专题09含30°角的直角三角形(原卷版+解析)

2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题09含30°角的直角三角形考试时间：120分钟试卷满分：100分姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021八上·松桃期末）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF=1，则DF的长为（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.52．（2分）（2021八上·平阴期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是()A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7.33．（2分）（2021八上·海丰期末）如图，为的角平分线，，，点P，C分别为射线，上的动点，则的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．64．（2分）（2021八上·海淀期末）如图，是等边三角形，D是BC边上一点，于点E．若，则DC的长为（）A．4 B．5 C．6 D．75．（2分）（2021八上·乌兰察布期末）如图所示，在直角三角形ACB中，已知∠ACB=90°，点E是AB的中点，且，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D=30°，EF=2，则DF的长是（）A．5 B．4 C．3 D．26．（2分）（2021八上·西峰期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，连结AD，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，若EF=3，则AE的长是（）A．3 B．6 C．9 D．127．（2分）（2021八上·无棣期中）已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE=∠C，②AQ=BQ，③BP=2PQ，④AE+BD=AB，其正确的个数有（）个A．1 B．2 C．3 D．48．（2分）（2021八上·如皋期末）如图，在中，，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且有下列结论：①；②为等边三角形；③；④其中正确的结论是（）A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④9．（2分）（2021八上·温州期中）如图，△ABC与△CED均为等边三角形，且B，C，D三点共线.线段BE，AD相交于点O，AF⊥BE于点F.若OF=1，则AF的长为（）A．1 B． C． D．210．（2分）（2021八上·武昌期末）如图，已知：，点、、在射线ON上，点、、在射线OM上，、、均为等边三角形，若，则的边长为（）A．2017 B．2018 C． D．评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2021八上·徐汇期末）如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF//OB，EC⊥OB，若EC＝2，则EF＝．12．（2分）（2021八上·道里期末）等腰的顶角为30°，腰长为8，则的面积为．13．（2分）（2021八上·大兴期末）如图，在中，，，交BC于点D．若，则．14．（2分）（2021八上·临江期末）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝15．（2分）（2021八上·如皋月考）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，E是线段AC上一点，连接BE并延长至D，连接CD，若∠BCD＝120°，AB＝2CD，AE＝7，则线段CE长为.16．（2分）（2021八上·德阳月考）如图，在等边△ABC中，AB=2，D为△ABC内一点，且DA=DB，E为△ABC外一点，BE=AB，且∠EBD=∠CBD，连接DE、CE，则下列结论；①∠DAC=∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB=30°.④若EC//AD，则S△EBC=1.其中正确的有．（只填序号）17．（2分）（2020八上·江岸月考）如图，等边三角形ABC中，BD⊥AC于D，BC＝8，E在BD上一动点，以CE为边作等边三角形ECP，连DP，则DP的最小值为.18．（2分）（2021八上·吴兴期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，AG是底边BC上的高.在AG的延长线上有一个动点D，连接CD，作∠CDE＝150°，交AB的延长线于点E，∠CDE的角平分线交AB边于点F，则在点D运动的过程中，线段EF的最小值为.19．（2分）（2018八上·海曙期末）如图，△ABC中，∠A=15°，AB是定长.点D，E分别在AB，AC上运动，连结BE，ED．若BE+ED的最小值是2，则AB的长是20．（2分）（2017八上·丰都期末）如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2021八上·丰台期末）如图，在中，∠°，∠°，⊥AB于点D，交AC于点E，如果，求的长．22．（6分）（2021八上·河东期中）如图，学校科技小组计划测量一处电信塔的高度，小明在A处用仪器测得到塔尖D的仰角∠DAC＝15°，向塔正前方水平直行260m到达点B，测得到塔尖的仰角∠DBC＝30°，若小明的眼睛离地面1.6m，你能计算出塔的高度DE吗？写出计算过程．23．（6分）（2021八上·河东期中）如图在△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长．24．（8分）（2021八上·河东期末）（1）（4分）已知直角，∠C=90°，∠B=30°，求证：AB=2AC．（2）（4分）如图，AD是的角平分线，DE，DF分别是ABD和ACD的高，求证：AD垂直平分EF．25．（11分）（2021八上·望花期末）某游乐场部分平面图如图所示，点C、E、A在同一直线上，点D、E、B在同一直线上，DB⊥AB．测得A处与E处的距离为80m，C处与E处的距离为40m，∠C＝90°，∠BAE＝30°．（1）（3分）请求出旋转木马E处到出口B处的距离；（2）（4分）请求出海洋球D处到出口B处的距离；（3）（4分）判断入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．26．（5分）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，求AD的长.27．（8分）（2020八上·东海期末）问题情境：七下教材第149页提出这样一个问题：如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F，PE与PF相等吗？（1）（4分）七年级学习这部分内容时，我们还无法对这个问题的结论加以证明，八下教材第59页第11题不仅对这一问题给出了答案：“通过实验可以得到PE＝PF”，还要求“现在请你证明这个结论”，请你给出证明：（2）（4分）变式拓展：

