导数压轴专题突破-第26讲 导函数与数列不等式的综合问题（含答案及解析）

第26讲导函数与数列不等式的综合问题【典型例题】例1．已知函数．（1）若在，上恒成立，求实数的取值范围；（2）证明：．例2．已知函数（1）若在，上恒成立，求的取值范围；（2）证明：；（3）已知，求的整数部分．例3．已知函数，其中函数的图象在点，（1）处的切线方程为．（1）若，求函数的解析式；（2）若在，上恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：．例4．设函数，，．（1）设，求的最小值；（2）设，若在，上为增函数，求实数的取值范围；（3）求证：，时，．例5．已知函数，．（1）求函数在上的单调区间；（2）用，表示，中的最大值，为的导函数，设函数，，若在上恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：．例6．已知函数的最小值为0，其中．（1）求的值；（2）若对任意的，，有成立，求实数的最小值；（3）证明：．例7．已知函数的最小值为0，其中．（1）求的值；（2）若对任意的，，有成立，求实数的最小值；（3）证明．例8．已知函数的最小值为0，其中．（1）求的值；（2）若对任意的，，有成立，求实数的范围；（3）证明：（注例9．已知函数．（1）求函数的极值；（2）（ⅰ）当时，恒成立，求正整数的最大值；（ⅱ）证明：．【同步练习】1．已知函数．（Ⅰ）试判断函数在上单调性并证明你的结论；（Ⅱ）若对于恒成立，求正整数的最大值；（Ⅲ）求证：．2．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，若恒成立，求满足条件的正整数的值；（3）求证：．3．已知函数，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，求证：．4．已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当，时，不等式恒成立，求实数的取值范围．（Ⅲ）求证：，是自然对数的底数）．提示：．5．已知函数（其中，是自然对数的底数，．当时，求函数的极值；（Ⅱ）当时，求证；（Ⅲ）求证：对任意正整数，都有．6．已知函数（其中，是自然对数的底数，．（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）求证：对任意正整数，都有．7．已知函数．（1）求的极值．（2）若对任意恒成立．①求实数的取值范围．②证明：对任意正整数，（其中为自然对数的底数）．8．已知函数，，．（1）求的最大值；（2）若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围；（3）证明不等式（其中是自然对数的底数）．9．已知函数的图象上有一点列，，点在轴上的射影是，，且且，．（1）求证：是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）对任意的正整数，当，时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）设四边形的表面积是，求证：．10．函数（1）判断时，的零点个数，并加以说明；（2）正项数列满足①判断数列的单调性并加以证明．②证明：．11．已知函数，．（1）求在点，（1）处的切线方程；（2）若不等式恒成立，求的取值范围；（3）求证：当时，不等式成立．12．已知函数，，．（Ⅰ）设，求的单调区间；（Ⅱ）若对，总有成立．（1）求的取值范围；（2）证明：对于任意的正整数，，不等式恒成立．13．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若不等式区间上恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：．14．已知函数，（Ⅰ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（Ⅱ）设函数，求证：（1）（2）15．函数，曲线在点，（1）处的切线在轴上的截距为．（1）求；（2）讨论的单调性；（3）设，，证明：．16．已知函数．（1）证明：当时，；（2）设数列满足且，证明：单调递减且．17．已知函数在点，处的切线斜率为2．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）设，若对，恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）已知数列满足，，求证：当，时为自然对数的底数，．

