专题02三角形内外角中的模型

专题02三角形内外角中的模型小贴士小贴士三角形内角和及内外角性质看似简单，运用却非常灵活，角的计算以及它们之间的相互转换是平面几何的入门钥匙，贯穿与今后整个几何学习的过程中，。在我们的中考复习中，要通过一题多解，从不同角度去探索问题，以便拓宽自己的数学思维。再次强调：一题多解，拓宽思维！8字等角模型提供4种基本证明方法,尝试在做题中开阔自己的思路.如图11：∠1=∠2⇒∠A∠D图图11图12图13图14证明：法一图12（内外角关系）：∵∠AED是△EAB与△ECD的外角。∴∠AED=∠1+∠A=∠2+∠D又∵∠1=∠2∴∠A=∠D法二图12（内角和）：∵∠1+∠3+∠A=180°∠2+∠4+∠D=180°又∵∠1=∠2∴∠A=∠D法三：图13隐圆（定弦定角，隐圆必现）∵∠1=∠2∴ABCD四点共圆。∴∠A=∠D法四图14（相似）：∵∠1=∠2，∠3=∠4∴△EAB∼△ECD∴∠A=∠DA字模型图图21图22图23图21求证：∠1+∠2=∠A+180°法一：图12∠A+（∠3+∠4）=180°∠1+∠2+（∠3+∠4）=360°∠1+∠2=∠A+180°法二：∠A+(∠B+∠C)=180∠1+∠2+(∠B+∠C)=360°∠1+∠2=∠A+180法三：图22∵∠1=∠A+∠4∠2=∠A+∠3∴∠1+∠2=∠A+∠4+∠A+∠3即：∠1+∠2=∠A+180飞镖模型图图31图32证明：图32延长DC交AB于点H。∵∠1=∠A+∠D∠BCD=∠1+∠B∴∠BCD=∠A+∠B+∠D角平分线与三角形的融合图图41图42如图41：已知：O是∠ABC与∠ACB平分线的交点。求证：∠BOC=90°+(1/2)∠A证明思路：图42∵BO与CO分别平分∠ABC与∠ACB.∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠1+∠2=12(∠ABC+∠=12(180°∠∵∠BOC=180°(∠1+∠2)∴∠BOC=180°12(180°∠即:∠BOC=90°+12∠实战训练实战训练一．“8”字模型1．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360度．试题分析：根据三角形外角的性质得∠B+∠C＝∠1，∠A+∠F＝∠2，则这几个角是一个四边形的四个内角，故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．答案详解：解：∵∠B+∠C＝∠1，∠A+∠F＝∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠1+∠2+∠E+∠D＝360°．故答案为：360．2．如图，五角星的五个角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（）A．180° B．90° C．270° D．240°试题分析：连接CD，由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC，再由三角形的内角和定理，即可得出五角星的五个角之和．答案详解：解：连接CD，设BD与CE交于点O，由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC，在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠ACE+∠OCD+∠ODC+∠ADB＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°，即五角星的五个内角之和为180°．故选：A．3．阅读材料，回答下列问题：【材料提出】“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．【探索研究】探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为∠A+∠B＝∠C+∠D；探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为25°；探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为∠P=∠B+∠D2【模型应用】应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A＝α+β﹣180°（用含有α和β的代数式表示），∠P＝α+β-180°2．（用含有α和β应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝180°-α-β2．（用含有α和β【拓展延伸】拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为∠P=2x+y3．（用拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．试题分析：探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；探索二：根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，结合（1）的结论可得2∠P＝∠B+∠D，再代入计算可求解；探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案；应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，利用三角形内角和定理可得∠A＝α+β﹣180°，再运用角平分线定义及三角形外角性质即可求得答案；应用二：如图5，延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，利用应用一的结论即可求得答案；拓展一：运用探索一的结论可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，再结合已知条件即可求得答案；拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案．答案详解：解：探索一：如图1，∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；探索二：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，即2∠P＝∠B+∠D，∵∠B＝36°，∠D＝14°，∴∠P＝25°，故答案为25°；探索三：由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3，由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1，①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1∠D+2∠B＝2∠P+∠B．