易错点04三角形(原卷版+解析)

易错点04三角形线段、角、相交线与平行线三角形及其性质全等三角形等腰三角形直角三角形相似三角形解直角三角形易错分析易错分析01三角形的概念以及三角形的角平分线，中线，高线的特征与区别。对三角形中“三线”位置掌握不好，导致出错三角形的角平分线、中线都在三角形内部，而三角形的高不一定在三角形内部.锐角三角形的高在三角形的内部；直角三角形的两条高与直角边重合，斜边上的高在三角形内部；钝角三角形的两条高在三角形外部。（2022春•市中区校级月考）如图，△ABC中，CD是AB边上的中线，AC＝9cm，BC＝3cm，那么△ACD和△BCD的周长的差是（）A．3cm B．6cm C．12cm D．无法确定【答案】C【思路点拨】本题答案有误，根据三角形的中线的概念得到AD＝DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【规范解答】解：∵CD是AB边上的中线，∴AD＝DB，∴△ACD的周长﹣△BCD的周长＝（AC+CD+AD）﹣（BC+CD+BD）＝AC﹣BC＝9﹣3＝6（cm），故选：B．【考点解读】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．【变式训练01】（2021秋•白碱滩区期末）如图，在△ABC中，BC边上的高为（）A．AD B．BE C．BF D．CG【变式训练02】（2022春•无锡期中）已知AD为△ABC的中线，AB＝12cm，AC＝9cm，△ACD的周长为27cm，则△ABD的周长为cm．【变式训练03】（2022春•徐州期中）如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°．（1）求∠AEC的度数；（2）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，AC＝4，则BC＝．易错分析易错分析02三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何两边”。求最短距离的方法要具有技巧性。（2022春•常州期中）已知△ABC的两条边a，b的长分别为1.5和7.5，则第三边c的正整数值是．【答案】7【思路点拨】答案不全面，没有考虑到‘任何两边’，根据三角形的三边关系确定第三边的范围，根据题意解答即可．【规范解答】解：∵△ABC的两条边a，b的长分别为1.5和7.5，∴7.5﹣1.5＜c＜7.5+1.5，即6＜c＜9，∴c的正整数值是7或8，故答案为：7或8．【考点解读】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．【变式训练01】（2022秋•泉州期中）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是AB边上一个动点，点F是CD边上一个动点，且AE＝CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，则AG长的最小值是．【变式训练02】（2022秋•南康区期中）已知a，b，c是一个三角形的三边长，（1）填入“＞、＜或＝”号：a﹣b﹣c0，b﹣a﹣c0，c+b﹣a0．（2）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|．【变式训练03】（2021秋•云浮期末）若△ABC的三边长分别为m﹣2，2m+1，8．（1）求m的取值范围；（2）若△ABC的三边均为整数，求△ABC的周长．易错分析易错分析03三角形的内角和，三角形的分类与三角形内外角性质，特别关注外角性质中的“不相邻”。n边形的内角和等于(n-2)·180°，而并非为n·180°对三角形外角的性质理解不透彻而出现错误，在应用三角形外角的性质时，不可忽略了“不相邻”这个条件。（2021秋•黄石期末）如图，△ABC的内角∠ABC的平分线BP与外角∠ACD的平分线CP交于点P，连接AP，若∠BPC＝46°，则∠CAP＝°．【答案】80°【思路点拨】答案有误，延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD＝x°，由角平分线的定义可得∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，从而可得PF＝PM，根据三角形的外角性质得∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣46）°，由三角形的内角和性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案．【规范解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，如图所示：设∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝46°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣46）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣46°）﹣（x°﹣46°）＝92°，∴∠CAF＝88°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝44°．故答案为：44．【考点解读】此题主要考查了角平分线的性质，三角形外角的性质，直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解决问题的关键．【变式训练01】（2022秋•前郭县期末）（问题背景）∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．（问题思考）（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝．（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．①若∠BAO＝70°，则∠D＝°．②随着点A、B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；（问题拓展）（3）在图②的基础上，如果∠MON＝α，其余条件不变，随着点A、B的运动（如图③），∠D＝．（用含α的代数式表示）【变式训练02】（2022春•宜兴市校级月考）如图，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M，若∠M＝35°，则∠CFE°．【变式训练03】（2022春•太仓市校级月考）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB的度数是度．易错分析易错分析04全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定。着重学会论证三角形全等。用“≌”表示两个三角形全等时，对应点放在对应位置，但用语言描述的两个三角形全等却不需要，不要形成固定思维.解决这类问题要考虑各种对应情况，避免出现考虑不全面，导致结果错误.判定一般三角形全等的方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”4种方法，不存在“SSA”的判定方法.（2022春•海陵区期末）如图，在正方形方格中，各正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．图中△ABC是格点三角形，请你找出方格中所有与△ABC全等，且以A为顶点的格点三角形．这样的三角形共有个（△ABC除外）．【答案】4【思路点拨】答案有误，答案不全面，根据全等三角形的判定定理SSS画出和△ABC全等的三角形，再得出答案即可．【规范解答】解：如图1所示：方格中所有与△ABC全等，且以A为顶点的格点三角形有△FAO，△HOA，△EAD，△AEF，△ACH，共5个，故答案为：5．【考点解读】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．【变式训练01】（2022秋•聊城月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由．（2）当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等．【变式训练02】（2020秋•江阴市月考）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝6cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过秒后，点P与点Q第一次在△ABC的边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）【变式训练03】（2022•杭州模拟）如图，已知∠CAE＝∠BAD，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个易错分析易错分析05两个角相等和平行经常是相似的基本构成要素，以及相似三角形对应高之比等于相似比，对应线段成比例，面积之比等于相似比的平方。