第26讲导函数与数列不等式的综合问题【典型例题】例1．已知函数．（1）若在，上恒成立，求实数的取值范围；（2）证明：．【解析】解：（1）的定义域为，．①当时，，若，则，在上是减函数，所以时，（1），即在，上不恒成立．②当时，，当时，，在，上是增函数，又（1），所以．综上所述，所求的取值范围是，．（2）由（1）知当时，在，上恒成立．取得，所以．令，，得，即，所以，上式中，2，3，，，然后个不等式相加，得到：．例2．已知函数（1）若在，上恒成立，求的取值范围；（2）证明：；（3）已知，求的整数部分．【解析】解：（1）函数，在，上恒成立，设，则在，上恒成立，，又，而当，即时，①当即时，在，上恒成立，（1）；②当即时，时；且时，，当时，；则①，又（1）与①矛盾，不符题意，故舍．综上所述，的取值范围为：，．（2）证明：由（1）可知时，在，上恒成立，则当时，在，上恒成立，令依次取，，，，时，则有，，，由同向不等式可加性可得，即，也即，也即．（3）由（2）的结论，可得，，又，则有的整数部分为9．例3．已知函数，其中函数的图象在点，（1）处的切线方程为．（1）若，求函数的解析式；（2）若在，上恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：．【解析】解：（1）的导数为，则有，解得，由，得，，故；（2）由（1）知，令，，，则（1），，当时，．若，则，是减函数，所以（1），即．故在，上不恒成立．当时，．若，则，是增函数，所以（1），即，故当时，．综上所述，所求的取值范围为，．（3）由（2）知当时，有．令，有且当时，．令，有，，2，3，，，将上述个不等式依次相加，得，整理得．例4．设函数，，．（1）设，求的最小值；（2）设，若在，上为增函数，求实数的取值范围；（3）求证：，时，．【解析】解：（1），则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，；（2），则，在，上为增函数，在，上恒成立，即在，上恒成立，，又，则；（3）证明：由（2）知，当时，在，上为增函数，则，令，则，则，即，，累加得，，，即得证．例5．已知函数，．（1）求函数在上的单调区间；（2）用，表示，中的最大值，为的导函数，设函数，，若在上恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：．【解析】解：（1）因为，所以，令得当时，，单调递增当时，，单调递减所以单调递增区间为；单调递减区间为．（2）由（1）知，当时’恒成立，故恒成立当时，’，又因为’，恒成立，所以在上恒成立所以，即在上恒成立令，则，，令’得，易得在上单增，在，上单减，所以（1），所以，即综上可得，（3）设，则，所以在上单增，所以，即所以，所以．例6．已知函数的最小值为0，其中．（1）求的值；（2）若对任意的，，有成立，求实数的最小值；（3）证明：．【解析】（1）解：函数的定义域为，求导函数可得令，可得令，可得；令，可得时，函数取得极小值且为最小值函数的最小值为0，，解得（2）解：当时，取，有（1），故不合题意当时，令，即，求导函数可得，可得，①当时，，在上恒成立，因此在上单调递减，从而对任意的，，总有，即对任意的，，有成立；②当时，，对于，，因此在上单调递增，因此取时，，即有不成立；综上知，时对任意的，，有成立，的最小值为（3）证明：当时，不等式左边右边，所以不等式成立当时，在（2）中，取，得，．（2）综上，．例7．已知函数的最小值为0，其中．（1）求的值；（2）若对任意的，，有成立，求实数的最小值；（3）证明．【解析】（1）解：函数的定义域为，求导函数可得令，可得令，可得；令，可得时，函数取得极小值且为最小值函数的最小值为0，，解得；（2）解：当时，取，有（1），故不合题意当时，令，即，求导函数可得令，可得，，①当时，．在上恒成立，因此在上单调递减，从而对任意的，，总有，即对任意的，，有成立，故符合题意；②当时，，对于，，因此在内单调递增．因此当时，，即有不成立，故不合题意．综上，的最小值为．（3）证明：当时，不等式左边右边，所以不等式成立当时，在（2）中，取，得，从而．（1）例8．已知函数的最小值为0，其中．（1）求的值；（2）若对任意的，，有成立，求实数的范围；（3）证明：（注【解析】解：（1）函数的定义域为．由得：又由得：，在单调递减，在，单调递增，（2）由（1）得，在时，恒成立，令，则在时，恒成立，，当，时，，，①当，即时，，在，上单调递增，则，即，不满足题意；②当，即时，，在，上单调递减，则，即，满足题意；③当，即时，令，则，，当时，，单调递增，此时，即，不满足题意；综上，当时，成立，实数的范围是．证明：（3）由（2）知：令得：，令，得：，当时，；当时，，从而．例9．已知函数．（1）求函数的极值；（2）（ⅰ）当时，恒成立，求正整数的最大值；（ⅱ）证明：．【解析】解：（1），，当时，，函数在上单调递增，没有极值；当时，由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，此时函数的极小值，没有极大值；（2）当时，恒成立，即只要即可，由（1）时，在上单调递减，在上单调递增，（a）若即时，在上单调递增，满足题意；（b）当即时，在上单调递减，在上单调递增，，令，则，所以在上单调递减，且（2），（3），（4），所以存在使得，则的解集为，综上的取值范围，其中，所以正整数的最大值3；证明：两边取对数得，即只要证，由知，令，则，，所以．