∴∠P=∠B+∠D故答案为：∠P=∠B+∠D应用一：如图4，由题意知延长BM、CN，交于点A，∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，∴∠AMN＝180°﹣α，∠ANM＝180°﹣β，∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣180°；∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCD=1∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC=12（∠ACD﹣∠ABC）=12故答案为：α+β﹣180°，α+β-180°2应用二：如图5，延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，∴∠A＝180°﹣α﹣β，∵BP平分∠MBC，CP平分∠NCR，∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB，由应用一得：∠P=12∠A故答案为：180°-α-β2拓展一：如图6，由探索一可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，∵∠C＝x，∠B＝y，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=1∴∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B＝x﹣y，∠PAB=23∠CAB，∠PDB=2∴∠P+23∠CAB＝∠B+23∠CDB，∠P+13∠CDB∴2∠P＝∠C+∠B+13（∠CDB﹣∠CAB）＝x+y+13（x﹣∴∠P=2x+y故答案为：∠P=2x+y拓展二：如图7，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，∴∠PAD=12∠BAD，∠PCD＝90°+1由探索一得：①∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，②×2，得：③2∠P+∠BAD＝2∠D+180°+∠BCD，③﹣①，得：2∠P﹣∠B＝∠D+180°，∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°，故答案为：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．二．“A”字模型4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，若按图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2等于（）A．90° B．135° C．270° D．315°试题分析：如图，根据题意可知∠1＝90°+∠BNM，∠2＝90°+∠BMN，然后结合三角形内角和定理即可推出∠1+∠2的度数．答案详解：解：如图．∵△ABC为直角三角形，∠B＝90°，∴∠BNM+∠BMN＝90°，∵∠1＝90°+∠BNM，∠2＝90°+∠BMN，∴∠1+∠2＝270°．故选：C．5．如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，∠1+∠2＝225°，则∠A＝45度．试题分析：利用三角形及四边形内角和定理即可解答．答案详解：解：∵1+∠2＝225°，∴∠B+∠C＝360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣225°＝135°，故∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣135°＝45°．故填45．6．一个三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处．（点A′在△ABC的内部）（1）如图1，若∠A＝45°，则∠1+∠2＝90°．（2）利用图1，探索∠1，∠2与∠A之间的数量关系，并说明理由．（3）如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中得出的结论求∠BA′C的度数．试题分析：（1）根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（2）由∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角知∠BDE＝∠A+∠AED、∠CED＝∠A+∠ADE，据此得∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，继而可得答案；（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A知∠A＝54°，根据BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB=12（∠ABC+∠ACB）＝90°-12∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠答案详解：解：（1）∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴∠ADE=12（180°﹣∠1），∠AED=12（在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴45°+12（180°﹣∠1）+12（180°﹣∠整理得∠1+∠2＝90°；故答案为：90；（2）∠1+∠2＝2∠A，理由：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角，∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，即∠1+∠2＝2∠A；（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝108°，∴∠A＝54°，∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，∴∠A'BC+∠A'CB=12（∠ABC+∠=12（180°﹣∠＝90°-12∠∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），＝180°﹣（90°-12∠＝90°+12＝90°+12＝117°．三．飞镖模型7．如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠A＝37°，∠B的度数是（）A．33° B．23° C．27° D．37°试题分析：延长CD交AB于E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠1，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．答案详解：解：如图，延长CD交AB于E，∵∠C＝38°，∠A＝37°，∴∠1＝∠C+∠A＝38°+37°＝75°，∵∠BDC＝98°，∴∠B＝∠BDC﹣∠1＝98°﹣75°＝23°．故选：B．8．如图所示，∠A＝50°，∠B＝20°，∠D＝30°，则∠BCD的度数为（）A．80° B．100° C．120° D．140°试题分析：延长BC交AD于点E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和先求出∠CED的度数，再次利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出∠BCD的度数．答案详解：解：如图所示，延长BC交AD于点E，∵∠A＝50°，∠B＝20°，∴∠CED＝∠A+∠B＝50°+20°＝70°，∴∠BCD＝∠CED+∠D＝70°+30°＝100°．故选：B．9．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是20°和30°．（1）李叔叔量得∠BCD＝142°，根据李叔叔量得的结果，你能断定这个零件是否合格？请解释你的结论；（2）你知道∠B、∠D、∠BCD三角之间有何关系吗？请写出你的结论．（不需说明理由）．试题分析：此题要作辅助线：延长DC交AB于点E，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和即可求解．答案详解：解：（1）不合规格．理由如下：连接AC并延长到点E，则∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝∠B+∠BAC+∠CAD+∠D＝∠B+∠BAD+∠D＝140°，故不合格．（2）根据第（1）小题的求解过程，不难发现：∠B+∠D+90°＝∠BCD．