如图2，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上一点，∠EPF＝60°，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F.试解决下列问题：①PE与PF还相等吗？为什么？②试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由.28．（10分）（2021八上·长沙月考）已知△ABC是等边三角形，E、F分别是边BC、AC上的点，AE与BF相交于点G，且BE=CF.（1）（3分）如图（1），求证：△BCF≌△ABE，并直接写出∠AGF的度数；（2）（3分）如图（2），若DF⊥AE，垂足为D，且DG=1，BF=4，求BG的长度；（3）（4分）如图（3），以AB为边在左侧作等边△ABD，连接DG，求证：DG=AG+BG.2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题09含30°角的直角三角形考试时间：120分钟试卷满分：100分一、选择题(共10题；共20分)1．（2分）（2021八上·松桃期末）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF=1，则DF的长为（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【答案】C【完整解答】解：连接BE，∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，∴∠ABC=60°，∠ABE=∠CBE=30°，∵EF⊥AB，∴∠D=90°-∠ABC=30°，即∠D=∠CBE=30°，∴BE=DE，在Rt△BEF中，EF=1，∴BE=2EF=2，∴BE=DE=2，∴DF=EF+DE=3，故答案为：C.【思路引导】连接BE，根据等边三角形的性质得∠ABC=60°，∠ABE=∠CBE=30°，易求∠D=30°，即得∠D=∠CBE，由等角对等边可得BE=DE，根据含30°角的直角三角形的性质可得BE=2EF=2，即得DE=2，从而得出DF=EF+DE=32．（2分）（2021八上·平阴期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是()A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7.3【答案】A【完整解答】解：∵∠C=90°，AB=8，∠B=30°，∴AC=AB=×8=4，∵点P是BC边上的动点，∴4＜AP＜8，∴AP的值不可能是3.5．故答案为：A．

【思路引导】根据含30°角的直角三角形的性质可得AC=AB=4，根据垂线段最短得出AP的最小值，然后得出AP的范围，即可判断.3．（2分）（2021八上·海丰期末）如图，为的角平分线，，，点P，C分别为射线，上的动点，则的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【完整解答】解：过点B作BD⊥OA于D，交OE于P，过P作PC⊥OB于C，此时的值最小，∵为的角平分线，PD⊥OA，PC⊥OB，∴PD=PC，∴=BD，∵，，∴，故答案为：A．【思路引导】根据角平分线的性质求出PD=PC，再求出=BD，最后求出BD的值即可。4．（2分）（2021八上·海淀期末）如图，是等边三角形，D是BC边上一点，于点E．若，则DC的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【完整解答】解：是等边三角形，，故答案为：C【思路引导】先求出∠C=60°，再求出∠DEC=90°，最后计算求解即可。5．（2分）（2021八上·乌兰察布期末）如图所示，在直角三角形ACB中，已知∠ACB=90°，点E是AB的中点，且，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D=30°，EF=2，则DF的长是（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【完整解答】解：∵DE⊥AB，则在△AED中，∵∠D=30°，∴∠DAE=60°，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，∴∠B=30°，在Rt△BEF中，∵∠B=30°，EF=2，∴BF=4，连接AF，∵DE是AB的垂直平分线，∴FA=FB=4，∠FAB=∠B=30°，∵∠BAC=60°，∴∠DAF=30°，∵∠D=30°，∴∠DAF=∠D，∴DF=AF=4，故答案为：B．

