广东省深圳实验学校2024-2025学年高二数学上学期第三阶段考试试题

PAGE9-广东省深圳试验学校2024-2025学年高二数学上学期第三阶段考试试题时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．“”是“方程表示双曲线”的（）A．必要但不充分条件；B．充分但不必要条件；C．充要条件；D．既不充分又不必要条件．2．设等差数列的前n项和为．若，，则（）A． B．12C．16 D．323．函数的递增区间是（）A．和；B．；C．；D．.4．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，假如直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．已知函数，则下列式子成立的是（）A．f(−1)＜f()＜f()B．f()＜f(−1)＜f()C．f()＜f()＜f(−1)D．f()＜f(−1)＜f()6．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于，两点，为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则（）A．1 B． C．2 D．37．已知函数，若曲线存在两条过(1，0)点的切线，则a的取值范围是 （）A．B．C．D．8．已知函数，若x=1是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围是 （）A．(－∞，e] B．(－∞，e)C．(－e，+∞)D．[－e，+∞)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．与直线仅有一个公共点的曲线是（）A．QUOTE；B．QUOTE；C．QUOTE；D．QUOTE．10．对于函数，下列说法正确的有（）A．在处取得极大值；B．有两个不同的零点；C．；D．若QUOTE在QUOTE上恒成立，则．11．已知抛物线C:，焦点为F，过焦点的直线l抛物线C相交于，，则下列说法肯定正确的是（）A．若QUOTE的最小值为2；B．线段AB为直径的圆与直线QUOTE相切；C．为定值QUOTE；D．若，则QUOTE．12．已知数列QUOTE，QUOTE均为递增数列，QUOTE的前n项和为，QUOTE的前n项和为．QUOTE且满意QUOTE，，则下列说法正确的是（）A．；B．；C．QUOTE；D．QUOTE．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数的导函数为，且满意，则．14．数列满意：，，则数列的通项公式.15．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出．如图，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒若将装置中的去掉，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒若，则与的离心率之比为.16．设为实数，函数在和都是增函数，则的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）已知函数．(1)求函数的图象在处的切线方程；(2)求函数在上的最大值与最小值．18．（本题满分12分）已知等差数列满意，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．19．（本题满分12分）如图，已知抛物线：，直线交抛物线于两点，为坐标原点．(1)证明：；xAy1BOM1(2)设抛物线在点处的切线为，在点处的切线为，证明：与的交点在肯定直线上．xAy1BOM120．（本题满分12分）如图所示，某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD，AB=120米，AD=80米，以AD，BC为直径的半圆O1和半圆O2(半圆在矩形ABCD内部)为两个半圆形水上主题乐园，BC，CD，DA都建有围墙，游客只能从线段AB处进出该主题乐园．为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门确定沿着，QUOTE修建不锈钢护栏，沿着线段EF修建该主题乐园大门并设置检票口，其中E，F分别为QUOTE，上的动点，EF//AB，且线段EF与线段AB在圆心O1和O2连线的同侧．已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部分的平均修建费用为400元/米．(1)若EF=80米，则检票等候区域(阴影部分)的面积为多少平方米?(2)试确定点E的位置，使得修建费用最低．21．（本题满分12分）xyOFD已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为D（2，0），设点A的坐标是xyOFD(1)求该椭圆的标准方程；(2)过原点O的直线交椭圆于点B、C，求△ABC面积的最大值．22．（本题满分12分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有两个不同的零点,，①求实数的取值范围；②证明：．深圳试验学校中学部2024-2025学年度第一学期第三阶段考试高二数学参考答案一、选择题1．A．2．D．3．D．4．D．5．B．6．C．7．D．8．A．二、多项选择题：9．AC10．ACD11．BCD12．ABC三、填空题：13．－eq\f(1,e)．14．.15．1：2.16．．四、解答题：17．解：(1)∵，∴，∴，．∴函数的图象在处的切线方程为：，即．………4分(2)令，得与，当改变时，、的改变如下表：＋0－0＋所以，与是函数在上的两个极值点，而，，，．∴函数在上的最大值是，最小值是．………10分18．解：(1)设等差数列的公差为d，由已知条件可得解得故数列的通项公式为………4分(2)设数列的前项和为，即，故．．所以，当时，所以．………12分19．解：(1)设，把代入，得．由韦达定理得．．………6分(2)，，故经过点的切线的方程为：，即，①同理，经过点的切线的方程为：，②①×x2－②×x1，得．即点在直线：上．………12分20．解：(1)如图所示，设直线EF与矩形ABCD交于M，N两点，连接O1E，O2F，O1O2，则ME＝20米，O1M＝梯形O1O2FE的面积为×(120+80)×20＝2000(平方米),矩形AO1O2B的面积为120×40＝4800(平方米),易得∠AO1E＝，则扇形O1AE和扇形O2FB的面积均为××1600=(平方米),故阴影部分的面积为4800－2000－QUOTE800π3平方米.………6分(2)设∠AO1E＝θ，θ∈，则QUOTEAD，的长都是40θ，EF＝120-2×40sinθ＝120－80sinθ,所以修建费用f(θ)＝200×80θ+400×(120－80sinθ)＝16000(θ+3－2sinθ),所以f'(θ)＝16000(1－2cosθ).令f'(θ)＝0，得θ＝QUOTEπ3,当θ改变时，f'(θ)，f(θ)的改变状况如下表:θf'(θ)-0+f(θ)↘微小值↗由上表可得，当θ＝，即∠AO1E＝时，f(θ)有微小值，也为最小值．故当∠AO1E为时，修建费用最低．………12分22．解：（1）设椭圆方程为.由题意得，，∴，∴椭圆方程为.………4分（2）当轴时，易得.当直线不垂直于轴时，设直线BC所在方程为，且设B（x1，y1），C（x2，y2），由，联立得，∴，∴.又到直线的距离，于是①当时，；②当时，；③当时，．当且仅当时，取“＝”，综上所述△ABC面积的最大值为．…………12分22．解：(1)当时,,,所以，，所以曲线在点处的切线方程是．…………4分(2)函数有两个不同的零点,，等价于方程有两个不同实根,．①令，则,所以在(0,e)上单调递增，在(e,+