x>Q

=+2a〃z-3(a>0)成立，则a的最小值是()

13

A.=B.1C.-D.2

22

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知a,b,c为实数，则下列命题中正确的是()

ab

A.若一^<―^,则a</?B.若ac>be,贝！

cc

C.若匕，c>d,则a+c>〃+dD.若Q〈Z?VO,则一>；

ab

10.在中，下列等式恒成立的是()

A.sin(A+B)-sinC=0B.cos（B+C）-cosA=0

,A+BB+C

sin-----cos—

C.-----A=1D.

cos——cos—

22

TT

11.0<a</3<-ftanc和tan/是方程f—5+2=0的两个根，则下列结论正确的是()

Atana+tan[3-mB.tan(«+/7)>0

m>2^2D.m+tancif>4

2

—,x<0

12.设y(x)Tx,则下列选项中正确的有()

(x-l)',x>0

A.丁=/(力与了=。,。€区的图象有两个交点，则ae(l,+co)

B.方程/(X)-机=0有三个实数根，则相«0,1]

C.21的解集是[2,包)

D.0</(/(x))<l的解集是(―s,T]U[0,行+1]

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数/(x)=JH+lnx的定义域是.

14.如图1,折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，朝纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其

展开的平面图如图2的扇形A08,其中NAO5=150°,CO=-AO=2,则扇面(曲边四边形ABOC)的

3

15.设a=log30-3力=log|0.2,c=0.2°-3,则mb＞。的大小关系为.

3

JT

16.对任意］《鼠恒有/(1一%)=/(1+1)=/(%-1),对任意6c0,—,/(sm6))=cos20,现已知

函数丁=/(尤)的图像与丁="有4个不同的公共点，则正实数上的值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.己知集合4={,-3<%<2},集合_8={乂1一w<x<3祖-1}.

(1)当m=3时，求(。4)仆2；

(2)若A。3,求实数，"的取值范围.

18.函数/(%)=Acos(ftW+0)(其中A>O,0>O，M<])部分图象如图所示，先把函数/(九)的图象上

的各点的横坐标缩短为原来的;(纵坐标不变)，把得到的曲线向左平移四个单位长度，再向上平移1个单

24

位，得到函数g(x)的图象.

(1)求函数g(x)图象的对称中心；

(2)当xe时，求g(x)的值域.

OO

19.已知函数/(力=签，是定义在(—1,1)上的奇函数，且/=

(1)求函数/(%)的解析式；

(2)判断函数/(%)在(-1,1)上的单调性，并用定义证明；

(3)解关于.的不等式：++

兀

20.已知函数/(%)=sin(2%—)-cos2x,xeR.

6

⑴求函数“X)的最小正周期；

(2)求函数八％)的对称轴方程；

(3)求函数"%)在［0,会上的单调区间.

21.党的二十大报告指出：必须坚持科技是第一生产力、人才是第一资源、创新是第一动力.科技兴则民族

兴，科技强则国家强.2023年9月，华为Mate60系列的发布再次引发了广泛关注，它不仅展示了中国科技产

业的不断进步和发展，更体现了中国人民自主创新、顽强不屈的精神.某芯片企业原有400名技术人员，年

人均投入。万元(。〉0),现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，

其中技术人员x名，调整后研发人员的年人均投入增加(4司％,技术人员的年人均投入调整为机

万元.

(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员

的人数最少为多少人？

(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下

三个条件：①技术人员不少于100人，不多于275人；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总

投入；③技术人员的年人均投入始终不减少.请问是否存在这样的实数满足以上两个条件，若存在，

求出机的范围；若不存在，说明理由.

22.已知函数/(x)=9,—2•3A+m(m>0).

(1)当加=1时，求不等式27的解集；

⑵若%>占>0且石马=加2，试比较尤J与/(九2)的大小关系；

⑶令g(x)=/(£)+/(—x),若y=g(x)在R上的最小值为-11,求相的值.

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数学试卷

注意事项：

1.本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.

2.答题前，请将学校、班级、姓名和考号用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码

粘贴在答题卡的贴条形码区.请保持条形码整洁、不污损.

3.本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无

效.答题卡必须保持清洁，不能折叠.

4.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑，

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；非选择题答案必须用规定的笔，按作答题目的

序号，写在答题卡非选择题答题区内.

5.考试结束，请将答题卡交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.化简sin420。的值是()

【答案】D

【解析】

【分析】用诱导公式转化为锐角三角函数求解.

