【课件】圆的对称性（垂径定理）华东师大版九年级数学下册课件

第27章圆27.1圆的认识博学慎思求真至善2.圆的对称性（垂径定理）

教学目标教学重点与难点重点:圆的对称性、同圆中圆心角弧弦三个量之间的相互关系、垂径定理及其应用.难点:垂径定理及其应用.1.了解圆是中心对称图形和轴对称图形.2.理解在同一个圆中，圆心角、弧、弦三个量之间的相互关系，并掌握它们在解题中的应用.3.掌握垂径定理及其推论，并能灵活运用垂径定理及圆的要素解决一些实际问题.一.圆的中心对称性

圆既是

对称图形,又是

对称图形,也是

对称图形.对称轴是过

的任意一条直线,对称中心和旋转中心都是

,旋转角度可以是

角度.二.圆心角、弦和弧的关系1.在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的

相等、所对的

相等.2.在同一个圆中,如果弧相等,那么它们所对的

相等、所对的

相等.3.在同一个圆中,如果弦相等,那么它们所对的

相等、所对的

相等.以上三个结论对于在

中也成立！温故夯基轴中心旋转圆心圆心任意弧弦圆心角弦圆心角弧等圆巩固练习1.如图所示,在⊙O中,AB＝AC,∠A＝30°,则∠B＝().A．150° B．75°C．60° D．15°B2.如图,在⊙O中,若点C是AB的中点,∠A＝50°,则∠BOC＝().A．40° B．45°C．50° D．60°A3.如图,三圆同心于O,AB＝12cm,CD⊥AB于点O,则图中阴影部分的面积为

cm2.第1题图第2题图第3题图9π⌒⌒⌒AB圆的旋转不变性一个圆绕圆心旋转任何角度后，与它自身重合圆是中心对称图形圆心是它的对称中心温故知新圆的对称性·O温故知新圆的对称性圆是轴对称图形,对称轴是经过圆心的任意一条直线,有无数条对称轴.

判断对错并说明理由:

圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，它的对称轴是它的直径.（）×问题:图中CD为圆O的直径,AB为圆O的弦.相交于点P,当弦AB在圆上运动的过程中有没有特殊情况?直径CD和弦AB互相垂直观察思考CDOBAPBABA在这个条件下，我们能得到什么结论呢？如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足为P．(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(2)你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什么?·OABDCP(1)这个图形是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴.(2)线段：AP=BP,⌒⌒弧:AC＝BC，AD＝BD.⌒⌒

ＡＣ和ＢＣ重合，ＡＤ和ＢＤ重合．⌒⌒⌒⌒观察思考把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，猜想:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.PBACDO

⌒

AC=BC,AD=BD.⌒⌒⌒推理证明已知:在⊙O中,CD是直径,AB是弦,AB⊥CD,垂足为点P.求证：AP=BP，证明:连结OA、OB、CA、CB,则OA=OB，即△AOB是等腰三角形.∵AB⊥CD,∴AP=BP.又∵

CP=CP,∴Rt△APC≌Rt△BPC.∴AC=BC,AC=BC.∴(在同圆中,相等的弦所对的弧相等)∴AD=BD.┏学习新知垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.PBACDO几何语言：∵CD是直径

，AB⊥CD,∴AP=BP,

⌒

AC=BC,AD=BD.⌒⌒⌒说明：(1)这里的直径可以理解为“过圆心的直线”，结论也成立；(2)垂径定理由两个条件和三个结论组成：条件:①直径;②直径垂直于弦;结论:①直径平分弦；②直径平分弦所对的优弧；

③直径平分弦所对的劣弧.即时应用判断题：

(1)过圆心的直线平分弦.()(2)垂直于弦的直线平分弦.()(3)⊙O中，OE⊥弦AB于E，则AE=BE.()•OABCDE(1)错•OABCDE(2)错O•ABE(3)对学习新知垂径定理的推论PBACDO

平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.已知:如图,在⊙O中,直径CD交弦AB于点P，AP=BP.求证：CD⊥AB，AD=BD,AC=BC.

⌒

⌒⌒⌒证明：连结AO、BO，∵AO=BO,∴△AOB为等腰三角形.∵AP=BP,∴CD⊥AB,∵CD是直径，∴AD=BD,AC=BC.

⌒

⌒⌒

⌒几何语言：∵CD是直径,AP=BP,

AB不是直径的弦，∴CD⊥AB,⌒⌒

AC=BC,⌒⌒

AD=BD.注意:这里的弦不能是直径!平分弦的直径垂直于弦（）错学习新知垂径定理的推论

平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.PBACDO几何语言：∵CD是直径

，∴AB⊥CD,

AP=BP.

