易错点04反比例函数(原卷版+解析)

易错点04反比例函数1.反比例函数的定义与图像、性质2.反比例函数系数k的几何意义3.反比例函数图象上点的坐标特征4.待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数与一次函数的交点问题5.反比例函数的应用01反比例函数的定义与图像：条件要考虑周全，符号要注意。1．（2022•景德镇模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是A． B． C． D．1．（2023•未央区校级三模）下列关系式中，是的反比例函数的是A． B． C． D．2．（2022•东营模拟）函数是反比例函数，则．3．（2022•济南一模）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象可能是A． B． C． D．02反比例函数的性质：常与图象性质结合着考查。1.（2023•小店区校级一模）对于函数，当，的取值范围是．1．（2022•夏邑县校级模拟）对于反比例函数，下列说法正确的是A．图象经过点 B．图象位于第二、第四象限 C．该函数与坐标轴不可能有交点 D．当时，随的增大而增大2．（2022•巩义市模拟）如图为反比例函数，，在同一坐标系的图象，则，，的大小关系为A． B． C． D．3．（2022•承德二模）已知反比例函数，当时，的最大值是4，则当时，有A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值03反比例函数系数k的几何意义：k值的几何意义是重要考点，解题时可以结合图像解题。1.（2023•黔江区一模）如图，矩形中，点在双曲线上，点，在轴上，延长至点，使，连接交轴于点，连接，则的面积为A．5 B．6 C．7 D．81．（2022•铁岭模拟）如图，点是反比例函数图象上一点，的顶点在轴上，点在轴上，，，与轴相交于点，且，若的面积为5，则A． B．5 C．2 D．42．（2023•碑林区校级模拟）如图，的顶点在轴负半轴上，点是边的中点，反比例函数的图象经过、两点，若的面积等于9，则的值为．3．（2023•黔江区一模）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，若四边形的面积为5，则．04反比例函数图象上点的坐标特征：注意点所在的象限及符号。1.（2023•深圳模拟）如图，，，将向右平移到位置，的对应点是，的对应点是，反比例函数的图象经过点和的中点，则的值是．1.（2023•萧县一模）如图，在中，平分交于点，平分交于点，交于点，反比例函数经过点，若，，则的值为A． B． C． D．2．（2023•萧县一模）已知函数的图象经过点，，，，如果，那么A． B． C． D．3．（2023•未央区校级三模）若点，，在反比例函数为常数）的图象上，则，，大小关系为A． B． C． D．05待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数与一次函数的交点问题1.（2023•未央区校级三模）如图，，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．（1）求反比例函数的表达式和点的坐标．（2）不等式的解集为和．1．（2022•新民市一模）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点在反比例函数的图象上，则经过点的反比例函数表达式为A． B． C． D．2.（2023•南海区校级模拟）已知直线与双曲线交于、两点，且点的横坐标为4．过原点的另一条直线交双曲线于、两点点在第一象限），若由点、、、为顶点组成的四边形为矩形，则点的坐标；3．（2023•碑林区校级一模）已知一次函数y＝﹣2x+3与反比例函数的图象有交点，则k的取值范围是．06反比例函数的应用1．（2023•萧县一模）一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流（A）与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当电阻越大时，该台灯的电流（A）也越大1．（2022•大同三模）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流（A）与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是A．当时， B．与的函数关系式是 C．当时， D．当时，的取值范围是2．（2022•龙湾区模拟）某气球内充满一定质量的气体，温度不变时，气球内气体的压强与气体的体积的关系是如图所示的反比例函数．当气球内气体的压强大于，气球就会爆炸．为了不让气球爆炸，则气球内气体的体积需满足的取值范围是A． B． C． D．一．选择题（共10小题）1．函数与在同一平面直角坐标系内的图象只可能是A． B． C． D．2．关于的方程的正根的个数是A．