【详解1sin420°=sin(360°+60°)=sin60°=.

故选：D

2.设集合M={x[0<x<4},N=<x,则AfcN=()

A.<xQ<x<—>B.<x—<x<4>

3、3

C.1x|4<%<51D.1x|0<%<51

【答案】B

【解析】

【分析】根据交集定义运算即可

【详解】因为/=口|0＜工＜4},双=口|!＜工＜5},所以McN=klg＜x＜41,

故选：B.

【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.

【解析】

【分析】由可知0(L＜1,根据指数函数和对数函数图象的单调性即可判断得出结果.

a

【详解】依题意可将指数函数y=G'化为、=化［,由a＞1可知0＜工＜1；

a

由指数函数图象性质可得y=为单调递减，且过定点(0,1),即可排除BD,

由对数函数图象性质可得》=1。瓦%为单调递增，且过定点(1,0),排除C,

故选：A.

9

4.已知命题“V%eR,犬2+(〃-2)%+w〉0”是真命题，则实数。的取值范围是()

A.B.(—5,1)C.(-5,+co)D.(-1,5)

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可得AvO,即可得解.

9

【详解】因为命题"VxwR,V+S—2)尤+1〉0”是真命题，

所以A=(a—2『—9＜0,解得—1＜。＜5,

所以实数a的取值范围是(-1,5).

故选：D.

5.“cos6>0且sin26»<0”是*为第四象限角”的()

A,充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】先考查充分性，根据条件确定。的终边位置，再考查必要性，有终边位置确定符号即可.

【详解】充分性：

因为cos6>0,

所以。为第一象限角或第四象限角或终边在x轴的非负半轴，

又sin2e=2sin8cose<0,则sin6<0,

所以。为第三象限角或第四象限角或终边在y轴的非正半轴，

综上知，。为第四象限角，故充分性成立；

必要性：若。为第四象限角，则cos。〉。且sin(9<0,

此时sin20=2sinGeos0<0,

故必要性成立，故"cos。>0且sin26»<0”是“0为第四象限角”的充要条件，

故选:A.

6.已知/(x)=%5+加+区+3且/(—2)=5,则/(2)的值是()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】C

【解析】

【分析】^g(x)=x5+ax3+bx,利用奇函数的性质求解即可.

【详解】4g(x)=x5+av3+bx,

Hg(-x)=-x5-ax3-bx=-g(x),所以函数g(x)为奇函数，

由〃—2)=g(—2)+3=5,得g(—2)=2,所以g(2)=—g(—2)=—2,

所以〃2)=g(2)+3=L

故选：c.

7.已知角(0,2%),a终边上有一点(cos1—sin1,cos1+sin1),则a=()

9TI

T

【答案】A

【解析】

【分析】先判断点在第几象限，再求tanc并用正切得两角和公式化简，然后求得答案.

【详解】因为le,所以cos1>0,sin1>0,cos1<sin1,

4'2

所以点(cosl-sinl,cosl+sinl)在第二象限.

tan——I-tan1

cos1+sin11+tan1

由已知得tana=

cos1-sin11-tan11-tan—tan1

4

7T

所以a=l+<

故选：A

,、3x,x<0/、

8.设函数/(%)={,对任意给定的me(l,4^o),都存在唯一的xeR,使得

log3x,x>0

/(/(%))=■+2劭7—3(。>0)成立，则a的最小值是()

【答案】C

【解析】

【分析】4g(rn)=m2+2am-3(a>0),结合二次函数性质求加e(l,+e)上的值域，画出了(%)的大致图

象，根据已知及图象有(2a-2,+oo)是(1,+8)的子集，求。的范围即可.

【详解】4g(m)=m2+2am-3(a>0),开口向上且对称轴为加=一。<0,

则g(m)在(1,+oo)上递增，故对应值域为(2a-2,+oo),

由解析式可得函数大致图象如下,

y”

令r=/(x),贝hwo或ci时有一个解；0</wi时有两个解，结合图象，

当/⑺e(70,0],则0<Yl,此时/=/(x)有两个解；

当/⑺e(0,l],则*0或1<区3,此时。=/(x)有两个解；

当/”)G(L+8),则r>3,此时/=/(x)有一个解；

任意给定的me(1,+oo),存在唯一的xeR使/(。=g(m)成立，

所以/0)e(l,+8),且(2a—2,+oo)是(1,+co)子集，所以2a—221,即

故选：C

【点睛】关键点点睛：将问题化为g(nz)=4+2am-3(a>0)在〃?«1,+8)上的值域为(1,+<功的子集

为关键.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知a,b,c为实数，则下列命题中正确的是()

db

A.若不<二，则B.若ac>be,则4>人

cc

C.若a>b,c>d,则a+c>〃+dD.若avbvO,则

ab

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.