【思路引导】连接AF，由直角三角形的性质求出BF，根据中垂线的性质得出AF=BF，求出∠FAB=∠B=30°，即可得出答案。6．（2分）（2021八上·西峰期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，连结AD，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，若EF=3，则AE的长是（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【完整解答】解：∵，AD是的中线，∴，，.∵AE是的角平分线，∴.∵，∴，∴.在中，，∴.故答案为：B.【思路引导】利用等腰三角形三线合一的性质和三角形的内角和定理求出∠B、∠C、∠BAD，∠CAD的度数；再利用角平分线的定义求出∠DAE，∠EAB的度数，利用两直线平行，内错角相等，可求出∠F的度数，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AE的长.7．（2分）（2021八上·无棣期中）已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE=∠C，②AQ=BQ，③BP=2PQ，④AE+BD=AB，其正确的个数有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【完整解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，

∵AE=CD，

∴△ABE≌△CAD，

∴∠ABE=∠CAD，

∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，

∴∠APE=∠BPQ=60°，

∴∠APE=∠C，故①正确；

②无法证明AQ=BQ，故②错误；

③∵BQ⊥AD于Q，

∴∠PBQ=90°-∠BPQ=90°-∠APE=90°-60°=30°，

∴BP=2PQ，故③正确；

④∵△ABE≌△CAD，

∴AE=CD，

∴AE+BD=CD+BD=BC=AB，故④正确，

∴正确的个数由3个.故答案为：C.

【思路引导】①根据等边三角形的性质得出∠C=60°，再证出△ABE≌△CAD，得出∠ABE=∠CAD，从而得出∠APE=∠BPQ=60°，即可判断①正确；

②无法证明AQ=BQ，即可判断②错误；

③证出∠PBQ=30°，从而得出BP=2PQ，即可判断③正确；

④根据全等三角形的性质得出AE=CD，从而得出AE+BD=CD+BD=BC=AB，即可判断④正确.