0 B．1 C．2 D．33．已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是A．随的增大而减少 B．图象必经过点 C．图象在第一、三象限 D．若，则4．（2022•阿城区模拟）已知反比例函数的图象，当时，这个函数图象位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（关于反比例函数，下列说法不正确的是A．函数图象经过点 B．函数图象关于原点成中心对称 C．函数图象分别位于第一、三象限 D．当时，随的增大而增大6．（2022秋•冷水滩区校级月考）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点的“倒数点”．如图，矩形的顶点为，顶点在轴上，函数的图象与交于点．若点是点的“倒数点”，且点在矩形的一边上，则的面积为A． B． C． D．7．如图，在中，，，点在轴上，点为中点，反比例函数图象经过点，交于，且，则A． B． C．8 D．8．经过点的双曲线的表达式是A． B． C． D．9．当温度不变时，某气球内的气压与气体体积的函数关系如图所示，已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应A．不大于 B．大于 C．不小于 D．小于10．（2022•榆次区一模）某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式，通过了一片烂泥湿地，他们发现，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强随着木板面积的变化而变化，如果人和木板对湿地地面的压力合计，那么下列说法正确的是A．与的函数表达式为 B．当越来越大时，也越来越大 C．若压强不超过时，木板面积最多 D．当木板面积为时，压强是二．填空题（共5小题）11．下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例关系的是（填序号）．①小明完成赛跑时，时间与他跑步的平均速度之间的关系②菱形的面积为，它的两条对角线的长为与的关系③一个玻璃容器的体积为时，所盛液体的质量与所盛气体的密度之间的关系④压力为时，压强与受力面积之间的关系12．点在反比例函数图象上，且位于第二象限，过点作轴于点，已知面积为3，则的值是．13．如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为．14．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，，，，则的值为．15．（2022•北海一模）如图，已知直线与双曲线交于，两点，将线段绕点沿顺时针方向旋转后，点落在点处，双曲线经过点，则的值是．三．解答题（共1小题）16．（2022•市南区三模）如图，反比例函数的图象与直线交于点，轴，与反比例函数的图象交于点．（1）求反比例函数的解析式和的值；（2）当时，求点的坐标．易错点04反比例函数1.反比例函数的定义与图像、性质2.反比例函数系数k的几何意义3.反比例函数图象上点的坐标特征4.待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数与一次函数的交点问题5.反比例函数的应用01反比例函数的定义与图像：条件要考虑周全，符号要注意。1．（2022•景德镇模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是A． B． C． D．【分析】根据一次函数与反比例函数的图象位置，确定出，，的正负，进而利用二次函数图象与性质判断即可．【解析】观察图象可得：，，，二次函数图象开口向下，对称轴在轴右侧，与轴交点在负半轴，则二次函数的图象可能是．故选：．1．（2023•未央区校级三模）下列关系式中，是的反比例函数的是A． B． C． D．【分析】根据反比例函数的概念：形如为常数，的函数称为反比例函数．其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数进行分析即可．【解析】、不是反比例函数，故此选项不符合题意；、是反比例函数，故此选项符合题意；、不是反比例函数，故此选项不符合题意；、不是反比例函数，故此选项不符合题意．故选：．2．（2022•东营模拟）函数是反比例函数，则．【分析】直接利用反比例函数的定义分析得出即可．【解析】是反比例函数，，，解得：．故答案为：．3．（2022•济南一模）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象可能是A． B． C． D．【分析】根据的取值范围，分别讨论和时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．【解析】①当时，一次函数经过一、三、四象限，反比例函数的的图象的两个分支分别位于一、三象限，没有符合条件的选项，②当时，一次函数经过一、二、四象限，反比例函数的的图象的两个分支分别二、四象限，故选项的图象符合要求．