ah

【详解】对于A,若二<二，则,2>。，所以〃<从故A正确；

CC

对于B,当c<0时，若ac>be,则故B错误；

对于C,若c>d,则a+c>Z?+d,故C正确；

对于D,若a<b<0,则一>不，故D正确.

ab

故选：ACD.

10.在AA5C中，下列等式恒成立的是()

A.sin(A+B)-sinC=0B.cos(B+C)-cosA=0

.A+BB+C

sin—cos—

C.-----^=1D.------_=]

A

cos—cos—

22

【答案】AC

【解析】

【分析】利用诱导公式及同角三角函数基本关系分别对各选项进行化简计算即可验证.

【详解】对于A,sin(4+3)-sinC=sinC-sinC=O,A正确;

对于B,cos(B+C)-cosA=-cosA-cosA=-2cosA,B错误;

,A+BC

sm-----cos—

对于c,-----2__—合=l,c正确;

cos——COS——

22

B+C|71A.A

cos---c-o-s

对于D,-----"—g=tan©,D错误.

A~~T-A2

cos—coscos—

222

故选:AC.

八c兀

11.0<a</<w，tana和tan4是方程9―3+2=0的两个根，则下列结论正确的是()

A.tana+tanJ3=mB.tan(a+/?)>0

C.m>2>/2D.m+tana>4

【答案】AD

【解析】

【分析】由题设tan。>tana>0,利用根与系数关系及判别式有tan«+tan/7=m>O,tan(ztan/7=2,

m>2立,再结合和角正切公式、基本不等式判断各项正误.

71

【详解】由0<a<夕<5,贝!|tan/7>tana>0,

则tana+tan〃=n?>0,tanatan/7=2且八=：/一&>。，则山〉2立，

由tan(〃+止:器=人对，B、C错;

由tan[3----，贝！J根+tana=2tana+----->2/2tana-------4，

tan。tana\tana

当且仅当tana=l,tan/?=2时取等号，故阳+tana之4,D对.

故选：AD

-2

—,x<0

12.设y(x)=jx,则下列选项中正确的有()

(x-l)2,x>0

A.y=/(x)与y=a,aeR的图象有两个交点，则ae(l,+8)

B.方程/(x)-〃z=0有三个实数根，则me(0,1]

C.〃#21的解集是[2,也)

D.0</(〃力)W1的解集是(―吗—1]U[0,后+”

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据解析式化为函数大致图象，数形结合判断各项的正误.

要使丁=/(%)与y=a,aeR的图象有两个交点，则ae(l,+8),A对;

方程/(%)—机=。有三个实数根，则程e(0,1]，B对;

由图象知：/(同之1的解集是[—2,0]。[2,+8),c错；

令t=/(x),由OW/“)W1,贝Ue(f,—2]U[0,2],而/=/(x)20,

0<--<2°,（x1）<2可得xV—1或o<x<l+0,故解集是

所以=/（%）<2,则X或<

x>0

x<0

（—00,—l]U[0,V2+l],D对.

故选：ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数/(x)=JH+lnx的定义域是

【答案】｛x|0<x<2]

【解析】

【分析】根据给定函数有意义直接列出不等式组，解不等式组可得答案.

2-x>0

【详解】要使/(x)=12-x+lnx有意义,只需<c，解得0〈尤W2,

x>Q

故函数的定义域为｛x[0<x<2｝,

故答案为：｛x[0<x<2]

14.如图1,折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，初纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其

展开的平面图如图2的扇形AO8,其中NAO5=150°,CO=-AO=2,则扇面(曲边四边形ABOC)的

3

面积是.

B

40兀

【答案】亍

【解析】

【分析】利用扇形面积公式求扇面(曲边四边形ABOC)的面积即可.

5兀

【详解】由题设，e=ZAOB=——,则

6

1]5兀40几

扇面（曲边四边形ABDC）的面积S=—x6x（OA2—。。2）=-x—><（36—4）=——.

2263

4071

故答案为：----

3

15.设a=log30-3力=log[0.2,c=0.2°3,则/乩c的大小关系为

3

【答案】a<c<b##b>c>a

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可得解.