相似三角形的常用判定方法有：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；两角对应相等，两三角形相似.全等三角形的常用判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS这4种。（2022秋•海陵区校级期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，记S△ADE＝16，S△EFC＝4，则S平行四边形DBFE＝（）A．9 B．12 C．16 D．20【答案】B【思路点拨】答案有误，证明△AED∽△ECF，根据相似三角形的性质求出＝，再证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可．【规范解答】解：∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C，∵EF∥AB，∴∠A＝∠CEF，∴△AED∽△ECF，∴＝（）2，∵S△ADE＝16，S△EFC＝4，∴＝2，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴S△ABC＝36，∴S平行四边形DBFE＝36﹣16﹣4＝16，故选：C．【考点解读】本题考查的是相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【变式训练01】（2022•江都区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4．矩形DEFG的顶点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若tan∠DEC＝，则矩形DEFG面积的最大值＝．【变式训练02】（2021•无锡）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，AB＝CD，BD平分∠ABC，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）若AD＝4，BC＝6，求线段DE的长度．【变式训练03】（2022•镇江一模）如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，EG切⊙O于点E，交射线CB的延长线于点G．点A在直线CE上，∠ABG＝2∠ACG．（1）用尺规作出点A（要求：不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AB，直线AB与GE相交于点F，，GB＝6．①求⊙O的半径；②连接CF，CF平分∠ACG吗？为什么？易错分析易错分析06等腰（等边）三角形的定义以及等腰（等边）三角形的判定与性质，运用等腰（等边）三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题，这里需注意分类讨论思想的渗入。但不可忽略三角形存在的条件，即任意两边之和大于第三边.对出现的情况需要逐一验证，确定取舍。（2020秋•盐城校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD是△ABC的角平分线．若在边AC上截取CE＝CB，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【思路点拨】答案有误，遗漏情况，根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．【规范解答】解：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴BD＝AD，∴△ABD是等腰三角形；在△BCD中，∵∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴BD＝BC，∴△BCD是等腰三角形；∵BE＝BC，∴BD＝BE，∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED＝（180°﹣36°）÷2＝72°，∴∠ADE＝∠BED﹣∠A＝72°﹣36°＝36°，∴∠A＝∠ADE，∴DE＝AE，∴△ADE是等腰三角形；∴图中的等腰三角形有5个．故选：D．【考点解读】此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏．【变式训练01】（2021秋•崇川区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作EM∥BC分别交AB，AC于M，N，则△AMN的周长为．【变式训练02】（2018秋•吴江区校级月考）（1）如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，过点D作ED∥BC．指出图中的等腰三角形，并说明理由．（2）如图②，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC．证明：EF＝BE+CF．【变式训练03】（2020•亭湖区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，∠MOA1＝30°，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4…△AnBnBn+1都是等边三角形，点A1，A2，A3…An在轴上，点B1，B2，B3…Bn+1在OM上，A1B2∥A2B3∥A3B4…AnBn+1∥y轴，，则第n个等边△AnBnBn+1的面积是．易错分析易错分析07运用勾股定理及其逆定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题。在题目中没有明确哪个角为直角时，常需要分类讨论，不可漏解。在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实第三边可能是斜边，也可能是直角边。（2021秋•常州期末）下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（）A．4，5，6 B．5，7，12 C．3，5， D．1，，【答案】A【思路点拨】答案有误，没有应用勾股定理公式解决问题。如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角．由此判定即可．【规范解答】解：A、∵52+42≠62，∴三条线段不能组成直角三角形，故A选项错误；B、∵52+72≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；C、∵32+（）2≠52，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；D、∵12+（）2＝（）2，∴三条线段能组成直角三角形，故D选项正确；故选：D．【考点解读】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．【变式训练01】（2022秋•工业园区校级期中）到目前为止，勾股定理的证明已超过400种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，点F落在AC上，点C与点E重合，斜边AB与斜边CD交于点M，连接AD，BD，若AC＝9，BC＝5，则四边形ACBD的面积为．【变式训练02】（2022秋•丰城市校级期末）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要元．【变式训练03】（2021秋•建邺区期末）如图①，长方体长AB为8cm，宽BC为6cm，高BF为4cm．在该长体的表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？（1）蚂蚁从点A爬行到点G，且经过棱EF上一点，画出其最短路径的平面图，并标出它的长．（2）设该长方体上底面对角线EG、FH相交于点O（如图②），则OE＝OF＝OG＝OH＝5cm．①蚂蚁从点B爬行到点O的最短路径的长为cm；②当点P在BC边上，设BP长为acm，求蚂蚁从点P爬行到点O的最短路的长（用含a的代数式表示）．易错分析易错分析08特殊角的三角函数值及计算。熟练记忆一些特殊角的三角函数值，不能搞混淆（2022秋•离石区期末）在△ABC中，若，∠A，∠B都是锐角，则△ABC是三角形．【答案】等腰【思路点拨】答案有误，直接利用特殊角的三角函数值得出∠A＝60°，∠B＝60°，进而得出答案．【规范解答】解：∵，∴sinA＝，cosB＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．【考点解读】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．