故选：．02反比例函数的性质：常与图象性质结合着考查。1.（2023•小店区校级一模）对于函数，当，的取值范围是或．【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．【解析】当时，，则于函数，当，的取值范围是：，当时，的取值范围是：．故答案为：或．1．（2022•夏邑县校级模拟）对于反比例函数，下列说法正确的是A．图象经过点 B．图象位于第二、第四象限 C．该函数与坐标轴不可能有交点 D．当时，随的增大而增大【分析】根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．【解析】、，点不在反比例函数的图象上，故本选项说法错误；、，反比例函数的图象在一、三象限，故本选项说法错误；、函数是反比例函数，该函数与坐标轴不可能有交点，故本选项说法正确；、，此函数在每一象限内随的增大而减小，故本选项说法错误．故选：．2．（2022•巩义市模拟）如图为反比例函数，，在同一坐标系的图象，则，，的大小关系为A． B． C． D．【分析】先根据函数图象所在的象限判断出、、的符号，再用取特殊值的方法确定符号相同的反比例函数的取值．【解析】由图知，的图象在第二象限，，的图象在第一象限，，，，又当时，有，．故选：．3．（2022•承德二模）已知反比例函数，当时，的最大值是4，则当时，有A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值【分析】根据反比例函数的性质可知当时，取得最大值4，求出的值，进一步根据反比例函数的性质求解即可．【解析】反比例函数，当时，的最大值是4，，在每一个象限内，随着增大而增大，当时，取得最大值4，此时，当时，，当时，，有最小值，故选：．03反比例函数系数k的几何意义：k值的几何意义是重要考点，解题时可以结合图像解题。1.（2023•黔江区一模）如图，矩形中，点在双曲线上，点，在轴上，延长至点，使，连接交轴于点，连接，则的面积为A．5 B．6 C．7 D．8【分析】如图，设交轴于，交于，设，则，设．利用平行线分线段成比例定理求出，即可解决问题．【解析】如图，设交轴于，交于，设，则，设．点在上，，，，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，故选：．1．（2022•铁岭模拟）如图，点是反比例函数图象上一点，的顶点在轴上，点在轴上，，，与轴相交于点，且，若的面积为5，则A． B．5 C．2 D．4【分析】作轴于，轴于，则轴，通过证得，得到，，设，根据题意即可得到，利用勾股定理求得，由的面积为5，即可得到．【解析】作轴于，轴于，则轴，，，，，，，，，，，，设，，轴，，，，，的面积为5，，，，点是反比例函数图象上一点，，故选：．2．（2023•碑林区校级模拟）如图，的顶点在轴负半轴上，点是边的中点，反比例函数的图象经过、两点，若的面积等于9，则的值为．【分析】，，根据三角形的面积和为中点且在函数的图象上，求出的值．【解析】设，，①，又为中点，，，在函数的图象上，，，，把代入①式得：，，故答案为：，3．（2023•黔江区一模）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，若四边形的面积为5，则8．【分析】根据反比例函数系数的几何意义得到，，然后利用四边形的面积进行计算．【解析】轴，轴，，，四边形的面积．解得．故答案是：8．04反比例函数图象上点的坐标特征：注意点所在的象限及符号。1.（2023•深圳模拟）如图，，，将向右平移到位置，的对应点是，的对应点是，反比例函数的图象经过点和的中点，则的值是24．【分析】先根据题意设出平移的距离，即可得出点、点和点的坐标，然后利用中点坐标公式求出点的坐标，根据反比例函数图像经过点和点即可求出的值，得出点的坐标，代入解析式即可求出值．【解析】根据题意可得：，，设平移的距离为，则点，，，点为的中点，点的坐标为，反比例函数图像经过点和点，，解得：，点坐标为，把代入可得：；故答案为：24．1.（2023•萧县一模）如图，在中，平分交于点，平分交于点，交于点，反比例函数经过点，若，，则的值为A． B． C． D．【分析】过点作轴交于点，过点作交于点，过点作轴交于点，根据角平分线的性质可得，，再由平行线的性质可得，，分别求出、、，再由勾股定理求出、，从而得到点坐标为，，由此可求的值．【解析】过点作轴交于点，过点作交于点，过点作轴交于点，平分，，，，平分，，，，，，，，，，，，，，，，，，，在中，，，，在中，，，，，，点在反比例函数上，，故选：．2．（2023•萧县一模）已知函数的图象经过点，，，，如果，那么A． B． C． D．【分析】先根据判断出函数图象所在的象限，再根据即可解答．【解析】，函数的图象在二、四象限，，点，在第二象限，在，第四象限，，，故选：．3．（2023•未央区校级三模）若点，，在反比例函数为常数）的图象上，则，，大小关系为A． B． C． D．