专题01相交线与平行线(原卷版+解析)

2022-2023学年人教版七年级数学下册精选压轴题培优卷专题01相交线与平行线姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共9小题，满分18分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•丹东期末）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，则有AC∥DE C．如果∠2＝45°，则有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，则有BC∥AE2．（2分）（2022春•宜州区期中）如图，AB∥CD，BF交CD于点E，AE⊥BF，∠CEF＝35°，则∠A是（）A．35° B．45° C．55° D．65°3．（2分）（2022春•江汉区校级月考）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（）A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等，两直线平行4．（2分）（2022春•新罗区期中）如图，将一个宽度相等的纸条沿AB折叠一下，若∠1＝140°，则∠2的值为（）A．100° B．110° C．120° D．130°5．（2分）（2022春•温江区期末）将一副直角三角板如图放置，已知∠B＝60°，∠F＝45°，AB∥EF，则∠CGD＝（）A．45° B．60° C．75° D．105°6．（2分）（2022春•牡丹江期中）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（2分）（2019秋•淮阴区期末）如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（）A．20° B．30° C．40° D．50°8．（2分）（2021春•奉化区校级期末）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°9．（2分）（2022春•大观区校级期末）如图，AB∥CD，P为AB上方一点，H、G分别为AB、CD上的点，∠PHB、∠PGD的角平分线交于点E，∠PGC的角平分线与EH的延长线交于点F，下列结论：①EG⊥FG；②∠P+∠PHB＝∠PGD；③∠P＝2∠E；④若∠AHP﹣∠PGC＝∠F，则∠F＝60°．其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）10．（2分）（2022秋•宁强县期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若∠ABE＝20°，则∠DBC为度．11．（2分）（2022春•新乐市校级月考）如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，垂足为O，且OC平分∠AOF．（1）若∠AOE＝40°，则∠DOE的度数为；（2）∠AOE与∠BOD的数量关系为．12．（2分）（2022春•环翠区期末）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是．13．（2分）（2022春•绍兴期末）如图，已知直线AB∥CD，点M、N分别在直线AB、CD上，点E为AB、CD之间一点，且点E在MN的右侧，∠MEN＝128°．若∠BME与∠DNE的平分线相交于点E1，∠BME1与∠DNE1的平分线相交于点E2，∠BME2与∠DNE2的平分线相交于点E3，……，依此类推，若∠MEnN＝8°，则n的值是．14．（2分）（2022春•镜湖区校级期末）有长方形纸片，E，F分别是AD，BC上一点∠DEF＝x（0°＜x＜45°），将纸片沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2．（1）如图1，当x＝32°时，∠FGD′＝度；（2）如图2，作∠MGF的平分线GP交直线EF于点P，则∠GPE＝.（用x的式子表示）．15．（2分）（2022春•诸暨市期末）从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光线OA的反射光线为AB，∠OAB＝∠COA＝72°．在如图中所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE＝27°．则∠AOD的度数是．16．（2分）（2022春•九龙坡区校级期中）如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，则∠CFE＝度．17．（2分）（2022春•东湖区校级月考）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间＝．18．（2分）（2022春•沙坪坝区校级月考）已知如图，AD∥BC，BD∥AE，DE平分∠ADB，且ED⊥CD，若∠AED+∠BAD＝127.5°，则∠BCD﹣∠EAB＝度．19．（2分）（2022春•渭滨区期末）把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝49°，则∠2﹣∠1＝．评卷人得分三．解答题（共9小题，满分62分）20．（6分）（2022秋•丹东期末）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）求证：AD∥CE；（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FE于点A，∠FAB＝55°，求∠ABD的度数．21．（6分）（2019春•本溪期中）已知如图AB∥CD，①由图（1）易得∠B、∠BED、∠D的关系（直接写结论）．由图（2）易得∠B、∠BED、∠D的关系（直接写结论）．②从图（1）图（2）任选一个图形说明①中其中一个结论成立的理由．[延伸拓展]利用上面（1）（2）得出的结论完成下题③已知，AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F．若∠E＝60°，求∠BFD的度数．22．（6分）（2022•衡东县校级开学）如图1，AB∥CD，∠PAB＝124°，∠PCD＝120°，求∠APC的大小．小明的解题思路：过点P作PM∥AB，通过平行线的性质来求∠APC．（1）按小明的解题思路，可求得∠APC的大小为度；（2）如图2，已知直线m∥n，直线a，b分别与直线m，n相交于点B、D和点A、C．点P在线段BD上运动（不与B、D两点重合），记∠PAB＝α，∠PCD＝β，问∠APC与α，β之间有何数量关系？判断并说明理由；（3）在（2）的条件下，若把“线段BD”改为“直线BD”，请求出∠APC与α，β之间的数量关系．23．（6分）（2022春•鹿邑县月考）如图，已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F．（1）如图1，若∠E＝70°，求∠BFD的度数；（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M和∠E之间的数量关系，并证明你的结论．24．（6分）（2022秋•绿园区期末）【问题情景】如图1，若AB∥CD，∠AEP＝45°，∠PFD＝120°．过点P作PM∥AB，则∠EPF＝；【问题迁移】如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，点E，F分别在AB，CD上，连接PE，PF，过P点作PN∥AB，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间的数量关系是，请在下方说明理由；【联想拓展】如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝36°，∠PFA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，过点G作GH∥AB，则∠EGF＝．25．（8分）（2022春•富县期末）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．（1）求证：∠BAG＝∠BGA；（2）如图②，线段AG上有一点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上有一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．26．（8分）（2022春•武汉期末）已知，点E，F分别在直线AB，CD上，点P在直线AB上方．问题探究：（1）如图1，∠CFP+∠EPF＝∠AEP，证明：AB∥CD；问题拓展：（2）如图2，AB∥CD，∠AEP的角平分线EK所在的直线和∠DFP的角平分线FR所在的直线交于Q点，请写出∠EPF和∠EQF之间的数量关系，并证明．问题迁移：（3）如图3，AB∥CD，直线MN分别交AB，CD于点M，N，若点H在线段MN上，且∠MEF＝α，请直接写出∠HFE，∠MEH和∠EHF之间满足的数量关系（用含α的式子表示）．27．（8分）（2022春•建邺区校级期末）【探究结论】（1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连结AE、CE得到∠AEC，则∠AEC、∠A、∠C的关系是（直接写出结论，不需要证明）：【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题：（2）如图2，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，求证：∠FG1E+∠G2＝180°．（3）如图3，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD＝60°，∠AEC＝3∠CEF，若8°＜∠BAE＜20°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为．28．（8分）（2022春•颍州区期末）（1）问题背景：如图1，已知AB∥CD，点P的位置如图所示，连结PA，PC，试探究∠APC与∠A、∠C之间的数量关系，并说明理由．解：（1）∠APC与∠A、∠C之间的数量关系是：∠APC＝∠A+∠C．理由：如图1，过点P作PE∥AB，∴∠APE＝∠A，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠CPE＝∠C，∴∠APE+∠CPE＝∠A+∠C，∴∠APC＝∠A+∠C．总结：本题通过添加适当的辅助线，从而利用平行线的性质，使问题得以解决．（2）类比探究：如图2，已知AB∥CD，线段AD与BC相交于点E，点B在点A右侧．若∠ABC＝40°，∠ADC＝80°，求∠AEC的度数．（3）拓展延伸：如图3，若∠ABC与∠ADC的角平分线相交于点F，请直接写出∠BFD与∠AEC之间的数量关系2022-2023学年人教版七年级数学下册精选压轴题培优卷专题01相交线与平行线一．选择题（共9小题，满分18分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•丹东期末）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，则有AC∥DE C．如果∠2＝45°，则有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，则有BC∥AE解：∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠1＝∠3，故A错误．∵∠2＝30°，∴∠1＝∠3＝60°∴∠CAE＝90°+60°＝150°，∴∠E+∠CAE＝180°，∴AC∥DE，故B正确，∵∠2＝45°，∴∠1＝∠2＝∠3＝45°，∵∠E+∠3＝∠B+∠4，∴∠4＝30°，∵∠D＝60°，∴∠4≠∠D，故C错误，∵∠2＝50°，∴∠3＝40°，∴∠B≠∠3，∴BC不平行AE，故D错误．故选：B．2．（2分）（2022春•宜州区期中）如图，AB∥CD，BF交CD于点E，AE⊥BF，∠CEF＝35°，则∠A是（）A．35° B．45° C．55° D．65°解：∵AE⊥BF，∴∠AEF＝90°，∴∠AEC＝90°﹣∠CEF＝90°﹣35°＝55°，∵AB∥CD，∴∠A＝∠AEC＝55°．故选：C．3．（2分）（2022春•江汉区校级月考）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（）A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等，两直线平行解：如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直线平行．故选：A．4．（2分）（2022春•新罗区期中）如图，将一个宽度相等的纸条沿AB折叠一下，若∠1＝140°，则∠2的值为（）A．100° B．110° C．120° D．130°解：如图：∵宽度相等的纸条沿AB折叠一下，∴纸条两边互相平行，∴2∠3＝∠1，∠2+∠3＝180°，∵∠1＝140°，∴∠3＝∠1＝70°，∴∠2＝180°﹣∠3＝110°，故选：B．5．（2分）（2022春•温江区期末）将一副直角三角板如图放置，已知∠B＝60°，∠F＝45°，AB∥EF，则∠CGD＝（）A．45° B．60° C．75° D．105°解：∵∠B＝60°，∴∠A＝30°，∵EF∥BC，∴∠FDA＝∠F＝45°，∴∠CGD＝∠A+∠FDA＝45°+30°＝75°．故选：C．6．（2分）（2022春•牡丹江期中）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：延长FG，交CH于I．∵AB∥CD，∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH，∵FD∥EH，∴∠EHC＝∠D，∵FE平分∠AFG，∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC，∴3∠EHC＝90°，∴∠EHC＝30°，∴∠D＝30°，∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°，∴①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°正确，∵FE平分∠AFG，∴∠AFI＝30°×2＝60°，∵∠BFD＝30°，∴∠GFD＝90°，∴∠GFH+∠HFD＝90°，可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可，∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确．故选B．7．（2分）（2019秋•淮阴区期末）如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（）A．20° B．30° C．40° D．50°解：由翻折知，∠EFC＝∠EFC'＝100°，∴∠EFC+∠EFC'＝200°，∴∠DFC'＝∠EFC+∠EFC'﹣180°＝200°﹣180°＝20°，故选：A．8．（2分）（2021春•奉化区校级期末）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°解：设FBE＝∠FEB＝α，则∠AFE＝2α，∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH＝∠GEF＝β，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，∠DEH＝100°，则∠CEH＝∠FAE＝80°，∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β，在△AEF中，80°+2α+180﹣2β＝180°故β﹣α＝40°，而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°，故选：B．9．（2分）（2022春•大观区校级期末）如图，AB∥CD，P为AB上方一点，H、G分别为AB、CD上的点，∠PHB、∠PGD的角平分线交于点E，∠PGC的角平分线与EH的延长线交于点F，下列结论：①EG⊥FG；②∠P+∠PHB＝∠PGD；③∠P＝2∠E；④若∠AHP﹣∠PGC＝∠F，则∠F＝60°．其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4解：∵GF平分∠PGC，GE平分∠PGD，∴∠PGF＝∠PGC，∠PGE＝∠PGD，∴∠EGF＝∠PGF+∠PGE＝（∠PGC+∠PGD）＝，即EG⊥FG，故①正确；设PG与AB交于M，GE于AB交于N，∵AB∥CD，∴∠PMB＝∠PGD，∵∠PMB＝∠P+∠PHM，∴∠P+∠PHB＝∠PGD，故②正确；∵HE平分∠BHP，GE平分∠PGD，∴∠PHB＝2∠EHB，∠PGD＝2∠EGD，∵AB∥CD，∴∠PMB＝∠PGD，∠ENB＝∠EGD，∴∠PMB＝2∠ENB，∵∠PMB＝∠P+∠PHB，∠ENB＝∠E+∠EHB，∴∠P＝2∠E，故③正确；∵∠AHP﹣∠PMC＝∠P，∠PMH＝∠PGC，∠AHP﹣∠PGC＝∠F，∴∠P＝∠F，∵∠FGE＝90°，∴∠E+∠F＝90°，∴∠E+∠P＝90°，∵∠P＝2∠E，∴3∠E＝90，解得∠E＝30°，∴∠F＝∠P＝60°，故④正确．综上，正确答案有4个，故选：D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）10．（2分）（2022秋•宁强县期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若∠ABE＝20°，则∠DBC为70度．解：根据翻折的性质可知，∠ABE＝∠A′BE，∠DBC＝∠DBC′，又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′＝180°，∴∠ABE+∠DBC＝90°，又∵∠ABE＝20°，∴∠DBC＝70°．故答案为：70．11．（2分）（2022春•新乐市校级月考）如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，垂足为O，且OC平分∠AOF．（1）若∠AOE＝40°，则∠DOE的度数为70°；（2）∠AOE与∠BOD的数量关系为∠AOE＝2∠BOD．解：（1）∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵∠AOF+∠AOE＝180°，∠AOE＝40°，∴∠AOF＝140°，∵OC平分∠AOF，∴∠AOC＝∠COF＝70°，∵∠BOD+∠AOB+∠AOC＝180°，∴∠DOE＝∠COF＝70°．故答案为：70°；（2）∵∠AOE+∠AOF＝180°，∠AOC＝∠COF，∴∠AOC＝（180°﹣∠AOE）＝90°﹣∠AOE，∵∠BOD+∠AOB+∠AOC＝180°，∴∠BOD＝180°﹣90°﹣∠AOC＝90°﹣（90°﹣∠AOE）＝﹣∠AOE，∴∠AOE＝2∠BOD．故答案为：∠AOE＝2∠BOD．12．（2分）（2022春•环翠区期末）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是α+β﹣γ＝90°．解：过点C作CM∥AB，过点D作DN∥EF，则：∠BCM＝∠ABC＝α，∠EDN＝∠DEF＝γ，∵AB∥EF，∴CM∥DN，∴∠DCM＝∠CDN，∵∠BCM+∠DCM＝90°，∠CDN+∠EDN＝β，∴α+（β﹣γ）＝90°，∴α+β﹣γ＝90°．故答案为：α+β﹣γ＝90°．13．（2分）（2022春•绍兴期末）如图，已知直线AB∥CD，点M、N分别在直线AB、CD上，点E为AB、CD之间一点，且点E在MN的右侧，∠MEN＝128°．若∠BME与∠DNE的平分线相交于点E1，∠BME1与∠DNE1的平分线相交于点E2，∠BME2与∠DNE2的平分线相交于点E3，……，依此类推，若∠MEnN＝8°，则n的值是4．解：过E作EH∥AB，E1G∥AB，∵AB∥CD，∴EH∥CD，E1G∥CD，∴∠BME＝∠MEH，∠DNE＝∠NEH，∴∠BME+∠DNE＝∠MEH+∠NEH＝∠MEN＝128°，同理∠ME1N＝∠BME1+∠DNE1，∵ME1平分∠BME，NE1平分∠DNE，∴∠BME1+∠DNE1＝（∠BME+∠DNE）＝∠MEN，∴∠ME1N＝∠MEN，同理，∠ME2N＝∠ME1N＝∠MEN，∠ME3N＝∠ME2N＝∠MEN，•••，∴∠MEnN＝∠MEn﹣1N＝∠MEN，若∠MEnN＝8°，则∠MEN＝×128°＝8°，∴n＝4．故答案为：4．14．（2分）（2022春•镜湖区校级期末）有长方形纸片，E，F分别是AD，BC上一点∠DEF＝x（0°＜x＜45°），将纸片沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2．（1）如图1，当x＝32°时，∠FGD′＝64度；（2）如图2，作∠MGF的平分线GP交直线EF于点P，则∠GPE＝2x.（用x的式子表示）．解：（1）由折叠可得∠GEF＝∠DEF＝32°，∵长方形的对边是平行的，∴∠DEG＝∠FGD′，∴∠DEG＝∠GFE+∠DEF＝64°，∴∠FGD′＝∠EGD＝64°，∴当x＝32°时，∠GFD′的度数是64°．故答案为：64；（2）∠GPE＝2∠GEP＝2x．由折叠可得∠GEF＝∠DEF，∵长方形的对边是平行的，∴设∠BFE＝∠DEF＝x，∴∠EGB＝∠BFE+∠D′EF＝2x，∴∠FGD′＝∠EGB＝2x，由折叠可得∠MGF＝∠D′GF＝2x，∵GP平分∠MGF，∴∠PGF＝x，∴∠GPE＝∠PGF+∠BFE＝2x，∴∠GPE＝2∠GEP＝2x．故答案为：∠GPE＝2x．15．（2分）（2022春•诸暨市期末）从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光线OA的反射光线为AB，∠OAB＝∠COA＝72°．在如图中所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE＝27°．则∠AOD的度数是45°或99°．解：∵DE∥CF，∴∠COD＝∠ODE．（两直线平行，内错角相等）∵∠ODE＝27°，∴∠COD＝27°．在图1的情况下，∠AOD＝∠COA﹣∠COD＝72°﹣27°＝45°．在图2的情况下，∠AOD＝∠COA+∠COD＝72°+27°＝99°．∴∠AOD的度数为45°或99°．故答案为：45°或99°．16．（2分）（2022春•九龙坡区校级期中）如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，则∠CFE＝155度．解：由四边形ABFE沿EF折叠得四边形A′B′FE，∴∠A′EF＝∠AEF．∵∠A′EF＝∠A′ED+∠DEF，∠AEF＝180°﹣∠DEF．∴∠A′ED+∠DEF＝180°﹣∠DEF．由四边形A′B′ME沿AD折叠得四边形A″B″ME，∴∠A′ED＝∠A″ED．∵∠A″ED＝∠A″EF+∠DEF＝105°+∠DEF，∴∠A′ED＝105°+∠DEF．∴105°+∠DEF+∠DEF＝180°﹣∠DEF．∴∠DEF＝25°．∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝25°．∴∠CFE＝180°﹣∠EFB＝180°﹣25°＝155°．故答案为：155．17．（2分）（2022春•东湖区校级月考）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间＝5秒或95秒．解：∵∠EAB＝70°，∠DCF＝60°，∴∠BAC＝110°，∠ACD＝120°，分三种情况：如图①，AB与CD在EF的两侧时，∠ACD＝120°﹣（3t）°，∠BAC＝110°﹣t°，要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAC，即120°﹣（3t）°＝110°﹣t°，解得t＝5；②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，∠DCF＝360°﹣（3t）°﹣60°＝300°﹣（3t）°，∠BAC＝110°﹣t°，要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，即300°﹣（3t）°＝110°﹣t°，解得t＝95；③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，∠DCF＝（3t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（3t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣110°，要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，即（3t）°﹣300°＝t°﹣110°，解得t＝95，∴此情况不存在．综上所述，当时间t的值为5秒或95秒时，CD与AB平行．故答案为：5秒或95秒．18．（2分）（2022春•沙坪坝区校级月考）已知如图，AD∥BC，BD∥AE，DE平分∠ADB，且ED⊥CD，若∠AED+∠BAD＝127.5°，则∠BCD﹣∠EAB＝37.5度．解：设∠ADE＝x，∵DE平分∠ADB，∴∠EDB＝∠ADE＝x，又ED⊥CD，∴∠EDC＝90°，∴∠BDC＝90°﹣x，∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝2x，∠BCD＝180°﹣（90°﹣x+2x）＝90°﹣x，∵BD∥AE，∴∠AED＝∠EDB＝x，∵∠AED+∠BAD＝127.5°，∴∠BAD＝127.5°﹣x，∠EAB＝180°﹣（127.5°﹣x+2x）＝52.5°﹣x，∴∠BCD﹣∠EAB＝（90°﹣x）﹣（52.5°﹣x）＝37.5°．故答案为：37.5．19．（2分）（2022春•渭滨区期末）把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝49°，则∠2﹣∠1＝16°．解：∵AD∥BC，∴∠2＝∠DEG，∠EFG＝∠DEF＝49°，∵长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，∴∠DEF＝∠GEF＝49°，∴∠2＝2×49°＝98°，∴∠1＝180°﹣98°＝82°，∴∠2﹣∠1＝98°﹣82°＝16°．故答案为16°．三．解答题（共9小题，满分62分）20．（6分）（2022秋•丹东期末）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）求证：AD∥CE；（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FE于点A，∠FAB＝55°，求∠ABD的度数．（1）证明：∵∠1＝∠BDC，∴AB∥CD，∴∠2＝∠ADC，∵∠2+∠3＝180°，∴∠ADC+∠3＝180°，∴AD∥CE；（2）解：∵CE⊥AE于E，∴∠CEF＝90°，由（1）知AD∥CE，∴∠DAF＝∠CEF＝90°，∴∠ADC＝∠2＝∠DAF﹣∠FAB，∵∠FAB＝55°，∴∠ADC＝35°，∵DA平分∠BDC，∠1＝∠BDC，∴∠1＝∠BDC＝2∠ADC＝70°∴∠ABD＝180°﹣70°＝110°．21．（6分）（2019春•本溪期中）已知如图AB∥CD，①由图（1）易得∠B、∠BED、∠D的关系∠BED＝∠B+∠D（直接写结论）．由图（2）易得∠B、∠BED、∠D的关系∠BED＝360°﹣（∠B+∠D）（直接写结论）．②从图（1）图（2）任选一个图形说明①中其中一个结论成立的理由．[延伸拓展]利用上面（1）（2）得出的结论完成下题③已知，AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F．若∠E＝60°，求∠BFD的度数．解：①由图（1）易得∠B、∠BED、∠D的关系∠BED＝∠B+∠D．由图（2）易得∠B、∠BED、∠D的关系∠BED＝360°﹣（∠B+∠D）．故答案为：∠BED＝∠B+∠D；∠BED＝360°﹣（∠B+∠D）；②如图（1）所示：过点E作EM∥AB，∵AB∥CD，EM∥AB，∴EM∥CD∥AB，∴∠B＝∠BEM，∠MED＝∠D，∴∠BED＝∠BEM+∠MED＝∠B+∠D，∴∠BED＝∠B+∠D；如图（2）所示：过点E作EM∥AB，∵AB∥CD，EM∥AB，∴EM∥CD∥AB，∴∠B+∠BEM＝180°，∠MED+∠D＝180°，∴∠BED＝∠BEM+∠MED＝360°﹣（∠B+∠D）；③如图（3），过点E作EN∥AB，∵BF、DF分别是∠ABE和∠CDE的平分线，∴∠EBF＝∠ABE，∠EDF＝∠CDE，∵AB∥CD，∴∠ABE+∠BEN＝180°，∵AB∥CD，AB∥NE，∴NE∥CD，∴∠CDE+∠NED＝180°，∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∵∠E＝60°，∴∠ABE+∠CDE＝300°，∴∠EBF+∠EDF＝150°，∴∠BFD＝360°﹣60°﹣150°＝150°．22．（6分）（2022•衡东县校级开学）如图1，AB∥CD，∠PAB＝124°，∠PCD＝120°，求∠APC的大小．小明的解题思路：过点P作PM∥AB，通过平行线的性质来求∠APC．（1）按小明的解题思路，可求得∠APC的大小为116度；（2）如图2，已知直线m∥n，直线a，b分别与直线m，n相交于点B、D和点A、C．点P在线段BD上运动（不与B、D两点重合），记∠PAB＝α，∠PCD＝β，问∠APC与α，β之间有何数量关系？判断并说明理由；（3）在（2）的条件下，若把“线段BD”改为“直线BD”，请求出∠APC与α，β之间的数量关系．解：（1）过P作PM∥AB，如图：∴∠APM+∠PAB＝180°，∴∠APM＝180°﹣124°＝56°，∵AB∥CD，∴PM∥CD，∴∠CPM+∠PCD＝180°，∴∠CPM＝180°﹣120°＝60°，∴∠APC＝56°+60°＝116°；故答案为：116；（2）∠APC＝∠α+∠β，理由如下：过P作PE∥AB交AC于E，如图：∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠α+∠β；（3）当P在线段BD延长线时，∠APC＝∠α﹣∠β；理由如下：过P作PE∥AB，如图：∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，∵∠APC＝∠APE﹣∠CPE，∴∠APC＝∠α﹣∠β；当P在DB延长线时，∠APC＝∠β﹣∠α；理由如下：过P作PE∥AB，如图：∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，∵∠APC＝∠CPE﹣∠APE，∴∠APC＝∠β﹣∠α，综上所述，当P在线段BD延长线时，∠APC＝∠α﹣∠β；当P在DB延长线时，∠APC＝∠β﹣∠α；当P在线段BD上时，∠APC＝∠α+∠β．23．（6分）（2022春•鹿邑县月考）如图，已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F．（1）如图1，若∠E＝70°，求∠BFD的度数；（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M和∠E之间的数量关系，并证明你的结论．解：（1）如图1，过点E作EN∥AB，∵EN∥AB，∴∠ABE+∠BEN＝180°，∵AB∥CD，AB∥NE，∴NE∥CD，∴∠CDE+∠NED＝180°，∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∵∠E＝70°，∴∠ABE+∠CDE＝290°，∵∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F，∴∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝145°，过点F作FG∥AB，∵FG∥AB，∴∠ABF＝∠BFG，∵AB∥CD，FG∥AB，∴FG∥CD，∴∠CDF＝∠GFD，∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝145°；（2）结论：∠E+6∠M＝360°，证明：∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，由（1）得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴6x+6y+∠E＝360°，∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，∴∠M＝x+y，∴∠E+6∠M＝360°．24．（6分）（2022秋•绿园区期末）【问题情景】如图1，若AB∥CD，∠AEP＝45°，∠PFD＝120°．过点P作PM∥AB，则∠EPF＝105°；【问题迁移】如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，点E，F分别在AB，CD上，连接PE，PF，过P点作PN∥AB，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间的数量关系是∠PFC＝∠PEA+∠FPE，请在下方说明理由；【联想拓展】如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝36°，∠PFA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，过点G作GH∥AB，则∠EGF＝18°．解：（1）∵AB∥PM，∴∠1＝∠AEP＝45°，∵AB∥CD，∴PM∥CD，∴∠2+∠PFD＝180°，∵∠PFD＝120°，∴∠2＝180°﹣120°＝60°，∴∠1+∠2＝45°+60°＝105°．即∠EPF＝105°，故答案为：105°．（2）∠PFC＝∠PEA+∠EPF．理由：∵PN∥AB，∴∠PEA＝∠NPE，∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，∵PN∥AB，AB∥CD，∴PN∥CD，∴∠FPN＝∠PFC，∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，故答案为：∠PFC＝∠PEA+∠FPE．（3）∵GH∥AB，AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，∴，由（2）可知，∠CFP＝∠FPE+∠AEP，∴∠HGF＝（∠FPE+∠AEP），∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（36°+∠AEP）﹣∠HGE＝18°．故答案为：18°．25．（8分）（2022春•富县期末）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．（1）求证：∠BAG＝∠BGA；（2）如图②，线段AG上有一点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上有一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠GAD＝∠BGA，∵AG平分∠BAD，∴∠BAG＝∠GAD∴∠BAG＝∠BGA；（2）解：有两种情况：①当M在BP的下方时，如图，设∠ABC＝4x，∵∠ABP＝3∠PBG，∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，∵AG∥CH，∴∠BCH＝∠AGB＝＝90°﹣2x，∵∠BCD＝90°，∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，∠GBM＝2x﹣x＝x，∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5；②当M在BP的上方时，如图，同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，∠GBM＝2x+x＝3x，∴∠ABM：∠GBM＝x：3x＝．综上，的值是5或．26．（8分）（2022春•武汉期末）已知，点E，F分别在直线AB，CD上，点P在直线AB上方．问题探究：（1）如图1，∠CFP+∠EPF＝∠AEP，证明：AB∥CD；问题拓展：（2）如图2，AB∥CD，∠AEP的角平分线EK所在的直线和∠DFP的角平分线FR所在的直线交于Q点，请写出∠EPF和∠EQF之间的数量关系，并证明．问题迁移：（3）如图3，AB∥CD，直线MN分别交AB，CD于点M，N，若点H在线段MN上，且∠MEF＝α，请直接写出∠HFE，∠MEH和∠EHF之间满足的数量关系（用含α的式子表示）．（1）证明：如图，∵∠AEP是△PEH的外角，∴∠AEP＝∠EPF+∠EHP，∵∠CFP+∠EPF＝∠AEP，∴∠EHP＝∠CFP，∴AB∥CD；（2）解：如图，2∠Q+∠P＝180°理由如下：∵AB∥CD，∴∠AEK＝∠CME，∠EHF＝∠PFD，∵EK平分∠AEP，∴∠AEK＝∠KEP，∴∠AEK＝∠KEP＝∠CME，设∠AEK＝∠KEP＝∠CME＝x，则∠QMF＝x，∠AEP＝2x，∴∠PEH＝180°﹣2x，∵FR平分∠PFD，∴∠PFR＝∠DFR，设∠PFR＝∠DFR＝y，则∠MFQ＝y，∠EHF＝2y，∴∠Q＝180°﹣∠QMF﹣∠MFQ＝180