8．（2分）（2021八上·如皋期末）如图，在中，，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且有下列结论：①；②为等边三角形；③；④其中正确的结论是（）A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④【答案】C【完整解答】解：如图，连接BP，∵AC＝BC，∠ABC＝30°，点D是AB的中点，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，∴CD是AB的中垂线，∴AP＝BP，而AP＝PE，∴AP＝PB＝PE∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，故①正确；∵PA＝PE，∴∠PAE＝∠PEA，∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，∴∠PAE+∠PEA＝而∴△PAE是等边三角形，故②正确；如图，延长至，使则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，∵△PAE是等边三角形，∴AE＝AP，∴AE＝AP′，∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC，∴∠P′AC＝∠EAC，∵AC＝AC，∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），∴CP′＝CE，∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD，∴.故③错误；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，∵CG＝CP，∠BCD＝60°，∴△CPG是等边三角形，∴∠CGP＝∠PCG＝60°，∴∠ECP＝∠PGB＝120°，且EP＝PB，∠PEB＝∠PBE，∴△PCE≌△PGB（AAS），∴CE＝GB，∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，∵∠ABC＝30°，AF⊥BE，∴AF＝AB＝AD，∵S△ACB＝CB×AF＝（EC+CP）×AF＝EC×AF+CP×AD＝S四边形AECP，∴S四边形AECP＝S△ABC.故④正确.所以其中正确的结论是①②④.故答案为：C.【思路引导】连接BP，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，进而推出AP＝BP＝PE，由等腰三角形的性质可得∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，然后根据角的和差关系可判断①；易得∠PAE+∠PEA＝120°，∠APE=60°，据此判断②；延长PD至P′，使PD=P′D，则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，由等边三角形的性质可得AE＝AP，则AE＝AP′，推出∠P′AC＝∠EAC，证明△P′AC≌△∠EAC，得到CP′＝CE=CP+2PD，据此判断③；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，则△CPG是等边三角形，则∠CGP＝∠PCG＝60°，证明△PCE≌△PGB，得到CE＝GB，推出AC＝BC＝EC+CP，根据含30°角的直角三角形的性质可得AF＝AB＝AD，据此不难判断④.9．（2分）（2021八上·温州期中）如图，△ABC与△CED均为等边三角形，且B，C，D三点共线.线段BE，AD相交于点O，AF⊥BE于点F.若OF=1，则AF的长为（）A．1 B． C． D．2【答案】C【完整解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS）∴∠CBE=∠CAD，∵∠BOD=∠ABE+∠BAD，∠ABC=∠BAC=60°，∴∠BOD=∠ABE+∠BAC+∠CAD=∠ABE+∠BAC+∠CBE=∠ABC+∠BAC=60°+60°=120°.∴∠AOF=180°-∠BOD=180°-120°=60°，在Rt△AOF中，∠AOF=60°，OF=1，∴AF=.故答案为：.【思路引导】根据等边三角形的性质可得BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，推出∠BCE=∠ACD，证明△BCE≌△ACD，得到∠CBE=∠CAD，根据外角的性质以及角的和差关系可得∠BOD=120°，由邻补角的性质求出∠AOF的度数，然后在Rt△AOF中，通过30°角所对的直角边等于斜边的一半就可得到AF.10．（2分）（2021八上·武昌期末）如图，已知：，点、、在射线ON上，点、、在射线OM上，、、均为等边三角形，若，则的边长为（）A．2017 B．2018 C． D．【答案】C【完整解答】解：如图，是等边三角形，，，，，，又，，，，，、是等边三角形，，，，，，，，，，，，，当时，，故答案为：C.【思路引导】此题考查了等边三角形性质，直角三角形性质，图形、数字规律问题，由等边三角形性质与直角三角形性质，找三角形边的关系，然后通过观察分析，找出规律，再按规律求解即可.二、填空题(共10题；共20分)11．（2分）（2021八上·徐汇期末）如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF//OB，EC⊥OB，若EC＝2，则EF＝．【答案】4【完整解答】解：作EG⊥OA于G，如图所示：∵EF//OB，∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB，∴∠OEF＝∠COE＝15°，EG＝CE＝2，∵∠AOE＝15°，∴∠EFG＝15°＋15°＝30°，∴EF＝2EG＝4．故答案为：4．

【思路引导】作EG⊥OA于G，根据平行线的性质及角平分线的定义可得∠EFG＝15°＋15°＝30°，再利用含30°角的性质可得EF＝2EG＝4．12．（2分）（2021八上·道里期末）等腰的顶角为30°，腰长为8，则的面积为．【答案】16【完整解答】解：如图所示，过点B作BD⊥AC，∵∠A=30°，AB=AC=8，∴BD=AB=，∴S△ABC=BD·AC=16故答案为：16．

【思路引导】利用三角形面积以及等腰三角形的性质即可得出答案。13．（2分）（2021八上·大兴期末）如图，在中，，，交BC于点D．若，则．【答案】9【完整解答】解：∵，∴∠CAD=90°，∵，∴∠BAD=30°，∵，∴AD=BD=3，∠ADC=∠B+∠BAD=60°，∴∠C=90°-∠ADC=30°，∴CD=2AD=6，∴BC=BD+CD=9．故答案为：9【思路引导】先求出∠CAD=90°，再求出∠C=30°，最后计算求解即可。14．（2分）（2021八上·临江期末）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝【答案】4【完整解答】解：如图，过点P作PC⊥OB于点C，

∴∠OCP=90°，

∵PM＝PN，MN＝2，

∴MC=1，

∵∠AOB＝60°，

∴∠OPC=30°，

∴OC=OP=×10=5，

∴OM+1=5，

∴OM=4.