【分析】先判断出反比例函数图象在第一三象限，再根据反比例函数的性质，在每一个象限内，随的增大而减小判断．【解析】，，反比例函数为常数）的图象位于第一三象限，，，，，．故选：．05待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数与一次函数的交点问题1.（2023•未央区校级三模）如图，，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．（1）求反比例函数的表达式和点的坐标．（2）不等式的解集为和．【分析】（1）把代入反比例函数解析式，求出，再把代入反比例函数解析式，求出的值；（2）根据两函数的图象与性质判断不等式的解集．【解析】（1）把代入反比例函数，，，反比例函数为，把代入反比例函数，，，点；（2），是一次函数与反比例函数的图象的两个交点，根据函数图象的性质可以发现，当和时一次函数值小于等于反比例函数值，即的解集为和．故答案为：和．1．（2022•新民市一模）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点在反比例函数的图象上，则经过点的反比例函数表达式为A． B． C． D．【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明，利用相似三角形的判定与性质得出，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，那么，进而得出答案．【解析】过点作轴于点，过点作轴于点，如图．，，，，又，，，，，，经过点的反比例函数图象在第二象限，故反比例函数解析式为：．故选：．2.（2023•南海区校级模拟）已知直线与双曲线交于、两点，且点的横坐标为4．过原点的另一条直线交双曲线于、两点点在第一象限），若由点、、、为顶点组成的四边形为矩形，则点的坐标；【分析】由正比例函数解析式求得点的坐标，然后根据矩形的性质得出，，由反比例函数的对称性即可求得点的坐标．【解析】直线与双曲线交于、两点，且点的横坐标为4，把代入得，，，由点、、、为顶点组成的四边形为矩形，，，点与点关于直线对称，，故答案为：．3．（2023•碑林区校级一模）已知一次函数y＝﹣2x+3与反比例函数的图象有交点，则k的取值范围是0＜k≤．【分析】由于一次函数y＝﹣2x+3与反比例函数y＝（k≠0）有交点，则可知方程﹣2x+3＝有实数根，将方程变形为2x2﹣3x+k＝0，利用判别式△≥0即可求出k的取值范围．【解析】∵一次函数y＝﹣2x+3与反比例函数y＝（k≠0）有交点，∴方程﹣2x+3＝有实数根，整理，得2x2﹣3x+k＝0，∴Δ＝9﹣8k≥0，解得k≤（k≠0），∵k＞0，∴0＜k≤故答案为：0＜k≤．06反比例函数的应用1．（2023•萧县一模）一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流（A）与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当电阻越大时，该台灯的电流（A）也越大【分析】直接利用反比例函数图像得出函数解析式，进而利用反比例函数的性质分析得出答案．【解析】．设反比例函数解析式为：，把代入得：，则，故此选项符合题意；．当时，，故此选项不合题意；．当时，，故此选项不合题意；．当电阻越大时，该台灯的电流（A）也越小，故此选项不合题意．故选：．1．（2022•大同三模）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流（A）与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是A．当时， B．与的函数关系式是 C．当时， D．当时，的取值范围是【分析】由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．【解析】设与的函数关系式是，该图象经过点，，，与的函数关系式是，故选项不符合题意；当时，，当时，，反比例函数随的增大而减小，当时，，当时，，故选项，不符合题意；时，，当时，，当时，的取值范围是，故符合题意；故选：．2．（2022•龙湾区模拟）某气球内充满一定质量的气体，温度不变时，气球内气体的压强与气体的体积的关系是如图所示的反比例函数．当气球内气体的压强大于，气球就会爆炸．为了不让气球爆炸，则气球内气体的体积需满足的取值范围是A． B． C． D．【分析】由于当温度不变时，气球内的气体的气压是气体体积的反比例函数，可设，再根据气体的体积时，气球内气体的压强，运用待定系数法求出其解析式；故当时，．【解析】设球内气体的气压和气体体积的关系式为，当气体的体积时，气球内气体的压强，，，，当，即时，．故选：．一．选择题（共10小题）1．（函数与在同一平面直角坐标系内的图象只可能是A． B． C． D．【分析】分两种情况讨论，当时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．