专题09构造直角三角形求不规则图形重难点专练-2021-2022学年九年级数学专题训练

专题09构造直角三角形求不规则图形重难点专练（解析版）第I卷（选择题）一、单选题1．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角，它们重叠部分（阴影部分）的面积是1.5，那么的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】重叠部分为菱形，运用三角函数定义先求边长AE，再根据面积求出．【详解】解：如图示：作交CD于C点，交CD于D点，由阴影部分是两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起可知，阴影部分是一个菱形，则有，，∴∴解之得：，故选：C【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，三角函数的应用，判断出阴影部分是一个菱形是解题的关键．2．如图，这是某市政道路的交通指示牌．BD的距离为3m，从D点测得指示牌顶端A点和底端C点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC的长度是()A．3 B．3 C．3﹣3 D．3﹣3【答案】D【分析】直接利用等腰直角三角形的性质结合锐角三角函数关系得出答案．【详解】由题意可得：∠CDB=∠DCB=45°，故BD=BC=3m，设AC=x，则tan60°==，解得：x=33，故选D．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．3．如图，四边形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，CD=12cm，DA=13cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积为（

）A．6cm2 B．30cm2 C．24cm2 D．36cm2【答案】C【详解】连接AC，AB=4cm，BC=3cm,AC=5cm.CD=12cm，DA=13cm,,∠DCA=90°.=cm2.选C.4．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，则四边形ABC'A'的面积是（）A．15 B．18 C．20 D．22【答案】A【分析】在直角三角形ACB中，可用勾股定理求出BC边的长度，四边形ABC’A’的面积为平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’面积之和，分别求出平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’的面积，即可得出答案．【详解】解：在ACB中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，由勾股定理可得：，∵A’C’B’是由ACB平移得来，A’C’=AC=3，B’C’=BC=4，∴，又∵BB’=3，A’C’=3，∴，∴，故选：A．【点睛】本题主要考察了勾股定理、平移的概念、平行四边形与直角三角形面积的计算，解题的关键在于判断出所求面积为平行四边形与直角三角形的面积之和，且掌握平行四边形的面积为底高．5．某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡AB步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为37°，建筑物底端的俯角为30°，若AF为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则此建筑物的高度DE约为(精确到米，参考数据：，)（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】如图，设CB⊥AF于N，过点C作CM⊥DE于M，根据坡度及AB的长可求出BN的长，进而可求出CN的长，即可得出ME的长，利用∠MBE的正切可求出CM的长，利用∠DCM的正切可求出DM的长，根据DE=DM+ME即可得答案．【详解】如图，设CB⊥AF于N，过点C作CM⊥DE于M，∵沿着坡度为的斜坡AB步行26米到达点B处，∴，∴AN=2.4BN，∴BN2+（2.4BN）2=262，解得：BN=10（负值舍去），∴CN=BN+BC=11.6，∴ME=11.6，∵∠MCE=30°，∴CM==11.6，∵∠DCM=37°，∴DM=CM·tan37°=8.7，∴DE=ME+DM=11.6+8.7≈26.7（米），故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确构造直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题关键．第II卷（非选择题）二、填空题6．正五边形的边长与边心距的比值为______.(用含三角比的代数式表示)【答案】【分析】本题应作出辅助线，构造出直角三角形来解决．【详解】经过正五边形的中心O作边AB的垂线OC，则∠BOC=36°，在直角△OBC中，根据三角函数得到故答案为【点睛】正多边形的计算一般要经过中心作边的垂线，并连接中心与一个端点构造直角三角形，把正多边形的计算转化为解直角三角形的问题．7．如图，在甲楼的底部B处测得乙楼的顶部D点的仰角为α，在甲楼的顶部A处测得乙楼的顶部D点的俯角为β，如果乙楼的高DC＝10米，那么甲楼的高AB＝_____米（用含α，β的代数式表示）【答案】【分析】作AH⊥CD交CD的延长线于H，根据正切的概念分别求出DC、DH，计算即可【详解】作AH⊥CD交CD的延长线于H，在Rt△DBC中，，则，在Rt△AHD中，，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是解直角三角形，掌握仰角俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键8．在中，AB=8，∠ABC=30°，AC=5，则BC=_____．【答案】4±3【详解】如图，过C点作CD⊥AB于D，设BC=x,∵∠ABC=30°，∴CD=BC=x，BD=，∴AD=（8－）在Rt△ADC中，根据勾股定理得：AD2+CD2=AC2即（8－）2＋（x）2=52解得4±3即BC=4±3.9．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝CB＝12，∠ABC＝90°，点D为AC上一点，tan∠ADB＝3，过D作ED⊥BD，且DE＝BD，连接BE，AE，EC，点F为EC中点，连接DF，则DF的长为______．【答案】2【解析】如图，作BM⊥AC于M，EH⊥AC于H，在HM上截取HN=AH，连接EN．∵∠EHD=∠BMD=∠EDB=90°，∴∠DBM+∠BDM=90°，∠BDM+∠EDH=90°，∴∠DBM=∠EDH，∵DE=DB，∴△BMD≌△DHE，∴BM=DH，DM=EH，∵tan∠ADB==3，设DM=a，则BM=DH=3a，∵AB=BC，∠ABC=90°，BM⊥AC，∴AM=CM=BM=3a，∵AM=DH，∴AH=DM=EH=a，∴AH=HN=MN=a，DN=2a，CD=2a，∴CD=DN，∵EF=FC，∴DF=EN=a，∵AB=BC=12，∴AC=6a=12，∴a=2，∴DF=2．故答案为2．10．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是______．【答案】【详解】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，过点M作MF⊥DC于点F，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，∴∠FMD=30°，∴FD=MD=1，∴FM=DM×cos30°=，∴，∴A′C=MC﹣MA′=．故答案为．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A′点位置是解题关键．11．如图，A，B，C为⊙O上相邻的三个n等分点，，点E在上，EF为⊙O的直径，将⊙O沿EF折叠，使点A与A′重合，点B与B′重合，连接EB′，EC，EA′．设EB′=b，EC=c，EA′=p．现探究b，c，p三者的数量关系：发现当n=3时，p=b+c．请继续探究b，c，p三者的数量关系：当n=4时，p=_____；当n=12时，p=_____．（参考数据：，）【答案】c+bc+b【详解】如图，连接AB、AC、BC，由题意，点A、B、C为圆上的n等分点，∴AB=BC，（度）．在等腰△ABC中，过顶点B作BN⊥AC于点N，则AC=2CN=2BC•cos∠ACB=2cos•BC，∴．连接AE、BE，在AE上取一点D，使ED=EC，连接CD，∵∠ABC=∠CED，∴△ABC与△CED为顶角相等的两个等腰三角形．∴△ABC∽△CED．∴，∠ACB=∠DCE．∵∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠DCE=∠BCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD与△BCE中，∵，∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE．∴．∴．∴EA=ED+DA=EC+．由折叠性质可知，p=EA′=EA，b=EB′=EB，c=EC．∴p=c+．当n=4时，p=c+2cos45°•b=c+b；当n=12时，p=c+2cos15°•b=c+b．12．如图，在四边形中，，，，．则的长的值为__________．【答案】【分析】如图，延长BC，AD交于E，解直角三角形分别求出AE、DE、CE、BC的长，再运用勾股定理即可求解．【详解】解：如图，延长BC，AD交于E，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴,∴BC=BECE=，∴．故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，理解题意、明确思路、正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．三、解答题13．已知:如图，在中，，，．过点作，动点在射线上（点不与重合），联结并延长到点，使．（1）求的面积；（2）设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围；（3）连接，如果是直角三角形，求的长．【答案】(1)；(2)；（3）的长为9．【解析】【分析】（1）确定∠PBA=∠BAC=α=∠AQC后，用解直角三角形的方法，求出AH和BC长即可求解；（2）证明△ABP∽△CQA，利用，即可求解；（3）连接PC，△PQC是直角三角形，即∠PCQ=90°，利用，即可求解．【详解】解:（1）过点作交于点，∵，，，则，，设:，则，则，即:，解得:，即，，，则，∴，；（2）过点作交于点，∵，，∴，，，，∵，，∴，又，∴，∴，其中:，，，，，，；（3）连接，是直角三角形，即，…①，其中，，，把、、代入①式整理得:解得:，即的长为9．【点睛】本题为三角形综合题，重点是确定三角形相似，利用解直角三角形和三角形相似的方法，求出对应线段长度是解题的关键，本题难度较大．14．在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°．（1）求城门大楼的高度；（2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）【答案】（1）12；（2）32米．【分析】（1）作AF⊥BC交BC于点F，交DH于点E，由∠ADE=45°可得AE=DE，设AF=a,则AE＝（a﹣3），BF=21+(a3)，根据∠ABF的正切值可求出a的值，即可得答案；（2）根据∠ABF的正弦值求出AB的长即可.【详解】解：（1）如图，作AF⊥BC交BC于点F，交DH于点E，由题意可得，CD＝EF＝3米，∠B＝22°，∠ADE＝45°，BC＝21米，DE＝CF，∵∠AED＝∠AFB＝90°，∴∠DAE＝45°，∴∠DAE＝∠ADE，∴AE＝DE，设AF＝a米，则AE＝（a﹣3）米，∵tan∠B＝，∴tan22°＝，即，解得，a＝12，答：城门大楼的高度是12米；（2）∵∠B＝22°，AF＝12米，sin∠B＝，∴sin22°＝，∴AB≈12÷=32，即A，B之间所挂彩旗的长度是32米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．15．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=10，点D是射线CB上的一个动点，△ADE是等边三角形，点F是AB的中点，连接EF．（1）如图，点D在线段CB上时，①求证：△AEF≌△ADC；②连接BE，设线段CD=x，BE=y，求y2﹣x2的值；（2）当∠DAB=15°时，求△ADE的面积．【答案】（1）①证明见解析；②25；（2）为或50+75．【分析】(1)①在直角三角形ABC中，由30°所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长，再由F为AB中点，得到AC=AF=5，确定出三角形ADE为等边三角形，利用等式的性质得到一对角相等，再由AD=AE，利用SAS即可得证；②由全等三角形对应角相等得到∠AEF为直角，EF=CD=x，在三角形AEF中，利用勾股定理即可列出y关于x的函数解析式；(2)分两种情况考虑：①当点在线段CB上时；②当点在线段CB的延长线上时，分别求出三角形ADE面积即可．【详解】(1)、①证明：在Rt△ABC中，∵∠B=30°，AB=10，∴∠CAB=60°，AC=AB=5，∵点F是AB的中点，∴AF=AB=5，∴AC=AF，∵△ADE是等边三角形，∴AD=AE，∠EAD=60°，∵∠CAB=∠EAD，即∠CAD+∠DAB=∠FAE+∠DAB，∴∠CAD=∠FAE，∴△AEF≌△ADC（SAS）；②∵△AEF≌△ADC，∴∠AEF=∠C=90°，EF=CD=x，又∵点F是AB的中点，∴AE=BE=y，在Rt△AEF中，勾股定理可得：y2=25+x2，∴y2﹣x2=25.（2）①当点在线段CB上时，由∠DAB=15°，可得∠CAD=45°，△ADC是等腰直角三角形，∴AD2=50，△ADE的面积为；②当点在线段CB的延长线上时，由∠DAB=15°，可得∠ADB=15°，BD=BA=10，∴在Rt△ACD中，勾股定理可得AD2=200+100，综上所述，△ADE的面积为或．【点睛】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．16．某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离．（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？（精确到0.1米）（2）如果自动扶梯改为由AE、EF、FC三段组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【答案】（1）6.3；（2）6.2【解析】试题分析：（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，在Rt△ABG中，利用已知条件求出AB的长即可；（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，在Rt△ACD中利用已知数据可求出CD的长，进而可求出台EF的长度．试题解析：（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，则∠ABG=90°∵AB∥CD，∴∠BAG=∠ACD=20°，在Rt△ABG中，，∵BG=2.26，tan20°≈0.36，∴，∴AB≈6.3，答：A、B之间的距离至少要6.3米．（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，∵AE和FC的坡度为1：2，∴，设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，∵EF∥DC，∴CQ=PD=8﹣x，∴FQ=2（8﹣x）=16﹣2x，在Rt△ACD中，，∵AD=8，∠ACD=20°，∴CD≈22.22∵PE+EF+FQ=CD，∴2x+EF+16﹣2x=22.22，∴EF=6.22≈6.2答：平台EF的长度约为6.2米．【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题．17．阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：AB•r1+AC•r2＝AB•h，∴r1+r2＝h（1）理解与应用如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知边长为2的等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，试证明：．（2）类比与推理边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于；（3）拓展与延伸若边长为2的正n边形A1A2…An内部任意一点P到各边的距离为r1，r2，…rn，请问r1+r2+…rn是否为定值（用含n的式子表示），如果是，请合理猜测出这个定值．【答案】（1）见解析；（2）4；（3）r1+r2+…+rn＝（为定值）．【分析】（1）已知BE＝BC，采用面积分割法，S△BFE＋S△BCF＝S△BEC得出三角形高的数量关系．（2）连接PA，PB，PC，仿照面积的割补法，得出S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC，而这几个三角形的底相等，故可得出高的关系．（3）问题转化为正n边形时，根据正n边形计算面积的方法，从中心向各顶点连线，可得出n个全等的等腰三角形，用边长为底，边心距为高，可求正n边形的面积，然后由P点向正n多边形，又可把正n边形分割成n过三角形，以边长为底，以r1r2…rn为高表示面积，列出面积的等式，可求证r1＋r2＋…＋rn为定值．【详解】（1）分别连接AP，BP，CP，作AD⊥BC于D，∴∠ADB＝90°，∵△ABC是等边三角形∴AB＝BC＝AC＝2，∠ABC＝60°，∴∠BAD＝30°，∴BD＝1，在Rt△ABD中，由勾股定理，得∴AD＝∵S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC．∴AB•r1+BC•r2+AC•r3＝BC×AD，∵BC＝AC＝AB，∴r1+r2+r3＝AD．∴r1+r2+r3＝（2）如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝2．∵PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥DC，PH⊥AD，∴四边形PEBF是矩形，四边形PFCG是矩形，四边形PGDH是矩形，四边形PHAE是矩形，∴PE＝AH，PF＝BE，PG＝HD，PH＝AE，∴PE+PF+PG+PH＝AH+BE+HD+AE＝AD+AB＝4．故答案为4．（3）设正n边形的边心距为r，且正n边形的边长为2，∴S正n边形＝×2×r×n．r＝，∵S正n边形＝×2×r1+×2×r2+×2×r1+…+×2×rn，∴×2×r1+×2×r2+×2×r1+…+×2×rn＝×n，∴r1+r2+…+rn＝nr＝（为定值）．【点睛】本题主要利用面积分割法，求线段之间的关系，解题的关键是熟知面积法的应用、时三角函数的应用．18．2016年12月底我国首艘航空母舰辽宁舰与数艘去驱航舰组成编队，携多架歼﹣15舰载战斗机和多型舰载直升机开展跨海区训练和试验任务，在某次演习中，预警直升机A发现在其北偏东60°，距离160千米处有一可疑目标B，预警直升机立即向位于南偏西30°距离40千米处的航母C报告，航母舰载战斗机立即升空沿北偏东53°方向向可疑目标飞去，请求出舰载战斗机到达目标的航程BC．（结果保留整数，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3，≈1.73）【答案】舰载战斗机到达目标的航程BC大约是198千米．【解析】【分析】如图，过点B向经过点C表示正北方向的直线作垂线，垂足为点D，BD与过点A表示正北方向的直线交于点E，过点A作AF⊥CD于点F，在Rt△ACF中，根据三角函数得出AF，进一步得出DE，再在Rt△ABE中，根据三角函数得出BE，进一步得出BD，再在Rt△BDC中，根据三角函数得出BC即可．【详解】解：如图，过点B向经过点C表示正北方向的直线作垂线，垂足为点D，BD与过点A表示正北方向的直线交于点E，过点A作AF⊥CD于点F，∵在Rt△ACF中，∠ACF=30°，AF=AC•sin∠ACF=40×sin30°=40×=20（千米），∴DE=AF=20（千米），∵在Rt△ABE中，∠BAE=60°，BE=AB•sin∠BAE=160×sin60°=160×=80（千米），∴BD=DE+BE=20+80≈158.4（千米），∴在Rt△BDC中，BC==≈=198（千米）．故舰载战斗机到达目标的航程BC大约是198千米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，解题的关键是根据方向角构造直角三角形，结合图形利用三角函数的知识解决问题．19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC，AD＝7，tanA＝2.求CD的长．【答案】CD＝.【详解】试题分析：根据题意，延长AB、DC交于点E，构造直角三角形，然后根据直角三角形的边角关系求解.试题解析：如图所示，延长AB、DC交于点E，∵∠ABC＝∠D＝90°，∴∠A＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠ECB，∴tanA＝tan∠ECD＝2.∵AD＝7，∴D