【思路引导】过点P作PC⊥OB于点C，根据等腰三角形的性质得出MC=1，再根据直角三角形的性质得出OC=5，聪的得出OM+1=5，即可得出OM=4.15．（2分）（2021八上·如皋月考）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，E是线段AC上一点，连接BE并延长至D，连接CD，若∠BCD＝120°，AB＝2CD，AE＝7，则线段CE长为.【答案】【完整解答】解：作BM⊥AE，垂足为M，，，，，∴AB=2BM，，.，，.在△EMB和中，，，.设，则，.，，，线段长为.故答案为：.【思路引导】过点B作BM⊥AC于点M，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求就出∠A和∠ACB的度数及AM=CM，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得到AB=2BM，再利用AAS证明△MEB≌△CED，利用全等三角形的性质可得到ME=CE，设CE=x，可表示出ME，AM的长，根据AM=CM，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到CE的长.16．（2分）（2021八上·德阳月考）如图，在等边△ABC中，AB=2，D为△ABC内一点，且DA=DB，E为△ABC外一点，BE=AB，且∠EBD=∠CBD，连接DE、CE，则下列结论；①∠DAC=∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB=30°.④若EC//AD，则S△EBC=1.其中正确的有．（只填序号）【答案】①③④【完整解答】解：如图，连接DC，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC=2，∠ABC=∠ACB=60°，

在△ACD与△BCD中，

，

∴△ACD≌△BCD（SSS），

∴∠DAC=∠DBC，故①正确；

∠BCD=∠ACD=∠ACB=30°，

∵BE=AB，

∴BE=BC，

在△BED与△BCD中，

，

∴△BED≌△BCD（SAS），

∴∠BED=∠BCD=30°，故③正确；

∵EC∥AD，

∴∠DAC=∠ECA，

∵∠DBE=∠DBC，∠DAC=∠DBC，

∴设∠ECA=∠DBC=∠DBE=x，

∵BE=BC，

∴∠BCE=∠BEC=60°+x，

∵∠CBE+∠BEC+∠BCE=180°，

∴2x+2（60°+x）=180°，

∴x=15°，

∴∠CBE=30°，

∴∠ABE=∠CBE=30°，

∴BE⊥AC，

∴BE边上的高=BC=1，

∴S△EBC=×2×1=1，故④正确；

由④可知：当∠CBE=30°时，BE⊥AC，故②不正确，

故答案为：①③④.

【思路引导】连接DC，证出△ACD≌△BCD，得出∠DAC=∠DBC，∠BCD=∠ACD=30°，再证出△BED≌△BCD，得出∠BED=∠BCD=30°，即可判断①③正确；

设∠ECA=∠DBC=∠DBE=x，得出∠BCE=∠BEC=60°+x，利用三角形内角和定理得出2x+2（60°+x）=180°，求出x的值，从而得出∠ABE=∠CBE=30°，根据等腰三角形的性质得出BE⊥AC，得出BE边上的高，利用三角形的面积公式得出S△EBC=1，即可判断④正确；