【解析】函数，且为常数）中时，反比例函数图象在一、三象限，此时的图象在第一、二、三象限；当函数，且为常数）中时，反比例函数图象在二、四象限，此时的图象在第二、三、四象限；故选：．2．关于的方程的正根的个数是A．0 B．1 C．2 D．3【分析】在同一平面直角坐标系中作出二次函数与反比例函数的图象，然后根据交点的情况即可得解．【解析】如图，二次函数与反比例函数在第一象限只有两个交点，方程的正根的个数为2．故选：．3．已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是A．随的增大而减少 B．图象必经过点 C．图象在第一、三象限 D．若，则【分析】根据反比例函数的性质即可判断、，，把点代入即可判断．【解析】中，，函数图象的两个分支分布在第一、三象限，函数图象在每个象限内，随的增大而减少，故选项符合题意，选项不符合题意；，图象必经过点，故选项不符合题意；时，，故选项不符合题意；故选：．4．（2022•阿城区模拟）已知反比例函数的图象，当时，这个函数图象位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用反比例函数图象的性质即可求解．【解析】，比例函数的图象，当时，位于第四象限．故选：．5．（2021秋•山西期末）关于反比例函数，下列说法不正确的是A．函数图象经过点 B．函数图象关于原点成中心对称 C．函数图象分别位于第一、三象限 D．当时，随的增大而增大【分析】依据反比例图象的性质作答．【解答】．当时，代入反比例函数得，，正确，故本选项不符合题意；．反比例函数的图象可知，两个分支关于原点成中心对称，正确，故本选项不符合题意；．，图象位于第二、四象限，错误，故本选项符合题意；．，在第二、四象限内随增大而增大，所以当时，随的增大而增大，正确，故本选项不符合题意；故选：．6．（2022秋•冷水滩区校级月考）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点的“倒数点”．如图，矩形的顶点为，顶点在轴上，函数的图象与交于点．若点是点的“倒数点”，且点在矩形的一边上，则的面积为A． B． C． D．【分析】设点的坐标为，由“倒数点”的定义，得点坐标为，，分析出点在某个反比例函数上，分两种情况：①点在上和②点在上，求出点坐标，再根据三角形的面积公式求面积即可．【解析】设点的坐标为，点是点的“倒数点”，点坐标为，，点的横纵坐标满足，点在某个反比例函数上，点不可能在，上，分两种情况：①点在上，由轴，点、点的纵坐标相等，即，舍去），点，，的面积为；②点在上，点横坐标为3，即，，点，的面积为．综上，的面积为或．故选：．7．如图，在中，，，点在轴上，点为中点，反比例函数图象经过点，交于，且，则A． B． C．8 D．【分析】由点的坐标，设，结合为直角三角形可得出点的坐标，根据角平分线的性质可得出由此可得出的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出关于的方程，解之即可得出、的值．【解析】点，点为的中点所以点，设，点，，，即点反比例函数的图象经过点、，即解得：或（舎去）故选：．8．经过点的双曲线的表达式是A． B． C． D．【分析】把点的坐标代入双曲线解析式，能使解析式成立的则双曲线经过该点，反之不经过．【解析】，故不经过，，故不经过，，故经过，，故不经过，故选：．9．（2022秋•湖北期末）当温度不变时，某气球内的气压与气体体积的函数关系如图所示，已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应A．不大于 B．大于 C．不小于 D．小于【分析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，且过点故；故当，可判断．【解析】设球内气体的气压和气体体积的关系式为，图象过点，，，由已知得图象在第一象限内，随的增大而减小，当时，，，即不小于，故选：．10．（2022•榆次区一模）某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式，通过了一片烂泥湿地，他们发现，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强随着木板面积的变化而变化，如果人和木板对湿地地面的压力合计，那么下列说法正确的是A．与的函数表达式为 B．当越来越大时，也越来越大 C．若压强不超过时，木板面积最多 D．当木板面积为时，压强是【分析】压力一定时，压强和受力面积成反比，根据压力为写出解析式，根据解析式即可判定各个选项．【解析】压力一定时，压强和受力面积成反比；，，是的反比例函数，，当越来越大时，也越来越小，故选项，不符合题意；当时，即，，若压强不超过时，木板面积最少，故选项不符合题意；当时，，当木板面积为时，压强是，故选项符合题意；故选：．二．填空题（共5小题）11．下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例关系的是③（填序号）．①小明完成赛跑时，