AC=BC,⌒⌒方法总结一条直线如果具有：“①经过圆心(直径),②垂直于弦,③平分弦，,④平分弦所对的一条弧,⑤平分弦所对的另一条弧”中的任意两条性质，那么就具有其余三条性质(具有①和③时,所说的弦不能是直径).垂径定理及其推论的常见图形及作法【用途】垂径定理不但给我们提供了证明线段相等、弧相等的工具，也给我们进行圆的计算提供了理论基础，关键是可以构造直角三角形利用勾股定理，它是我们所学习的圆部分的最重要的定理之一.1.按图填空：在⊙O中，(1)若MN⊥AB，MN为直径，则________，________，________；(2)若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，则________，________，________；(3)若MN⊥AB，AC＝BC，则________，________，________；(4)若AN=BN，MN为直径，则________，________，________．AＢNMCＯ⌒⌒即时应用AC=BCAM=BMAN=BNMN⊥ABAM=BMAN=BNMN为直径AM=BMAN=BNMN⊥ABAC=BCAM=BM(1)垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.()(2)弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心.()(3)圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.()(4)平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.()(5)圆内两条非直径的弦不能互相平分.()×√××√2.判断题：即时应用例1如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径..AEBO例题精析圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．解：连结OA,过O作OE⊥AB，垂足为E，则OE＝3厘米，AE＝BE.∵AB＝8厘米,∴AE＝4厘米.在Rt△AOE中，OA＝∴⊙O的半径为5厘米.例题精析例2如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=8cm.求点O与弦AB的距离.

OABE45解：连结OA,过O作OE⊥AB，垂足为E，则OA＝5cm，AE＝BE.∵AB＝8cm,∴AE＝4cm.在Rt△AOE中，OE＝∴点O与弦AB的距离为3cm.变式1:如图,在半径为5cm的⊙O中,圆心O到弦AB的距离为3cm,求弦AB的长.变式2：如图,在半径为5cm的⊙O中,弦AB=8cm,OE⊥AB于E交⊙O于F,求EF的长.F8cm2cm圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．．OABCrd要点总结aDh(1)常用的辅助线：①作半径；②过圆心作弦的垂线（段）；图中：半径OB=r弦长AB=a弦心距OC=dCD=h(2)半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：在a、r、h、d四个量中，已知其中两个量，可以求出另外两个量.1.在圆中某弦长为8cm，圆的直径是10cm，则圆心到弦的距离是

cm.2.在圆O中弦CD＝24，圆心到弦CD的距离为5,则圆O的直径是

.3.如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E，AE＝16，BE=4,则CD＝

.•ABDCEO•oCDE•CDOE随堂练习3OE2616OABOABDCM图1图2C随堂练习4.如图1，AB是⊙O的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，则弦AB的长是().A.

B.C.

D.5.如图2，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，若CM=8，DM=12,则AB等于().A.

B.C.

D.DB6.在⊙O中，弦AB的长为24cm，圆心O到弦AB的距离（弦心距）为5cm，求⊙O的半径.随堂练习7.如图,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=8cm，OC=5cm，求DC的长.EBAODBACO13cm2cmCDABE平分已知弧AB已知：AB作法：1.连结AB.2.作AB的垂直平分线CD，交弧AB于点E.点E就是所求弧AB的中点.求作：AB的中点.⌒

⌒学习新知你能破镜重圆吗？ABACmn·O1.作弦AB．AC及它们的垂直平分线m．n，交于O点；2.以O为圆心，OA为半径作圆.你能破镜重圆吗？ABACmn·O1.作弦AB．AC及它们的垂直平分线m．n，交于O点；2.以O为圆心，OA为半径作圆.例3赵州桥是我国建筑史上的一大创举,它距今约1400年,历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙.如图,若桥跨度AB约为40米，主拱CD高约10米.(1)如图1,尺规作图,找出桥弧所在圆的圆心O(保留作图痕迹);(2)如图2，求桥弧AB所在圆的半径R.图2CAOBDR图1例题精析ABCO例3赵州桥是我国建筑史上的一大创举,它距今约1400年,历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙.如图,若桥跨度AB约为40米，主拱CD高约10米.(2)如图2，求桥弧AB所在圆的半径R.图2CAOBDR例题精析解:由(1)的作图可得：△AOD为直角三角形,D为AB的中点,CD=10.∴AD=在Rt△AOD中，∵AD=20,OD=R－10,OA=R,OA2=AD2+OD2,解得:R=25.∴桥弧AB所在圆的半径R为25米.某居民区一处圆形下水管破裂,修理人员准备更换一段新管道,如图,污水水面宽度为60cm,水面至管道顶部距离为10cm,问修理人员应准备内径多大的管道？60cm10cm随堂练习ABOC解:连结OA,过O作OC⊥AB,垂足为C，则AC=OC=OA－10.在Rt△AOC中，∵AC=30,OC=OA－10,OA2=AC2+OC2,∴OA2=302+(OA－10)2,解得:OA=50.∴内径为2×50=100.答：修理人员应准备内径为100cm的管道.课堂小结一.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧.二.垂径定理的推论：1.