根据④的证法得出当∠CBE=30°时，BE⊥AC，即可判断②不正确.17．（2分）（2020八上·江岸月考）如图，等边三角形ABC中，BD⊥AC于D，BC＝8，E在BD上一动点，以CE为边作等边三角形ECP，连DP，则DP的最小值为.【答案】2【完整解答】解：如图，连接AP，∵△ABC为等边三角形，BD⊥AC，BC=8，∴BC=AC=AB=8，DA=DC=4，∠BCA=∠ABC=60°，∠CBE=30°，∵△CEP为等边三角形，∴CE=CP，∠PCE=60°，∴∠PCE=∠ACB，∴∠BCE=∠ACP，∴在△BCE和△ACP中，∴△BCE≌△ACP（SAS），∴∠CBE=∠CAP=30°，AP=BE，∴当DP⊥AP时，DP值最小，此时∠APD=90°，∠CAP=30°，DA=4，∴DP=2.故答案为：2.【思路引导】连接AP，由等边三角形的性质可得BC=AC=AB=8，DA=DC=4，∠BCA=∠ABC=60°，∠CBE=30°，CE=CP，∠PCE=60°，证明△BCE≌△ACP，得到∠CBE=∠CAP=30°，AP=BE，推出当DP⊥AP时，DP值最小，据此求解.18．（2分）（2021八上·吴兴期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，AG是底边BC上的高.在AG的延长线上有一个动点D，连接CD，作∠CDE＝150°，交AB的延长线于点E，∠CDE的角平分线交AB边于点F，则在点D运动的过程中，线段EF的最小值为.【答案】2【完整解答】解：如图.过点D作DM⊥AB于E，作DN⊥AC于N.连接CF.∵AB＝AC，AG是底边BC上的高，∴AD评分∠BAC，∴DM＝DN，∵，∠BAC＝30°，DM⊥AB，作DN⊥AC，∴∠MDN＝180°﹣30°＝150°，∵∠CDE＝150°，∴MDN＝∠CDE＝150，∴∠MDE＝∠NDC，∴△MDE≌△NDC（ASA），∴ED＝CD，∵DF是∠CDE的角平分线，∴∠EDF＝∠CDF，∵DF＝DF，∴△EDF≌△CDF（SAS），∴EF＝CF，当CF⊥AB时，CF最短，此时EF最短.在Rt△CAF中，∠BAC＝30°，∴CF＝.即线段EF的最小值为2.故答案为：2.【思路引导】过点D作DM⊥AB于E，作DN⊥AC于N，连接CF，根据等腰三角形的性质可得AD平分∠BAC，结合角平分线的性质可得DM＝DN，作DN⊥AC，证明△MDE≌△NDC，得到ED＝CD，根据角平分线的概念可得∠EDF＝∠CDF，证明△EDF≌△CDF，得到EF＝CF，推出当CF⊥AB时，CF最短，此时EF最短，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行求解.19．（2分）（2018八上·海曙期末）如图，△ABC中，∠A=15°，AB是定长.点D，E分别在AB，AC上运动，连结BE，ED．若BE+ED的最小值是2，则AB的长是【答案】4【完整解答】如图，作∠CAF=15°，∵AC是∠BAF的平分线，∴DE=D´E，∴当BE、D´E在一条直线上时，即当E、D在如图位置上时，BE+ED最小，∵∠F=90°，∠FAB=30°，∴AB=2BF=4.故答案为：4.【思路引导】作点B关于AC的对称点B'，过B作BF⊥AB'，BF即为BE+ED的最小值，利用含30°的直角三角形的性质解答即可．20．（2分）（2017八上·丰都期末）如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于．【答案】4【完整解答】解：作DG⊥AC，垂足为G．∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，∵∠DAE=∠ADE=15°，∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°，∴∠DEG=15°×2=30°，∴ED=AE=8，∴在Rt△DEG中，DG=DE=4，∴DF=DG=4．故答案为：4．【思路引导】作DG⊥AC，根据DE∥AB得到∠BAD=∠ADE，再根据∠DAE=∠ADE=15°得到∠DAE=∠ADE=∠BAD，求出∠DEG=15°×2=30°，再根据30°的角所对的直角边是斜边的一半求出GD的长，然后根据角平分线的性质求出DF．三、解答题(共8题；共60分)21．（6分）（2021八上·丰台期末）如图，在中，∠°，∠°，⊥AB于点D，交AC于点E，如果，求的长．【答案】解：∵，，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵在中，，∴．【思路引导】根据三角形的内角和得出，根据含30度角的直角三角形的性质解答即可。22．（6分）（2021八上·河东期中）如图，学校科技小组计划测量一处电信塔的高度，小明在A处用仪器测得到塔尖D的仰角∠DAC＝15°，向塔正前方水平直行260m到达点B，测得到塔尖的仰角∠DBC＝30°，若小明的眼睛离地面1.6m，你能计算出塔的高度DE吗？写出计算过程．【答案】解：由题意得：，，，，，在中，，，即塔的高度DE为．【思路引导】先证明，在中，利用直角三角形30度角的性质，求出CD即可。23．（6分）（2021八上·河东期中）如图在△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长．【答案】解：∵AB=AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×120°=60°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE=∠EAB=∠BAD=×60°=30°，∵DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°，∴∠DAE=∠F=30°，∴AD=DF，∵∠B=90°﹣60°=30°，∴AD=AB=×9=4.5，∴DF=4.5．【思路引导】根据等腰三角形三线合一的性质得出AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×120°=60°，∵AE是∠BAD，再求出∠DAE=30°，再根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得出∠DAE=∠F，再根据等角对等边求出AD=DF，再求出∠B的度数，根据直角三角形30度角对的直角边等于斜边的一半解答即可。24．（8分）（2021八上·河东期末）（1）（4分）已知直角，∠C=90°，∠B=30°，求证：AB=2AC．（2）（4分）如图，AD是的角平分线，DE，DF分别是ABD和ACD的高，求证：AD垂直平分EF．【答案】（1）证明：延长AC使CD=AC，连接BD，