10．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝50°；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度数．试题分析：（1）首先连接AD并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC＝∠A+∠B+∠C．（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后根据∠A＝40°，∠BXC＝90°，求出∠ABX+∠ACX的值是多少即可．②由（1）可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根据∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADB+∠AEB的值是多少；然后根据∠DCE=12（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠③根据∠BG1C=110（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG1C＝70°，设∠A为x°，可得∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°，解方程，求出x的值，即可判断出∠答案详解：解：（1）如图（1），连接AD并延长至点F，，根据外角的性质，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）①由（1），可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°，故答案为：50．②由（1），可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，∴12（∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45∴∠DCE=12（∠ADB+∠AEB）+＝45°+40°＝85°；③∠BG1C=110（∠ABD+∠ACD）+∠∵∠BG1C＝70°，∴设∠A为x°，∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°∴110（133﹣x）+x＝70∴13.3-110x+x＝解得x＝63，即∠A的度数为63°．四．风筝模型11．如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．40° B．80° C．90° D．140°试题分析：由折叠的性质得到∠D＝∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数．答案详解：解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝40°，根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+80°，则∠1﹣∠2＝80°．故选：B．12．纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝20°，则∠2的度数为60°．试题分析：先根据∠A＝65°，∠B＝75°，求出∠C的度数．再由∠1＝20°可求出∠CED的度数，由三角形内角和定理及平角的性质即可求解．答案详解：解：∵△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣75°＝40°，∵∠1＝20°，∴∠CED=180°-∠12在△CDE中，∠CDE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∴∠2＝180°﹣2∠CDE＝180°﹣2×60°＝60°，故答案为60°．13．如图，在△ABC中，∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．42° B．46° C．52° D．56°试题分析：根据折叠得出∠D＝∠B＝28°，根据三角形的外角性质得出∠1＝∠B+∠BEF，∠BEF＝∠2+∠D，求出∠1＝∠B+∠2+∠D即可．答案详解：解：∵∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，∴∠D＝∠B＝28°，∵∠1＝∠B+∠BEF，∠BEF＝∠2+∠D，∴∠1＝∠B+∠2+∠D，∴∠1﹣∠2＝∠B+∠D＝28°+28°＝56°，故选：D．14．如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．试题分析：由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六边形的内角和减去（∠B'FG+∠B'GF）以及（∠C'HI+∠C'IH）和（∠A'DE+∠A'ED），再利用三角形的内角和定理即可求解．答案详解：解：由题意知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝720°﹣（∠B'FG+∠B'GF）﹣（∠C'HI+∠C'IH）﹣（∠A'DE+∠A'ED）＝720°﹣（180°﹣∠B'）﹣（180°﹣C'）＝（180°﹣A'）＝180°+（∠B'+∠C'+∠A'）又∵∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∠A＝∠A'，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．故答案为：360．五．高与角平分线的夹角15．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，CE⊥AB于点E，则∠DCE的度数是（）A．5° B．8° C．10° D．15°试题分析：依据直角三角形，即可得到∠BCE＝40°，再根据∠A＝30°，CD平分∠ACB，即可得到∠BCD的度数，再根据∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE进行计算即可．答案详解：解：∵∠B＝50°，CE⊥AB，∴∠BCE＝40°，又∵∠A＝30°，CD平分∠ACB，∴∠BCD=12∠BCA=12×（180°﹣50∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝50°﹣40°＝10°，故选：C．16．探索与发现，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．（1）如图，若∠B＝20°，∠C＝58°，求∠EAD的度数．（2）如图，当∠B和∠C（∠C＞∠B）为锐角时，由第1小题的计算过程，猜想∠EAD、∠B和∠C之间的关系是∠EAD=12（∠C﹣∠B（3）如图，当∠B为锐角，而∠ACB分别为直角和钝角时，第（2）小题的结论还成立吗？（只写成立或不成立，不必说明理由）：成立试题分析：（1）先根据三角形的内角和定理求得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝102°，利用角平分线的定义得∠EAC=12∠BAC＝51°，而∠DAC＝90°﹣∠C＝32°，通过∠EAD＝∠EAC﹣∠（2）和（1）一样：∠EAC＝90°-12∠B-12∠C，而∠DAC＝90°﹣∠C，则可得∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC=1（3）∠B为锐角，而∠ACB分别为直角和钝角时，证明的方法一样．