2.5有理数的加法与减法七年级数学上册讲义（苏科版）

有理数的减法与减法知识点一、有理数加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。若则；若则。2. 异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 绝对值相等：若且，则； 绝对值不相等：若且，则；若且，则。3. 一个数与0相加，仍得这个数。 例：计算（1）（+16）+（－23）（2）（－6.5）＋6.5【解答】见解析【解析】（1）（+16）+（－23）＝－（23－16）＝－7；（2）（－6.5）＋6.5＝0知识点二、有理数加法运算律有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变；加法交换律：a＋b＝b＋a有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.加法交换律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）在有理数加法运算中，常利用有理数加法运算律先把正数和负数分开计算，各自求和后再相加.有理数加法中的一些计算技巧：相反数结合法：互为相反数的两个数先相加；同号结合法：符号相同的数先相加；同分母结合法：分母相同的数先相加；凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加.例：计算【解答】－5【解析】知识点三、有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，较大的数－较小的数＝正数，即若，则；较小的数－较大的数＝负数，即若，则；相等的两个数相减等于0，即若，则；0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数.例：计算【解答】－4【解析】知识点四、有理数加减法混合运算利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算；去掉括号和括号前的加号（有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）；利用加法法则和加法运算律进行计算.例：用简便方法计算【解答】－1【解析】原式巩固练习一．选择题1．计算5+（﹣3）正确的是（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8【分析】根据有理数异号相加法则即可处理．【解答】解：5+（﹣3）＝2，故选：A．【点评】本题主要考查有理数加法，掌握其运算法则是解题关键．2．计算﹣1﹣1的结果是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【分析】原式利用减法法则变形，计算即可求出值．【解答】解：﹣1﹣1＝﹣1+（﹣1）＝﹣2．故选：A．【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键．3．与﹣312A．﹣3-12 B．3-12 C．﹣3+1【分析】利用有理数的加减法法则，逐个计算得结论．【解答】解：A．﹣3-12=-312，选项AB．3-12=212，选项BC．﹣3+12=-212，选项CD．3+12=312，选项D故选：A．【点评】本题考查了有理数的运算，掌握有理数的加减法法则是解决本题的关键．4．圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为﹣6℃，最高气温为2℃，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（）A．﹣8℃ B．﹣4℃ C．4℃ D．8℃【分析】由最高温差减去最低温度求出该地这天的温差即可．【解答】解：根据题意得：2﹣（﹣6）＝2+6＝8（℃），则该地这天的温差为8℃．故选：D．【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键．5．计算|﹣3﹣（﹣2）|的结果是（）A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5【分析】先计算有理数的减法，再根据绝对值的性质即可得出答案．【解答】解：原式＝|﹣3+2|＝|﹣1|＝1，故选：A．【点评】本题考查了有理数的减法，绝对值，掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．6．下列关于有理数的加法说法错误的是（）A．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 B．异号两数相加，绝对值相等时和为0 C．互为相反数的两数相加得0 D．绝对值不等时，取绝对值较小的数的符号作为和的符号【分析】根据有理数的加法法则判断即可．