【同步练习】1．已知函数．（Ⅰ）试判断函数在上单调性并证明你的结论；（Ⅱ）若对于恒成立，求正整数的最大值；（Ⅲ）求证：．【解析】（Ⅰ）解：，（2分），，，，，函数在上是减函数．（4分）（Ⅱ）解：恒成立，即恒成立，即的最小值大于．（6分）而，令，则，在上单调递增，又（2），（3），存在唯一实根，且满足，当时，，，当时，，，（a）故正整数的最大值是3（10分）（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知（12分）令，则，（16分）2．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，若恒成立，求满足条件的正整数的值；（3）求证：．【解析】解：（1），，时，在上单调递增；（2）时，（3），（4），设（b），则．因为此时在上单调递增可知当时，；当时，，当时，；当时，，当时，（b），（b），，即，所以（b），，（b），，故正整数的值为1、2或3．（3）由（2）知，当时，恒成立，即，，，令，得则暂时不放缩），，．以上个式子相加得：所以，即．3．已知函数，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，求证：．【解析】解：，，，①当时，，所以在上递增，②当时，令，则，当时，；当时，，所以在区间上递增，在上递减．（Ⅱ）方法1：构造函数，，，①当时，由（Ⅰ）在上递增，又（1），不符合题意，②当时，由（Ⅰ）知在区间上递增，在上递减，所以，解得：．综上：，所以的取值范围为，．方法2：分离参数恒成立，等价于，设，，，令，，则当时，；当时，，所以在区间上递增，在上递减；所以（1），所以：．所以的取值范围为，．（Ⅲ）证明：由知，当时，恒成立，即（仅当时等号成立），①当时，，即，所以，，，，，，上述不等式相加可得：，即：，即：，，②当时，，即，即，所以，，，，，，上述不等式相加可得：，即：，即：，，综上：当时，．4．已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当，时，不等式恒成立，求实数的取值范围．（Ⅲ）求证：，是自然对数的底数）．提示：．【解析】解：（Ⅰ）当时，，，由解得，由解得．故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（4分）（Ⅱ）因当，时，不等式恒成立，即恒成立，设，只需即可．（5分）由，（ⅰ）当时，，当时，，函数在上单调递减，故成立．（6分）（ⅱ）当时，由，因，，所以，①若，即时，在区间上，，则函数在上单调递增，在，上无最大值（或：当时，，此时不满足条件；②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样在，上无最大值，不满足条件．（8分）（ⅲ）当时，由，，，，，故函数在，上单调递减，故成立．综上所述，实数的取值范围是，．（10分）（Ⅲ）据（Ⅱ）知当时，在，上恒成立（11分）则对任意的，有，．5．已知函数（其中，是自然对数的底数，．当时，求函数的极值；（Ⅱ）当时，求证；（Ⅲ）求证：对任意正整数，都有．【解析】解：（Ⅰ）当时，，，当时，；当时，；所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值（1），函数无极大值；（Ⅱ）由，①当时，恒成立，满足条件，②当时，由，得，则当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得极小值即为最小值，，，，，综上得，当时，；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，恒成立，所以恒成立，即，，令，得，，．6．已知函数（其中，是自然对数的底数，．（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）求证：对任意正整数，都有．【解析】解：（Ⅰ）当时，，，当时，；当时，．所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值（1），函数无极大值．（Ⅱ）由，，若，则，函数单调递增，当趋近于负无穷大时，趋近于负无穷大；当趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，故函数存在唯一零点，当时，；当时，．故不满足条件．若，恒成立，满足条件．若，由，得，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，由得，解得．综上，满足恒成立时实数的取值范围是，．