答案详解：解：（1）∵∠B＝20°，∠C＝58°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝102°，而AE是∠BAC的平分线，∴∠EAC=12∠BAC＝又∵AD是BC边上的高，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝32°，∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝51°﹣32°＝19°；（2）∠EAD=12（∠C﹣∠（3）成立．六．角平分与内外角的融合17．∠MON＝90°，点A，B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝135°；（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．①若∠BAO＝60°，则∠D＝45°；②随着点A，B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；（3）如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数．试题分析：（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；（2）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；（3）①当∠EAF＝3∠E时，②当∠EAF＝3∠F时，③当∠F＝3∠E时，④当∠E＝3∠F时，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论．答案详解：解：（1）∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE=12∠OAB，∠ABE=1∴∠BAE+∠ABE=12（∠OAB+∠ABO）＝∴∠AEB＝135°；故答案为：135°；（2）①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴∠ABN＝150°，∵BC是∠ABN的平分线，∴∠OBD＝∠CBN=12×150∵AD平分∠BAO，∴∠DAB＝30°，∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣75°﹣30°﹣30°＝45°，故答案为：45；②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，设∠BAD＝α，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO＝2α，∵∠AOB＝90°，∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2α，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC＝45°+α，∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，∴∠D＝180°﹣∠BAD﹣∠OBD﹣∠ABO＝180°﹣75°﹣30°﹣30°＝45°，故答案为：45；（3）∵∠BAO与∠BOQ的平分线交于点E，∴∠AOE＝135°，∴∠E=180∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线，∴∠EAF=在△AEF中，若有一个角是另一个角的3倍，则①当∠EAF＝3∠E时，得∠E＝30°，此时∠ABO＝60°；②当∠EAF＝3∠F时，得∠E＝60°，此时∠ABO＝120°＞90°，舍去；③当∠F＝3∠E时，得∠E=此时∠ABO＝45°；④当∠E＝3∠F时，得∠E=此时∠ABO＝135°＞90°，舍去．综上可知，∠ABO的度数为60°或45°．18．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点．通过分析发现∠BOC=90°+∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线∴∠1=∴∠1+∠2=12（∠ABC+∠∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠1+∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-(90°-（1）探究2：如图2，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．（2）探究3：如图3中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？∠BOC＝90°-12∠A（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？∠BOC=12（∠A+∠D试题分析：（1）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，再根据三角形的内角和定理解答；（2）根据角平分线的定义可得∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠2=12∠ACD=12（∠A+∠（3）同（1）的求解思路．答案详解：解：（1）探究2结论：∠BOC＝90°-12∠理由：由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC=12（∠A+∠ACB），∠OCB=12（∠A在△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°-12（∠A+∠ACB）-12（∠A＝180°-12（∠A+∠ACB+∠A+∠＝180°-12（180°+∠＝90°-12∠（2）探究3结论：∠BOC=12∠理由如下：如图，∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1=12∠ABC，∠2=1又∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠2=12∠ACD=12（∠A+∠ABC）=12∵∠2是△BOC的一个外角，∴∠BOC＝∠2﹣∠1=12∠A+∠1﹣∠1=1即∠BOC=12∠（3）∠OBC+∠OCB=12（360°﹣∠A﹣∠在△BOC中，∠BOC＝180°-12（360°﹣∠A﹣∠B）=12（∠A故答案为：∠BOC=12（∠A+∠七．灵活运用19．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝30°，则∠1+∠2＝120°；（2）若点P在AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．（4）若点P运动到△ABC之外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2的关系为：∠2﹣∠1+∠α＝90°．试题分析：（1）先用平角的得出，∠CDP＝180°﹣∠1，∠CEP＝180°﹣∠2，最后用四边形的内角和即可．（2）同（1）方法即可．（3）利用平角的定义和三角形的内角和即可得出结论．（4）利用三角形的内角和和外角的性质即可得出结论．答案详解：解：（1）∵∠1+∠CDP＝180°，∴∠CDP＝180°﹣∠1，同理：∠CEP＝180°﹣∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C＝360°，∵∠C＝90°，∴180°﹣∠1+α+180°﹣∠2+90°＝360°，∴∠1+∠2＝90°+α＝90°+30°＝120°，故答案为：120．（2）∵∠1+∠CDP＝180°，∴∠CDP＝180°﹣∠1，同理：∠CEP＝180°﹣∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C＝360°，∵∠C＝90°，∴180°﹣∠1+α+180°﹣∠2+9