∵∠ACB=90°，∠ABC=30°

∴∠BCD=90°，∠A=90°-∠ABC=60°，

在△ABC和△DBC中

AC=DC∠ACB=∠DCBBC=BC，

∴△ABC≌△DBC（SAS），

∴∠A=∠D=60°，

∴△ABD为等边三角形，

∴AB=AD，

∴AB=2AC；（2）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，∴△AED和△AFD均为直角三角形，在Rt△ADE和Rt△ADF中，∴RtADEADF（HL），∴AE=AF，又∵DE=DF，∴AD垂直平分EF．【思路引导】（1）利用含30度角的直角三角形的性质求解即可；

（2）由AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得出DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，证出△AED和△AFD均为直角三角形，再利用HL证出RtADEADF，即可得出结论。25．（11分）（2021八上·望花期末）某游乐场部分平面图如图所示，点C、E、A在同一直线上，点D、E、B在同一直线上，DB⊥AB．测得A处与E处的距离为80m，C处与E处的距离为40m，∠C＝90°，∠BAE＝30°．（1）（3分）请求出旋转木马E处到出口B处的距离；（2）（4分）请求出海洋球D处到出口B处的距离；（3）（4分）判断入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．【答案】（1）解：∵DB⊥AB，∠BAE＝30°，∴，∵AE=80m，∴BE=40m，即旋转木马E处到出口B处的距离为40m；（2）解：∵DB⊥AB，∠BAE＝30°，∴∠AEB=∠DEC=60°，∵∠C＝90°，∴∠D=30°，∵CE=40m，∴，∴DB=DE+BE=120m，即海洋球D处到出口B处的距离为120m；（3）解：入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离相等，理由如下：由（1）（2）可知：AE=DE，在△AEB和△DEC中，，∴△DEC≌△AEB（AAS），∴AB=DC，即入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离相等．【思路引导】（1）根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可得出BE的值；

（2）由（1）同理得出DE的值，从而求出BD的值；

（3）利用勾股定理求出AB、CD的长，即可判断。26．（5分）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，求AD的长.【答案】解：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠ACD，

∵AE=CD，

∴△ABE≌△ADC（SAS），

∴AD=AE，∠DAC=∠ABE，

∵∠BPQ=∠PAB+∠PBA，

∴∠BPQ=∠PAB+∠DAC=∠PAC=60°，

∴∠PBQ=180°-∠PQB-∠BPQ=180°-90°-60°=30°，

∴BP=2PQ=6，

∴BE=BP+PE=6+1=7.

∴AD=BE=7.【思路引导】先利用边角边定理证明△ABE和△ADC全等，则对应边AD和AE相等，对应角∠DAC和∠ABE相等，于是利用三角形外角的性质可求∠BPQ为90°，再结合30°所对的直角边等于斜边的一半求得PB的长，则BE的长可得，从而求出AD的长.27．（8分）（2020八上·东海期末）问题情境：七下教材第149页提出这样一个问题：如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F，PE与PF相等吗？（1）（4分）七年级学习这部分内容时，我们还无法对这个问题的结论加以证明，八下教材第59页第11题不仅对这一问题给出了答案：“通过实验可以得到PE＝PF”，还要求“现在请你证明这个结论”，请你给出证明：（2）（4分）变式拓展：

如图2，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上一点，∠EPF＝60°，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F.试解决下列问题：①PE与PF还相等吗？为什么？②试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由.【答案】（1）证明：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N.∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠PNO＝∠