新高考数学一轮复习讲义：三角函数与解三角形（2022-2023年高考试题）（原卷版+解析）

第3讲三角函数与解三角形

选择题

1.（2023•乙卷）已知函数/（x）=sin（ox+夕）在区间（工，二）单调递增，直线x=工和x=2为函数y=/（x）

6363

的图像的两条对称轴，则/（-二）=（）

2.（2023•甲卷）"sin2a+sin2/=1”是“sine+cos/?=0"的（）

A.充分条件但不是必要条件

B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件

D.既不是充分条件也不是必要条件

3.（2023•上海）已知々£尺，^y=smx^.［a,2a］的最小值为力,在［2a,3a］的最小值为0,则下列情

况不可能的是（）

A.力〉0,%>。B.L<0,0v。C.5fl>0,^<0D-5fl<0,ta>0

=1±且，贝I]sin2=(

4.(2023•新高考II)已知2为锐角，COS6Z)

42

A3fB-1+君C3-75c-1+下

,884,4

5.(2023•新高考I)已知sin(a-£)，cos6rsiny0=—,则cos(2cr+20=()

36

BD

A.Z-1C.---4

99

6.（2023•乙卷）在AABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acosB—bcosA=c,且。=生，

5

则NB=()

A九3%D

A.——c.---f

1010

7.(2022•北京)已知函数/(x)=cos2X-sin2彳，则（）

A./（尤）在（_工，一工）上单调递减

26

B.7（x）在（-?，忘）上单调递增

C./（x）在（0,（）上单调递减

D.y（x）在卷）上单调递增

8.（2022•甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如

图，是以O为圆心，Q4为半径的圆弧，C是他的中点，。在上，CD_LAB.“会圆术”给出

CD2

的弧长的近似值S的计算公式：s=AB+——.当。4=2,ZAOB=60。时，s=（）

OA

O

人11-373口11-4^L9-3^C9-473

2222

9.(2022•新高考I)记函数/(x)=sin(①x+£)+优①>0)的最小正周期为T.若且y=/(x)的

图像关于点今，2)中心对称，则句)=()

35

A.1B.-C.-D.3

22

10.(2022•甲卷)将函数/(x)=sin(5+()(g>0)的图像向左平移5个单位长度后得到曲线C,若。关于y

轴对称，则0的最小值是()

A.-B.-C.-D.-

6432

11.(2022•新高考H)若sin(a+/?)+cos(a+/?)=2j5cos(2+&)sin/7,则()

4

A.tan(cr-/3)=\B.tan(a+4)=1C.tan(a-£)=-lD.tan(^z+/7)=-1

12.（2022•甲卷）设函数/（x）=sin（0x+?）在区间（。㈤恰有三个极值点、两个零点，则。的取值范围是（

)

二.多选题

_O77"

13.（2022•新高考II）已知函数/（x）=sin（2x+°）（0<e<万）的图像关于点（手，0）中心对称，则（）

A.y（x）在区间（0,三）单调递减

B.7（元）在区间（-套，詈）有两个极值点

C.直线x=必是曲线丫=/（%）的对称轴

6

D.直线y=*-x是曲线y=〃x）的切线

三.填空题

-JT1

14.（2023•乙卷）若。£（0,—）,tan6=—,则sin。—cos8=.

22

15.（2023•新高考H）已知函数/（x）=sin（s+0）,如图，A,5是直线y=g与曲线y=/（4）的两个交点,

若||二2，则于（兀）=.

16.（2023•新高考I）已知函数/（%）=cos5-1侬＞0）在区间[0,2»]有且仅有3个零点，则g的取值范

,,,,_

围是.XG[0,2/r],函数的周期为——（①＞0）,cos〃四一1=0,可得cos&x=l,

co

17.（2023•甲卷）在AABC中，AB=2,NBAC=60。,BC=&,D为BC上一点,4）为N54C的平分线，

贝！IAD=.

18.（2023•上海）已知AABC中，角A,B,C所对的边a=4,b=5,c=6,贝ijsin4=.

19.（2022•上海）函数/（x）=cos?x-sin?尤+1的周期为.

20.（2022•浙江）若3sintz-sin/=M,a+B=-,则sinc=竺。

2-10

21.（2022•北京）若函数/（x）=Asinx-括cosx的一个零点为工，则A=1

3

22.（2022•乙卷）记函数7•（MC3+⑼…，。＜…的最小正周期为T.若”=*匹为小）

的零点，则。的最小值为.

四.解答题

23.（2023•乙卷）在AABC中，己知NBAC=120。，AB=2,AC=1.

（1）求sinZABC；

（2）若。为上一点.且N54D=90。，求AADC的面积.

42_2

24.(2023•甲卷)记AABC的内角A,B,。的对边分别为〃，b,c,已知---------=2.

cosA

(1)求)c；

/八tzcosB—Z?cosAba,…工n

(2)若-----------------=1,求AABC面积.

tzcosB+Z?cosAc

25.(2023•天津)在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=屈，b=2,ZA=120°.

(I)求sinB的值；

(II)求c的值；

(III)求sin(B-C)的值.

26.(2023•新高考H)记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知AABC面积为百，D为BC

的中点，且AD=1.

TT

(1)若NADC=—,求tan5；

3

(2)若从+。2=8,求/?,c.

27.(2023•新高考I)已知在A4BC中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.

(1)求sinA；

(2)设AB=5,求AB边上的高.

28.(2022•天津)在AABC中，角A,3,C所对的边分别为a,b,c.已知a=&,b=2c,cosA=--.

4

(1)求c的值;

(2)求sin3的值;

(3)求sin(2A-B)的值.

29.(2022•浙江)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=J5c,cosC--.

5

(I)求sinA的值；

(II)若b=ll,求AASC的面积.

30.(2022•北京)在AABC中，sin2C=A/3sinC.

(I)求NC；

(II)若6=6,且AABC的面积为6石，求AABC的周长.

31.(2022•乙卷)记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知sinCsin(A-3)=sinBsin(C-A).

(1)若A=23,求C；

(2)证明：2a2=12+c21

32.(2022•新高考I)记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知侬4=sm23

1+sinA1+cos2B

(1)若C=生,求3；

3

(2)求之£的最小值.

33.(2022•新高考II)记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三

个正三角形的面积依次为邑，S3.已知E-$2+$3=等，sinB=1.

(1)求AABC的面积；

(2)若sinAsinC=,求6.

3

34.(2022•乙卷)记AA5c的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

22

(1)证明:2az=b+c.

25

(2)若a=5,cosA=—，求AABC的周长.

31

第3讲三角函数与解三角形（2022-2023年高考真题）

选择题

1.（2023•乙卷）已知函数/（x）=sin（5+°）在区间（工，冽）单调递增，直线％=工和彳=二

6363

5TT

为函数y=/（x）的图像的两条对称轴，贝I」/（-二）=（）

【答案】D

【解析】根据题意可知工=二-生=工

2362

T=1，取6y>0,/.0)=—=2,

T

又根据“五点法”可得2x二+e=—e+2/br,keZ,

62

.cp—-------F2kji9左£Z,

/./(x)=sin(2x-------F2左万)=sin(2x------),

66

故选：D.

2.（2023•甲卷）“sin2c+sin2/7=l”是“sin<z+cosp=0”的（）

A.充分条件但不是必要条件

B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件

D.既不是充分条件也不是必要条件

【答案】B

【解析】sin2a+sin2J3=l,可知sin/?=±cos<z,可得sine士cos/?=0,

所以“sin2a+sii?夕=1”是“sina+cos/?=0"的必要不充分条件,

故选：B.

3.（2023•上海）已知aeR,记丫=$111》在［a,2a］的最小值为、，在［2a,30的最小值

为6,则下列情况不可能的是（）

A.s。>0,>0B.5。<0,。<°C.$。>0，D.%<0,>0

【答案】D

【解析】由给定区间可知，a>0.

区间［〃,20与区间［2〃,3a］相邻，且区间长度相同.

取a.,则[a,2a]=[-,y],区间[2a,30=专申,可知s0>0,ta>0,故A可能;

取。=红，则—],区间51

[a,2<z]=[—,[2a,3a]=[—,可知%>0,%<0,故

1212664

C可能;

取〃=卫，贝打〃，［上，—］,区间［。，［必，—］,

20=230=可知力<0,%<0,故

66332

5可能.

结合选项可得，不可能的是L<0,>0.

故选：D.