【详解】ci=log30.3<0,

b=log10.2=log1->log】鼻=1,

333J

0<C=0.2°，3<0.2°=1，

所以a<c<b.

故答案为：a<c<b.

16.对任意》《口，恒有/(1一%)=/(》+1)=/(1-1),对任意0,-1,/(sin6>)=cos26>,现已知

函数y=f(x)的图像与y=自有4个不同的公共点，则正实数上的值为.

【答案】8-2715

【解析】

jr

【分析】由，e0,-,/(sin，)=cos2,，得=,由已知条件可得函数/(%)的图像

的对称性和周期性，可作出函数了⑺的图像，由题意y=kx(k>0)的图像函数y=/(%)在［3,5］上的图

像相切，联立方程组利用判别式求解.

【详解】9G0,5,sin0G[0,1],/(sin^)=cos2^=l-sin2

令兀=5皿。，则有/(x)=l-x2(OWxWl),

任意xeR,恒有/(I—x)=/(x+l)=/(x—1),则函数/(%)的图像关于x=l对称，函数/(%)是以

2为周期的周期函数，

在同一直角坐标系下作出函数y=/(x)与丁=履(左>0)的图像，如图所示,

函数y=/(x)的图像与y=自有4个不同的公共点，由图像可知，y=履(左>0)的图像函数y=/(%)

在［3,5］上的图像相切，

△=(左-8『-60=0_

由;”勺，消去，得f+(1)川5=0,则.

k—8，解得左=8—2a.

3<-----<5

、2

故答案为：8-2715

点睛】方法点睛：

函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令40=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间团，句上是连续不断的曲线，且五。)：/仍)<0,还必须结合

函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

(3)利用图像交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图像，看其交点的横坐标有几个不同

的值，就有几个不同的零点.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.己知集合4={,-3<%<2},集合3={乂1一w<x<3祖-1}.

(1)当m=3时，求(。4)口2；

(2)若A。3,求实数机的取值范围.

【答案】(1){x［2<x〈8}；

(2)m>4.

【解析】

【分析】(1)应用集合的交补运算求集合；

1-m<-3

(2)由包含关系得13机-122,即可求参数范围.

3m-1>1-m

【小问1详解】

由题设3={x[—2<x<8},且々A={x|尤<一3或x>2},

所以(Q4)c5={x[2<x«8}.

【小问2详解】

1-m<-3

由AgB,贝巾加—122,可得加

3m-1>1-m

18.函数/(X)=ACOS(GX+0)(其中A>OM>O，M<])的部分图象如图所示，先把函数八力的图象上

的各点的横坐标缩短为原来的;(纵坐标不变)，把得到的曲线向左平移四个单位长度，再向上平移1个单

位，得到函数g(x)的图象.

(1)求函数g(x)图象的对称中心；

(2)当xe时，求g(x)的值域.

OO

【答案】(1)(---------,1),左eZ；

412

3

(2)[0,-].

【解析】

【分析】⑴根据函数图象求函数解析式，由图象平移得g(x)=cos[4x+"1+l,再由余弦函数性质求

对称中心；

(2)由余弦型函数性质求值域.

【小问1详解】

In7iT.271c

由题设及图知:A=1且一=------=—=>T=7i,贝n1|。=——=2,

41234T

7兀个+夕]=-1且Id7171

所以/(x)=cos(2x+9),而/cos<7,则0=一2

122o

综上，/(x)=cosl2x--^-

函数7(%)的图象上的各点的横坐标缩短为原来的g(纵坐标不变)，得〉=35卜-焉

把曲线向左平移四个单位长度，再向上平移1个单位，得g(x)=cos(4x++1,

令4XH-----=ATH—，左eZ,则工=-------，左eZ,即图象对称中心为(-------,1),左eZ.

62412412

【小问2详解】

,「兀兀1r一5兀「兀471r(5兀、「1I：

由工£，贝IJ4%H-----e[―,—],cos4Ax+--G[―1,—],

188」633I6J2

3

所以g(x)的值域为［0,万］.

式，是定义在上的奇函数，且/

19.己知函数/(x)=(-1,1)1对

(1)求函数/(%)解析式；

(2)判断函数/(%)在(-1,1)上的单调性，并用定义证明；

(3)解关于r的不等式：++

【答案】(1)/(%)=--;

X'+1

⑵函数”X)在(—1,1)上是增函数，证明见解析；

⑶H-4

【解析】

【分析】(1)根据奇函数的定义可求得b的值，再结合已知条件可求得实数。的值，由此可得出函数

了(%)的解析式；

⑵判断出函数“X)在(-M)上是增函数，任取均、工2€(—1，1)且占＜々，作差/(七)—/(%)，因

式分解后判断/(石)-/(%)的符号，即可证得结论成立；

<0得小1

（3）由f\t+—j+,根据函数f（x）的单调性与定义域可得出关

I2

于实数方的不等式组，由此可解得实数♦的取值范围.

【小问1详解】

ax+b

解：因为函数/（x）=是定义在（—1,1）上的奇函数，贝x）=—/（X），

x2+l

-ax+bax+bax

即,可得5=0,则/（x）=

%2+1%2+1%2+1

1

-a

2___22X

所以，f=-a=~,则a=l,因此,〃x）=

x-+l

2

【小问2详解】

证明：函数/（%）在（-M）上是增函数，证明如下:

2,2

石X_XX+石一千％2一X2

任取毛、/£（一1，1）且再<%2，则/（尤1）一/（尤2）二2x2

x；+lxf+1（仁+1乂%；+1）

玉冗2（X2一芯）+（下一九2）（X1一九2）（1一%逮2）

（片+1）（^2+1）（片+1）（其+1）'

因为—则须一％2<0，-1<%%2<1，故/（%1）—/（%2）〈°，即/（石）</（工2）,

因此，函数八%）在（-1,1）上是增函数.

【小问3详解】

解：因为函数/（力是（-1,1）上的奇函数且为增函数,

11£

由小+』+/T2<°得小+曰2（一小I2

11

t+—<——t

22

11

由已知可得<—1<t-\—<1,解得—<Z<0.

22

-l।<t——1<।1

2

因此，不等式+1+—1的解集为；,o]

22

JI

20.已知函数/(%)=sin(2%—)-cos2x,%eR.

6

(1)求函数的最小正周期；

(2)求函数〃尤)的对称轴方程；

(3)求函数/(%)在［0,会上的单调区间.

【答案】(1)兀；

/、kit7i

(2)x----------(zk7GZ)；

212

(3)单调增区间是单调递减区间是［工,］］.

【解析】

【分析】(1)(2)(3)利用差角的正弦公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即得.

【小问1详解】

依题意，/(x)=sin2x--cos2x-cos2x=sin2x--cos2x=yj3sin(2x--)，

22223

所以函数八%)的最小正周期为7=笄=限

【小问2详解】

由(1)知，/(x)=A/3sin(2x-^-),由—1=也一］,%eZ,得x=g-/,左eZ,

所以函数/(%)的对称轴方程是x=£-A/eZ).

【小问3详解】

由(1)知，/(x)=V3sin(2x-^),当时，2%-|e[-|,yJ,

由—巴＜2x—二V巴，解得OWxW型，由工＜2x—二解得4巴，

33212233122

所以函数小)在呜］上的单调增区间是［0,含，单调递减区间是电，鼻.

21.党的二十大报告指出：必须坚持科技是第一生产力、人才是第一资源、创新是第一动力.科技兴则民族

兴，科技强则国家强.2023年9月，华为Mate60系列的发布再次引发了广泛关注，它不仅展示了中国科技产

业的不断进步和发展，更体现了中国人民自主创新、顽强不屈的精神.某芯片企业原有400名技术人员，年

人均投入。万元(。〉0),现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员,

其中技术人员X名，调整后研发人员的年人均投入增加(4%)%,技术人员的年人均投入调整为。[加-石J

万元.

(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员

的人数最少为多少人？

(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下

三个条件：①技术人员不少于100人，不多于275人；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总

投入；③技术人员的年人均投入始终不减少.请问是否存在这样的实数加，满足以上两个条件，若存在，

求出加的范围；若不存在，说明理由.

【答案】⑴25人(2)存在；加e{23}

【解析】

【分析】⑴根据题意，得到不等式(400—x)[l+(4x)%]a2400a,(a>0),得出x,再用己知条件得出

25W400—xW400得出结果

x9Y

⑵由条件②得加<—+—+15,由条件③得加2——+1,假设存在机满足上述条件，则上述两个不等

x2525

式恒成立，求出m即可.

【小问1详解】

依题意可得调整后研发人员的年人均投入为[l+(4x)%]a万元，

则(400-x)[l+(4x)%