（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当时，恒成立，所以恒成立，即，所以，令，得，则有，所以，所以，即．7．已知函数．（1）求的极值．（2）若对任意恒成立．①求实数的取值范围．②证明：对任意正整数，（其中为自然对数的底数）．【解析】解：（1），当时，，，在上单调递增，无极值，当时，时，，时，，时，，故为函数的极大值点，即无极小值，所以，当时，即无极值，当时，的极大值为，无极小值．（2）①，即恒成立，即恒成立，令，则，当时，，当时，所以是函数在内唯一的极大值点，也是最大值点，所以（1），所以只要，即即可，故实数的取值范围是，．②证明：由①，当时，，即，且等号只有在时成立，令，得，所以，即，所以．8．已知函数，，．（1）求的最大值；（2）若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围；（3）证明不等式（其中是自然对数的底数）．【解析】（1）解：由，，得，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，则当时，取得最大值为（1）；（2）解：对，总存在，使得成立，等价于存在，使得成立，由（1）知，，问题转化为存在，使得，，，当时，，①当时，若，，单调递减，，不合题意；②当时，，使得，若，，若时，，即当，则，使得，符合题意；③当时，若，，单调递增，，则，使得，符合题意．综上可知，所求实数的范围是；（3）证明：由（2）可知，当时，若，，，令，，，，．有，再由（1）可得，，则，即，也即，，，．则．9．已知函数的图象上有一点列，，点在轴上的射影是，，且且，．（1）求证：是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）对任意的正整数，当，时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）设四边形的表面积是，求证：．【解析】（1）解：由且得且，，，且是首项为3，公比为3的等比数列．．，．（2），，，又，故数列单调递减，（此处也可作差证明数列单调递减）当时，取得最大值为．要使对任意的正整数，当，时，不等式恒成立，则须使，即，对任意，恒成立，，解得或，实数的取值范围为，，．（3），而，四边形的面积为，故．10．函数（1）判断时，的零点个数，并加以说明；（2）正项数列满足①判断数列的单调性并加以证明．②证明：．【解析】解：（1）当时，，令，，则，故在上单调递增，所以，所以即零点个数为0，（2）①数列为递减数列，证明如下：因为，所以，要证明数列为递减数列，只要证明，即，只要证，，即，由，所以即，由（1）可知结论成立，②要证明：，由，只要证明，只要证，由于，此时成立，所以即证，即，即，即，，令，，则，因此在上单调递增，所以，于是成立，原不等式成立．11．已知函数，．（1）求在点，（1）处的切线方程；（2）若不等式恒成立，求的取值范围；（3）求证：当时，不等式成立．【解析】解：（1）函数的定义域为，，（1），（1），函数在点，（1）处的切线方程为，即；（2）设，，，，单调递增，，，单调递减，不等式恒成立，且，，（1）即可，故，（3）由（2）可知：当时，恒成立，令，由于，．故，，整理得：，变形得：，即：，2，，时，有’两边同时相加得：，所以不等式在上恒成立．12．已知函数，，．（Ⅰ）设，求的单调区间；（Ⅱ）若对，总有成立．（1）求的取值范围；（2）证明：对于任意的正整数，，不等式恒成立．【解析】解：（Ⅰ），定义域为，，（1分）①当时，令，，，令，；②当时，令，则或，令，；（3分）③当时，恒成立；④当时，令，则或，令，；（4分）综上：当时，的增区间为，的减区间为；当时，的增区间为和，的减区间为；当时，的增区间为；当时，的增区间为和，的减区间为．（5分）（Ⅱ）（1）由题意，对任意，恒成立，即恒成立，只需．（6分）由第（Ⅰ）知：，显然当时，（1），此时对任意，不能恒成立；（8分）当时，，；综上：的取值范围为．（9分）（2）证明：由（1）知：当时，，（10分）即，当且仅当时等号成立．当时，可以变换为，（12分）在上面的不等式中，令，，，，则有不等式恒成立．（14分）13．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若不等式区间上恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：．【解析】（1），故其定义域为，，令，得，令，得．故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2），，，令又，令解得．当在内变化时，，变化如下表0由表知，当时函数有最大值，且最大值为，所以，（3）由（2）知，所以则所以即14．已知函数，（Ⅰ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（Ⅱ）设函数，求证：（1）（2）【解析】解：（Ⅰ）由，可知是偶函数．