4.(2023•新高考H)已知a为锐角，cosa=1十1,则Jsin4=(

)

42

A.U-1+A/53f

.----------cD,

8844

【答案】D

【解析】COSC=H3

4

贝Ucosa=1-Isin2—，

2

3一nrt.213_0_(府+122百

故2s沅2—=1-cosa=--------，即sin一

24281616

。为锐角,

.a_

sin——>0,

2

.a一1+布

sin—=

24

故选：D.

已知sin(a-0=Lcoscrsiny0=—,则cos(2a+2/7)=()

5.(2023•新高考I)

36

A.2D.-2

B.-c

99-49

【答案】B

【解析】因为sin(a-7?)=sinacos/?-sin/?cosa=L,cos«sin/?=—，

36

所以sinacos/?=’，

2

112

所以sin(cr+4)=sinacos/?+sin/?cosa=—+—=—

2639

4i

则cos(2cr+2/?)=1—2sin2(cr+/?)=l-2x—.

故选：B.

6.(2023•乙卷)在AABC中，内角A,B。的对边分别是a,b,c,若acos5—5cosA=c,

且C=(,则ZB=()

A.—B.-C.—D.—

105105

【答案】C

【解析】由acosB—>cosA=c得sinAcosB—sin5cosA=sinC,

得sin(A—B)=sinC=sin(A+B),

BPsinAcosB—sinBcosA=sinAcosB+sinBcosA,

即2sin5cosA=0,得sin5cosA=0,

在AABC中，sinbwO,

TT

二.cosA=0,即人=一，

2

则3=万一A-C=%一三一三=四.

2510

故选：C.

7.(2022•北京)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则()

A.7(无)在(一会，一g上单调递减

B./⑺在玛，自上单调递增

C./⑺在呜)上单调递减

D./(尤)在弓，卷)上单调递增

【答案】C

【解析】/(%)=cos2x-sin2x=cos2x,周期丁="，

，/(x)的单调递减区间为K，^+M(^eZ),单调递增区间为耳+左左，万+左万］伏eZ),

对于A,y(x)在(《，-令上单调递增，故A错误，

对于3,y(x)在吁，0)上单调递增，在(0噌)上单调递减，故3错误，

对于C,/(尤)在(0,会上单调递减，故C正确，

对于O,7(x)在吁，学上单调递减，在(9，&上单调递增，故。错误，

故选：C.

8.(2022•甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长

度的''会圆术”.如图，AB是以。为圆心，为半径的圆弧，C是钙的中点，。在

CD2

上，CDJ_AB.“会圆术”给出A3的弧长的近似值s的计算公式：s=A8+’.当。4=2,

OA

NAOB=60。时，s=（）

AH-3A/3DH-4A/309-373「9-4月

2222

【答案】B

【解析】OA=OB=2,ZAOB=60°,:.AB=2,

C是AB的中点，。在AB上，CD±AB,

延长DC可得O在。C上，CD=OD-OC=2-43,

小…空=2+^^=2+*=U^.

OA222

故选：B.

9.（2022•新高考I）记函数/（X）=sin（s+£）+〃（切＞0）的最小正周期为T.若＜n,

且y=/（x）的图像关于点（当，2）中心对称，则/吟）=（）

A.1D.3

【答案】A

【解析】函数/(%)=sin(s+e)+"3＞0)的最小正周期为T,

4

则丁二二，由主＜丁＜九,得二＜二＜九，.•.2vgv3,

CD33CD

4TT

.y=/(x)的图像关于点(手，2)中心对称，「2=2,

且sin(—①+工)=0,贝!J—刃+工=左左，keZ.

2424

215

：.co=—*一一),keZ,取左=4,可得G=—.

342

/.f(x)=sin(—x+—)+2,贝！J/(—)=sin(—x—+—)+2=—1+2=1.

242224

故选：A.

10.(2022•甲卷)将函数/(x)=sin(5+g)(＜y＞0)的图像向左平移!■个单位长度后得到曲

线C,若C关于y轴对称，则。的最小值是()

A.-B.-C.-D.-

6432

【答案】C

【解析】将函数/(尤)=sin(ax+2(。＞0)的图像向左平移1个单位长度后得到曲线C,

则C对应函数为y=sin(o尤++3)，

C的图象关于y轴对称，，丝+生=左乃+工，k^Z,

232

即0=2%+!，kwZ,

3

则令左=0,可得。的最小值是1，

3

故选：C.