【解答】解：A选项，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，故该选项不符合题意；B选项，异号两数相加，绝对值相等时和为0，故该选项不符合题意；C选项，互为相反数的两数相加得0，故该选项不符合题意；D选项，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号作为和的符号，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了有理数的加法法则，掌握绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0是解题的关键．7．设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a+b+c等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】由a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，可得，a＝1，b＝﹣1，c＝0，则a+b+c＝1+（﹣1）+0＝0．【解答】解：依题意得：a＝1，b＝﹣1，c＝0，∴a+b+c＝1+（﹣1）+0＝0．故选：B．【点评】本题考查了有理数加法，掌握正整数、负整数的概念和绝对值的性质是解题的关键．8．如果a﹣b＞0，且a+b＜0，那么一定正确的是（）A．a为正数，且|b|＞|a| B．a为正数，且|b|＜|a| C．b为负数，且|b|＞|a| D．b为负数，且|b|＜|a|【分析】根据a﹣b＞0可知a＞b，然后两种情况：b≥0或b＜0分别讨论．【解答】解：∵a﹣b＞0，∴a＞b，①b≥0则a一定是正数，此时a+b＞0，与已知矛盾，∴b＜0，∵a+b＜0，当b＜0时，①若a、b同号，∵a＞b，∴|a|＜|b|，②若a、b异号，∴|a|＜|b|，综上所述b＜0时，a＞0，|a|＜|b|．故选：C．【点评】本题主要考查了有理数的减法、绝对值、有理数的加法、正数和负数，掌握加法、减法运算法则，分情况讨论是解题关键．二．填空题9．某地周六白天最高温度+4℃，与夜晚最低气温的温差是6℃，则夜晚最低气温是﹣2℃．【分析】根据白天最高温度降低6℃就是夜晚最低温度列式计算即可．【解答】解：4﹣6＝﹣2（℃），故答案为：﹣2．【点评】本题考查了有理数的减法，掌握温差＝最高温度﹣最低温度是解题的关键．10．在横线上填上适当的符号使式子成立：（+6）+（﹣18）＝﹣12．【分析】根据有理数的加法法则即可得出答案．【解答】解：6+（﹣18）＝﹣12，故答案为：+．【点评】本题考查了有理数的加法，掌握绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值是解题的关键．11．已知|a|＝9，|b|＝3，则|a﹣b|＝b﹣a，则a+b的值为﹣6或﹣12．【分析】根据绝对值的定义求出a，b的值，根据|a﹣b|＝b﹣a，得到a≤b，然后分两种情况分别计算即可．【解答】解：∵|a|＝9，|b|＝3，∴a＝±9，b＝±3，∵|a﹣b|＝b﹣a，∴a≤b，当a＝﹣9，b＝3时，a+b＝﹣9+3＝﹣6；当a＝﹣9，b＝﹣3时，a+b＝﹣9﹣3＝﹣12；故答案为：﹣6或﹣12．【点评】本题考查了绝对值，有理数的加减法，考查分类讨论的数学思想，分两种情况分别计算是解题的关键，不要漏解．12．小明在计算1﹣3+5﹣7+9﹣11+13﹣15+17时，不小心把一个运算符号写错了（“+”错写成“﹣”或“﹣”错写成“+”），结果算成了﹣17，则原式从左往右数，第6个运算符号写错了．【分析】算出原式的正确结果，与﹣17作差然后除以2求解．【解答】解：∵1﹣3+5﹣7+9﹣11+13﹣15+17＝9，9＞﹣17，∴小明不小心把“+”写成“﹣”，∵9﹣（﹣17）＝26，26÷2＝13，∴小明将+13写错为﹣13，故答案为：6．【点评】本题考查有理数的计算，解题关键是熟练掌握有理数混合运算．13．矿井下A、B、C三处的高度分别是﹣37.4m，﹣129.8m，﹣71.3m，则矿井最高处比最低处高92.4米．【分析】先确定最高处和最低处，根据有理数的减法，可得两地的相对高度．【解答】解：∵最高处：﹣37.4米，最低处：﹣129.8米，最高处比最低处高：﹣37.4﹣（﹣129.8）＝92.4（米），故答案为：92.4．【点评】本题考查了有理数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数．14．点A，B，C是数轴上的三个点，且BC＝2AB．已知点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，点C表示的数是11或﹣5．【分析】由于点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，则线段AB的长度为4；又BC＝2AB，则BC＝8；本题即求数轴上到点B的距离是8的点C所表示的数．分两种情况，①点C在B的右边；②C在B的左边．【解答】解：∵点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，∴AB＝|﹣1﹣3|＝4；又∵BC＝2AB，∴BC＝2×4＝8．①若C在B的右边，其坐标应为3+8＝11；②若C在B的左边，其坐标应为3﹣8＝﹣5；故点C表示的数是11或﹣5．【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．15．若a的相反数等于它本身，b是到原点的距离等于2的负数，c是最大的负整数，则a﹣b+c的值为1．【分析】先根据题意确定a、b、c的值，再把它们的值代入代数式求值即可．【解答】解：∵a是相反数等于它本身的数，b是到原点的距离等于2的负数，c是最大的负整数，∴a＝0，b＝﹣2，c＝﹣1，∴a﹣b+c＝0+2﹣1＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查的是有理数的相关知识．相反数等于它本身的数是0，最大的负整数是﹣1．16．绝对值大于1而小于3.5的所有整数的和为0．【分析】根据已知得出1＜|x|＜3.5，求出符合条件的数即可．【解答】解：绝对值大于1而小于3.5的整数包括±2，±32+（﹣2）+3+（﹣3）＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了对绝对值、相反数的意义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．三．解答题17．计算：（1）+5+（﹣8）+（﹣4）﹣（﹣10）；（2）56【分析】（1）先把减法转化成加法，然后再利用加法交换律和结合律进行计算即可；（2）先化简绝对值，然后再进行有理数的混合运算即可．【解答】解：（1）+5+（﹣8）+（﹣4）﹣（﹣10）＝5+（﹣8）+（﹣4）+10＝（5+10）+【（﹣8）+（﹣4）】＝15+（﹣12）＝3；（2）56+（-34）﹣|﹣0.=56+（-＝（56+16）+【（＝1+（﹣1）＝0．【点评】本题考查了绝对值的意义和有理数的加减混合运算，要注意运用加法交换律和结合律可以使计算简便．18．已知一列数2，0，﹣1，-1（1）求最大的数和最小的数的差；（2）若再添上一个有理数m，使得五个有理数的和为0，求m的值．【分析】（1）根据有理数的减法计算即可；（2）先求出这四个数的和，再根据五个有理数的和为0即可得出m的值．【解答】解：（1）2﹣（﹣1）＝2+1＝3；（2）2+0+（﹣1）+（-12）∵五个有理数的和为0，∴m=-【点评】本题考查了有理数的加减法，掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．19．琪琪和佳佳计算算式“4+6﹣11﹣2”．（1）琪琪不小心把运算符号“+”错看成了“﹣”，求此时的运算结果；（2）佳佳只将数字“11”抄错了，所得结果不超过7，求佳佳所抄数字的最小值．【分析】（1）把运算符号“+”错看成了“﹣”，根据有理数的减法法则计算即可求解；（2）设佳佳所抄数字为x，根据题意可得：4+6﹣x﹣2≤7，解不等式求解即可．【解答】解：（1）4﹣6﹣11﹣2＝﹣2﹣11﹣2＝﹣13﹣2＝﹣15；（2）设佳佳所抄数字为x，根据题意可得：4+6﹣x﹣2≤7，解得x≥1．∴佳佳所抄数字的最小值为1．【点评】本题考查有理数的加减混合计算，解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握有理数的加减混合运算法则．20．若两个有理数A、B满足A+B＝8，则称A、B互为“吉祥数”．如5和3就是一对“吉祥数”．回答下列问题：（1）求﹣5和2x的“吉祥数”；（2）若3x的“吉祥数”是﹣4，求x的值；（3）4|x|和9能否互为“吉祥数”？若能，请求出；若不能，请说明理由．【分析】（1）根据“吉祥数”的定义即可得到答案；（2）根据“吉祥数”的定义列出方程即可解决问题；（3）根据“吉祥数”的定义，计算|x|的值，再根据绝对值的性质判断即可．【解答】解：（1）根据“吉祥数”的定义可得，﹣5的吉祥数为8﹣（﹣5）＝13，2x的“吉祥数”为8﹣2x，答：﹣5的吉祥数为13，2x的“吉祥数“为8﹣2x；（2）由题意得，3x﹣4＝8，解得x＝4，答：x的值是4；（3）不能，由题意得，4|x|+9＝8，则|x|＝﹣1，因为任何数的绝对值都是非负数，所以4|x|和9不能互为“吉祥数”．【点评】本题考查有理数的加法运算、“吉祥数”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站．下表记录了这辆公共汽车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数．停靠站起点站中间第1站中间第2站中间第3站中间第4站中间第5站中间第6站终点站上下车人数+21﹣3+8﹣4+20+4﹣7+1﹣9+6﹣70﹣12（1）中间第4站上车人数是1人，下车人数是7人；（2）中间的6个站中，第6站没有人上车，第3站没有人下车；（3）中间第2站开车时车上人数是24人，第5站停车时车上人数是22人；（4）从表中你还能知道什么信息？【分析】（1）用正负数来表示意义相反的两种量：上车记为正数，则下车就记为负数；通过统计表可以获取信息，即可得解；（2）0表示既没有人上车，也没有人下车，看出中间3站上车4人，下车0；中间6站下车7人，上车0；因此得解；（3）根据上车记为正数，则下车就记为负数；通过统计表可以获取信息，即可得解；（4）从表中可以知道：第5站下车的人数最多，第1站上车的人数最多．【解答】解：（1）中间第1站上车8人、下车3人；中间第2站上车2人、下车4人；中间第3站上车4人，没有人下车；中间第4站上车1人、下车7人；中间第5站上车6人、下车9人；中间第6站没有人上车，下车7人；（2）中间第6站没有人上车，中间第3站没有人下车；（3）中间第2站开车时车上人数是为：21﹣3+8﹣4+2＝24（人），第5站停车时车上人数是：21﹣3+8﹣4+2﹣0+4﹣7+1＝22（人）；（4）从表中可以知道：第5站下车的人数最多，第1站上车的人数最多．故答案为：（1）1，7；（2）6，3；（3）24，22；（4）如起点站上车21人（答案不唯一）．【点评】此题考查了简单的统计表，要求学会通过统计表获取信息，进一步认识负数的意义，理解正负数的意义是解题的关键．22．某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如表．与标准重量偏差（单位：千克）﹣2﹣10123袋数5103156（1）这30袋大米的总重量比标准总重量是多还是少？相差多少？（2）大米单价是每千克5.5元，食堂购进大米总共花多少钱？【分析】（1）求出偏差的和，依据和的正负即可判断，以每袋50千克为标准，计算出总质量，再加上偏差即可解决；（2）根据30袋大米的总重量乘上单价，即可得到总费用．【解答】解：（1）﹣2×5﹣1×10+0×3+1×1+2×5+3×6＝9千克，即这30袋大米共多出9千克；（2）∵这30袋大米的总质量是：50×30+9＝1509千克，大米单价是每千克5.5元，∴总费用＝1509×5.5＝8299.5元．【点评】此题考查有理数的加减运算问题，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量，依据这一点可以简化数的求和计算．23．某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售．他以每套55元的价格为标准，将超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣1，0，﹣2（单位：元）他卖完这八套儿童服装后是盈利还是亏损？他盈利（或亏损）了多少钱？【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对．他以每套55元的价格出售，售完应得盈利5×8＝40元，要想知道是盈利还是亏损，只要把他所记录的数据相加再与他应得的盈利相加即可，如果是正数，则盈利，是负数则亏损．【解答】解：+2+（﹣3）+2+1+（﹣2）+（﹣1）+0+（﹣2）＝﹣3，（55﹣400÷8）×8+（﹣3）＝37（元）．答：他盈利了37元．【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．24．我们知道，|a|的几何意义是：在数轴上数a对应的点到原点的距离，类似的，|x﹣y|的几何意义就是：数轴上数x，y对应点之间的距离．比如：2和5两点之间的距离可以用|2﹣5|表示，通过计算可以得到他们的距离是3．（1）数轴上1和﹣3两点之间的距离可以用|1﹣（﹣3）|表示，通过计算可以得到他们的距离是4．（2）数轴上表示x和﹣3的两点A、B之间的距离可以表示为AB＝|x﹣（﹣3）|；如果AB＝2，结合几何意义，那么x的值为﹣1或﹣5；（3）代数式|x﹣1|+|x+2|表示的几何意义是数轴上表示数x的点到1和﹣2两点的距离的和，该代数式的最小值是3．【分析】（1）根据题目中的几何意义可以直接得到1和﹣3两点之间的距离的表示方法，再计算即可；（2）根据题目中的几何意义可以直接得到x和﹣3两点之间的距离的表示方法，再解关于x的绝对值方程|x﹣（﹣3）|＝2即可；（3）根据两点之间距离的几何意义，结合数轴发现x在1和﹣2之间时，代数式的值最小．【解答】解：（1）数轴上1和﹣3两点之间的距离可以表示为|1﹣（﹣3）|；∴1和﹣3两点之间的距离是4．故答案为：|1﹣（﹣3）|；4．（2）数轴上表示x和﹣3的两点A、B之间的距离可以表示AB＝|x﹣（﹣3）|；∵AB＝2，∴|x﹣（﹣3）|＝2，∴x＝﹣1或﹣5．故答案为：|x﹣（﹣3）|；﹣1或﹣5．（3）代数式|x﹣1|+|x+2|表示的几何意义是数轴上表示数x的点到1和﹣2两点的距离的和；x位于﹣1到2之间时它们的距离和有最小值为3．故答案为：数轴上表示数x的点到1和﹣2两点的距离的和；3．【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，体现了数形结合思想．25．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+14，﹣9，+8，﹣7，+13，﹣6，+12，﹣5．（1）请你帮忙确定B地相对于A地的方位？（2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？（3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