【变式训练01】（2021秋•慈利县期末）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（）A．45° B．75° C．105° D．120°【变式训练02】（2022秋•驻马店期末）在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2＝0，则∠C的度数是．【变式训练03】（2022秋•河口区校级期末）计算：cos30°﹣tan60°﹣cos45°；cos60°﹣2sin245°+30°﹣sin30°．易错分析易错分析09解直角三角形的实际应用。坡度是指坡面的垂直高度h和水平宽度l的比值，而并非度数。仰角和俯角是指视线与水平线的夹角，而非视线与铅垂线的夹角。只有在直角三角形中才能解直角三角形，没有直角三角形时需要通过作辅助线构造直角三角形求解。（2022•郑州二模）如图是简化的冬奥会跳台滑雪的雪道示意图，AB为助滑道，BC为着陆坡，着陆坡倾角为α，A点与B点的高度差为h，A点与C点的高度差为120m，着陆坡BC长度为（）A． B． C．（120﹣h）sinα D．（120﹣h）cosα【答案】B【思路点拨】答案有误，过点A作AG⊥CD，交DC的延长线于点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，过点B作BF⊥AG，垂足为F，可得四边形BFGE矩形，从而得FG＝BE，然后在Rt△BEC中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【规范解答】解：过点A作AG⊥CD，交DC的延长线于点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，过点B作BF⊥AG，垂足为F，则四边形BFGE矩形，∴FG＝BE，∵AG＝120m，AF＝h，∴FG＝BE＝（120﹣h）m，在Rt△BEC中，BC＝＝m，故选：A．【考点解读】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式训练01】（2022•江阴市校级一模）图1是一款折叠式跑步机，其侧面结构示意图如图2（忽略跑步机的厚度）．该跑步机由支杆AB（点A固定），底座AD和滑动杆EF组成．支杆AB可绕点A转动，点E在滑槽AC上滑动．已知AB＝60cm，AC＝125cm．收纳时，滑动端点E向右滑至点C，点F与点A重合；打开时，点E从点C向左滑动，若滑动杆EF与AD夹角的正切值为2，则察看点F处的仪表盘视角为最佳．（1）BE＝cm；（2）当滑动端点E与点A的距离EA＝cm时，察看仪表盘视角最佳．【变式训练02】（2021•荆州）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，≈1.73）【变式训练03】（2022•亭湖区校级一模）盐城海棠公园为引导游客观光游览公园的盘点，在主要路口设置了导览指示牌，我校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得AB＝100cm，BC＝80cm，∠ABC＝120°，∠BCD＝75°，四边形DEFG为矩形，且DE＝5cm．请帮助该小组求出指示牌最高点A到地面EF的距离（结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75•≈0.26，tan75°≈3.73，≈1：414）．一．选择题1．（2021秋•沛县期末）下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（）A．，， B．，， C．3，4，5 D．6，8，112．（2021秋•泗阳县期末）如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（）A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠C＝∠D D．∠AOB＝∠DOC3．（2022秋•离石区期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，过D作BC的平行线交AC于M，若BC＝3，AC＝2，则DM＝（）A． B． C． D．4．（2021秋•双滦区期末）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则△ABO的面积与△CDO的面积的比为（）A．1：2 B． C．1：4 D．5．（2022秋•西岗区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是（）A． B． C． D．二．填空题（共6小题）6．（2022秋•惠山区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，已知tanB＝，S△ACD＝2，则S△ABC＝．7．（2022•富阳区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，∠OAB＝45°，∠ABO＝60°，BD＝8．点P从B点出发沿着BD方向运动，到达点O停止运动．连接AP，点B关于直线AP的对称点为Q．当点Q落在AC上时，则OQ＝，在运动过程中，点Q到直线BD的距离的最大值为．8．（2019秋•内江期末）等腰△ABC的腰AB边上的中线CD，把△ABC的周长分成12和15两部分，则底边BC长为．9．（2022秋•邗江区校级月考）如图，在△ABC中，BC＝6，＝，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为．10．（2022•锡山区校级三模）如图，平面内几条线段满足AB＝BC＝10．AB、CD的交点为E，现测得AD⊥BC，AD＝DE，，则CD的长度为．11．（2020•港南区一模）如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC＝6，那么线段GE的长为．三．解答题12．（2020春•辉南县校级月考）如图，A、B、C在同一直线上，且△ABD，△BCE都是等边三角形，AE交BD于点M，CD交BE于点N，求证：（1）∠BDN＝∠BAM；（2）△BMN是等边三角形．13．（2019秋•禅城区期末）一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？14．（2022•建邺区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC上且DA⊥AC，垂足为A．（1）求证：AB2＝BD•BC；（2）若BD＝2，则AC的长是．15．（2021•红谷滩区校级模拟）在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E沿AB滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知压柄BC的长度为15cm，BD＝5cm，压柄与托板的长度相等．（1）当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度；（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．tan37°≈0.75）易错点04三角形线段、角、相交线与平行线三角形及其性质全等三角形等腰三角形直角三角形相似三角形解直角三角形易错分析易错分析01三角形的概念以及三角形的角平分线，中线，高线的特征与区别。对三角形中“三线”位置掌握不好，导致出错三角形的角平分线、中线都在三角形内部，而三角形的高不一定在三角形内部.锐角三角形的高在三角形的内部；直角三角形的两条高与直角边重合，斜边上的高在三角形内部；钝角三角形的两条高在三角形外部。（2022春•市中区校级月考）如图，△ABC中，CD是AB边上的中线，AC＝9cm，BC＝3cm，那么△ACD和△BCD的周长的差是（）A．3cm B．6cm C．12cm D．无法确定【答案】C【思路点拨】本题答案有误，根据三角形的中线的概念得到AD＝DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【规范解答】解：∵CD是AB边上的中线，∴AD＝DB，∴△ACD的周长﹣△BCD的周长＝（AC+CD+AD）﹣（BC+CD+BD）＝AC﹣BC＝9﹣3＝6（cm），故选：B．【考点解读】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．【变式训练01】（2021秋•白碱滩区期末）如图，在△ABC中，BC边上的高为（）A．AD B．BE C．BF D．CG【思路点拨】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高线的定义解答．【规范解答】解：由图可知，△ABC中，BC边上的高为AD，故选：A．【考点解读】本题考查了三角形的高线的定义，是基础题，准确识图并熟记高线的定义是解题的关键．【变式训练02】（2022春•无锡期中）已知AD为△ABC的中线，AB＝12cm，AC＝9cm，△ACD的周长为27cm，则△ABD的周长为30cm．【思路点拨】根据三角形的中线的概念得到BD＝CD，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【规范解答】解：∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD，∵△ACD的周长为27cm，∴AC+CD+AD＝27cm，∴CD+AD＝BD+AD＝18cm，∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝30（cm），故答案为：30．【考点解读】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．【变式训练03】（2022春•徐州期中）如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°．（1）求∠AEC的度数；（2）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，AC＝4，则BC＝10．【思路点拨】（1）根据三角形的高的概念得到ADB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ABD，根据角平分线的定义求出∠ECB，根据三角形的外角性质计算即可；（2）根据三角形的中线的概念得到AF＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【规范解答】解：（1）∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝65°，∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°，∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°，∴∠ECB＝∠ACB＝25°，∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°；（2）∵F是AC中点，∴AF＝FC，∵△BCF与△BAF的周长差为3，∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3，∴BC﹣AB＝3，∵AB＝7，∴BC＝10，故答案为：10．【考点解读】本题考查的是三角形的三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．易错分析易错分析02三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何两边”。求最短距离的方法要具有技巧性。（2022春•常州期中）已知△ABC的两条边a，b的长分别为1.5和7.5，则第三边c的正整数值是．【答案】7【思路点拨】答案不全面，没有考虑到‘任何两边’，根据三角形的三边关系确定第三边的范围，根据题意解答即可．【规范解答】解：∵△ABC的两条边a，b的长分别为1.5和7.5，∴7.5﹣1.5＜c＜7.5+1.5，即6＜c＜9，∴c的正整数值是7或8，故答案为：7或8．【考点解读】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．【变式训练01】（2022秋•泉州期中）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是AB边上一个动点，点F是CD边上一个动点，且AE＝CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，则AG长的最小值是2﹣2．【思路点拨】连接AC与EF相交于O，判断出点O是正方形的中心，连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．【规范解答】解：如图，连接AC与EF相交于O，∵四边形ABCD是正方形，∴∠OAE＝∠OCF，∵∠AOE＝∠COF，AE＝CF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OA＝OC，∴点O是正方形的中心，连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，过点M作MH⊥AB于H．则MH＝BH＝2，AH＝6，由勾股定理可得MA＝＝2，MG＝OB＝2，∵AG≥AM﹣MG＝2﹣2，当A，M，G三点共线时，AG最小＝2﹣2．故答案为：2﹣2．【考点解读】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出AM，MG的值．【变式训练02】（2022秋•南康区期中）已知a，b，c是一个三角形的三边长，（1）填入“＞、＜或＝”号：a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c+b﹣a＞0．（2）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|．【思路点拨】（1）利用三边关系直接写出答案即可；（2）根据（1）的判断去掉绝对值符号后合并同类项即可．【规范解答】解：（1）∵a，b，c是一个三角形的三边长，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c+b﹣a＞0，故答案为：＜，＜，＞；（2）原式＝b+c﹣a+a+c﹣b﹣c﹣b+a＝a﹣b+c．【考点解读】考查了三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减，关键是得到a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c+b﹣a＞0．【变式训练03】（2021秋•云浮期末）若△ABC的三边长分别为m﹣2，2m+1，8．（1）求m的取值范围；（2）若△ABC的三边均为整数，求△ABC的周长．【思路点拨】（1）直接利用三角形三边关系得出不等式组求出答案；（2）利用m的取值范围得出m的值，进而得出答案．【规范解答】解：（1）根据三角形的三边关系，，解得：3＜m＜5；（2）因为△ABC的三边均为整数，且3＜m＜5，所以m＝4．所以，△ABC的周长为：（m﹣2）+（2m+1）+8＝3m+7＝3×4+7＝19．【考点解读】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出不等式组是解题关键．易错分析易错分析03三角形的内角和，三角形的分类与三角形内外角性质，特别关注外角性质中的“不相邻”。n边形的内角和等于(n-2)·180°，而并非为n·180°对三角形外角的性质理解不透彻而出现错误，在应用三角形外角的性质时，不可忽略了“不相邻”这个条件。（2021秋•黄石期末）如图，△ABC的内角∠ABC的平分线BP与外角∠ACD的平分线CP交于点P，连接AP，若∠BPC＝46°，则∠CAP＝°．【答案】80°【思路点拨】答案有误，延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD＝x°，由角平分线的定义可得∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，从而可得PF＝PM，根据三角形的外角性质得∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣46）°，由三角形的内角和性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案．【规范解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，如图所示：设∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝46°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣46）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣46°）﹣（x°﹣46°）＝92°，∴∠CAF＝88°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝44°．故答案为：44．【考点解读】此题主要考查了角平分线的性质，三角形外角的性质，直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解决问题的关键．【变式训练01】（2022秋•前郭县期末）（问题背景）∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．（问题思考）（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝135°．（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．①若∠BAO＝70°，则∠D＝45°．②随着点A、B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；（问题拓展）（3）在图②的基础上，如果∠MON＝α，其余条件不变，随着点A、B的运动（如图③），∠D＝．（用含α的代数式表示）【思路点拨】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；（2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；②由①的思路可得结论；（3）在②的基础上，将90°换成α即可．【规范解答】解：（1）∵∠MON＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE＝∠BAO，∠ABE＝∠ABO，∴∠BAE+∠ABE＝（∠BAO+∠ABO）＝45°，∴∠AEB＝135°；故答案为：135°；（2）①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝70°，∴∠ABO＝20°，∠ABN＝160°，∵BC是∠ABN的平分线，∴∠OBD＝∠CBN＝×160°＝80°，∵AD平分∠BAO，∴∠DAB＝35°，∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣80°﹣35°﹣20°＝45°，故答案为：45；②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，设∠BAD＝x，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO＝2x，∵∠AOB＝90°，∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2x，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC＝45°+x，∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+x﹣x＝45°；（3）设∠BAD＝x，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO＝2x，∵∠AOB＝α，∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝α+2x，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC＝+x，∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝+x﹣x＝；故答案为：．【考点解读】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．【变式训练02】（2022春•宜兴市校级月考）如图，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M，若∠M＝35°，则∠CFE＝55°．【思路点拨】由平角的性质和角平分线的性质可求∠EAN＝90°，由外角的性质可求解．【规范解答】证明：∵C、A、G三点共线AE、AN为角平分线，∴∠EAN＝90°，又∵∠GAN＝∠CAM，∴∠M+∠CEF＝90°，∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，∴∠CEF＝∠CFE，∴∠M+∠CFE＝90°．∴∠CFE＝90°﹣∠M＝90°﹣35°＝55°．故答案为：55°．【考点解读】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，余角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．【变式训练03】（2022春•太仓市校级月考）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB的度数是60度．【思路点拨】由题意AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，推出∠CAE＝∠BAE，∠ABF＝∠DBF，设∠CAE＝∠BAE＝x，设∠C＝y，∠ABC＝3y，想办法用含x和y的代数式表示∠ABF和∠DBF即可解决问题．【规范解答】解：如图：∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，∴∠CAE＝∠BAE，∠1＝∠2，设∠CAE＝∠BAE＝x，∠C＝y，∠ABC＝3y，由外角的性质得：∠1＝∠BAE+∠G＝x+20，∠2＝∠ABD＝（2x+y）＝x+y，∴x+20＝x+y，解得y＝40°，∴∠1＝∠2＝（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣120°）＝30°，∴∠DFB＝60°．故答案为：60．【考点解读】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．易错分析易错分析04全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定。着重学会论证三角形全等。用“≌”表示两个三角形全等时，对应点放在对应位置，但用语言描述的两个三角形全等却不需要，不要形成固定思维.解决这类问题要考虑各种对应情况，避免出现考虑不全面，导致结果错误.判定一般三角形全等的方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”4种方法，不存在“SSA”的判定方法.（2022春•海陵区期末）如图，在正方形方格中，各正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．图中△ABC是格点三角形，请你找出方格中所有与△ABC全等，且以A为顶点的格点三角形．这样的三角形共有个（△ABC除外）．【答案】4【思路点拨】答案有误，答案不全面，根据全等三角形的判定定理SSS画出和△ABC全等的三角形，再得出答案即可．【规范解答】解：如图1所示：方格中所有与△ABC全等，且以A为顶点的格点三角形有△FAO，△HOA，△EAD，△AEF，△ACH，共5个，故答案为：5．【考点解读】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．【变式训练01】（2022秋•聊城月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由．（2）当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等．【思路点拨】（1）经过1秒后，可得BP＝CQ＝3厘米，则PC＝8﹣3＝5厘米，可证明△BPE≌△CQP；（2）由△BPE与△CQP全等可知有△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ，全等可得BP＝CP或BP＝CQ，或可求得BP的长，可求得P点运动的时间，由CQ＝BE或CQ＝BP可求得Q点运动的路程，可求得其速度．【规范解答】解：（1）△BPE与△CQP全等，理由如下：当运动1秒后，则BP＝CQ＝3厘米，∴PC＝BC﹣BP＝8﹣3＝5厘米，∵E为AB中点，且AB＝10厘米∴BE＝5厘米，∴BE＝PC，在△BPE和△CQP中∴△BPE≌△CQP（SAS）；（2）∵△BPE与△CQP全等，∴△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ，当△BEP≌△CQP时，则BP＝CP，CQ＝BE＝5厘米，设P点运动的时间为t秒，则3t＝8﹣3t，解得t＝，∴Q点的运动的速度＝5÷＝（厘米/秒），当△BEP≌△CPQ时，由（1）可知t＝1（秒），∴BP＝CQ＝3厘米，∴Q点的运动的速度＝3÷1＝3（厘米/秒），即当Q点每秒运动厘米或3厘米时△BEP≌△CQP．【考点解读】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL【变式训练02】（2020秋•江阴市月考）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝6cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过30秒后，点P与点Q第一次在△ABC的BC边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）【思路点拨】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中BP、CQ和BD、PC边的长，根据SAS判定两个三角形全等；②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度．（2）设经过x秒后点P，Q第一次相遇，由题意列出x＝x+2×10，可得x＝30，所以点P共运动了30×1m/s＝30cm．可得点P、点Q在BC边上相遇，进而可以解决问题．【规范解答】解：（1）①△BPD与△CQP全等，理由如下：∵t＝1秒，∴BP＝CQ＝1×1＝1cm，∵AB＝10cm，点D为AB的中点，∴BD＝5cm，又∵PC＝BC﹣BP，BC＝6cm，∴PC＝6﹣1＝5cm，∴PC＝BD．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BPD与△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS）；②∵VP≠VQ，∴BP≠CQ，而∠B＝∠C，∴△BPD与△CQP全等时，只能是△BPD≌△CPQ，∴BP＝CP＝3，BD＝CQ＝5，∴点P，点Q运动的时间t＝BP÷1＝3÷1＝3（秒），∴vQ＝CQ÷t＝5÷3＝（cm/s），∴当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等；（2）设经过x秒后点P，Q第一次相遇，由题意得：x＝x+2×10，解得x＝30，∴点P共运动了30×1m/s＝30（cm）．∴点P、点Q在BC边上相遇，∴经过30秒点P与点Q第一次在边BC上相遇．故答案为：30，BC．【考点解读】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，路程、速度与时间的关系，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．【变式训练03】（2022•杭州模拟）如图，已知∠CAE＝∠BAD，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】根据全等三角形的判定解决此题．【规范解答】解：①由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE．增加AB＝AE，那么AB＝AE，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，推断出△ABC≌△AED，故①符合题意．②由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE．添加BC＝ED，△ABC与△AED不一定全等，故②不符合题意．③由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE．增加∠C＝∠D，那么∠C＝∠D，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，推断出△ABC≌△AED，故③符合题意．④由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE．增加∠B＝∠E，那么∠B＝∠E，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，推断出△ABC≌△AED，故④符合题意．综上：符合题意的有①③④，共3个．故选：C．【考点解读】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键．易错分析易错分析05两个角相等和平行经常是相似的基本构成要素，以及相似三角形对应高之比等于相似比，对应线段成比例，面积之比等于相似比的平方。相似三角形的常用判定方法有：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；两角对应相等，两三角形相似.全等三角形的常用判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS这4种。（2022秋•海陵区校级期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，记S△ADE＝16，S△EFC＝4，则S平行四边形DBFE＝（）A．9 B．12 C．16 D．20【答案】B【思路点拨】答案有误，证明△AED∽△ECF，根据相似三角形的性质求出＝，再证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可．【规范解答】解：∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C，∵EF∥AB，∴∠A＝∠CEF，∴△AED∽△ECF，∴＝（）2，∵S△ADE＝16，S△EFC＝4，∴＝2，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴S△ABC＝36，∴S平行四边形DBFE＝36﹣16﹣4＝16，故选：C．【考点解读】本题考查的是相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【变式训练01】（2022•江都区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4．矩形DEFG的顶点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若tan∠DEC＝，则矩形DEFG面积的最大值＝．【思路点拨】过点F作FM⊥AC，垂足为M，根据已知可得＝，再根据矩形的性质可证一线三等角模型相似三角形△FME∽△ECD，从而可得＝＝，然后设ME＝3x，FM＝4x，DC＝3y，EC＝4y，利用勾股定理可得FE＝5x，DE＝5y，再在Rt△AFM中，利用锐角三角函数的定义表示出AM＝4x，从而根据AC＝4，可得y＝1﹣x，最后根据矩形的面积公式进行计算可得矩形DEFG的面积＝﹣x2+25x，从而利用二次函数的最值进行计算即可解答．【规范解答】解：过点F作FM⊥AC，垂足为M，∴∠FMA＝∠FME＝90°，∴∠MFE＝∠FEM＝90°，∵∠C＝90°，tan∠DEC＝，∴＝，∵四边形EFGD是矩形，∴∠FED＝90°，∴∠FEM+∠DEC＝90°，∴∠MFE＝∠DEC，∵∠C＝∠FME＝90°，∴△FME∽△ECD，∴＝＝，设ME＝3x，FM＝4x，DC＝3y，EC＝4y，∴EF＝＝＝5x，DE＝＝＝5y，∵∠C＝90°，AC＝BC＝4，∴∠A＝∠B＝45°，∴AM＝＝4x，∵AM+ME+EC＝4，∴4x+3x+4y＝4，∴y＝1﹣x，∴矩形DEFG的面积＝EF•DE＝5x•5y＝25x（1﹣x）＝﹣x2+25x，∴当x＝时，矩形DEFG的面积最大值为：，故答案为：．【考点解读】本题考查了二次函数的最值，等腰直角三角形，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式训练02】（2021•无锡）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，AB＝CD，BD平分∠ABC，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）若AD＝4，BC＝6，求线段DE的长度．【思路点拨】（1）根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠DBC，从而可得＝，进而可得＝，然后再利用等弧所对的圆周角相等可得∠ACB＝∠ABD，即可解答；（2）根据同弧所对的圆周角相等可得∠DAC＝∠ACB，∠ADB＝∠DBC，从而证明△ADE∽△CBE，进而利用相似三角形的性质可得＝＝，然后设AE＝2a，CE＝3a，从而利用（1）的结论可得AB2＝AC•AE，列出关于a的方程，进行计算即可求出a的值，最后根据等弧所对的圆周角相等可得∠ADE＝∠DAE，从而可得AE＝DE，即可解答．【规范解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴＝，∵AB＝CD，∴＝，∴＝，∴∠ACB＝∠ABD，∵∠BAE＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB；（2）解：∵＝，∴∠DAC＝∠ACB，∠ADB＝∠DBC，∴△ADE∽△CBE，∴＝＝＝，∴设AE＝2a，CE＝3a，∴AC＝AE+CE＝5a，∵△ABE∽△ACB，∴＝，∴AB2＝AC•AE，∴16＝2a•5a，∴a＝或a＝﹣（舍去），∴AE＝2a＝，∵＝，∴∠ADE＝∠DAE，∴AE＝DE＝，∴线段DE的长度为．【考点解读】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，角平分线的性质，熟练掌握圆周角定理，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．【变式训练03】（2022•镇江一模）如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，EG切⊙O于点E，交射线CB的延长线于点G．点A在直线CE上，∠ABG＝2∠ACG．（1）用尺规作出点A（要求：不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AB，直线AB与GE相交于点F，，GB＝6．①求⊙O的半径；②连接CF，CF平分∠ACG吗？为什么？【思路点拨】（1）以B为圆心BC为半径作弧，交直线CE于点A，点A即为所求；（2）①在Rt△GFB中，勾股定理求得FB，证明△GFB∽△GEO，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求得r；②连接CF，BE，OE，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，由①中数据勾股定理求得EC，设F到AC距离为a，到GC的距离为b，根据等面积法求得的值，根据角平分线的性质即可证明CF不平分∠ACG．【规范解答】解：（1）如图，以B为圆心BC为半径作弧，交直线CE于点A，点A即为所求，（2）如图，连接OE，∵EG是⊙O的切线，∴OE⊥GE，∵AB＝BC，∴∠ABG＝2∠ACG，∵OE＝OC，∴∠EOG＝2∠ECO，∴OE∥FB，∴BF⊥FG，在Rt△GFB中，GF＝4，GB＝6，∴FB＝2，∴△△GFB∽△GEO，∴FB：OE＝GB：GO，设半径为r，则2：r＝6：（6+r），解得r＝3；②CF不平分∠ACG，理由如下：连接CF，BE，OE，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，∵GF＝4，GB＝6，OE＝3，FB＝2，∴AB＝BC＝6，∴AF＝AB﹣FB＝4，∵OE∥FB，∴△GFB∽△GEO，∴EF：GF＝OB：BG＝3：6，∴EF＝GF＝2在Rt△EFB中，BE＝2，在Rt△EBC中，EC＝2，∵AB＝BC，BE⊥AC，∴AC＝2AE＝4，设F到AC距离为a，到GC的距离为b，∴S△AFC：S△BFC＝AC•a：（BC•b）＝AF•CD：（FB•CD），∴＝＝＝≠1，若CF平分∠ACG，则a＝b，∴CF不平分∠ACG．易错分析易错分析06等腰（等边）三角形的定义以及等腰（等边）三角形的判定与性质，运用等腰（等边）三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题，这里需注意分类讨论思想的渗入。但不可忽略三角形存在的条件，即任意两边之和大于第三边.对出现的情况需要逐一验证，确定取舍。（2020秋•盐城校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD是△ABC的角平分线．若在边AC上截取CE＝CB，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【思路点拨】答案有误，遗漏情况，根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．【规范解答】解：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴BD＝AD，∴△ABD是等腰三角形；在△BCD中，∵∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴BD＝BC，∴△BCD是等腰三角形；∵BE＝BC，∴BD＝BE，∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED＝（180°﹣36°）÷2＝72°，∴∠ADE＝∠BED﹣∠A＝72°﹣36°＝36°，∴∠A＝∠ADE，∴DE＝AE，∴△ADE是等腰三角形；∴图中的等腰三角形有5个．故选：D．【考点解读】此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏．【变式训练01】（2021秋•崇川区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作EM∥BC分别交AB，AC于M，N，则△AMN的周长为6．【思路点拨】根据BE、CE是角平分线和MN∥BC可以得出MB＝ME，NE＝NC，继而可以得出△AMN的周长＝AB+AC，从而可以得出答案．【规范解答】解：∵BE，CE分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，∴∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB，∵MN∥BC，∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，∴∠MBE＝∠MEB，∠NCE＝∠NEC，∴MB＝ME，NC＝NE，∵AB＝AC＝3，∴△AMN的周长＝AM+ME+NE+AN＝AM+MB+AN+NC＝AB+AC＝3+3＝6．故答案为：6．【考点解读】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，是一道综合题，能够推出MB＝ME，NE＝NC是解题的关键．【变式训练02】（2018秋•吴江区校级月考）（1）如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，过点D作ED∥BC．指出图中的等腰三角形，并说明理由．（2）如图②，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC．证明：EF＝BE+CF．【思路点拨】（1）根据角平分线的定义以及平行线的性质，可得∠EBD＝∠EDB，进而得出△BDE是等腰三角形．（2）根据角平分线的定义可得∠CBO＝∠ABO，根据两直线平行，内错角相等可得∠BOE＝∠CBO，等量代换可得∠ABO＝∠BOE，根据等角对等边可得BE＝OE，同理可得CF＝OF，然后根据EF＝EO+OF等量代换即可得证．【规范解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，ED∥BC，∴∠EBD＝∠CBD，∠EDB＝∠CBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴DE＝BE，即△BDE是等腰三角形．（2）∵OB平分∠ABC，∵EF∥BC，∴∠BOE＝∠CBO，∴∠ABO＝∠BOE，∴BE＝OE，同理可得CF＝OF，∵EF＝EO+OF，∴EF＝BE+CF．【考点解读】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义的综合运用，熟练掌握性质与判定是解本题的关键．【变式训练03】（2020•亭湖区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，∠MOA1＝30°，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4…△AnBnBn+1都是等边三角形，点A1，A2，A3…An在轴上，点B1，B2，B3…Bn+1在OM上，A1B2∥A2B3∥A3B4…AnBn+1∥y轴，，则第n个等边△AnBnBn+1的面积是．【思路点拨】根据题意可得前几个等边三角形的面积，进而可得结论．【规范解答】解：∵A1B2∥y轴，∴∠OA1B1＝90°，∵∠MOA1＝30°，，∴A1B2＝2，∴S＝A1B22•sin60°＝4×＝，∵∠OA2B2＝90°﹣60°＝30°，∴OB2＝A2B2＝B2B3，A1A2＝OA1＝2，∴OA2＝4，A2B3＝4，∴S△＝A2B32•sin60°＝16×＝4，同理：OA3＝8，A2B3＝8，∴S△＝A3B42•sin60°＝64×＝42，…，∴第n个等边△AnBnBn+1的面积是：4n﹣1，故答案为：4n﹣1．【考点解读】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数，三角形面积公式，等腰三角形的性质，根据图形求出面积得到规律是解题关键．易错分析易错分析07运用勾股定理及其逆定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题。在题目中没有明确哪个角为直角时，常需要分类讨论，不可漏解。在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实第三边可能是斜边，也可能是直角边。（2021秋•常州期末）下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（）A．4，5，6 B．5，7，12 C．3，5， D．1，，【答案】A【思路点拨】答案有误，没有应用勾股定理公式解决问题。如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角．由此判定即可．【规范解答】解：A、∵52+42≠62，∴三条线段不能组成直角三角形，故A选项错误；B、∵52+72≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；C、∵32+（）2≠52，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；D、∵12+（）2＝（）2，∴三条线段能组成直角三角形，故D选项正确；故选：D．【考点解读】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．【变式训练01】（2022秋•工业园区校级期中）到目前为止，勾股定理的证明已超过400种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，点F落在AC上，点C与点E重合，斜边AB与斜边CD交于点M，连接AD，BD，若AC＝9，BC＝5，则四边形ACBD的面积为53．【思路点拨】根据全等三角形的性质可得DF＝AC＝9，CF＝BC＝5，再根据四边形ACBD的面积＝△DAC的面积+△DBC的面积，列出算式计算即可求解．【规范解答】解：∵Rt△ABC≌Rt△DEF，∴DF＝AC＝9，CF＝BC＝5，∴四边形ACBD的面积＝△DAC的面积+△DBC的面积＝×9×9+×5×5＝53．故答案为：53．【考点解读】本题考查了勾股定理的证明，关键是求出DF＝AC＝9，CF＝BC＝5，以及由图形得到四边形ACBD的面积＝△DAC的面积+△DBC的面积．【变式训练02】（2022秋•丰城市校级期末）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要680元．【思路点拨】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AB与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解．【规范解答】解：由勾股定理得AB＝＝＝12（m），则地毯总长为12+5＝17（m），则地毯的总面积为17×2＝34（平方米），所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）．故答案为：680．【考点解读】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．【变式训练03】（2021秋•建邺区期末）如图①，长方体长AB为8cm，宽BC为6cm，高BF为4cm．在该长体的表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？（1）蚂蚁从点A爬行到点G，且经过棱EF上一点，画出其最短路径的平面图，并标出它的长．（2）设该长方体上底面对角线EG、FH相交于点O（如图②），则OE＝OF＝OG＝OH＝5cm．①蚂蚁从点B爬行到点O的最短路径的长为4cm；②当点P在BC边上，设BP长为acm，求蚂蚁从点P爬行到点O的最短路的长（用含a的代数式表示）．【思路点拨】（1）画出展开图连接AG交EF于点M，根据勾股定理求出AG的长即可；（2）①画出展开图连接OB，作ON⊥AB于点N，根据勾股定理求出OB的值即可；②画出展开图连接OP，作OQ⊥BC于点Q，根据勾股定理求出OP的值即可．【规范解答】解：（1）展开面HGFE和面ABFE如下图，连接AG交EF于点M，由题意知，AB＝8cm，BG＝BF+FG＝6+4＝10（cm），∴AG＝＝＝2（cm），即AG的长为2cm；（2）①展开面HGFE和面ABFE如下图，连接OB，作ON⊥AB于点N，由题意知，ON＝4+×6＝7（cm），BN＝8＝4（cm），∴OB＝＝＝（cm），故答案为：；②展开面HGFE和面BCGF如下图，连接OP，作OQ⊥BC于点Q，由题意知，OQ＝+4＝8（cm），PQ＝|×6﹣a|＝|3﹣a|（cm），∴OP＝＝＝（cm），即蚂蚁从点P爬行到点O的最短路的长为cm．【考点解读】本题主要考查展开图的最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．易错分析易错分析08特殊角的三角函数值及计算。熟练记忆一些特殊角的三角函数值，不能搞混淆（2022秋•离石区期末）在△ABC中，若，∠A，∠B都是锐角，则△ABC是三角形．【答案】等腰【思路点拨】答案有误，直接利用特殊角的三角函数值得出∠A＝60°，∠B＝60°，进而得出答案．【规范解答】解：∵，∴sinA＝，cosB＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．【考点解读】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．【变式训练01】（2021秋•慈利县期末）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（）A．45° B．75° C．105° D．120°【思路点拨】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，根据三角形内角和定理计算即可．【规范解答】解：由题意得，sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，即sinA＝，＝cosB，解得，∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，故选：C．【考点解读】本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．【变式训练02】（2022秋•驻马店期末）在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2＝0，则∠C的度数是75°．【思路点拨】根据特殊角的三角函数值分别求出∠A，∠B，根据三角形的内角和定理计算，得到答案．【规范解答】解：∵|sinA﹣|+（cosB﹣）2＝0，∴|sinA﹣|＝0，（cosB﹣）2＝0，∴sinA＝，cosB＝，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°，故答案为：75°．【考点解读】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°的四个三角函数值是解题的关键．【变式训练03】（2022秋•河口区校级期末）计算：（1）cos30°﹣tan60°﹣cos45°；（2）cos60°﹣2sin245°+30°﹣sin30°．【思路点拨】（1）根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可；（2）根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可．【规范解答】解：（1）cos30°﹣tan60°﹣cos45°＝＝．（2）＝＝＝．【考点解读】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．易错分析易错分析09解直角三角形的实际应用。坡度是指坡面的垂直高度h和水平宽度l的比值，而并非度数。仰角和俯角是指视线与水平线的夹角，而非视线与铅垂线的夹角。只有在直角三角形中才能解直角三角形，没有直角三角形时需要通过作辅助线构造直角三角形求解。（2022•郑州二模）如图是简化的冬奥会跳台滑雪的雪道示意图，AB为助滑道，BC为着陆坡，着陆坡倾角为α，A点与B点的高度差为h，A点与C点的高度差为120m，着陆坡BC长度为（）A． B． C．（120﹣h）sinα D．（120﹣h）cosα【答案】B【思路点拨】答案有误，过点A作AG⊥CD，交DC的延长线于点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，过点B作BF⊥AG，垂足为F，可得四边形BFGE矩形，从而得FG＝BE，然后在Rt△BEC中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【规范解答】解：过点A作AG⊥CD，交DC的延长线于点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，过点B作BF⊥AG，垂足为F，则四边形BFGE矩形，∴FG＝BE，∵AG＝120m，AF＝h，∴FG＝BE＝（120﹣h）m，在Rt△BEC中，BC＝＝m，故选：A．【考点解读】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式训练01】（2022•江阴市校级一模）图1是一款折叠式跑步机，其侧面结构示意图如图2（忽略跑步机的厚度）．该跑步机由支杆AB（点A固定），底座AD和滑动杆EF组成．支杆AB可绕点A转动，点E在滑槽AC上滑动．已知AB＝60cm，AC＝125cm．收纳时，滑动端点E向右滑至点C，点F与点A重合；打开时，点E从点C向左滑动，若滑动杆EF与AD夹角的正切值为2，则察看点F处的仪表盘视角为最佳．（1）BE＝65cm；（2）当滑动端点E与点A的距离EA＝（13+2）或（13﹣2）cm时，察看仪表盘视角最佳．【思路点拨】（1）利用线段的和差定义求解即可；（2）分∠BAE是锐角或钝角，分别画出图形求解即可．【规范解答】解：（1）由题意BE＝AC﹣AB＝125﹣60＝65（cm）．故答案为：65．（2）如图2﹣1中，当∠BAE是锐角时，过点B作BT⊥AE于点T．在Rt△BTE中，BE＝65cm，tan∠BET＝＝2，∴ET＝13（c