11.(2022•新高考H)若sin((z+£)+cos(a+£)=2应cos(a+?)sin尸，贝U()

A.tan(a—4)=1B.tan(cr+/7)=1C.tan(a-£)=-lD.tan(cr+/?)=-1

【答案】C

【解析】解法一：因为sin(a+/7)+cos(a+/?)=2后cos(a+£)sin/7,

所以J5sin(a+4+?)=2行cos(c+?)sin/,

yrrr

即sin(6r+Z?H——)=2cos(aH——)sinB,

44

所以sin(a+?)cos/?+sin/?cos(a+?)=2cos(a+£)sin0,

rrjr

所以sin(a+—)cos/?-sin/?cos(c+—)=0,

jr

所以sin(a+--/?)=0,

jr

所以1+—/=左万，keZ,

所以a—/?二左左一?，

所以tan(a—6)二一1.

解法二：由题意可得，sinacos/?+cos6Zsin/?+cosacosj3-smasinf3=2(cosa-sina)sin/?,

即sinacos/?—cosorsin/?+cosacos+sincrsin=0，

所以sin(a-分)+cos(a-4)=0,

故tan(a-0=-l.

故选：C.

12.(2022•甲卷)设函数/(x)=sin(0x+g)在区间(0,万)恰有三个极值点、两个零点，则。

的取值范围是()

【答案】C

【解析】当GV0时，不能满足在区间(0,1)极值点比零点多，所以G>0；

函数/(x)=sin(®x+g)在区间(0,%)恰有三个极值点、两个零点，

a)x-\-G)7tH---)，

3

57171_

----VCD7CH—,,37r，

23

求得

63

故选：C.

二.多选题

13.(2022•新高考H)已知函数/OsinQx+oXOv。〈万)的图像关于点喋，0)中心对

称，贝1()

A./(元)在区间(0,着)单调递减

B./(x)在区间(-'，皆)有两个极值点

C.直线尤=必是曲线y=/(x)的对称轴

6

D.直线y=等一无是曲线y=f(x)的切线

【答案】AD

077"

【解析】因为/(x)=sin(2x+0)(0<0(万)的图象关于点(y-,0)对称,

所以2x+(p=k兀,左£Z,

所以9二左万一,，

因为O<0V7T,

所以夕=夸

故/(%)=sin(2x+—),

A冗_2乃37c冗57r

令一<2x+——<——,解得-—<X<—,

2321212

故了(%)在(0,三)单调递减，A正确；

/nILr、827r5冗、

XW(-----，------)，2%H-----£(—，)，

1212322

根据函数的单调性，故函数/(X)在区间(-展，詈)只有一个极值点，故3错误;

令2尤+竺=上万+三，k^Z,得无=丝一二，kwz,C显然错误；

32212

27r

f(x)=sin(2x+-),

_27r

求导可得，/'(%)=2cos(2x+《-),

1TT

令/'(%)=—1，即cos(2x+—),解得尤=上万或%=耳+k兀*eZ)，

故函数y=/(x)在点(0,半处的切线斜率为左=八=。=2cosy=T,

故切线方程为y-弓=-5-0),即>=一了+弓，故。正确.

直线y=等一X显然与y=sin(2x+g)相切，故直线y=^-x显然是曲线的切线，故。正

确.

故选：AD.

三.填空题

**■TT1

14.(2023•乙卷)若。£(0,—),tan6=—,则sin8-cose=.

22

【答案】一6.

5

【解析】6©(0,右)，tane=L=),

22元

.♦.令x=2,y=l,设6终边上一点的坐标尸(2,1),

则r=|OP|=&+F=#,

贝!Jsin3-cos0=——=--7==--.

V575V55

故答案为：-好.

5

15.(2023•新高考H)已知函数/(x)=sin(s;+0),如图，A,5是直线y与曲线y=f(x)

的两个交点，若|AB|=三，则/(»)=__________.

6

11jr

由题意：设A&,-),B(X2,-),则％2-芯二%，

由y=Asin(〃zx+9)的图象可知：

/、571*3cTC27z"tai-t.、2^^

①X?+夕一(69%+(ft)—------=,即—玉)=，

6633

「.0=4,

▼工/2万、./8»、八87r.j

j(3)=sin(——F(p)—09—(p—Kir9keZ,

即0=一1+左左，keZ,

观察图象，可知当左=2时，0=—二满足条件，

3

，/、.2万、百

...f（7i）=sin（Z4/1»—--）=一--.

故答案为：-走.

2

16.（2023•新高考I）已知函数/⑴=coss-13>0）在区间［0,2刈有且仅有3个零点,

_OTT

则g的取值范围是.XG［0,2加，函数的周期为——（G>0）,cos〃zx-l=0,

CD

可得cos〃zx=l,

函数/（x）=cos①X-13>0）在区间［0,271］有且仅有3个零点，

—rzpi-27^__27^

可得2——„2万<3——，

CDCD

所以2,0<3.

故答案为：［2,3）.

17.（2023•甲卷）在AABC中，AB=2,NBAC=60。,BC=&,。为3C上一点，AD为44c

的平分线，则AD=.

【答案】2.

【解析】如图，•在AABC中，AB=2,ZBAC=60°,BC^^6,

BCAB

由正弦定理可得

sinABACsinZACB

9B

=也—个,又ZBAC=60。，

ZACB=45°,ZABC=180°-45°—60。=75°,

又"）为NB4c的平分线，且NS4C=60。，

;.ZB4D=30。，又ZABC=75。，.-.ZADB=75°,

.".AD—AB—2.

故答案为：2.

18.（2023•上海）已知AABC中，角A,B,C所对的边a=4,b=5,c=6,则

sinA=.

【答案呼

【解析JQ=4,b=5,c=6,

1人…T甲，曰."2+c2—25+36—163

由余弦定理得，cosA=---------------=----------------=-

2bc2x5x64

又一AG（0,71），

..sinA>0,

sinA=Jl-cos2A=

故答案为：?

19.（2022•上海）函数/（尤）=cos2元-sir?%+1的周期为

【答案】n

［解析］/(x)=cos2x-sin2x+1

=cos2x-sin2x+cos2x+sin2x

=2COS2X

=cos2尤+1,

2»

——-71.

2

故答案为:71.

20.(2022•浙江)若3sina—sin/?=JT3,a+/3=~,贝Usinc二竺°

2—10

【答案】噜；I

【解析】3sina—sinQ=Jii,a+0=g

/.3sindr-cosa=,

coso=3sina-JT5,

sin2a+cos2a=l,

sin2a+(3sin6r-V10)2=1,

解得sina=^0,Cos^=sin«=^

1010

on4

cos2/?=2cos2/?—1=2x-------1=—

1005

故答案为：噜,I

21.(2022•北京)若函数/(x)=Asinx-若cos%的一个零点为工，则人=

3

【答案】1；-y/2.

【解析】函数/(x)=Asinx-百cosx的一个零点为工，「.—x—=0，

322

.".A=l

/(—)=2sin(---)=2sin(--)=-2sin—=-后，

1212344

故答案为：1；-叵.

22.(2022•乙卷)记函数f(x)=cos(s+。)(①>0，的最小正周期为T.若

于(T)=当,x=^■为/(x)的零点，则。的最小值为.

【答案】3.

__l0-rr

【解析】函数/(X)=cos(s+9)(①>0,0<°〈万)的最小正周期为7=——，

jr

所以f(x)=COS(GXH——).

因为％=//(%)的零点，所以cos管+.=0,

故也^+—=+—,keZ,所以〃>=9左+3,keZ,

962

因为0>0,则。的最小值为3.

故答案为：3.

四.解答题

23.(2023•乙卷)在AABC中，已知N3AC=120。，AB=2,AC=1.

(1)求sinNABC;

(2)若。为3c上一点.且440=90。，求AADC的面积.

【解析】(1)在AABC中，由余弦定理可知3c2=22+F—2X1*2XCOS120O=7,

BC=y/i,由余弦定理可得cosZABC=」+尸=—,

2x77x214

25721

又ZABCe(0,7i),sinZABC=-jl-cos2ZABC=

28-14

c

B

(2)由(1)知：cosZABC=^~

sinZABC=—

1414

/.tanZABC=—,-AD=—,:.AD=^-,

5255

.•.AAZX7的面积为、AZ)xACxsinNZMC」x拽xlxLg

225210

序2_2

24.（2023•甲卷）记AABC的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,已知---------=2.

cosA

(1)求be；

(2)若竺2上誓4一2=1,求AABC面积.

«cosB+/7cosAc

【解析】(1)因为“+-"=2"cosA=2bc=2,

cosAcosA

所以历=1；

,八acosB-bcosAbsinAcosB-sinBcosAsinB

«cosB+Z?cosAcsinAcosB+sinBcosAsinC

*2sin(A-B)sin3sin(A-B)-sinB.

所以----------；——=------；---------=1，

sin(A+B)sinCsinC

所以sin(A—B)—sinB=sinC=sin(A+B),

所以sinAcos5—sin5cosA-sinB=sinAcosB+sinBcosA,

即cosA=--，

2

由A为三角形内角得4=也

3

AABC面积S=—Z?csinA=—xlx—

2224

25.（2023•天津）在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.己知a=回，b=2,

ZA=120°.

（I）求sinB的值；

（II）求c的值；

（III）求sin（B-C）的值.

【解析】（I）a=屈，b=2,ZA=120°,

9近

mi|.DOsinA*2713

。国13

(II)0=5/39,b=2,ZA=120°,

贝iW+02一次-COSA=4+C2+2C=39,化简整理可得，(c+7)(c-5)=0,解得c=5(负

值舍去)；

(III)cosB=V1-sin2B=,

13

c=5,。=屈，ZA=120°,

73

l.csinAsX25713

贝mIi]sinCr=--------=—=一=----,

aV3926

故cosC=Jl-2c-3^^,

26

所以sin("C户sin痴sC—inCcos八巫x返-也x迥一

1326261326

26.(2023•新高考H)记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A4BC面

积为名，。为3C的中点，且">=1.

…TT

(1)若ZADC=—,求tanB；

3

(2)若匕2+02=8,求b,C.

【分析】

(1)根据已知条件，推得鼠4c。=等，过A作AEL3C，垂足为E,依次求出AE,BE,

即可求解；

(2)根据已知条件，求得AD=：(AB+AC),两边同时平方，再结合三角形的面积公式，

即可求解.

【详解】

(1))。为3c中点，S^c=V3,

AADE中，DE=L,AE=走，SMCD=--CD=—,解得CD=2,

22AA05222

:.BD=2,BE=~,

2

,,「AE2

故tanB=----=—

BE5

2

(2)AD=；(A8+AC),

AD=—(c2+/?2+2/?ccosA),

AZ)=1,b2+c2=89

贝>Jl=；(8+26ccosA),

.bccosA=—2@9

=G即*A=2石②，

由①②解得tanA=-百，

,2〃

A——,

3

.,.be=4>XZ?2+c2=8,

:.b=c=2.

27.(2023•新高考I)已知在AABC中，A+5=3C,2sin(A-C)=sinB.

(1)求sinA；

(2)设AB=5,求AB边上的高.

【解析】(1)・A+B=3C,A+B+C=7i,

/.4C=兀，

-4

2sin(A-C)=sinB,

/.2sin(A—C)=sin[7r—(A+C)]=sin(A+Q,

/.2sinAcosC—2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

/.sinAcosC=3cosAsinC,

■•TsinA=3xfcosA,

/.sinA=3cosA,BPcosA=—sinA,

3

又，sinI2*4A+cos2A=1,/.sin2A+—sin2A=l,

9

解得sin2A=2,

10

又一Ae(0,7i),/.sinA>0,

.,sinA=^:

10

/八，八f“3屈1.A/10

(2)由(1)可知sinA=-------，cosAA=—smAA=------，

10310

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=x叵+叵上空,

1021025

AB

sinCsin8sinAsin£

4

:.AC=50inB=5五金叵=2屈,5C=5后xsinA=50x^^=3君，

510

设AB边上的高为/z,

则=—xACxBCxsinC,

22

/.-h=-x2y/l0x3y/5x—,

222

解得h=6,

即AB边上的高为6.

28.(2022•天津)在AABC中，角A,B,。所对的边分别为。，b,c.已知a=a,b=2c,

1

cosAA=——.

4

(1)求c的值；

(2)求sin5的值；

(3)求sin(2A-5)的值.

【解析】解(1)因为。=#，b=2c,cosA=-—,

4

I人」以…―.Z?2+C2—4c2+C2—61

由余弦定理可rZ得F1cosA=---------------=--------5——二-一，

2bc4c24

解得：c=l；

(2)cosA=--,AG(0,TF),所以sinA=Jl-cos2A=@Z,

44

由b=2c,可得sinB=2sinC,

由正弦定理可得」一=—J,即